الحركة التوافقية البسيطة

الحركة التوافقية البسيطة:

لنأخذ جسماً عند النقطة ج، يسير على دائرة بمقدار ثابت للسرعة. وليكن اتجاه الحركة معاكساً لاتجاه عقارب الساعة (الشكل 4-4). لنفرض أن مقدار سرعة الجسم على الدائرة هو ع، ومقدار سرعته الزاوية هو ع_ز؛ وكلاهما ثابت، نجد أنه عندما يتحرك الجسم، على الدائرة، يتحرك مسقطه على القطر الأفقي ب بَ. فإذا أخذنا الجسم عندما يكون في النقطة ج، فإن مقدار الإحداثي السيني (Abscissa) للنقطة ج يساوي:

م د = س

س = ر جتا ي               (4-9)

وبما أن ي = ع_ز ز، فإن:

س= ر جتا ع_ز ز               (4-10)

وتصف هذه المعادلة حركة مسقط الجسم على الإحداثي السيني ب بَ.

لنأخذ الزمن الدوري (ن) الذي تستغرقه حركة الجسم انطلاقاً من النقطة ب على خط الدائرة، وحتى يرجع الجسم إلى ب، فإن المسافة التي يقطعها الجسم تساوي 2× p × ر. وتكون سرعته:

وتصبح العلاقة (10): س = ر جتا 2p/ن ز              (4-11)

تسمى الحركة التي يمكن التعبير عنها بإحدى العلاقات (9) أو (10) أو (11) الحركة التوافقية البسيطة. ويمكن كتابة العلاقة (11) بشكل آخر يظهر فيه تردد الحركة. فالتردد هو عدد الدورات الكاملة التي يحققها الجسم في الثانية ونرمز إليه بالحرف (د) وبما أن الجسم يدور دورة واحدة خلال الفترة الزمنية ن فإن:

د = 1/ن

والعلاقة (11) تصبح: س = ر جتا 2pد ز              (4-12)

فالحركة التوافقية البسيطة هي إذن الحركة التي نصفها رياضياً بإحدى العلاقات (9) أو (10) أو (11) أو (12).

تعريف الحركة التوافقية البسيطة:

هي حركة نقطة على قطر ثابت في دائرة بحيث تكون مسقطاً لنقطة أخرى تتحرك حول محيط الدائرة بسرعة منتظمة وتتمتع بالخصائص الخمس التالية:

1) السعة (Amplitude) ر، وتساوي نصف المسافة التي تفصل بين النقطتين القصويين اللتين تصل إليهما النقطة المتحركة. أي أن السعة تساوي نصف القطر (ر) في هذه الحالة.

2) التردد (د)، وهو عدد الدورات الكاملة للجسم في الثانية. ووحدة قياس التردد هي 1(دورة)/ ثانية وتسمى الهيرتز (Hertz).

3) الزمن الدوري (ن)، وهو الزمن الذي تستغرقه دورة كاملة.

4) السرعة الزاوية (ع_ز) وهي مقدار الزاوية التي يقطعها الجسم في الثانية الواحدة.

5) وهنالك خاصة خامسة وهي الطور (Phase)، وتساوي الإزاحة الزاوية بعد مرور فترة

زمنية ز. أي أنها ع_ز ز إذا كانت الزاوية الابتدائية صفراً (ب بداية الحركة) وتساوي ع_ز ز+ ط إذا كانت الزاوية الابتدائية تساوي ط (ه‍ بداية الحركة) انظر الشكل (4-4).

حصلنا على الحركة التوافقية البسيطة باسقاط حركة دائرية منتظمة على قطر الدائرة. ولكننا لم نتعرف بعد على هذه الحركة بتفاصيلها، أي كيف يتغير الإحداثي السيني س مع الوقت ومع الزاوية ى، ثم ما هي سرعة هذه الحركة وتسارعها، وكيف تتغير مع الوقت، وما هي الطاقة التي تحملها هذه الحركة.

وصف الحركة التوافقية البسيطة:

سنحاول الآن إعطاء فكرة واضحة عن كيفية تحرك النقطة د على القطر ب بَ بحركة توافقية بسيطة، ويلزمنا لذلك معرفة سرعة هذه الحركة وتسارعها. ولتسهيل الحسابات سنأخذ الشكل (9) لمعادلة الحركة التوافقية البسيطة.

