الأحد، 4 ديسمبر 2016

المتغيرات والدوال

المتغيرات والدوال
المتباينات ( اللامتساويات ) Inequalities
         نفرض a , b عددان حقيقيان فالرمز a < b يعنى أنa  أقل من  bويمكن كتابة نفس المتباينة بصورة عكسية أي  b > aونقول أن b أكبر من  a وللتعامل مع اللامتساويات يلزم معرفة أربع قواعد عامة:
1) إذا كان a أفل من  b وكذلك  b أقل من  c فإن  a تكون أقل من c
if  a < b  and  b < c  , then  a < c

2) يمكن إضافة مقدار معين إلى طرفي متباينة أو طرحه من طرفيها فيكون الناتج متباينة صحيحة في نفس الاتجاه أي أن :
if  a < b  ,  then  a + c < b + c  and  a - c < b - c

3) يمكن جمع المتباينات ذات الاتجاه الواحد أي أن :
if  a < B  and  c < d  ,  then   a + c < b + d

ومن الجدير بالملاحظة أن المتباينات قد لا يجوز طرحها في جميع الحالات فمثلا    2 < 5 ,  1 < 7 وبالجمع ينتج أن  3 < 12  وهذه متباينة صحيحة .. أما بالطرح نحصل على متباينة غير صحيحة وهى  1 < -2 وهذا مرفوض لعدم صحته.

4) ضرب كلا من طرفي متباينة في عدد موجب يحفظ الاتجاه بينما الضرب في عدد سالب يعكس اتجاه المتباينة
if  a < b  ,  then  ac < bc  ,  if  c positive number
if  a < b  ,  then  ac > bc  ,  if  c negative number
وينطبق نفس الكلام في حالة القسمة على العدد  d  لأن ذلك يعنى الضرب في  ( 1/d )

التمثيل الهندسي للمتباينة  Geometric Representation
         تمثل المتابينة هندسيا برسم محور أفقي يمثل جميع الأعداد الحقيقية. ونختار نقطة أصل مناسبة عليه، ثم نرتب الأعداد الموجبة عن يمينها والأعداد السالبة عن يسارها كما في شكل (4-1) وهكذا يكون كل عدد حقيقي تناظره نقطة على المحور وبالعكس تمثل كل نقطة أحد الأعداد الحقيقية.

2       1       0       -1      -2
شكل (4-1)

وعلى هذا فالمتباينة   a < b   تعنى أن   a  تقع على يسار  b 

الفـتــرة Interval
b(                )a
شكل (4-2)
يشير شكل (4-2) إلى ما يسمى بالفترة المفتوحة  Open Interval  من  a إلى  b  وهذه الفترة تعنى جميع الأعداد التي تكون أكبر من   a وأصغر من  b في نفس الفترة، أي أن الفترة المفتوحة تتكون من جميع الأعـداد فيما بين  a  ,  b وبذلك إذا وقع العدد x بين a  ,  b فإن ذلك يعنى أن a < x وكذلك x < b والصورة المختصرة للتعبير عن ذلك هي :  a  <  x  <  b.

]b                a[
شكل (4-3)
        
وتتكون الفترة المغلقة   Closed Interval  من a إلى b من جميع النقط بين a , b بما في ذلك a , b أيضا كما في الشكل (4-3) لذلك فالعدد x الذي يقع في هذه الفترة إما أن يكون أكبر من أو يساوى a وتكتب   x  a أو أنه أقل من أو يساوى b وتكتب x   b ومن هذا يمكن التعبير عن الفترة المغلقة من a إلى b بأنها تتكون من جميع النقط x بحيث تكون : a  x  b
ويقال للفترة التي تحوى الطرف b ولا تحوى الطرف a أنها نصف مفتوحة من اليسار half-open on the left  أي أن a < x  b
وبالمثل تسمى الفترة التي تحوى a ولا تحوى b  فترة نصف مفتوحة من اليمين half-open on the right  وتكتب a  x < b 
         وتسمى الأقواس التالية للتعبير عن نوع الفترات كما يلي:
(a , b) open interval ;  a < x < b
[a , b] closed interval ;  a  x  b
(a , b] interval half-open on the left ; a < x  b
[a , b) interval half-open on the right ; a  x < b
        
