مفهوم القوة وتأثيرها

القوى المستوية تركيبها وتحليلها

مفهوم القوة وتأثيرها

درست سابقا أن القوة هي إحدى الكميات الأساسية في علم الفيزياء. كما علمت من دراستك السابقة أن إحساسنا بالقوة ينتج من خلال ملاحظتنا للأثر الذي تحدثه القوة عندما تؤثر على الأجسام المختلفة؛ فلكي نحرك العربة تحتاج لدفعها، كما نسحب الطاولة عندما نريد تحريكها من مكان إلى آخر. فالدفع والشد واللي كلها صور متعددة من القوى. وقد اتسع مفهوم القوة فيه علم الفيزياء ليشمل أنواع القوى المختلفة التي تحيط بنا ونشاهد تأثيرها، كالقوى الكهربائية والمغناطيسية وقوى الجاذبية.

وتعرف القوة إجرائيا بأنها ذلك المؤثر الذي إذا اثر على جسم ما فانه يسبب تغيرا في حالة الجسم (شكل الجسم أو موضعه أو في اتجاه أو كمية حركته).وتأثير القوة على الأجسام قد يكون مباشر أو غير مباشر فعندما ندفع الطاولة أو نسحبها فإننا نلاحظ أن هناك اتصالا فيزيائيا بين الطاولة واليد الدافعة أو الساحبة. وعلى ذلك فان تأثير القوة في هذه الحالة هو تأثير مباشر ولكن في حالة سقوط جسم نحو سطح الأرض أو حركة جسم صغير نحو قطب مغناطيس أو تباعد جسمين مشحونين بالكهرباء الساكنة أو اقتراب أحدهما من الآخر، فإننا لا نرى اتصالا فيزيائيا في هذه الحالات ويوصف تأثير القوة في هذه الأمثلة بأنه تأثير غير مباشر.

قومي بالنشاط 1-1 في كتاب دليل النشاطات العملي

قياس القوة

يمكن قياس مقدار القوة عن طريق دراسة التأثير الذي تحدثه هذه القوة كالدفع والسحب والتغير في الأجسام التي تؤثر عليها. ومثال ذلك التغير الذي يحدث في طول الزنبرك عندما تؤثر قوة على طرفه عندما يكون الطرف الآخر مثبتا. وقد مر ذلك في دراسة قانون هوك. فإذا ثبتنا أحد طرفي زنبرك بحيث يتدلى الطرف الآخر (شكل 1-1) وآثرت قوة على هذا الطرف فان الزنبرك يستطيل طوله بمقدار يتناسب مع مقدار القوة المؤثرة على الطرف المدلى.

فإذا علقنا جسما ما في نهاية زنبرك واحدث استطالة قدرها ل1 فانه عند استبدال الجسم أ بجسم آخر ب بحيث يكون أ،ب متساويين في الثقل، فان الزنبرك يستطيل بمقدار ل1 نتيجة لتعليق الجسم ب في نهايته بدلا من الجسم أ. وإذا علقنا الجسمين أ،ب معا في نهاية الزنبرك فان الزنبرك يستطيل بمقدار ل2، حيث ل2=2ل1. وإذا علقنا في نهاية الزنبرك ثلاثة أجسام كل منها يساوي وزن الجسم أ فان الزنبرك يستطيل بمقدار ل3 بحيث أن ل3=3ل1 (أو ثلاثة أضعاف استطالة الأصلية الناتجة عن الجسم أ بمفرده).وتكون الاستطالة متناسبة مع مقدار الثقل أو القوة المؤثرة في نهاية الزنبرك. وتستخدم هذه الفكرة في تدريج الميزان الزنبركي.وهو أحد الأجهزة التي تستخدم لقياس القوة.

قومي بنشاط 1-2في كتاب دليل النشاطات العلمي

من الواضح أن الميزان الزنبركي لا يستخدم لقياس كل أنواع القوى. فهناك طرق أخرى متعددة لقياس القوى الكهربائية والمغناطيسية وغيرها. وتعتمد هذه القياسات على قياس التأثيرات التي تحدثها هذه القوى سواء كانت مباشرة أو غير مباشرة.

