اسئلة التصحيح الذاتي

أسـئـلـة الـتـصـحـيـح الـذاتـي : ( الـجـزء الأول )

1 - هل الجملة التالية صحيحة أم خاطئة ؟ علل

أ-إذا كانت سرعة مركز عطالة جسم ثابتة فإن مجموع القوى المطبقة عليه معدومة .

ب - إن العلاقة  :    =   تمكن في كل الحالات من تعيين تسارع مركز عطالة جسم.

ج - يوجد مالا نهاية من المراجع الغاليلية .

د - يوجد مالا نهاية من المراجع اللاغاليلية.

2 - ما هو الإقتراح الصحيح من بين الاقتراحات التالية ؟

أ - إن شعاع كمية الحركة لجسم لا يتغير بتغير المرجع الغاليلي.

ب - العبارة   = ك   لا تصح من أجل الجسيمات ذات السرعة الكبيرة

ج - إن العبارة عه = ك   الخاصة بجسم صلب هي صحيحة مهما كانت حركة الجسم ( دوران ، إنسحاب ، إنسحاب ، دوران )

3 - يخضع جسم صلب في مرجع غاليلي إلى مجموعة قوى محصلتها معدومة ويكون مركز عطالتها في البداية ساكناً . هل يمكننا أن نقول أن الجسم ساكن

4 - نطبق قوة ثابتة ق على متحرك كتلته "ك" وهو ساكن عين الإقتراح ( أو الاقتراحات ) الصحيحة :

أ - الحركة مستقيمة منتظمة.

ب - الحركة مستقيمة متغيرة بانتظام.

ج - كمية الحركة متناسبة مع الزمن.

د - المسافات المقطوعة متناسبة مع الزمن

ه - المسافات المقطوعة متناسبة مع مربع الزمن.

5 - أكتب عبارة الطاقة الحركية في الحالات التالية :

أ - حركة إنسحابية.

ب - حركة دورانية.

ج – حركة إنسحابية ودورانية معاً.

6 - ينزلق متزحلق كتلته 80 كغ ومركز عطالته (م) على مضمار مكون من جزئين أب ، ب ج يوجدان في نفس المستوى الشاقولي، الجزء الأول هو عبارة عن قوس أب مركزه م يوجد في شاقول        

النقطة "ب" ونصف قطره نق = 50 م ، والجزء ب ج عبارة عن مستقيم أفقي طوله ل = 50 م

ينطلق المتزحلق بدون سرعة إبتدائية من النقطة أ بحيث ( ، ) = =  .

أ - بإهمال الاحتكاكات أحسب سرعة المتزحلق في النقطة (د) حيث ( ، ) =  =   ثم في النقطة (ب).

ب - في الحقيقة توجد إحتكاكات على المسار أ ب ج مكافئة لقوة مماسية للمسار شدتها ثابتة ق وجهتها معاكسة لجهة الحركة.

إذا كان المتزحلق يصل إلى ج بدون سرعة ، فأحسب قيمة ق نأخذ ج = 9.8 م.ثا2.

أجوبة التصحيح الذاتي :

1 - أ -       ومن نظرية مركز العطالة

      ك = فالعبارة صحيحة.

ب - العبارة خاطئة لأنه إذا كانت سرعة الجسم قريبة من سرعة الضوء فإن عبارة كمية الحركة   = ك   تصير غير صالحة للتطبيق ونطبق عندئذ قوانين الميكانيك النسبوي بدلاً من الميكانيك الكلاسيكي.

ج - بما أن كل مرجع يتحرك حركة مستقيمة منتظمة بالنسبة لأي مرجع غاليلي هو مرجع غاليلي ، إذن يوجد ما لانهاية من المراجع الغاليلية .

د - العبارة صحيحة أيضاً لأن كل مرجع لا يتحرك حركة مستقيمة منتظمة بالنسبة لمرجع غاليلي هو مرجع غير غاليلي

2 - أ - إن شعاع كمية الحركة لجسم لا بتغير المرجع إذا كان هذا الأخير غاليليا.

ب - نعم - ( أنظر الجواب 1 ب )

ج - نعم - العبارة    = ك   تصلح مهما كانت حركة الجسم الصلب  ( إنسحابية - دورانية - إنسحابية ودورانية ).

3 - لا - لأن الجسم يمكنه أن يكون في حالة دوران حول محور مار بمركز عطالته.

4 - أ - اقتراح خاطئ.

ب - إقتراح صحيح.

ج - نعم إقتراح صحيح لأن :

   =      (ك  )=   = 

ومنه [ك    

ومنه  :  =   ز

بما أن ق ثابتة إذن كمية الحركة تتناسب مع الزمن.