ويمكن استخدام الفترات لتمثيل بعض الحالات الغير عادية فمثلا لو أننا نرغب في التعبير عن جميع الأعداد التي تزيد عن 7 لذلك نعتبرها فترة ممتدة إلى مالا نهاية وبالطبع فإن مالا نهاية ليست عددا ولكننا نستعمل الرمز  ( 7 , ) للدلالة على جميع النقط أو الأعداد التي أكبر من 7 ويمكن القول بأن الأعداد المطلوبة تتكون من x بحيث 7 < x < وبالمثل فإن الرمز ( -   , 12 )  يعنى جميع الأعداد التي تقل عن 12  كما أن المتباينة المزدوجة -   < x < 12  هي طريقة أخري لتمثيل  جميع الأعداد x الأقل من 12

6-1-3 حـل المتباينة :
         من المعروف أن لمعادلات الدرجة الأولى حل واحد فقط وكذلك يوجد حلين لمعادلات الدرجة الثانية فمثلا:
 معادلة الدرجة الأولى:               2x + 7 = 15
لها حل واحد هو x = 4
ومعادلة  الدرجة الثانية:     x2 - x -2 = 0
         لها حلان هما x = 2  ,  x = -1
في حين أن المعادلة المثلثية:  sin x = ½
لها عدد لانهائي من الحلول هي  x = 30o , 150o , 390o  , 510o , ......

أما حل متباينة ما تحتوى على مجهول واحد x مثلا فهو يتكون من جميع الأعداد التي تجعل هذه المتباينة صحيحة وتسمى هذه الأعداد فئة الحل Solution set  لهذه المتباينة .


مثال (6-1): حل المتباينة:          3x -7 < 8 
الحـــل
أضف 7 إلى كلا من طرفي المتباينة فينتج:
3x - 7 + 7 < 8 + 7 or 3x  < 15
         وبقسمة الطرفين على  3 ينتج أن:     x < 5   
وهذا يعنى أن فئة الحل تتكون من جميع الأعداد في الفترة   (- , 5)

مثال (6-2): حل المتباينة: -7 - 3x < 5x + 29  
الحـــل
بطرح 5x  من الطرفين نجد أن:               -7 - 8x < 29
         بضرب الطرفين في (-1)  وعكس اتجاه المتباينة ينتج أن:7 + 8x > -29
                   بطرح 7 من الطرفين تؤول المتباينة إلى:        8x  >  -36
                            بقسمة الطرفين على 8 نحصل على الحل: x  >  -9/2
ويمكن التعبير عن الحل على صورة فترة : جميع قيم  x في الفترة ( -9/2 , )  

مثال (6-3): أوجد قيم x  من المتباينة: 3/x  <  5           إذا كان ( x  0 ) 
الحـــل
بالنظر للمتباينة يتضح أن الحل يحتاج إلى الضرب في x  للطرفين ولكن نظرا لأننا لا نعرف ما إذا كانت x موجبة أو سالبة لذا يجب أن نعتبر كل حالة على حدة :

أولا : نفرض أن x > 0 أي أن x موجبة وبالتالي فإن الضرب في x يحفظ اتجاه المتباينة فنجد أن:
3  < 5x
وبالقسمة على 5 ينتج أن: x  >  3/5  وهذا يعنى أننا يجب أن نبحث عن جميع الأعداد التي تحقق كلتا المتباينتين:      x  >  0 , x  >  3/5. ومن الواضح أن أي عدد أكبر من 3/5 يكون موجبا وعلى ذلك يتكون الحل في هذه الصورة من جميع قيم x  في الفترة  ( 3/5 , )

ثانيا : نفرض أن x < 0  أي أنها سالبة فالبضرب في x يعكس اتجاه المتباينة فنجد أن :
3  > 5x or 3/5 > x
         نبحث الآن عن قيم x التي تحقق كلتا المتباينتين  x < 0  ,  x < 3/5  فيكون الحل فى هذه الحالة هو جميع قيم x  فى الفترة  (-  ,  0)  ولتجميع النتيجة فى الحالتين نقول بأن فئة الحل تتكون من جميع الأعداد x  التي لا تقع في الفترة المغلقة  [ 0 , 3/5 ]  شكل (4-4)
3/5      )             (-       0
شكل (4-4)

مثال (6-4): أوجد قيم x  من المتباينة:
                   إذا كان:  x -2
الحـــــل
كما حدث في المثال السابق يجب أن نفرق هنا بين الحالتين حسب ما إذا كان  (x + 2)  موجب أو سالب.