وحدة القوة

يتفق العلماء على وحدات مناسبة لقياس الكميات الفيزيائية: فامتر هو وحدة قياس الطول، والكيلوجرام هو وحدة لقياس الكتلة، والثانية هي وحدة لقياس الزمن. وتقاس القوة بوحدات متعددة غير أن وحدة قياس القوة المستعملة في النظام العالمي للوحدات هي النيوتن (Newton).وهو القوة التي تجذب بها الأرض كتلة مقدارها0.1 كجم تقريبا.

الوزن :Weight

يعرف ثقل جسم بأنه مقدار قوة جذب الأرض لهذا الجسم. ويستخدم الميزان الزنبركي لقياس ثقل الجسم. فإذا علق جسم في نهاية ميزان زنبركي وأشار مؤشر الميزان إلى الرقم 2 نيوتن فمعنى ذلك أن الأرض تجذب هذا الجسم بقوة قدرها 2 نيوتن، وعليه نقول إن ثقل الجسم هو 2 نيوتن. ويختلف ثقل الجسم نفسه على سطح الأرض اختلافاً طفيفاً فهو يتغير بتغير المكان، وكلما ارتفع الجسم عن سطح الأرض كلما قل ثقله أيضاً. ويكون ثقل الجسم فوق سطح القمر أقل من ثقله فوق سطح الأرض.

الكتلة : Mass

هناك خاصية في الجسم بالإضافة إلى خاصية الثقل تسمى ((الكتلة)).المفهوم المبسط للكتلة هو أنها مقدار ما في الجسم من مادة.

وقد تطور مفهوم الكتلة بحيث أصبح يشمل نوعين من الكتل: كتلة القصور وكتلة الجذب. والمقصود بكتلة القصور لجسم هو مقدار ممانعة الجسم للحركة إذا أثرت عليه قوة. فمن الملاحظ مثلاً أن تحريك كرة قدم منفوخة أسهل بكثير من تحريك حجر بالحجم نفسه، ففي هذه الحالة نقول:- إن كتلة القصور للحجر هي أكبر من كتلة القصور لكرة القدم.

أما كتلة الجذب لجسم فهي الصفة التي يتمكن الجسم بموجبها أن يجذب جسماً آخر. وحيث أن أي جسم على سطح الأرض تجذبه الأرض باتجاه مركزها، فإننا نستطيع أن نقول:-

إن كتلة لجسم هي مقدار معاناة الأرض عندما تجذب ذلك الجسم. فكلما كانت كتلة الجسم كبيرة كلما ازدادت معاناة الأرض عند جذب ذلك الجسم، والعكس صحيح.

وتقاس كتلة الجدب وكتلة القصور بوحدات كثيرة، غير أن الوحدة المستعملة في النظام العالمي للوحدات هي الكيلو جرام. ويعرف الكيلو جرام بأنه كمية المادة الموجودة في إسطوانة صغيرة مصنوعة من سبيكة بلاتينية قطرها حوالي 3,9 سم وطولها 3,9 سم محفوظة في دائرة المواصفات والمقاييس العالمية في متحف اللوفر في سفرس قرب باريس. وتجدر الإشارة هنا إلى أننا إذا استخدمنا الكيلو جرام في قياس الكتلة فإن كتلة القصور لجسم ما= كتلة الجذب له. ويختلف مفهوم الكتلة عن مفهوم الثقل، فكتلة الجسم ثابتة مهما تغير بتغيير الارتفاع والمكان، وبقربه أو بعده عن الأجسام الأخرى المجاورة. فمثلاً يبلغ ثقل رائد الفضاء على القمر رغم أن كتلة رائد الفضاء لم تتغير في الحالتين؛ وسبب الاختلاف هو الفرق بين جاذبية الأرض لكتلة جسم رائد الفضاء وجاذبية القمر لكتلة الجسم نفسه. وفي بعض الأحيان ينعدم ثقل الجسم تماماً بينما تبقى كتلته ثابتة.

وثقل جسم ما هو عبارة عن قوة تعيين قيمتها بالمقدار والاتجاه، أما كتلة الجسم فهي عبارة عن كمية قياسية تتعين قيمتها بالمقدار فقط.