اذا أسقطنا السرعة المتجهة ع على المحور السيني ب بَ (الشكل 4-5) نجد أن مركبة السرعة في الاتجاه السيني الموجب م_ب هي ع_س=-ع جا ى حيث عس هي سرعة الحركة التوافقية البسيطة.

وباستعمال العلاقة (3) (ع=ع_ز ر) نحصل على:

ع_س = -ع_ز جا ي

\ ى = ع_ز 0 ز

\ ع_س = -رع_ز جا ع_ز ز               (4-13).

أما إذا أسقطنا التسارع المركزي ت_م على المحور السيني، فإننا نجد أن مركبة التسارع ت_س في الاتجاه السيني الموجب تساوي:

وبالاعتماد على العلاقات (9) و(13) و(14) نستطيع تحديد قيمة كل من المسافة ف والسرعة والتسارع كما هو مبين في الجدول 4-1. ويبين الشكل 4-6 تغيرات المسافة والسرعة والتسارع مع تغير الزاوية.

جدول (4-1): تغير كل من المسافة والسرعة والتسارع مع الزمن أو الموضع على الدائرة التي تمثل الحركة التوافقية البسيطة

وجميع الدورات اللاحقة تشبه الدورة الأولى (أي تغير الزاوية من صفر إلى 2 p)، وهذا ما يجعلنا نصف الحركة التوافقية البسيطة كحركة تعيد نفسها إلى ما لا نهاية. ويعطي وصف

شكل 4-6: تغيرات المسافة والسرعة والتسارع مع الزاوية.

الحركة التوافقية البسيطة اعتماداً على الزمن كمتغيرة أساسية نتيجة مماثلة. وإذا عوضنا عن ر جتا ي في المعادلة (14) بما يساويها من المعادلة (9) ينتج لدينا علاقة جديدة بين ت_س وس، وهي:

ت_س=-ع_ز²س              (4-15)

وتمكننا هذه العلاقة من اعطاء تحديد الحركة التوافقية البسيطة على أنها كل حركة يكون مقدار التسارع فيها متناسباً مع بعد الجسم المتحرك عن مركز ثابت ويكون اتجاه التسارع مضاداً لاتجاه الإزاحة.

وإذا ضربنا العلاقة (15) بالكتلة نحصل على:

ك ت_س=-ك ع_ز²س

\ ق = - ثا س

حيث ق = ك ت_س بحسب قانون نيوتن الثاني

بينما ثا = + ك ع_ز²

والعلاقة ق = -ثا س هي قانون هوك حيث ق هي القوة على الجسم.

إحداث حركة توافقية بسيطة:

اذا أخذنا جسماً مربوطاً بزنبرك، وشددنا الزنبرك بقوة ق نحو اليمين ليستطيل بالمقدار س.، ثم تركنا الجسم حراً (الشكل 4-7)، نجد أن الجسم يتحرك بحركة توافقية بسيطة، وفيما يلي تفسير كيفية حدوث ذلك: عندما نشد الزنبرك بقوة ق نحو اليمين يرد الزنبرك، حسب قانون نيوتن الثالث، بقوة ق نحو اليسار. ولذلك فعندما يترك الجسم حراً، يبدأ بالتحرك نحو اليسار تحت تأثير قوة الاسترداد ق.

وبما أن تحركه نحو اليسار يقربه من طوله الأصلي، فإن الاستطالة تأخذ بالتناقض تدريجياً عن قيمتها القصوى س. وهذا يعني أن مقدار ق يبدأ بالتناقض كذلك، لأن: قَ=-ثا س.

فعندما تصبح س. صفراً، يصبح مقدار قَ صفراً. إلا أن الطاقة الكامنة في الزنبرك، وهو مشدود، تكون قد تحولت بأكملها إلى طاقة حركية عندما تصبح س. صفراً. وهذا يعني أن سرعة الجسم في هذه اللحظة تكون قد وصلت حدّها الأقصى، مما يجعل الجسم يستمر في حركته نحو اليسار، فيحدث ذلك انضغاطاً في الزنبرك، فتتولد قوة جديدة اتجاهها إلى اليمين لتقاوم حركة الجسم. ولكن الجسم يستمر في حركته نحو اليسار حتى يصل إلى نقطة يتحول عندها كامل طاقته الحركية إلى طاقة كامنة. ولذلك نجد الزنبرك ينضغط بمقدار س.