الحالة الأولى :     x + 2  >  0 
بالضرب في  3( x + 2 )  ينتج أن:   6x - 9  < x + 2 
بإضافة ( 9 - x )  إلى كلا من الطرفين نجد أن:
5x  < 11 or x  < 11/5
         وحيث أننا فرضنا أن:  x + 2 > 0  فإن x  يجب أن تكون أكبر من (-2) وأقل من 11/5 أي أن: -2 <  x < 11/5  أي أن: فئة الحل تتكون من جميع قيم x  في الفترة  ( -2 , 11/5 )

الحالة الثانية : x + 2 < 0 
         بالضرب في 3( x + 2 )  ونعكس اتجاه المتباينة كما يلي:
6x - 9 > x + 2
ومنها نحصل على: 5x > 11    or    x > 11/5         
وفى هذه الحالة تكون x أقل من -2 وأكبر من 11/5 وهذا محال وبالجمع بين الحالتين نحصل على فئة الحل التي تتكون من جميع الأعــــداد في الفترة ( -2  ,  11/5 )  كما في شكل (1-5)
11/5(       0           )-2
شكل (4-5)
6-2 القيمة المطلقة  Absolute Value
تعرف القيمة المطلقة لعدد موجب  a بأنها العدد الموجب نفسه أما إذا كان العدد a سالب فإن قيمته المطلقة تعرف بأنها العدد الموجب لـ -a  والقيمة المطلقة للصفر تساوى صفرا ويستعمل الرمز a  للدلالة على القيمة المطلقة للعدد a ، فمثلا :
7 = 7 , -13 = 13 , 2-5 = -3 = 3
وتخضع القيمة المطلقة للخواص التالية :
أولاً :القيمة المطلقة لمجموع جبري من الأعداد لا يزيد عن مجموع القيم المطلقة لهذه الأعداد أى أن a + b  a + b
فمثلا إذا كان a = -3 ,  b = -7  ، فإن:
(-3) + (-7)  =  -10 = 10
 ويكون أيضا
-7  = 3 +7 = 10 +  -3
أي أن
(-3) + (-7)  =  -3 +  -7

أما إذا كان العددين مختلفي الإشارة تكون القيمة المطلقة لمجموع العددين كالتالي
(+3) + (-7)  =  -4 = 4
في حين أن مجموع القيمتين لهذين العددين هي:
-7  = 3 +7 = 10  +  +3
أي أن
(+3) + (-7)  <  +3 + -7

ثانيا :القيمة المطلقة للفرق بين عددين تكون أكبر من أو تساوى الفرق بين القيمتين المطلقتين لهذين العددين ، أي أن:


ثالثا :القيمة المطلقة لحاصل الضرب تساوى حاصل ضرب القيمة المطلقة ، أى أن:
a . b   = a .  b 
رابعا :القيمة المطلقة لخارج قسمة تساوى خارج قسمة القيمة المطلقة للمقسوم على القيمة المطلقة       للمقسوم عليه، أي أن:

خامسا :القيمة المطلقة لقوة ذات أس صحيح موجب تساوى نفس القيمة المطلقة للأساس، أى أن:

والخاصية الثالثة والرابعة والخامسة تأتى مباشرة من تعريف القيمة المطلقة.

مثال (6-5): أوجد قيمة x  من x-7 = 3
الحـــــل
تبعا لتعريف القيمة المطلقة فإن المعادلة تعنى أن: x - 7 = 3  or  -3
لأنه في كلتا الحالتين تكون القيمة المطلقة تساوى 3  فإذا كان x -7 = 3  فإن  x = 10  أما إذا كان x - 7 = -3  فإن x = 4     لذلك توجد قيمتين للمجهول x  تحققان المعادلة المعطاة، أي أن:
x = 4 , x = 10

مثال (6-6): حل المعادلة:
2x-6 = 4 - 5x
الحـــل
هناك احتمالين وهما:
2x - 6 = 4 - 5x and 2x - 6 = - (4 - 5x)
بحل كلا من هاتين المعادلتين نحصل على الحلين:  x = 10/7  ,  -2/3