التسارع (الجاذبية) على سطح الأرض أكبر من التسارع (الجاذبية) على سطح القمر بمقدار 6 أمثال تقريباً.

القوة والكميات المتجهة والكميات القياسية

يوضح شكل 1-2 ولداً يدفع عربة باتجاه اليمين. فإذا كان مقدار القوة التي يؤثر بها 10 نيوتن فإننا نقول: إن القوة المؤثرة قيمتها 10 نيوتن نحو اليمين. فالقوة هنا تتحد بمقدارها الكمي ومنحى تأثيرها. وحيث إن القوة تؤثر في منحنى معين فهي تسمى كمية متجهة (Vecor Quantity).وبشكل عام فكل الكميات التي تحدد قيمتها بالمقدار والاتجاه والمنحى تسمى كميات متجهة. والكميات المتجهة في الفيزياء كثيرة، مثل: القوة، الإزاحة، السرعة.. إلخ.

وهناك كميات فيزيائية تتحدد قيمتها بالمقدار فقط، وتسمى كميات غير متجهة أو كميات قياسية (scalar quantity).مثل: الكتلة، درجة الحرارة، الحجم، الكثافة، الطول، العرض.. إلخ.

تمثيل القوة بيانياً

بما أن القوة كمية متجهة، فهي تتحدد بالمقدار والمحور (الاتجاه) والمنحى، ويؤثر ذلك عند تمثيلها بيانياً أو تمثل القوة بسهم يمثل طوله مقدارها ومحوره (اتجاهه) اتجاهها، ومنحاه منحاها، كما يوضح ذلك المثال التالي:

يمثل الشكل 1-3 أجساماً تؤثر عليه قوة مقدارها 20 نيوتن باتجاه يميل عن الأفقي 30 إلى أعلى. والمطلوب أن نمثل هذه القوة بيانياً. من الطبيعي أننا نحتاج لمقياس رسم، وليكن مقياس الرسم في هذه الحالة:1سم لكل 4 نيوتن. وبذلك فإن طول السهم الذي يمثل مقدار القوة يساوي 5سم. لنبدأ الآن بالرسم. نعين أولاً نقطة التأثير للقوة، أي نرسم مركز الجسم م. من م نرسم مستقيماً طوله 5 سم يميل اتجاهه عن الأفق إلى أعلى بزاوية قدرها 30، ثم نعين عليه القطعة المستقيمة م أ بحيث يكون طولها 5س. ليكن هذا المستقيم هو م أ. عند أ نضع رأس سهم، وبذلك نحصل على السهم م أ (شكل 1-3ب)*. إن م أ يمثل القوة من حيث المقدار والاتجاه والمنحى ونقطة التأثير. ويلاحظ أن ذيل السهم هو نقطة تأثير القوة، ورأسه يبين منحى القوة، بينما يبين الخط الذي يحمل القطعة المستقيمة م أ محور (اتجاه) القوة، أما طول القطعة فيمثل مقدار القوة.

تركيب القوى

يمثل الشكل 1-4 جسماً تؤثر عليه في الوقت نفسه ثلاث قوى: ق1، ق2، ق3، مستوية ومتلاقية في م. فإذا كان منحى ق1. هو الشرق، منحى ق2. هو الشمال، ومنحى ق3. هو الغرب، فكيف يتحرك الجسم؟

••             هل يتحرك الجسم باتجاه الشرق، أم الشمال، أم الغرب، أم باتجاه آخر مغاير؟

••             ما مقدار القوة الفعلية التي تؤثر على الجسم؟

إن الجسم في هذه الحالة يتحرك تحت تأثير قوة واحدة تحل محل هذه القوى الثلاث وتسمى مثل هذه القوة والتي تحل محل مجموعة من القوى محصلة القوى. وتسمى عملية إيجاد محصلة مجموعة من القوى تركيب القوى أو جمعها. وسنقصر بحثنا هنا على كيفية إيجاد محصلة القوى المستوية التي تؤثر على جسم ما في الوقت نفسه. وسنستخدم في الجزء التالي طريقتي الرسم والحساب لإيجاد محصلة مجموعة من القوى المستوية التي تؤثر على جسم ما في الوقت نفسه وكيفية تعيين اتجاه ومنحى حركة الجسم نتيجة لتأثير هذه القوة المحصلة.