برهني أن الانضغاط الأقصى يساوي التمدد الابتدائي س.

بعد وصول انضغاط الزنبرك أقصى حد له تعود الحركة بسبب قوة الإعادة. إلا أن اتجاه كل من الحركة والقوة والسرعة والتسارع هو عكس ما كانت عليه في المرحلة السابقة. وبعد رجوع الجسم الى النقطة الابتدائية، تبدأ دورة جديدة مماثلة للدورة الأولى.

يمكننا الآن المقابلة بين حركة الجسم المربوط بالزنبرك وحركة النقطة د (الشكل 4-5)، فنجد أنهما متشابهتان. فإذا افترضنا أن النقطة د هي إحدى نقاط الجسم المربوط بالزنبرك، يصبح تسارع الجسم وتسارع النقطة د متساويين ومن مقابلة التسارع في كلتا الحالتين:

يمكننا من هذه العلاقة حساب التردد (د) والزمن الدوري (ن) للحركة التوافقية البسيطة للجسم المربوط بالزنبرك:

مثال 4-1

علقي أحد طرفي زنبرك بالسقف، وعلقي في الطرف الآخر جسم كتله 0.2كجم.

1) إذا كان طول الزنبرك 50 سنتمتراً في حالته الطبيعية. فماذا يصبح طوله بعد تعليق الجسم، ووصوله إلى حالة توازن؟ (ثابتة الزنبرك = 20 نيوتن/متر).

2) تم إبعاد الجسم مسافة عمودية مقدارها 5 سنتمترات عن حالة التوازن ثم ترك حر الحركة من حالة السكون. اسحبي الكميات التالية: سعة حركة الجسم - السرعة الزاوية - التردد - الزمن الدوري - معادلة حركة الجسم في اللحظة ز - سرعته وتسارعه في اللحظة ز - سرعة الجسم القصوى - تسارعه الأقصى - طاقته الميكانيكية الكلية.

الحل:

1) باستخدام قانون هوك: قوة الشد ق = ثا × س (الاستطالة) وبتعويض القيم المعطاة، نجد أن:

سرعة الجسم:

الطاقة الميكانيكة الكلية تساوي الطاقة الحركية القصوى.

\ الطاقة الكلية = الطاقة الحركية القصوى 1/2 × 0.2 × (0.5)² = 0.025 جول.

النشاط 4-2

حساب الطاقة والسرعة في الحركة التوافقية البسيطة

(أ) الطاقة الحركية:

الطاقة الحركية تساوي 1/2 ك ع²_س

\ ط_ح = 1/2ك.{-س.ع_زجاي}2

(*) ويمكن حسابها من ع = -0.5 جا (10ز) يكون جا (10ز) = ±1، فتكون القيمة المطلقة للسرعة عندئذ 0.5 م/ث وكذلك يصل الجسم إلى تسارعه الأقصى عندما يكون جتا (10ز = ± 1 وعليه يكون التسارع الأقصى 5.0م/ث².

حيث س. هي سعة الحركة التوافقية (تقابل ر في اسقاط الحركة الدائرية).

وذلك باستعمال المعادلة (4-16)

\ ط_ح = 1/2 ثا س₀² جا² ي              (4-19)

وهي معادلة الطاقة الحركية المطلوبة.

(ب) الطاقة الكلية:

الطاقة الكلية تساوي الطاقة الحركية القصوى (أي في اللحظة التي تتلاشى فيها الطاقة الكامنة)، وإذن فإننا نجد الطاقة الكلية = 1/2 ثا س²₀                            (4-20)

بسبب أن القيمة القصوى للمقدار جا² ى هي الواحد.

(ج‍) الطاقة الكامنة:

الطاقة الكلية = الطاقة الحركية + الطاقة الكامنة

\ الطاقة الكامنة = الطاقة الكلية - الطاقة الحركية

ولكن س = س. جتا ى

\ الطاقة الكامنة = 1/2 ثا س2              (4-21)

(د) السرعة:

نستطيع أن نحسب السرعة ع_س على مسافة س معلومة باستعمال معادلات الطاقة. إذ من معادلة الطاقة الحركية:

ولهذه المعادلة حلان متساويا المقدار ومتضادا الاتجاه يعطيان السرعة عند نفس الموضع في اتجاهي الحركة.