ملاحظة : إذا كانت x هي رقم ما يحقق المتباينة x< 4 فإن ذلك يعنى أن يكون x  أي عدد في الفترة الممتدة من -4  إلى +4 وإذا استعملنا رمز الفترة لأن هذا الشرط يعنى أن x يجب أن تقع في الفترة (-4 , 4) وإذا استعملنا المتباينات فإن العلاقة:     -4 < x < 4           وبدون استعمال القيمة المطلقة تكون مكافئة للمتباينة x< 4 وبالمثل فإن x - 5<  5 تعنى أن: x - 3  تعنى أن تقع في الفترة  ( -5 , 5 ) ويمكن أيضا كتابتها على الصـــورة:      -5  <  x - 3  <  5           أي أن قيمة x يجب أن تحقق كلتا المتباينتين في العلاقة الأخيرة .
         وبإضافة 3 إلى كلا من أطراف المتباينة المزدوجة الأخيرة نحصــل على -2 < x 8       وهذا يعنى أن x  يجب أن يقع في الفترة  (-2 , 8 ) كما في شكل (4-6 )

)8                0                 -2(
شكل (4-6 )

مثال (6-7): أوجد قيم x  إذا كان:         2 - 5x < 3 
الحـــل
الصورة المكافئة لهذه المتباينة هي:       -3  <  2 - 5x  <  3 
         بطرح 2   من كل طرف ينتج أن:   -5  <  -5x  < 1 
                   بالقسمة على -5 وعكس اتجاه كل من المتباينين نجــــد أن:  1 > x > -1/5       وتتكون فئة الحــــل من قيم x في الفترة المفتوحة  (-1/5 , 1)           كما في شكل (4-7 ).

)1                0                -1/5(
شكل (4-7)

6-3 الكميات الثابتة والكميات المتغيرة  Constant and Variables 
         تتناول الرياضة الكميات من ناحية قيمها العددية Numerical Values  بغض النظر عن المعنى الخاص لهذه الكميات في الطبيعة فقد تكون الكميات عبارة عن زمن أو مسافة أو حجم أو سرعة .....الخ . ونلاحظ أن القيمة العددية لبعض الكميات تتغير في حين أن القيمة العددية لبعضها الآخر يظل ثابتا. فمثلا فى حالة الحركة المنتظمة لجسم ما نجد أن السرعة تظل ثابتة بينما يتغير كلا من المسافة والزمن. لذلك تنقسم الكميات الرياضية عموما إلى نوعين :

6-3-1  كميات ثابتة
         وهى الكمية التي لا تتغير قيمتها أثناء أي عملية رياضية تدخل فيها هذه الكمية ..... وهناك نوعين من الكميات الثابتة :
         1- كمية ثابتة عددية مثل  1 , 2 , 3 , 1/2 , 3/4 , 12 ......     
         2- كمية ثابتة جبرية ويرمز لها عادة بالحروف الأولى الهجائيــة مثل:  a , b , c , d , .... وتسمى الكميات التي تحتفظ بقيمتها في جميع الأحوال بالثوابت المطلقة  Absolute Constants فمثلا عجلة الجاذبية ثابت مطلق والنسبة بين محيط دائرة وقطرها ثابت مطلق أيضا ويرمز له بالرمز وتساوى 22/7  أو 3.14159 تقريبا.

6-3-2  الكميات المتغيرة
         وهى الكميات التي تأخذ أي قيمة تشاء أي أنها لا تكون ثابتة فمثلا تتغير مساحة الدائرة بتغير نصف القطر وتتغير المسافة التي يقطعها جسم متحرك بتغير الزمن. وهكذا فإن هذه الكميات الطبيعية مثل المساحة ، نصف القطر ، المسافة ، الزمن كميات متغيرة ويرمز لها عادة بحروف هجائية.