1- إيجاد محصلة قوتين أو أكثر بالرسم

لنفرض أن لدينا قوتين ق1، ق2، تؤثران على جسم معين ونقطة تأثيرها المشتركة هي م (شكل 1-5أ)؛ والمطلوب إيجاد محصلة القوتين بالرسم. ليكن مقدار ق1 10 نيوتن، ومقدار ق2 15 نيوتن. نمثل ق1، ق2، بسهمين كما درسنا سابقا مستخدمين مقياساً للرسم. فإذا كان مقياس الرسم في حالتنا هذه هو: 1 سم لكل 5 نيوتن، فإن طول السهم الذي يمثل ق1، يساوي 2سم، وطول السهم الذي يمثل ق2 3سم.

نعين أولاً النقطة م وهي نقطة تأثير القوتين. من م نرسم المستقيم م أ بحيث يكون طوله 2سم واتجاهه ومنحاه هما اتجاه ق1 ومنحاها (معنى ذلك أن م أ يوازي ق1).من أ نرسم المستقيم أ ب بحيث يكون طوله 3سم واتجاهه ومنحاه هما اتجاه ق2 ومنحاها. نصل م مع ب فيكون م ب هو المتجه الذي يمثل محصلة القوتين ق1، ق2، (شكل 2-5ب).دعينا نسمي هذه المحصلة ح. لاحظي أنه لو رسمنا من م المجه م حـ ليمثل ق2، ثم وصلنا ب مع ج، نحصل على متوازي الأضلاع م أ ب جـ. حيث م أ يمثل ق1، م جـ يمثل ق2، م ب يمثل المحصلة. ومن الرسم يتضح أن محصلة قوتين تؤثران في نقطة ما هي قطر متوازي الأضلاع الذي يمثل ضلعاه المتتاليان هاتين القوتين مقداراً واتجاهاً ومنحى، ويسمى متوازي الأضلاع هذا بمتوازي أضلاع القوى. ولحساب مقدار المحصلة ح فإننا نقيس طول بمقياس الرسم وهو 1 سم لكل 5 نيوتن، فينتج مقدار المحصلة وهو 22,5 نيوتن. وحيث إن المحصلة هي قوة، والقوة كمية متجهة تتحدد بالمقدار والاتجاه والمنحى فإن متوازي أضلاع يساعدنا في إيجاد اتجاه المحصلة ومنحاها وذلك بقياس الزاوية بين ق1، ح (حوالي 31).نستنتج من ذلك أن مقدار ح هو 22,5 نيوتن واتجاهها يصنع مع ق1، زاوية 31، ومنحاها من م إلى ب.

قومي بالنشاط 1-3 في كتاب دليل النشاطات العملي

تتبع الطريقة السابقة نفسها عند إيجاد محصلة أكثر من قوتين بالرسم، أي عند إيجاد محصلة ثلاث قوى مستوية أو أكثر. فإذا أردنا إيجاد محصلة ثلاث قوى مستوية ق₁. ق₂. ق₃.

تؤثر في جسم نقطي *م (شكل 2-6)، نعين م أولاً، ثم باختيارنا لمقياس رسم مناسب نرسم م أ بحيث يمثل ق1، ثم من أ نرسم أ ب يمثل ق2 ومن ب نرسم ب جـ ليمثل ق3، نصل مع جـ فنحصل على م جـ. إن م جـ يمثل المحصلة ح. وبقياس طول م جـ وضرب هذا الطول بقياس الرسم الذي استعملناه في هذه الحالة نجد مقدار المحصلة، ثم بقياس الزاوية بين ق1، ح نستطيع أن نحدد اتجاه المحصلة. أما منحى هذه القوة فهو من م إلى جـ، وبذلك يمكن إيجاد قيمة المحصلة من حيث المقدار والاتجاه والمنحى.

