انتقال الحرارة بالتوصيل

انتقال الحرارة بالتوصيل

التوصيل الحراري

قانون فورير( Fourier's law). وهو تعميم لمعلومات تجريبية ،وهو يتميز بخصائص معينة وهي :انه قانون عام مبني علي الدلائل التجريبية والمنطقية. أنه قانون لم يأتي كنتيجة للاستنتاج من المبادئ الأولية أو البرهنة الرياضية. أنه قانون يعرف خاصية هامة للمواد ألا وهي معامل التوصيل الحراري، ويمثل متجه (Vector) يوضح أن اتجاه سريان الحرارة (Heat Flux) يكون عمودي علي السطح ذو درجة الحرارة الثابتة وفي اتجاه تناقص درجات الحرارة.وينطبق على جميع المواد على اختلاف أحوالها سواء الصلبة أو السائلة أو الغازية.

معامل التوصيل الحراري: Thermal Conductivity

         يمكن تعريف معامل التوصيل الحراري باستخدام قانون فورير كما يلي:

وهو ينص على انه عند انحدار حراري معين فإن معدل سريان الحرارة يتناسب تناسب طردي مع معامل التوصيل الحراري. ولابد أن نؤكد على أن معامل التوصيل الحراري يختلف من مادة إلى أخرى علاوة على أن معامل التوصيل الحراري للمواد الصلبة أكبر منه للمواد السائلة وهذا الأخير بدوره أكبر من التوصيل الحراري للمواد الغازية. ومعامل التوصيل الحراري للمواد الصلبة يكون تقريباً أربعة أضعاف ذلك للمواد الغازية وهذا طبعاً يرجع إلى اختلاف الفراغات بين الجزيئات وبعضها في كلتا الحالتين.

المعادلة العامة لانتقال الحرارة بالتوصيل

 Heat conduction equation

وتنص المعادلة العامة لانتقال الحرارة على أنه عند أي نقطة من الجسم المتجانس فإن المعدل الصافي لانتقال الحرارة في جزء ما مضافا إليه المعدل المتجانس فان المعدل الصافي لانتقال الحرارة في جزء ما مضافا إليه المعدل الحجمي لتوليد الحرارة في هذا الجزء لابد وان يتساوى مع معدل التغير في الطاقة المخزونة في هذا الجزء. وهناك صور كثيرة ومبسطة للمعادلة العامة لانتقال الحرارة في الإحداثيات الكرتيزية يمكن الحصول عليها بإجراء بعض الفروض المناسبة فمثلاًَ إذا فرضنا أن معامل التوصيل الحراري ثابت ولا يعتمد على درجة الحرارة فإن المعادلة العامة يمكن كتابتها على الصورة:

حيث:

أو معامل الانتشار الحراري

ومعامل الانتشار الحراري ( ) يمثل النسبة بين معامل التوصيل الحراري k والنسبة الحرارية ( ) وهذا يعني أنه كلما زادت   (أي كلما زادت k أو تناقصت   أو كليهما) لمادة معينة فإن هذه المادة تكون أكثر فاعلية في نقل الحرارة عنه في تخزينها والعكس صحيح.

تبسيط آخر للمعادلة العامة لانتقال الحرارة بالتوصيل يمكن الحصول عليه إذا فرضنا أن انتقال الحرارة بالتوصيل يمكن الحصول عليه إذا فرضنا أن انتقال الحرارة يتم بمعدل ثابت (Steady State) وهذا يعني أنه ليس هناك تغير في الطاقة المخزونة في المعادلة العامة وتبسط الصورة:

أما إذا افترضنا أن انتقال الحرارة في اتجاه واحد فقط وليكن اتجاه x مثلا وأنه ليس هناك توليد للحرارة فإن المعادلة السابقة يمكن كتابتها على الصورة:

المعادلة السابقة تنص على انه عند انتقال الحرارة بمعدل ثابت وفي اتجاه واحد وبدون توليد حرارة فإن معدل انتقال الحرارة لكل وحدة مساحة (Heat flux) يكون ثابت في اتجاه انتقال الحرارة وبالتالي فإن  .