6-4 الدالة Function
         هي علاقة جبرية تربط بين متغيرين أو أكثر .... فمثلا العلاقة المعروفة التي تعطى مساحة المربع  A = L2  نجد أنه إذا أعطى طول الضلع L قيما عددية مختلفة فإن مساحة المربع تأخذ بالتالي قيما عددية مناظرة. أي أن التغير في طول المربع، سبب تغير مناظرا في المساحة A وبذلك يكون المعنى العام للدالة y = x2   هو أن y ممكن أن تتغير إذا عينت قيمة x فإذا أخذت x  قيم 3 أو 4 تكون قيمة  y = 9 or 16  .......وهكذا أي أن قيمة y تتوقف على قيمة x .   
وأحيانا يتوقف قيمة المتغير التابع للدالة على قيم أكثر من متغير مستقل فمثلا حجم الصندوق يتوقف على الطول والعرض والارتفاع وتكون دالة الحجم في هذه الحالة كما يلي  V  = f ( x , y , z) 
تعريف: إذا كانت كل قيمة لمتغير ما x تناظرها قيمة معينة لمتغير آخر y فإننا نقول أن y دالة في x وتكتب عادة  y = f (x)  , y =  (x)   ويسمى x متغير مستقل Independent Variable  بينما يسمى y  بالمتغير التابع Dependent Variable لأن أي تغير في قيمة x ينتج عنه تغير في قيمة y وتتوقف هذه التسمية على وضع الدالة  ، لأنه إذا كان المتغير y دالة في للمتغير x فإن المتغير x يمكن أن يكون أيضا دالة للمتغير y  أي أنه: إذا كـــــانت y = f ( (x )        فإنه ينتج عن ذلك أيضا أن: x = f (y)
وفى الحالة الأولى تكون x  المتغير المستقل ، y المتغير التابع . بينما في الحالة الثانية تكون y المتغير المستقل ، x المتغير التابع. وفى هاتين الصورتين إذا اعتبرنا أن الصورة الأولى دالة أصلية فإن الصورة الثانية دالة عكسية.
فمثلا:
الدالة
y = x2
y = sin x
y = log x     الدالة العكسية
 x =
x = sin –1
x = ey
                                                       
6-4-1 أنواع الدوال Types of Functions
         (1) الدوال الجبرية والدوال الغير جبرية
         فالدوال الجبرية هي التي يمكن إيجاد قيمتها بالضبط بإجراء أي عدد من العمليات الحسابية عليها. أما الدوال الغير جبرية ( المسترسلة ) فهي الدوال التي لا يمكن إيجاد قيمتها بالضبط بواسطة عدد محدد من العمليات الحسابية وذلك لجميع قيم x فمثلا :

هي دالة جبرية لأنه بإعطاء أي قيمة لـ x نستطيع أن نحسب قيمة y أما إذا كان لدينا معادلة بهذا الشكل:
y = sin x     ,      y = log10 x

ونريد حساب قيمة الدالة y في الحالتين ... فإذا أعطينا  x أي رقم فإننا بالبحث عن قيمتها في الجدول نحصل على قيمة تقريبية لـ  y وبذلك فإننا لا نستطيع الحصول على قيمة لـ y بالنسبة لقيمة x بالضبط ولذلك تسمى هذه الدالة دالة مسترسلة.

         (2) الدوال الزوجية والدوال الفردية
         فالدالة الزوجية هي التي لا تتغير قيمتها في المقدار أو في الإشارة إذا وضعنا (-x) بدلا من x أي أنه يكون f (-x) = f (x)  أما الدالة الفردية فهي التي تتغير قيمتها في الإشارة فقط إذا وضعنا (-x) بدلا من x أى أن : f (-x) = f (x) 
فمثلا :            y = x2 +5
بوضع (-x) بدلا من x ينتج أن:             y = ( -x)2 + 5 = x2 +5
أي أن:            y = f (-x) = f (x)
فهي دالة زوجية  Even function

أما إذا كانت الدالة كهذا : y = 2x3 - 4x
بوضع    (-x) بدلا من x ينتج أن: y = 2 (-x)3 - 4 (-x)
2x3 + 4x = - (2x3 - 4x) = -y

أي أن:            (f (-x) = - f (x       
وبذلك تكون الدالة فردية add function  ويكون منحنى الدال متماثلا إلى نقطة الأصل وعلى هذا الأساس تكون :
دالة زوجية        cos -x   =    cos x
دالة فردية         sin -x   =  - sin x
دالة فردية         tan -x   = - tan x

ويفيد التعرف على نوع الدالة في التعرف على شكل المنحنى الممثل للدالة من حيث التماثل حول المحاور الرئيسية ونقطة الأصل. فمن تعريف الدالة الزوجية نستنتج أن المنحنى الذي يمثلها متماثلا بالنسبة لمحور الصادات (y) ومنحنى الدالة الفردية يكون متماثلا بالنسبة لنقطة الأصل.