مثال1

م نقطة مادية، تؤثر عليها ثلاث قوى مستوية في الوقت نفسه، وهي: ق1، ق2، ق3. فإذا كانت هذه القوى على الترتيب 60 نيوتن باتجاه الشرق، 40 نيوتن باتجاه الشمال الغربي**، 20 نيوتن باتجاه الجنوب، فأوجدي محصلة هذه القوى (شكل 1-7أ).

الحل

ليكن مقياس الرسم في هذه الحالة هو 1سم لكل 10 نيوتن، وبالتالي فإن سهماً طوله 6سم يمثل مقدار ق1. وسهماً طوله ق2، نعين أولاً م. من نرسم سهماً طوله 2سم يمثل مقدار ق3. نعين أولاً م. من م نرسم سهماً م أيمثل ق1. من أ نرسم سهماً بطول 4 سم ومنحاه الشمال الغربي، وليكن أ ب. وأخيراً من ب نرسم سهماً ب جـ بطول 2سم ومنحاه الجنوب، نصل م مع جـ فيكون م جـ ممثلاً للمحصلة ح. نقيس طول م جـ فنجده حوالي 3,3، نضرب هذا الطول بفياس الرسم فنحصل على مقدار ح وهو 33 نيوتن. نقيس الزاوية هـ بين ح، ق1. فنجدها حوالي 14. فتكون قيمة محصلة القوى (ح) هي 33 نيوتن، وباتجاه يصنع مع ق1. زاوية مقدارها حوالي 14 ومنحاها من م إلى حـ. (شكل 1-7ب).ويلاحظ أن الشكل الذي حصلنا عليه عند حساب محصلة هذه القوى الثلاث هو شكل رباعي (م أ ب جـ). وكما نتوقع فإننا نحصل على شكل خماسي في حالة وجود أربع قوى. وبشكل عام إذا كان لدينا ثلاث قوى مستوية أو أكثر فإن الشكل الذي نحصل عليه عند إيجاد المحصلة هو مضلع ويعرف عادة

بمضلع القوى، وسيستخدم هذا المضلع في إيجاد محصلة القوى واتجاهها ومنحاها.

إيجاد محصلة قوتين أو أكثر بالحساب

لنفرض أن لدينا ق1، ق2، تؤثران على نقطة مادية م وتحصران بينهما زاوية مقدارها هـ ( شكل 1-8أ)، والمطلوب إيجاد محصلة هاتين القوتين بالحساب. لاستنتاج معادلة إيجاد المحصلة حسابياً نجري التالي:

نستخدم طريقة إيجاد المحصلة بالرسم لتعيين مضلع القوى م أ ب ج ( شكل 1-8ب) ومنه نجد أن محصلة القوتين ق1، ق2، هي ح ويمثلها م ب. ننزل عموداً من ب على امتداد م أ فيلتقي معه في د. وبذلك يكون المثلث م ب د قائم الزاوية في د؛ وبحسب نظرية فيثاغورس يكون:

وبالتعويض تصبح العلاقة (1) كما يلي:

إن هذه العلاقة تعطينا مقدار المحصلة ح للقوتين ق1،ق2 غير أن المحصلة ح هي كمية متجهه، ولابد من تحديد اتجاهها كما يلي:

ومن المثلث أ ب م، نجد أن الزاوية بين ح،ق1 هي الزاوية أ م ب، ولكي نجد قيمة هذه الزاوية نستخدم العلاقة الرياضية التالية:

حيث أ ب، م أ، م ب هي أضلاع المثلث أ ب م الذي زواياه الداخلية هي م، ب، أ

ولكن ب أ م، هـ متكاملتين.

إذن

وبذلك نستنتج من العلاقة(3):

أي أن

وحيث إن أ ب يمثل مقدار ق2، م ب يمثل مقدار ح، فإن العلاقة (4) تصبح كما يلي:

تساعدنا العلاقة (5) على إيجاد اتجاه المحصلة، وهكذا نجد أنه باستخدام العلاقتين (2)، (5) لإيجاد المقدار والاتجاه لمحصلة قوتين تؤثران في نقطة مادية عن طريق الحساب.