المعادلة العامة لانتقال الحرارة في الإحداثيات الاسطوانة:

يمكن استنتاج المعادلة العامة لانتقال الحرارة في الأشكال الأسطوانية بنفس الطريقة السابقة ولكن بفرض أن الجزء المتناهي الصغر (Control Volume) هو جزء من الجسم الأسطواني المتجانس كما في الشكل (2-1) وبالتالي فإن الصورة العامة تكون كما يلي:

شكل (2-1): الجزء المتناهي الصغر ( ) اللازم لإجراء تحاليل انتقال الحرارة بالتوصيل في الإحداثيات الأسطوانية.

المعادلة العامة لانتقال الحرارة بالتوصيل في الإحداثيات الكروية:

أيضاً وبنفس الطريقة السابقة كما هو واضح في شكل (2-2) يمكن استنتاج المعادلة العامة لانتقال الحرارة في الأشكال الكروية كما يلي:

وسوف لا نخوض في طريقة استنتاج المعادلتين السابقتين (2-6)، (2-7) للإحداثيات الأسطوانية والكروية وسوف نتركها للقارئ ليقوم بنفسه باستنتاجها باستخدام قانون بقاء الطاقة كنوع من التدريب.

شكل (2-2): بالجزء المتناهي الصغر   اللازم لإجراء تحاليل انتقال الحرارة بالتوصيل في الإحداثيات الكروية

الشروط أو الظروف الحدودية للإطار والظروف الابتدائية:Boundary and Initial conditions:

 إنه من الضروري حل المعادلة العامة المناسبة لانتقال الحرارة في مادة معينة أو شكل معين وذلك لإمكان إيجاد توزيع درجات خلال هذا الجسم. ولكن هذا الحل يحتاج إلى معرفة بعض الخصائص الطبيعية للإطار الخارجي لهذا الجسم

(Boundary Conditions) بالإضافة إلى بعض الخصائص عند زمن ابتدائي (Initial Conditions) وهذا طبعاً إذا كانت الظروف التي تعتمد على الزمن أو دالة في الزمن وهي عادة تسمى بالشروط الحدية أو الابتدائية، وحيث أن معادلة انتقال الحرارة هي معادلة من الدرجة الثانية بالنسبة للإحداثيات فإنه يلزمنا قيمتان من قيم الشروط الحدودية لكل من الإحداثيات وذلك لوصف العملية ولحل المعادلة. ولكن لأن معادلة انتقال الحرارة هي معادلة من الدرجة الأولى بالنسبة للزمن فإنه يلزمنا في هذه الحالة معرفة حالة واحدة فقط وهي الحالة الابتدائية(Initial Condition). وأنواع حالة الإطار أو الظروف الحدودية التي يمكن أن تحدث في انتقال الحرارة بالتوصيل هي ثلاث كما هو واضح في جدول (2-1).

الشريط الحدودية (حالة الإطار) لمعادلة الانتشار الحراري

        

الجدول السابق يصف حالة الإطار عند السطح (x=0) لاتجاه واحد.

انتقال الحرارة يكون في الاتجاه الموجب لتوزيع درجات الحرارة وهي من الممكن أن تكون دالة في الزمن أي معتمدة على الزمن  .

الحالة الأولى:

وهي تختص بالحالة التي يكون عندها درجة حرارة السطح محفوظة عند درجة حرارة ثابتة .

الحالة الثانية:

وهي تختص بوجود سريان حراري ثابت (Constant Heat flux) عند السطح   وهو في الحقيقة دالة للانحدار الحراري عند السطح كما ينص على ذلك قانون فورير كما يلي:

وهناك حالة خاصة في الحالة الثانية وهي تختص بالسطح المعزول نماما (Perfectly Insulated or Adiabatic Surface) والذي عنده يكون.

الحالة الثالثة:

وهي تختص بوجود انتقال حرارة بالحمل عند السطح (Convection Heat or Cooling). وفي هذا الكتاب سوف نناقش كل من هذه الحالات بإسهاب سواء كانت من خلال الأمثلة المحلولة أو المسائل المختلفة في الأبواب القادمة ولكن في نفس الوقت على القارئ الآن أن يتصور أو يتخيل كل من هذه الحالات باستخدام مثال تخيلي يساعده على تفهم طبيعة كل منهم.