         (3) الدوال فردية القيمة والدوال متعددة القيمة :
         أ- الدالة فردية القيمة هي التي تأخذ فيها y قيمة واحدة إذا أعطينا للمتغير x قيمة واحدة. فالدالة :              y = x2 - 3   دالة فردية القيمة لأنه إذا أخذت x القيمة (1) فإن y تأخذ القيمة  (-2) وإذا أخذت x القيمة (3) فإن y  تأخذ قيمة واحدة هي (6)

         ب- الدالة متعددة القيمة هي الدالة التي تأخذ فيها y أكثر من قيمة إذا أعطيت x قيمة واحدة فقط. فالدالة :    y = x       فإنه إذا أخذت x القيمة (4)  مثلا فإن y تأخذ قيمتين 2 أي قيمتين متساويتين في المقدار ومختلفتين في الإشارة فهذه الدالة تعتبر متعددة القيم مادامت تأخذ أكثر من قيمة لكل قيمة من قيم المتغير المستقل.
ومن الدوال المتعددة القيم أيضا الدالة :                  y = sin-1  x فإذا أخذت (x) القيمة 1/2 فإن:
y تساوى 30o   أو 30o + 360o  ، 30o + 720o  ، 30o +1080o 
وهكذا فإن y يمكن أن تأخذ عدد لانهائي من القيم ... فالدالة إذا هي دالة متعددة القيم.

         (4) الدوال الصريحة والدوال الضمنية
         أ- الدالة الصريحة
         هي الدالة التي تكون فيها العلاقة بين المتغير المستقل والمتغير التابع على الصورة الصريحة:   y = f (x)  أي أننا عبرنا عن y صراحة بدلالة x وتسمى الدالة y في هذه الحالة دالة صريحة Explicit Function لمتغيرها المستقل x.

         ب ـ الدالة الضمنية
         هي الدالة التي تكون فيها العلاقة التي تربط x , y  على الصــــورة  f (x , y) = 0  قيل أن y  دالة ضمنية Implicit Function فمــــــثلا:  xy2 - sin y = 3 دالة ضمنية.
ويمكن في بعض الأحوال تحويل الصورة الضمنية إلى الصورة الصحيحة فإذا كان:
x2 - 3xy + 4x - 2y = 1
فإن:                                
ولا يمكن دائما تحويل الصورة الضمنية إلى الصورة الصريحة بسهولة في حين أنه يمكن تحويل  الصورة الصريحة إلى الصورة الضمنية فمثلا:
y = 3x2 -5
يمكن أن تكتب على الصورة الضمنية هكذا:
y - 3x2 + 5  = 0 أو  y - 3x2 = -5

         (5) الدوال العكسية والدوال المباشرة
         إذا كانت y = f (x)  فإن أي قيمة تأخذها y تتبعها قيمة معينة للمتغير x وبالعكس إذا أخذت y قيمة ما تتعين قيمة x أو قيم y المناظرة من العلاقة التي تربطها. أي أنه إذا كانت y دالة فإنه يمكن اعتبار x دالة في y وتسمى الدالة الأولى بالدالة المباشرة والدالة الثانية بالدالة العكسية .....فمثلا الدالة التالية:
 y = 3 + 1/x   دالة مباشرة، بينما x = 1/y - 3 دالة عكسية.

         (6) الدوال المعرفة والدوال الغير معرفة بجميع قيم  x
         أ- الدوال المعرفة لجميع قيم x : هي الدالة التي يمكن إيجاد قيمتها إذا أخذ المتغير x أي قيمة تشاء مثل الدوال التالية:

فكلما أخذت x قيمة فنحصل على قيمة لـ y وهى قيمة محدودة أي لا تساوى مالا نهاية.