ونستنتج من المعادلة الأخيرة أن السرعة القصوى تكون عند الموضع س = صفر.

(4-6) البندول البسيط:

التطبيقات العملية للحركة التوافقية البسيطة عديدة لا تحصى. ولا نستطيع هنا اعطاءها حقها من الأهمية لضيق المجال، لذلك سنكتفي بدراسة البندول البسيط (الشكل 4-8) وهي، لا شك، من أهم التطبيقات. وقد درسنا البندول البسيط لدى دراسة تحولات طاقته الميكانيكية من حركية إلا كامنة وبالعكس. إلا اننا لم ندرس حركته، وهذا ما سنفعله الآن. سندرس حركة كتلة ك معلقة بخيط طويل نسبياً، ولا تبتعد كثيراً عن نقطة التوازن (نحو 10°). إن القوة المؤثرة في اتجاه حركة البندول هي مركبة الثقل في هذا الاتجاه وقيمتها هي:

ق = -ك ج‍ جا ى (4-23)

وذلك بسبب أن قوة شد الخيط متعامدة مع اتجاه الحركة.

وقد وضعنا علامة (-) لأن القوة تكون دائماً باتجاه هو عكس اتجاه الزاوية ى، وبالتالي عكس جا ى، وقد حسبنا ى موجبة إذا كان البندول على يمين نقطة التوازن وسالبة على اليسار. والمعروف أنه إذا اكتفينا بزوايا ى صغيرة، فإن جا ى » ى، هذا إذا لم تتعدّ الزاوية ى نحو عشر درجات.

\ ق = - ك ج‍ ى               (4-24)

إلا أن ى تتناسب طرداً مع المسافة س التي تفصل كرة البندول عن نقطة التوازن على مسار الكرة:

أي إن حركة البندول حركة توافقية بسيطة لكون مقدار التسارع يتناسب طرداً مع بعد الكرة عن نقطة التوازن، واتجاه التسارع ضد اتجاه الإزاحة.

وإذا قابلنا العلاقة (25) بقانون هوك نرى أن:

ثا = ك ج‍/ر              (4-26)

وبما أن الزمن الدوري للحركة التوافقية البسيطة يساوي 2p جذر ك/ثا (العلاقة 17)، فإن الزمن الدوري للبندول يساوي:

تدل هذه النتيجة على أن الزمن الدوري للبندول، وبالتالي تردده، لا يتأثران بكتلة البندول بل بطوله فقط. والزمن الدوري لا يتأثر كذلك بسعة الحركة، طالما أن هذه السعة لا تتعدى نحو عشر درجات.

مثال 4-2

تأكدي من أن كلاً من جانبي العلاقة (26) يقاس بالوحدة ذاتها.

الحل:

الحد الأول:

النشاط 4-3

أسئلة ومسائل:

1) اذكري أمثلة عن حركات دائرية منتظمة.

2) اذكري أملة عن حركات توافقية بسيطة.

3) راقبي حركة عقربي ساعة يدك، وأجيبي عن الأسئلة التالية:

أ) ما هي السرعة الزاوية لعقرب الثواني؟

ما هي سرعة طرف العقرب الدائرة؟

ب) أجيبي عن السؤالين بالنسبة لعقرب الدقائق.

ج‍) ما هي قيمة كل من: التردد والزمن الدوري لكل من العقربين؟

د) أعطي معادلة الحركة لطرف كل منهما.

4) يتحرك جسم كتلته 6 كجم بانتظام على دائرة نصف قطرها متر واحد، وبسرعة ثابتة هي 10 دورات في الثانية.

أ) ما هي السرعة الزاوية للجسم؟              ب) ما هي سرعة الجسم على الدائرة؟

ج‍) اكتبي معادلة الإحداثي السيني للحركة على الدائرة.

د) اكتبي مقدار القوة المركزية التي تُبقي الجسم على مسار دائري.

5) لنأخذ حركتين توافقيتين بسيطتين لهما السعة نفسها والسرعة الزاوية نفسها. الأولى تتم على الإحداثي السيني، والثانية على الإحداثي الصادي، وتلتقي الحركتان كلما مرّتا بنقطة التقاء الإحداثيين التي تكون نقطة التوازن بالنسبة لكل منهما. لنفرض أن اختلاف الطور بينهما يساوي p/2.

أ) اكتبي معادلتي الحركتين.