انتقال الحرارة بالتوصيل في اتجاه واحد وبمعدل ثابت:

One Dimensional, Steady-State Conduction

سوف نناقش هنا الحالات التي يحدث فيها انتقال للحرارة في اتجاه واحد فقط وبمعدل ثابت. وانتقال الحرارة في اتجاه واحد معناه إهمال انتقال الحرارة في الاتجاهين الآخرين وأن توزيع الحرارة يحدث فقط في هذا الاتجاه. أما انتقال الحرارة بمعدل ثابت فيعني أن انتقال الحرارة لا يعتمد على الزمن أو ليس دالة في الزمن. وعلى الرغم من سهولة النماذج (models) الخاصة بانتقال الحرارة في اتجاه واحد وبمعدل ثابت إلا أنه يمكن استخدامها بدقة لوصف كثير من الأنظمة الهندسية.

1)      انتقال الحرارة بالتوصيل في اتجاه واحد خلال حائط مستوي

 (The Plane wall)

في حالة انتقال الحرارة بالتوصيل في اتجاه واحد خلال حائط معين تكون درجة الحرارة في دالة في اتجاه  x فقط وانتقال الحرارة يحدث في هذا الاتجاه. كما هو واضح في شكل (3-2)  يفصل الحائط الموضح بين مائعين كل منهما عند درجة حرارة مختلفة عن الأخرى. ويحدث انتقال الحرارة بالحمل من المائع الساخن الذي درجة حرارته ( ) إلى سطح الحائط الملامس والذي درجة حرارته ( ) ثم تنتقل الحرارة بالتوصيل خلال الحائط إلى السطح الآخر الذي درجة حرارته( )ثم تنتقل الحرارة بالتوصيل إلى المائع البارد الذي درجة حرارته عادة في مسائل انتقال الحرارة فإننا نبدأ بإيجاد معادلة تصف توزيع درجات الحرارة في جسم معين ثم بعد ذلك تستخدم هذه المعادلة في إيجاد معدل انتقال الحرارة بالتوصيل أو الانتشار الحراري في هذا الجسم وذلك بعد عمل تفاضل لها.

توزيع درجات الحرارة: Temperature Distribution

يمكن إيجاد معادلة توزيع درجات الحرارة خلال حائط وذلك بحل معادلة الانتشار الحراري مع استخدام الحالات الخاصة المناسبة للإطار (Proper Boundary Conditions). تبسط المعادلة العامة لانتقال الحرارة بالتوصيل في اتجاه واحد وبمعد ثابت وبدون توليد للحرارة إلى الصورة:

شكل (2-3): انتقال الحرارة خلال جدار مفرد (a) ، وما يناظرها من مقاومة حرارية لانتقال الحرارة (b).

وبفرض أن معامل التوصيل الحراري (k) ثابت. ثم بتكامل المعادلة السابقة مرتين فإننا نحصل على الحل العام التالي:

لإيجاد ثوابت التكامل (C2&C1) لابد من استخدام حالات الإطار (Boundry Conditions) وهنا سوف نختار الحالات التي عندها يكن السطح عند درجة حرارة ثابتة (الحالة 1 في جدول (2-1)) كما في شكل (2-4) التالي:

بالتعويض في المعادلة (2-14) بالحالة الأولى:

فإننا نحصل على:

شكل (2-4): توزيع درجات الحرارة والحالات الحدودية لانتقال الحرارة خلال حائط في اتجاه واحد بمعدل ثابت وبدون توليد حراري

بالمثل بالتعويض في الحالة الثانبة أي:

ومنها نحصل على:

وبالتعويض بقيم (C1,C2) في المعادلة العامة لتوزيع درجات الحرارة ينتج أن:

كما هو واضح من المعادلة (2-12) فإن توزيع درجات الحرارة خطي بالنسبة إلى الاتجاه x وذلك في حالة انتقال الحرارة في اتجاه واحد فقط وبمعدل ثابت وبدون توليد للحرارة.

باستعمال معادلة توزيع درجات الحرارة السابقة باستخدام قانون فورير فإنه من الممكن إيجاد معدل سريان الحرارة بالتوصيل كما يلي:

وبالتعويض بقيمة (dT/dx) من تفاضل المعادلة (2-12) السابقة:

حيث أن A هي مساحة سطح الحائط في الاتجاه المتعامد على اتجاه انتقال الحرارة ويكون انتقال الحرارة لكل وحدة مساحية أو ما يسمى (Heat Flux) كما يلي:

        ومن الملاحظ أن   تعتمد على x وهذا بطبيعة الحال يتمشى مع المعادلة (2-14) والتي تنص على أن معدل انتقال الحرارة في اتجاه x يكون ثابت. ومن الملاحظ أيضا أن   ولهذا فإن الإشارة السالبة لم تظهر في المعادلتين السابقتين.