ب ـ الدوال الغير معرفة لمجموع قيم  x
         الدوال التالية:

دوال غير معرفة لجميع قيم x  فالدالة الأولى دالة معرفة عندما x = 0  أو x تساوى أي كمية موجبة فقط. أما إذا أخذت  x أي كمية سالبة فهذه الدالة غير معرفة. أما الدالة الثانية معرفة فقط إذا كانت x كمية موجبة وإذا أخذت أى كمية سالبة أو صفر فإنها تكون غير معرفة ...... فمثلا لا يوجد لوغاريتم -1/2 أو-3/4 لأن الكميات السالبة تعتبر كميات تخيلية ولوغاريتم صفر -.
أما الدالة الثالثة دالة معرفة لجميع قيم x ماعدا x=3 , x=1  فعند هاتين القيمتين تكون الدالة غير معرفة.


         (7) الكميات الغير معينة
         الكميات التالية كميات غير معينة:
 فإذا فرض أننا نريد الحصول على قيمة ما عندما x = 1  من المعادلة التالية

الدالة:            هي دالة غير معينة عندما x = 1 
ولكن إذا لاحظنا قبل عملية التعويض أنه يوجد عامل مشترك بين البسط والمقام


ولا نستطيع أن نقول أن  f(x) = 2  عندما x = 1 لأن الأصل في إيجاد قيمة الدالة عند أخذ x كمية معينة هو التعويض في الطرفين ولذلك نقول على الحل بعد إجراء عمليات التحليل بأنها نهاية الدالة وليس قيمة الدالة وتكتب على الصورة:
  
 وإذا نظرنا إلى المعادلة

مثل هذه الدالة لإيجاد نهايتها limit لابد من معرفة طرق أخري لإيجاد مثل هذه القيم لأنه لا يوجد عامل مشترك بين البسط والمقام وهذا يتطلب دراسة سريعة لعلم النهايات.

6-5  نهاية الدالة The limit of function
         نفرض أن y = f (x)  هي دالة معرفة في فترة ما حول النقطة x=a يقال للدالة f (x ) أنها تقترب من النهاية A عندما يقترب x من a  إذا تحقق الآتي: لكل عدد موجب مهما صغر “” يمكن إيجاد عدد موجب مناظر “” يعتمد على “” بحيث أنه لجميع قيم x التي تحقق المتباينة    يكون     ويكتب هذا التعريف إلى الصورة التالية :

والشكل (4-8) يوضح هذه النهاية على منحنى الدالة y = f (x)  كما يلي :
حيث أن المتباينة   يترتب عليها المتباينة   فمعنى هذا أن كل النقط  x التي لا تبعد عن النقط a بأكثر من “” تقابلها نقط M على منحنى الدالة تقع جميعها في الشريط الأفقي الذي عرضه “2”ويحدده المستقيمان  y = A +  , y = A - 
ملاحظة : ليس من الضروري أن تكون الدالة معرفة عند النقط a حتى تتواجد نهايتها عندما xa ذلك لأننا عندما نبحث عن النهاية تعتبر قيم الدالة عند النقط التي تقع في جوار a والتي تختلف عنها والمثال التالي يوضح ذلك .

مثال (6-9):
اثبت أن:


الحـــــل
فى هذا المثال نجد أن الدالة:  غير معرفة عند x = 2 لأنها لا تساوى  (0/0)  والمطلوب إثباته الآن أنه لأي قيمة اختيارية صغيرة  توجد صغيرة بحيث تحقق المتباينة     إذا تحقق    ويكون عندما x 2  فإن المتباينة الأولى تساوى المتباينة .

وهكذا لأي عدد اختياري تتحقق المتباينة الأولى إذا تحقق المتباينة الأخيرة مع العلم بأن  =  كمية متناهية في الصغر وهذا يعنى أن الدالة المعطاة تكون لها النهاية 4 عندما x2. لذلك فعندما نقول أن دالة f (x)  تقترب من النهاية A عندما xa      
فمعنى هذه العبارة أنه إذا كانت x   تأخذ  قيم قريبة جدا منa   فنستطيع أن نجعل الفرق بين قيمتي f (x)    والعدد ِA صغيرا صغرا كافيا أي أن  f (x) = A + حيث يدل على كمية متناهية الصغر .... تؤول إلى الصفر كلما اقتربت  x من a  قربا كافيا. ولإيجاد نهايات الدوال المختلفة سنذكر بعض النظريات الهامة في علم النهايات وبدون برهان حيث أنه قد سبق للطالب دراستها.