د - لا - لأن الحركة ليست مستقيمة منتظمة بل مستقيمة متغيرة بانتظام

ه - نعم - لأن الحركة مستقيمة متغيرة بانتظام والاقتراح صحيح.

5 - أ - عبارة الطاقة الحركية لجسم في حركة إنسحابية : طح =   ك سر2

ب - عبارة الطاقة الحركية لجسم في حركة دورانية : طح =   عط سه2

ج - عبارة الطاقة الحركية لجسم في حركة إنسحابية ودورانية معاً : طح =   ك سر2 +   عط سه 2

6 - أ - بتطبيق نظرية الطاقة الحركية على المتزحلق في مرجع أرضي غاليلي بين اللحظتين   ،

  نجد :  = طح = 

  -   = عم ( ) + عم ( ) . . . . . (1)

حيث ث ثقل الجملة  ر فعل المضمار عليها.

*   =   ك 

*  =      ك   = 0 ( لأن المتزحلق ينطلق من السكون )

*   = ث . ق = ك . ج أَ دَ . . . . . . . . (2)

حساب أَ دَ :

أَ دَ = م دَ - م أَ

في المثلث م د دَ لدينا تجب  =   = م دَ تجب  = نق تجب 

في المثلث م أ أَ لدينا : تجب =   = م أَ = م أَ تجب = نق تجب  

ومنه : مَ دَ = نق تجب    - نق تجب 

أَ دَ = نق ( تجب   - تجب  )

بالتعويض في (2) نجد :

*  = ك ج نق ( تجب   - تجب   )،

لدينا *   = 0 لأن   عمودي على المسار في كل لحظة

إذن نكتب :

  -   =   + 

على الشكل :

  ك   = ك ج نق ( تجب   - تجب )

ومنه نجد :

     18.9 م/ثا

حساب سرعة المتزحلق في النقطة (ب) :

- بإتباع نفس الطريقة نجد :   

حيث   = ( ) = 0

ومنه :

  =    22.1 م/ثا

ب - نطبق نظرية الطاقة الحركية على المتزحلق بين الوضعين أ ، ب :

 طح =  ،

  -   =   +   + 

  ك   - 0 = ث أَ ب + 0 - ق .  ،

  ك   = ك ج نق ( 1 - تجب ) - ق .  . نق . . . . . . . .(3)

نطبق نظرية الطاقة الحركية بين الوضعين ب ، ج :

 طح = 

  -   =   +   + 

0 -   ك   = 0 + 0 - ق  ب ج

  ك   = ق  ب ج ، ب ج = نق

  ك   = ق . نق . . . . . . . (4)

(3) ، (4) نجد : ق نق = ك ج نق ( 1 - تجب ) - ق  نق

. ق نق + ق  نق = ك . ج نق( 1 - تجب ) ،

ق نق ( 1 +  ) = ك.ج نق ( 1 - تجب ) ،

ق = 

ق =    191 ن.

تطبيقات نظرية مركز العطالة

أهداف الدرس :

1 - يكتسب منهجية لحل مسائل الديناميك باستعمال نظرية مركز العطالة

2 - يستنتج أن محصلة القوى في حركة دائرية منتظمة تكون جاذبة مركزية.

المدة الزمنية : 4 ساعات

المراجع : كتابي الفيزياء للسنة الثالثة ثانوي - المعهد التربوي

- كتاب فيزياء خارجي

1 - حركة مركز عطالة جسم ينزلق على مستو مائل.

2 - النواس المخروطي.

3 - إجتياز منعطف.

4 - طريقة حل مسألة في الديناميك.

- أسئلة التصحيح الذاتي.

- أجوبة التصحيح الذاتي.

6 –حركة مركز عطالة جسم ينزلق على مستو مائل

يترك جسم صلب كتلته "ك" لينزلق بدون إحتكاك

على مستوى مائل بزاوية () على المستوي الأفقي  (شكل1 )

لدراسة حركة هذا الجسم :

- نختار مرجعاً غاليليا مناسبا وليكن المخبر  

ونزودهبمعلم مناسب وليكن المعلم المتعامد المتجانس ( م ،   ،   )

- نحصى القوى الخارجية المؤثرة على الجسم وهي في هذه الحالة

ثقله   = ك   : إتجاهه شاقولي نحو الأسفل

فعل المستوي المائل على الجسم ر وهو عمودي

على المستوي المائل لعدم وجود الإحتكاك -

           ( الشكل 2 ) 

- نطبق نظرية مركز العطالة على الجسم في المعلم ( م ،   ،   )

  = 

حيث  : تسارع مركز عطالة الجسم ،

ومنه نكتب :   +   =   . . . . . . (1)

بإسقاط العلاقة (1) على المحورين م س ، م ع (الشكل 3) نجد :

- على م ع : ر – ث تجب  = 0 لأنه لا توجد حركة وفق عَ ع.