مثال 2

تؤثر القوتان ق1، ق2، في نقطة مادية وفي الوقت نفسه، فإذا كان مقدار ق1 =12 نيوتن، ومقدار ق2=18 نيوتن، وكانت الزاوية بين القوتين 120، فأوجدي محصلة هاتين القوتين بالحساب.

الحل:

نلجأ للرسم التوضيحي عند حلنا لهذا المثال وكل الأسئلة المشابهة له. ففي الشكل 1-9 يمثل ، القوى: (المحصلة) بالترتيب. المحصلة ح. لإيجاد مقدار المحصلة نستخدم العلاقة (2) كما يلي:

وحيث إن:

ولإيجاد اتجاه المحصلة، نجد و (الشكل 1-9)، ونستعين لهذا الغرض بالعلاقة (5) كما يلي: لقد أمكننا حتى الآن إيجاد محصلة قوتين بالحساب، باستخدام العلاقتين (2)، (5).فهل نستطيع استخدام العلاقتين السابقتين في إيجاد محصلة عدة قوى مستوية بالطريقة نفسها؟

يمكننا في الواقع تطبيق العلاقتين السابقتين لإيجاد محصلة قوتين فقط. وعلى ذلك فإنه لو أثرت ثلاث قوى مستوية في نقطة مادية فإنه يمكننا أولاً إيجاد محصلة القوتين باستخدام العلاقتين (2)، (5) ولتكن هذه المحصلة ل، ثم نجد محصلة ل، ق، باستخدام نفس العلاقتين. ولتكن محصلة هاتين القوتين ح. إذا تكون ح هي محصلة القوى ق1،ق2،ق3. وباستعمال هذه

الطريقة التتابعية يمكننا إيجاد المحصلة النهائية في حالة وجود أكثر من ثلاث قوى مستوية.

تحليل القوى

تسمى عملية الحصول على قيمة كل من قوتين أو أكثر من محصلة القوى المساوية لها بعملية تحليل القوى وهذه العملية (التحليل) هي عكس عملية تركيب (جمع القوى التي سبق دراستها. وهي عملية التحليل هذه يمكننا إيجاد كل من مركبتي القوة المحصلة في اتجاهين يتعامد كل منها على الآخر. فإذا افترضنا مثلاً أن القوة المحصلة هي ح وإننا نرغب في تحليل هذه القوة المحصلة وإيجاد كل من القوتين ق1، ق2، اللتين تعملان عمل القوة المحصلة ح نتبع الإجراء التالي:

قبل أن نقوم بعملية التحليل هذه، يجب  أن نتفق على اتجاهي مركبتي القوة المراد تحليلها.

فإذا أخذنا حالة التحليل المتعامدة، أي اعتبرنا أن اتجاهي المركبتين متعامدان، وافترضنا أن القوة المراد تحليلها ق هي في مستوى المحورين المتعامدين: السيني والصادي*، نرسم من أ موازياً للمحور السيني، وكذلك نرسم من ج موازياً للمحور الصادي، فيلتقي الموازيان في النقطة د. فيكون أ د، د جـ هما مركبتا أ جـ (شكل 1-10).وحيث إن أ د باتجاه المحور السيني، فإن المركبة التي يمثلها تسمى بالمركبة السينية ونرمز لها بالرمز ق ويمثل د جـ المركبة الصادية للقوة ق، وترمز ق. وعلى ذلك يكون، ق، ق هما، على الترتيب المركبتان السينية والصادية للقوة ق.

ولإيجاد مقدار كل من المركبتين السينية والصادية بالنسبة لمقدار القوة الأصلية نفترض أن الزاوية بين ق واتجاه المحور السيني الموجب هي هـ.     

شكل1-10

بالرجوع إلى الشكل (1-10) نحصل على:

أد              = أجـ جتا هـ

دجـ              أ جـ جا هـ

ولكن أ د يمثل ق، د جـ يمثل ق، أ جـ يمثل ق.