ب) ما هي نتيجة تراكب الحركتين، وما هو خط الحركة الناتجة عن هذا التراكب. (للوصول إلى النتيجة يجب ايجاد العلاقة القائمة بين س وص والمستقلة عن الزمن).

6) يتحرك جسم على خط مستقيم بموجب المعادلة التالية: س=10جتا 5ز

أ) ما هو نوع حركة الجسم؟

ب) ما هي سعة الحركة -سرعتها الزاوي- ترددها زمنها الدوري؟

ج‍) إذا اعتبرنا حركة هذا الجسم بمثابة حركة مسقط جسم يتحرك على دائرة فما هو نوع الحركة الدائرية؟ وما سرعة الجسم على الدائرة؟

7) علق جسم كتلته كيلوجرام واحد بطرف زنبرك ثابتته تساوي 100 نيوتن/متر، وطرفه الثاني مثبت في السقف.

أ) ما مقدار تمدد الزنبرك؟

ب) وإذا شد الزنبرك عمودياً بقوة عمودية إضافية مقدارها 5 نيوتن، ثم ترك حراً.

صفي حركة الزنبرك بإعطاء: سعتها - سرعتها الزاوي - ترددها - زمنها الدوري - معادلتها.

8) يستطيل زنبرك بمقدار 10 سم إذا شد بقوة مقدارها 15 نيوتن. وضع على طاولة أفقية ملساء (بدون احتكاك)، وثبت أحد طرفيه، بينما ربط بالثاني جسم كتلته 2 كجم ثم ضغط بمقدار 15 سم، وترك بعدها حراً.

احسبي:

أ) قيمة ثابت الزنبرك.

ب) تسارع الجسم عند تركه حراً. ما هي القوة التي تؤثر فيه عندئذ؟

ج‍) سعة الحركة، وترددها، وزمنها الدوري.

د) السرعة القصوى التي يصل إليها الجسم، وتسارعه الأقصى.

ه‍) الطاقة الميكانيكية الكلية للمجموعة المؤلفة من الجسم والزنبرك؟

9) كرة صغيرة الحجم كتلتها 100 غرام ربطت بزنبركين متشابهين، ثابتة كل منهما تساوي 100

نيوتن/متر، والطرف الثاني لكل منهما ثابت. وضعنا الزنبركين على طاولة أفقية بدون احتكاك (الشكل 4-9) بحيث لا يستطيعان التمدد أو الانضغاط إلا على محور مشترك واحد.

لنفرض أن للزنبركين طولهما الطبيعي، وأزحنا الكرة مسافة 10سم من نقطة التوازن، ثم تركناها حرة:

أ) ما هو مقدار القوة التي تؤثر على الكرة قبل تركها حرة، وما هو اتجاهها؟

ب) ما هو تردد حركة الكرة؟

ج‍( اكتبي معادلة هذه الحركة.

10) كيف يمكنك قياس تسارع الجاذبية الأرضية إذا أعطيت خيطاً رفيعاً متيناً، وكرة معدنية، وآلة دقيقة لضبط الوقت؟

11) طلب من العالم الشهير غاليليو معرفة طول شريط طويل، أحد طرفيه مربوط بسقف برج عال، بينما الطرف الثاني في يده. ولم يكن باستطاعته رؤية السقف للظلمة المخيمة داخل البرج. أعطي غاليليو ساعة دقيقة، وكان يعلم أن تسارع الجاذبية الأرضية على أرض البرج يساوي 9.80م/ث2. فكيف تمكن من معرفة طول الشريط؟

12) تعطي الساعات الكبيرة التي تعلق على الحائط الوقت بواسطة حركة بندول بسيط مكون من خيط معدني رفيع علقت به كرة معدنية هل يؤثر ارتفاع درجة الحرارة على عمل هذه الساعات؟ وكيف يتم ذلك؟

13) خذي بندولاً بسيطاً طوله متر واحد وكتلة كرته 50 جراماً.

أ) ما هو الزمن الدوري للبندول؟

ب) كيف يتغير الزمن الدوري إذا ضوعفت كتلة الكرة؟

ج‍) احسبي الزمن الدوري لهذا البندول إذا أخذ إلى كوكب آخر حيث تسارع الجاذبية يساوي 9 ج‍.

---

[1]() وحدة الراديان هي الزاوية المركزية التي تقال قوساً طوله 1سم في دائرة نصف قطرها 1سم.