ومنه :   ث تجب  = ر . . . . . . (2)

بالإسقاط عل م س :

ث جب =  ،

ونكتب :

ك ج جب =  ،

ومنه نجد :

          

 = ج جب ،

. . . . (3)

من هذه العلاقة نستنتج أن :

تسارع مركز عطالة الجسم على المستوي المائل لا يتعلق بكتلة الجسم وإنما يتعلق بتسارع الجاذبية الأرضية في مكان التجربة (ج) وبزاوية ميل المستوي ()

ففي مكان معين ومن أجل زاوية ميل ثابتة يكو =   ثابتاً وتكون حركة الجسم مستقيمة متسارعة بانتظام.

- أما في وجود قوى إحتكاك فإن الدراسة تكون كالتالي .

نتبع نفس الخطوات السابقة :

- نختار مرجعا غاليليا ونزوده بمعلم،

-  نحصي القوى المؤثرة مع ملاحظة أن رد

          

  الفعل يكون مائلاً في الاتجاه المعاكس للحركة ،

 نحلله إلى مركبتيه                                             ( الشكل 4 )

  : عمودية على المستوي المائل :

 : موازية للمستوي المائل وتمثل قوة الإحتكاك المعيقة للحركة.

نطبق نظرية مركز العطالة على الجسم في المعلم ( م ،  ،   ) :

  =  ،     : تسارع مركز عطالة الجسم.

 +   =   ،

بالإسقاط على م ع نجد : رَ - ث تجب = 0 ، لأنه لا توجد حركة على م ع

ومنه :   رَ = ث تجب 

بالإسقاط على م س نجد : ث تجب - مق =   ،

ومنه يكون تسارع مركز عطالة الجسم :

  =  = 

نلاحظ من هذه العلاقة أن تسارع مركز عطالة الجسم في هذه الحالة  يتعلق بكتلة الجسم.

ملاحظة :

إذا كانت : مق = ث جب ، فإن   = 0

ومنه فإن الجسم يبقى ساكناً إذا ترك على المستوي المائل بدون سرعة إبتدائية ، أو يكون متحركاً بحركة مستقيمة منتظمة إذا أرسل على المستوي المائل بسرعة إبتدائية نحو الأسفل.

إذا كانت : مق  ث  جب  ، فإن    0 وتكون حركة الجسم مستقيمة متسارعة بإنتظام نحو الأسفل.

- تمرين :

- ينطلق متزحلق كتلته مع تجهيزه 80 كغ على مضمار مستو يميل على الأفق بزاوية  = °30

1 - المضمار مملوء بالجليد أي أن الاحتكاكات تعتبر مهملة.

أ - أحسب تسارع مركز عطالة المتزحلق   ،

ب - نفرض أن للمتزحلق ينطلق بسرعة إبتدائية   = 2 م/ثا،

أحسب سرعته   عندما يقطع مسافة ل = 25 م،

ج – أكتب المعادلة الزمنية لحركة المتزحلق بأخذ نفس الشروط  الإبتدائية السابقة  نعتبر

ج = 9.8 م /   

الحل :

1 – المضار مملوء بالجليد

- الجملة المدرسية : المنزحلق مع تجهيزه،

- المرجع المستعمل : المرجع الأرضي ( غاليلي ) المزود بالمعلم  

- القوى المؤثرة على الملة هي   ( الشكل )

- نطبق نظرية مركز العطالة على الجملة :

  =  ، :  +   =   ،

- الحركة تتم وفق المحور سَ س ، نسقط العلاقة الشعاعية ( 1 ) على هذا المحور :

ث جب  =  ،

ك جب  =   

=  9.8 

ب – لدينا :  = ثابت ، و منه فالحركة مستقيمة متغيرة بإنتظام و منه نكتب المعادلات :

و حسب الشروط الإبتدائية للحركة فإن:

 ،   من العلاقة ( 4 ) نجد :

  = ل = 25 م

 

ج – المعادلة الزمنية للحركة : بتعويض  في ( 1 ) نجد :

  ،

  ،

2 - المضمار  مملوء بثلج

-       الجملة المدروسة : المتزحلق مع تجهيزه ،

- القوى المستعمل المرجع الأرضي

 ( غاليلي) المزود بالمعلم 

القوى المؤثرة على الجملة هي  ( الشكل )

- نطبق نظرية مركز العطالة على الجملة ك

  =     ،

          = 

بالإسقاط على محور سَ س

نجد : ث جب   - مق =  ،

                                                                = 3.9 م /  .