أما إذا كانت درجة حرارة أحد السطحين غير معلومة ولكن معلوم معدل الانتشار الحراري   فإن الثوابت في معادلة توزيع درجات الحرارة السابقة (2-13) يمكن تحديدها بتطبيق الشروط الحدودية كما في الشكل التالي:

لكن من تفاضل المعادلة (2-11) نجد أن:

Or

وبالتعويض بقيمة C1 السابقة في المعالة (2-14) نحصل على:

وبالتعويض بقيمة C2,C1 في معادلة توزيع درجات الحرارة (2-11) نحصل على:

المقاومة الحرارية: Thermal Resistance

هناك تشابه بين انتشار الحرارة وبين شحن الكهرباء. فكما أنه يوجد مقاومة كهربائية لانتقال الكهرباء فإن هناك مقاومة حرارية لانتقال الحرارة بالتوصيل. ويمكن تعريف المقاومة الحرارية لحائط مثلا باستعمال المعادلة (2-13) كما يلي:

وتعرف المقاومة الحرارية في هذه الحالة على أنها فرق الجهد الحراري (Driving Potential) مقسومة على معدل الانتقال (Transfer rate) وهو تقريبا نفس التعريف للمقاومة الكهربائية حيث تعرف المقاومة الكهربائية كما يلي:

وبمقارنة المعادلتين (2-14) و (2-15) يتضح للعيان مدى التشابه بين المعادلتين لحساب المقاومة.

والمقاومة الحرارية في حالة انتقال الحرارة بالتوصيل يمكن تمثيلها لحائط مفرد كما في شكل (2-5) وكما أن هناك مقاومة حرارية لانتقال الحرارة بالتوصيل فإنه يمكن وبنفس الطريقة ولكن باستعمال قانون نيوتن للتبريد أن نعرف المقاومة الحرارية لانتقال الحرارة بالحمل. عند انتقال الحرارة عند سطح معين فإن قانون نيوتن ينص على:

ومن هذا القانون تعرف المقاومة الحرارية بالحمل كما يلي:

شكل (2-5): المقاومة الحرارية في حالة التوصيل الحراري فقط خلال حائط.

كما سبق فإن عمل رسم تخطيطي للدائرة الحرارية المشابهة للدوائر الكهربائية سيكون وسيلة سهلة لفهم وحل مسائل انتقال الحرارة. الشكل (2-6) يوضح كيفية رسم الدائرة الحرارية على نفس المنهج المتبع في رسم الدوائر الكهربائية. بالنسبة لحالة انتقال حرارة بالحمل على السطح كما يتضح من شكل (2-6) فإن معدل انتقال الحرارة خلال الحائط يكون ثابت ويمكن إيجاده بأي طريقة سواء باستعمال معدلة التوصيل الحراري خلال الحائط أو الحمل عند السطح وعليه يكون:

أ- في حالة حائط مفرد بدون حمل حراري كما في شكل (2-6)

ب- في حالة اعتبار انتقال الحرارة بالحمل على جانبي الحائط كما في شكل (2-6).

شكل (2-6): انتقال الحرارة خلال الحائط مفرد مع وجود حمل حراري وتوزيع درجات الحرارة والمقاومة الحرارية.

في هذه الحالة فإن معدل انتقال الحرارة (qx) يكون:

أو على الصورة:

حيث أن:

 : الفرق الكلي لدرجات الحرارة.

( ):المقاومة الكلية لانتقال الحرارة

يمكن إيجاد المقاومة الكلية ( ) على اعتبار ان انتقال الحرارة بالحمل والتوصيل يتم على التوالي فإن المقاومة الحرارية للدائرة الحرارية يمكن الحصول عليها بجمع مقاومات كل منها أي أن:

أو

وجدول (2-2) التالي توضح قيم المقاومة الحرارية للعديد من مواد البناء.