اذن: ق = ق جتا هـ ………………(6)

ق = ق جا هـ ………………(7)

قومي بالنشاط 1-4 من كتالب دليل النشاطات العلمي

ملاحظة: إذا كانت القوة باتجاه المحور السيني فان مركبتها السينية ق = ق، ومركبتها الصادية ق = صفر. كذلك إذا كانت القوة ق باتجاه المحور الصادي فان مركبتها الصادية ق = ق، ومركبتها السينية ق = صفر.

إيجاد محصلة عدة قوى مستوية متلاقيةفي نقطة واحدة بطريقة التحليل.

لنفرض ان مجموعة من القوى المستوية، تؤثر في نقطة مادية في الوقت نفسه. والمطلوب هو إيجاد محصلتها بطريقة التحليل. وعلى سبيل المثال، لتكن هذه القوى هي ق، ق، ق، اتجاهاتها بالنسبة للمحور السيني الموجب محددة الزوايا هـ، ل، ن، على الترتيب (شكل 1-11).لتكن مقادير المركبات السينية للقوى ق، ق، ق، هي على الترتيب: ق، ق، ق، وهي مقادير المركبات الصادية للقوى ذاتها على الترتيب ق، ق، ق، وبالاعتماد على العلاقتين 6، 7 نكتب:

ق = ق جتا هـ

ق = ق جا هـ

كذلك

ق = ق جتا ل

ق = ق جا ل

وأخيرا

ق = ق جتا ن

ق = ق جا ن

لتكن محصلة المركبات السينية للقوى كلها هي ح. حيث أن المركبات السينية للقوى تقع على خط واحد (باتجاه المحور السيني الموجب أو السالب)، فان:

ح _س = ق_1س + ق_2س =_ق3

وبالاعتماد على مجموعة العلاقات (8) فإننا نحصل على:

ح _س= ق₁ جتا هـ + ق₂ جتا ل + ق₂ جتا ن ………………(9)

وعلى غرار ذلك، وبافتراض أن محصلة المركبات الصادية هي ح ، فإننا نحصل على:

ح _ص = ق₁ جا هـ + ق₂ جا ل + ق₂ جا ن ……………..(10)

بعد أن نجد مقدار محصلة المركبات السينية ح _س، ومقدار محصلة المركبات الصادية ح _ص، فانه يسهل علينا إيجاد مقدار محصلة القوى ق₁،ق₂،ق₃. لتكن هذه

المحصلة ح، حيث أن ح، ح متعامدان فحسب نظرية فيثاغورس يكون:

ح _ص =                                                                      ……………….(11)

شكل 1-12

وتعطي المعادلة (11) مقدار المحصلة ح.نعتبر الزاوية بين ح، ؛ هي و، وبالرجوع إلى شكل 1-12 نحصل على:

ظا و=    ………………………………….(12)

أي أن المحصلة ح تصنع مع المحور السيني الموجب زاوية مقدارها و،

والمثال التالي يوضح استخدام طريقة التحليل في إيجاد محصلة عدة قوى مستوية.

مثال3:

تؤثر القوى المستوية ق₁، ق₂، ق₃، في نقطة مادية في الوقت نفسه، فإذا كانت ق = 20 نيوتن واتجاهها 37ْ مع المحور السيني الموجب، ق₂= 10 نيوتن واتجاهها 135ْ مع المحور السيني الموجب، ق₃= 7 نيوتن واتجاهها 270ْ مع المحور السيني الموجب. جدي محصلة هذه القوى بطريقة التحليل.

الحل:

نجد مقدار ح [محصلة المركبات السينية للقوى] من العلاقة(9):

ح _س= ق₁ جتا 37ْ + ق₂ جتا 135ْ + ق₃ جتا 270ْ

بالتعويض نحصل على:

= 9 نيوتن.

كذلك نحسب مقدار ح، ]محصلة المركبات الصادية للقوى[ من العلاقة (10)

بالتعويض نحصل على:

= 12 نيوتن.

حيث أن ح = 9 نيوتن، ح = 12 نيوتن،

إذن المحصلة ح =

لتكن الزاوية بين ح واتجاه المحور السيني الموجب هي و.

(حسب العلاقة 12)

إذن: ظا و =

وبذلك فان: و = ضا