6-5-1 النظريات الأساسية للنهايات Basic Theorems of limits
         أولا : نهاية المجموع الجبري لعدد محدود من الدوال تساوى نفس المجموع الجبري لنهايات هذه الدوال. أي أنه إذا كان f1 , f2 , ....; ...fn  دوال للمتغير x فإن


مثال (6-10):

        
ثانيا : نهاية حاصل ضرب أي عدد محدود من الدوال يساوى حاصل ضرب نهايات هذه الدوال ... أي أنه إذا كانت f1 , f2 , ....; ...fn  دوال x فإن


مثال (6-11): إذا كان:

الحـــــل
نعرف أولا الدالة  f(x)  على أنها حاصل ضرب دالتين g (x) , f (x)   فيكون

وبحساب نهاية المجموع  f (x) + h (x)   نجد أن:


         ثُالثا : نهاية خارج قسمة دالتين تساوى نهاية البسط مقسوما على نهاية المقام بشرط أن تكون نهاية المقام لا تساوى صفرا.
أى أن :


مثال (6-12):


مثال (6-13): أوجد قيمة:


الحـــــل
نلاحظ أن الدالة غير معرفة عند x = 2  فلا يصلح التعويض المباشر وإذا رمزنا للكمية التي تحت الجذر  بالرمز f ( )  فنجد أنه عندما  x  2   أن:

إذا الدالة g (x)  معرفة لجميع قيم x كما نلاحظ أن f (x) = g (x)  باستثناء عند x = 2 وعلى هذا تكون النهاية المطلوبة هي:



6-5-2 إيجاد قيم بعض النهايات المشهورة
أولا نهاية الدالة:

أي أن نهاية جيب الزاوية مقسوما على نفس الزاوية عندما تؤول الزاوية إلى الصفر تساوى واحد صحيح ...... وبرهان هذا القانون يكون هندسيا كما بلى:
         فلإيجاد هذه النهاية ترسم دائرة نصف قطرها الوحدة كما في الشكل وترمز الزاوية المركزية  A O M بالرمز x حيث 0 < x < /2  ومن الرسم يتضح أن المستقيم AN أقل من القوس AM وهذا بدوره أقل من المستقيم AC أي أن <AC   <   AN وبالقسمة على OA ينتج أن:


        






وبقسمة جميع الحدود على sin x :

وقد استنتجنا هذه المتباينة على فرض أن: x  >  0  فإذا لاحظنا أن:

فإنه ينتج أن المتباينة صحيحة أيضا لقيم x السالبة وحيث أن:

فإن الدالة   تقع بين كميتين لهما نفس النهاية (الوحدة ) وعلى ذلك يكون:

نتيجة : حيث أن x مقاسه بالتقدير الدائري فإن:


مثال (6-14):

( لأنه عندما x 0  فإن 8x  0 أيضا )

مثال (6-15)


ثانيا ـ النهاية :

هذه النهاية صحيحة لجميع قيم n الجذرية الموجبة والسالبة . ولإثبات هذه النهاية نفرض أن  y = x - a  فعندما xa  فإن  y 0  وبالتعويض في المعادلة الأصلية ينتج أن :

وتبعا لنظرية ذات الحدين نجد أن :

وبالتعويض في العلاقة السابقة ينتج أن :

فإذا اقتربت x من a تؤول y إلى الصفر فنحصل على:



مثال (6-16):


مثال (6-17):



ثالثا ـ النهاية :

حيث e = 2.7182818  القيمة التقريبية كأساس للوغاريتمات الطبيعية وكذلك فإن النهاية 

وباستخدام نظرية ذات الحدين أن مفكوك المقدار  له نهاية عندما n تقترب من مالا نهاية. وهذه النهاية تقع بين 3 , 2.5  ويرمز له بالرمز e  لذلك فإن الدالة    تقترب من النهاية e عندما تقترب x من مالا نهاية . وإذا كتبنا  u = 1/x  فإنه عندما x   نجد أن  u 0  ويمكن كتابة النهاية السابقة على الصورة التالية : 

مثال (6-18):



مثال (6-19):

ليست هناك تعليقات:

إرسال تعليق