جدول (2-2): قيم المقاومة الحرارية لعديد من مواد البناء.

المادة   المقاومة (m2.K/W)

أسبستوس       0.03

خشب   0.14

جبس لوح       0.05

لوح أبلاكاش    0.04

طوب عادي     0.14

بلوك خرسانة   0.18

دهان طبقتين    0.03

الحائط المركب: Composite Wall

يمكن استعمال التشابه بين الحرارة والكهربية أيضاً في حالة الأشكال المركبة فمثلا في حالة الحوائط المركبة فهي قد تحتوي على أي عدد من الحوائط على التوالي أو التوازي إذا اعتبرنا الحائط المركب الموضح في شكل (2-7) على سبيل المثال فإن معدل انتقال الحرارة لهذا النظام في اتجاه واحد يمكن التعبير عنه على الصورة:

حيث:

 : الفرق الكلي لدرجات الحرارة.

 : المقاومة الكلية لانتقال الحرارة.

وعلى ذلك يكون:

وعليه فإن qx تحسب على أساس:

باستعمال فرق درجات الحرارة بين سطحي جزء (Element) من الحائط المركب وكذلك المقاومة الحرارية لهذا الجزء يمكن إيجاد معدل انتقال الحرارة (qx) كما يلي:

المعادلة السابقة توضح أن معدل انتقال الحرارة خلال الحائط الأول يتساوى مع معدل انتقال الحرارة خلال الحائط الثاني والثالث ....إلخ. وهذا صحيح إذا كانت الحوائط مرتبة على التوالي.

شكل (2-7): الدائرة الحرارية المكافئة لحائط مركب.

المعامل الكلي لانتقال الحرارة:

 Overall Heat Transfer Coefficient

في حالة الأنظمة المركبة (Composite Systems) يكون من الأفضل استعمال ما يسمى بطريقة المعامل الكلي لانتقال الحرارة والذي يرمز له بالرمز (U) ويمكن وصفه باستعمال قانون مشابه لقانون نيوتن للتبريد كما يلي:

حيث:

 : الفرق الكلي لدرجات الحرارة.

 : مقلوب المقاومة الحراريةالكليةأي (1/Rtot)

ويمكن تعريف المعامل الكلي لانتقال الحرارة باستعمال المعادلة:

وبصورة عامة فإن المقاومة الكلية لانتقال الحرارة تكتب على الصورة:

مثال (2-2):

تم تصميم باب فرن بمصنع بسكويت يتركب من طبقتين (A&B) من البلاستيك المقاوم للحرارة سمكه LA&LB وبحيث أن LA=2LB ومعامل التوصيل الحراري لهماهي kA= 1.15 w/m.k و kB = 0.08w/m.k إذا كان معامل الحمل للسطح الداخلي (hi) والخارجي (ho)وكذلك معامل الإشعاع الحراري (hr) متساوية وتعادل 25 w/m2.k ما هو أقل سمك للباب (L=LA+LB) بحيث لا تزيد درجة حرارة سطح الباب الخارجي عن   وذلك لدواعي السلامة. إذا علم أنه أثناء عملية التنظيف الذاتي تتساوى درجة حرارة السطح الداخلي للفرن مع الهواء داخل الفرن وتساوي   أما درجة حرارة هواء الغرفة  .

الحــل

تنتقل الحرارة من داخل الفرن إلى الخارج فتنتقل أولا بالحمل والإشعاع عند السطح الداخلي وبالتوصيل خلال طبقتي البلاستيك ثم بالحمل مرة أخرى عند السطح الخارجي، وعلى ذلك فإن الدائرة الحرارية والمقاومات المتصلة بها تأخذ الصورة التالية:

وحيث أن درجة حرارة الباب الخارجي (Tso) محددة فإنه لإيجاد سمك الباب يلزمنا إجراء الاتزان الحراري عند هذا السطح وهذا يعني أن الحرارة التي تصل إلى الجدار الخارجي تتساوى مع الحرارة التي تنتقل من هذا السطح إلى الوسط أي أن:

لكن الحرارة الداخلة من السطح إلى داخل الفرن تحسب كما يلي:

والحرارة الخارجة من السطح تحسب كما يلي:

وتكون المقاومة الكلية (Rtot) للحرارة الداخلة إلى الجدار من مقاومة بالحمل والإشعاع عل التوازي ومحصلة هاتين المقاومتين تتصل على التوالي مع مقاومتي التوصيل للطبقتين A,B كما يلي:

أو

وحيث أن:

وعلى ذلك يكون:

أو

وبالتالي فإن:

وعلى هذا يكون السمك الكلي:

انتقال الحرارة بالتوصيل في حالة تغير مساحة المقطع:

التحليل السابق مبني على أساس أن معدل انتقال الحرارة ثابت وأن المساحة المتعامدة على انتقال الحرارة لا تتغير بتغير المسافة (x) ولكن إذا حدث وأن تغيرت المساحة كما هو واضح من الشكل (2-11) فإن هناك طريقة أخرى للتحليل أساسها قانون فورير:

شكل (2-8): نظام به انتقال للحرارة بمعدل ثابت مع تغير في المساحة.

كما هو واضح في الشكل (2-8) بفرض أن (qx) ثابته فإن قانون فورير يمكن كتابته على الصورة التكاملية الآتية:

حيث أن مساحة المقطع عبارة عن دالة في المسافة ومعامل التوصيل الحراري (k) هو دالة في درجة الحرارة. لو أجرينا التكامل من نقطة ابتدائية (xo) والتي عندها تكون درجة الحرارة معرفة وتساوي (To) فإن نتيجة التكامل هو معادلة توزيع درجات الحرارة T(x). في حين أنه إذا كانت درجة الحرارة (T) تساوي (T1) عند مسافة (x=x1) معروفة لنا وأننا أجرينا التكامل بين النقطتين xo و x1 فإن نتيجة التكامل هو معادلة يمكن استخدامها لحساب معدل انتقال الحرارة (qx).

انتقال الحرارة خلال الأنظمة المحورية (Redial Systems):

الانحدار الحراري (Temperature Gradient) غالبا ما يكون في اتجاه المحور في كل الانظمة الاسطوانية والكروية ولذلك تعالج مثل هذه الحالات على أنها في اتجاه واحد فقط بالإضافة إلى أنه في حالة انتقال الحرارة بمعدل ثابت وبدون توليد للحرارة فإن نفس طرق التحليل التي اتبعت في حالة الإحداثيات الكرتيزية يمكن أن تتبع في حالة الأنظمة المحورية.

انتقال الحرارة خلال جدار الاسطوانة المجوفة (Cylinder):

إذا فرض وأن لدينا اسطوانة مجوفة وعرضنا سطحها الداخلي والخارجي لمائعين مختلفين في درجة الحرارة كما هو ممثل في شكل (2-9). وإذا فرض أن انتقال الحرارة في اتجاه واحد فقط هو الاتجاه المحوري وأنه لايوجد توليد للحرارة فإن المعادلة العامة لانتقال الحرارة في الأشكال الاسطوانية يمكن تبسيطها إلى:

شكل (2-9):انتقال الحرارة خلال اسطوانة مجوفة مع وجود حمل حراري عند السطح.

في المعادلة السابقة اعتبرنا أن معامل التوصيل الحراري (k) على أنه متغير. ولكن بفرض أن معامل التوصيل الحراري ثابت فإن المعادلة العامة (أو الحل العام) لتوزيع درجات الحرارة في الأشكال الأسطوانية يمكن الحصول عليه بحل المعادلة السابقة وذلك بتكاملها مرتين لتحصل على:

ولإيجاد ثوابت التكامل C1,C2 فإننا سوف نفترض حالات الإطار الآتية:

وبتطبيق هذه الحالات على الحل العام السابق نحصل على:

وبحل هاتين المعادلتين السابقتين في C1,C2 ثم بالتعويض بتلك القيم مرة أخرى في الحل العام نحصل على الحل العام التالي:

المعادلة السابقة توضح أن توزيع درجات الحرارة في اتجاه المحور لاسطوانة يكون لوغاريتمي وليس خطي كما في حالة الحائط تحت نفس الظروف. باستخدام معادلة توزيع درجات الحرارة السابقة مع قانون فورير يمكن الحصول على معادلة انتقال الحرارة في الأشكال الاسطوانية كما يلي:

وكما هو واضح من المعادلة السابقة فإن المقاومة الحرارية لانتقال الحرارة بالتوصيل في الأشكال الاسطوانية المجوفة تكون على الصورة:

ويجدر بنا أن نشير هنا إلى أن qr تكون مستقلة عن (r).

