الكمّيات المتجهة

الكمّيات المتجهة

يجب التفريق بين الكميات القياسية (Scalar Quantities) التي تتحدد بالمقدار فقط كالكتلة؛ والطول، والسعة.. الخ، والكميات المتجهة (Vectors Quntities) التي تتحدد بثلاثة عناصر:

1. نقطة التأثير. 2. الاتجاه. 3. المقدار (الشكل 1-1).

تتمثل الكميات المتجهة بيانياً بسهم، يمثل ذيله نقطة التأثير، وطوله المقدار، أما رأس الخط المستقيم الذي يقع عليه السهم فيمثل الاتجاه وسنمثل المتجه بحرف يعلوه سهم صغير، أما مقدار المتجه فسنمثله بالحرف نفسه دون سهم.

يمكن جمع كميتين متجهتين أو أكثر كما تعلمنا في السنة السابقة بالنسبة للقوى (الشكل 1-2) أما القوانين الجبرية المتعلقة بالكميات المتجهة فهي:

حيث أخذنا ح‍ وح‍1 وح‍2 ككميات قياسية وم وم1 وم2 ككميات متجهة. وننبه هنا على أن (ح‍ م) هو كمية متجهة لها خصائص م ما عدا مقدارها الذي يساوي حاصل ضرب ح‍ بمقدار م وإذا كانت ح‍ سالبة ينعكس اتجاه ح‍ م بالنسبة لاتجاه م. وهنالك طريقتان لضرب كمية متجهة بكمية متجهة أخرى: الضرب القياسي، والضرب المتجه.

الضرب القياسي لمتجهين:

لنأخذ متجهين م1 وم2 يشتركان في نقطة التأثير ويختلفان في الاتجاه، ولتكن ى الزاوية بينهما (الشكل 1-3). نحدد الضرب القياسي للمتجهين كما يلي: الضرب القياسي لمتجهين م1 و م2 (Scalar Product) يساوي حاصل ضرب مقدار مسقط م1 على محور م2 بمقدار م2:

ويُمثّل الضرب القياسي رياضياً بوضع نقطة بين المتجهين، أي:

م1 0 م2 = م1 م2 جتا ى

* تأكدي من أن م2 0 م1 = م1 0 م2

الضرب المتجه:

لنأخذ متجهين م1 وم2 (كما في الشكل 1-3)، فالضرب المتجه (Vector Product) للمتجهين هو متجه م3 ويكتب م3 = م1 × م2 وخصائصه الثلاث:

1) نقطة تأثير هي نقطة تأثير المتجهين.

2) مقداره يساوي م1 م2 جا ى.

3) واتجاهه يتعامد مع المستوى الذي يحوي المتجهين م1 وم2 بحيث يكون في اتجاه مفك يميني يدير المتجه م1 نحو المتجه م2 من خلال الزاوية الصغيرة بينهما (الشكل 1-4).

مثال 1-1

خذي المتجهين الظاهرين في الشكل 1-5.

احسبي:

1) الضرب القياسي للمتجهين.

2) الضرب المتجهة لهما.

الحل:

1) الضرب القياسي يساوي م1 م2 جتا 60° = 5 × 3 × 1/2 = 7.5

2) الضرب المتجه هو متجه نقطة تأثيره هي ب مقداره: 5 × 3 جا ى

= 15 جذر 3/2 = 12.99

واتجاهه متعامد مع السطح المستوي المكون من م1 و م2، إلى أسفل، لأننا إذا أدرنا برغياً لينزل، بالاتجاه من م1 إلى م2 فإنه يتحرك نزولاً.

أسئلة وتمارين

1)            ما المقصود بالتعريف الإجرائي للقوة؟

2)            عددي ثلاثة أنواع مختلفة من القوى؟

3)            ما هو الجهاز الذي نستعمله في المختبر لقياس القوة؟ هل تقاس كل أنواع القوى بهذا الجهاز؟

4)            ما هي وحدة القوة المستعملة في النظام العالمي للوحدات؟ اذكري تعريفها؟

5)            ما المقصود بالكمية المتجهة، وبالكمية غير المتجهة؟ اضربي مثالين على كل منهما؟

6)            وضحي المقصود بالعبارة التالية: أن عملية تحليل القوى هي عكس عملية تركيب (جمع) القوى.

7)            قوتان مقدارهما ق، ق تؤثران في نقطة مادية، بحيث أن الزاوية بينهما هي هـ. احسبي مقدار محصلة القوتين في كل من الحالات التالية:

8)            قوتان مقدارهما 12 نيوتن، 16 نيوتن. أوجدي مقدار اكبر واصغر محصلة يمكن أن تنشا منهما.

9)            ؤثر القوة ق ومقدارها 30 نيوتن، في نقطة مادية في اتجاه الشمال الغربي ، جدي مركبتي هذه القوة باتجاه الشمال وباتجاه الغرب ( جتا 45 = 0.7 تقريبا)

10)            وضع جسم يزن 100 نيوتن، على مستوى مائل يميل عن الأفق بزاوية مقدارها 30 أوجدي مقداري مركبتي الثقل: باتجاه المستوى وباتجاه عمودي على المستوى.

11)            قوتان مقدار كل منهما ق ومحصلتهما مقدارها ق أيضاً أوجدي الزاوية بين القوتين.

12)            ؤثر أربع قوى في نقطة مادية في الوقت نفسه: الأولى مقدارها 2 نيوتن باتجاه الشرق، والثانية مقدارها 4 نيوتن باتجاه الشمال، والثالثة مقدارها 5 نيوتن باتجاه الغرب، والرابعة مقدارها 8

نيوتن باتجاه الجنوب أوجدي مقدار محصلة هذه القوى واتجاهها.

13)            تؤثر قوتان مقدارهما في نقطة مادية في الوقت نفسه، والزاوية بينهما هي . أوجدي مقدار محصلتهما في الحالتين التاليتين بالرسم.

تحققي من إجابتك بالطريقة الحسابية.

14) تؤثر قوتان مقدارهما س،ص في نقطة مادية في الوقت نفسه ومقدار محصلتهما ع. لوحظ إذا ضاعفنا (ص) فإن (ع) تتضاعف، وإذا عكسنا اتجاه (ص) فإن (ع) تتضاعف أيضاً اثبتي أن س:ص:ع=

15)            تؤثر ثلاث قوى في نقطة مادية في الوقت نفسه. فإذا كانت مقادير هذه القوى هي وباتجاهات موازية لأضلاع مثلث متساوي الأضلاع ومأخوذة بترتيب دوري واحد، أوجدي مقدار المحصلة واتجاهها ومنحاها.