انتقال الحرارة بالتوصيل خلال الأشكال الأسطوانية المركبة:

Heat Conduction In Composite Cylindrical Wall:

يمكن معاملة الأشكال الأسطوانية المركبة الموضحة في شكل (2-10) بنفس الطريقة التي عاملنا بها الحائط المركب وعلى ذلك تكون صورة معدل انتقال الحرارة هي كما يلي:

  المعادلة السابقة يمكن كتابتها على الصورة التالية:

حيث:

A1: المساحة السطحية وتحسب كما يلي:

Rtot:المقاومة الكلية وتحسب كما يلي:

شكل (2-10): توزيع درجات الحرارة خلال حائط أسطواني مركب.

وعلينا أن ندرك أنه في المعادلة (2-35) قد اعتبرنا أن المعامل الكلي لانتقال الحرارة (U) يرتبط بالمساحة (A1) وهذا الاختيار عشوائي ويمكن اختيار أي سطح آخر وليكن مساحته (A1,A2,A3,…) حيث أن:

تحديد السمك الأمثل للعزل الحراري لأنابيب البخار:

في جميع المصانع الغذائية توجد أنابيب حاملة للبخار وعادة نحتاج إلى عزل مثل هذه الأنابيب حتى تقل الفواقد الحرارية. وعادة توجد تخانة مثلى للعزل الحراري بحيث أنه عند زيادة هذه التخانة تزيد المقاومة للتوصيل ولكن في نفس الوقت تقل المقاومة للحمل الحراري وذلك بسبب زيادة السطح الخارجي في هذه الحالة. ومشكلة تحديد السمك الأمثل للعزل الحراري للأنابيب تواجه كثير من العاملين في المصانع الغذائية لذا وجب علينا أن نتناولها في هذا الكتاب، وبصفة عامة فإن السمك الأمثل للعزل الحراري هو السمك الذي يحدث عنده أقل فقد حراري وتكون عنده المقاومة الحرارية أكبر ما يمكن، ولتحديدالسمك الأمثل دعنا نفترض أن لدينا أنبوبة رقيقة من النحاس ونصف قطرها ri تستخدم لنقل مادة تبريد ذات درجة حرارة منخفضة Ti أقل من درجة حرارة الهواء المحيط بالأنبوبة  .

في هذه الحالة فإن المقاومة لانتقال الحرارة بين مائع التبريد وهواء الغرفة تتضمن المقاومة للتوصيل خلال مادة العزل الحراري والمقاومة للحمل من السطح الخارجي إلى الهواء كما هو موضح بالدائرة الحرارية التالية:

وعلى ذلك فإن المقاومة الكلية لوحدة الطول من الأنبوبة تكون:

والسمك الأمثل للعزل الحراري هو السمك الذي تكون عنده المقاومة الكلية أكبر ما يمكن وبالتالي الفقد الحراري أقل ما يمكن، ويمكن الحصول على هذا السمك إذا ما فاضلنا المعادلة السابقة وساوينا التفاضل بالصفر (نهاية عظمى) وعلى هذا فإن الشرط يكون:

أو

ومن ثم نجد أن:

ومنها نجد أن:

أو

ونصف القطر r يسمى بنصف القطر الحرج (rc). إذا زاد سمك العزل الحراري عن قيمة rc أو قل عنها يزداد الفقد الحراري الذي بزيادته يزداد الفقد الحراري، وعلى ذلك يكون سمك العزل الحراري الأمثل هو x حيث:

مثال (2-3):

ماسورة من النحاس الأحمر الرقيق قطرها 10 mm عزلت بطبقة من الصوف الزجاج معمل التوصيل الحراري لها k = 0.055 W/m.K ما هو السمك الأمثل للعزل الحراري إذا كان معامل الحمل الحراري بين العزل والهواء h = 5 W/m2.K :

الحــل

سوف نبدأ أولا بتحديد نصف القطر الحرج (rc) الذي يكون عنده انتقال الحرارة أقل ما يكون باستخدام المعادلة (2-56)كما يلي:

وبذلك يكون السمك الأمثل للعزل الحراري x