ب – لدينا   = ثابت فالحركة مستقيمة متغيرة بانتظام و منه نكتب المعادلات :

و حسب الشروط الإبتدائية للحركة فإن 

من العلاقة ( 4 ) نجد :

   =  = 

لاحظ أ ن    >    بسبب و جود الإحتكاكات .

ج – المعادلة الزمنية للحركة : بتعويض  في المعادلة ( 2 ) نجد :

 6 - 2 النواس المخروطي :

يتكون النواس المخروطي

من خيط مهمل الكتلة

طوله "ل" يحمل في إحدى

 نهايتيه جسماً صلباً

 نقطياً كتلته "ك" ونهايته

الأخرى مثبتة في نقطة ثابتة      الشكل    

 (أ) من ساق شاقولي يديرها محرك كهربائي، من أجل سرعة زاوية معينة ( سه =  ) للساق يبدأ الجسم المعلق في الإبتعاد عن الساق ويزداد بعده عنها كلما زادت السرعة الزاوية. ومن أجل سرعة زاوية ثابتة سه    يرسم الخيط مخروطاً دورانياً رأسه (أ) ونصف زاويته الرأسية  () كما يرسم الجسم النقطي دائرة واقعة في مستو أفقي مركزها (ه) يقع على الساق ونصف قطرها نق = ل جب . ( الشكل أعلاه )

لذا تسمى هذه الجملة  ( خيط + جسم ) النواس المخروطي.

- عند دراسة النواس المخروطي نبين :

أ - العلاقة بين نصف الزاوية الرأسية وسرعة الدوران ( سه )،

ب - العلاقة بين توتر الخيط وسرعة الدوران،

ج - سرعة الدوران الصغرى التي من أجلها يبتعد الجسم عن الساق ،

د - دور الحركة وتواترها.

وسنتبع المنهجية المعتمدة عند دراستنا لجسم ينزلق على مستو مائل.

الجملة المدروسة هي : الجسم النقطي.

- المرجع المختار هو : المرجع الأرضي المزود بالمعلم ( م ،   ،  ) ،

- القوى المؤثرة هي الجملة المدروسة هي   ،  

( توتر الخيط )

- نطبق نظرية مركز

 العطالة على الجملة المدروسة

 في المعلم ( م ،   ،  ) :

          

 = ك 

  +   = ك   . . . . . . . (1)

بما أن سرعة الدوران ثابتة فإن الحركة دائرية منتظمة ومنه فإن تسارعها هو التسارع الناظمي   =   = سه2 نق  ،

ومنه نكتب العلاقة (1) على الشكل :

  +   = ك   . . . . . . . (2)

بإسقاط على م س : تو جب  = ك  ،

                             تو جب  = ك سه2 نق   ، نق = ل جب 

                             تو جب = ك سه2 ل جب ،

          

تو = ك سه2 ل . .  . (3) وهي العلاقة بين

التوتر والسرعة الزاوية،وهي تبين أن التوتر يتناسب طردياً مع مربع السرعة الزاوية.

- بالإسقاط على م ع نجد :

          تو تجب - ث = 0

تو تجب = ث       تو =   =  

. . . . (4)

وهي العلاقة بين التوتر ونصف الزاوية الرأسية ()

بتعويض (3) في (4) نجد :

 ك  سه2 ل =   

سه2 ل =    

سه = 

. .. . . . . (5)

وهي العلاقة بين نصف الزاوية الرأسية () وسرعة الدوران (سه)

- وجدنا أن سه2 ل =      تجب =    1   ،

سه2      ،

و منه سه    

وتكون أصغر سرعة زاوية تدار بها الجملة بحيث

تبتعد عن المحور هي :       =     . . . . . . . . . (6)

ويمكن حساب دور الحركة وتواترها إنطلاقاً من السرعة الزاوية ( سه) ذلك أن :

سه = 2  ن   ن =  

سه =     د =   .

ملاحظات :

- يمكننا إيجاد العلاقات السابقة ( 3 ، 4 ، 5 ) إنطلاقاً من مثلث القولى م د ب ( الشكل السابق ) :

جب  =    تو =   =   ، ومنه :

تو = ك  سه2 ل

تجب  =      تو =     ،

2 - إذا عوض الخيط بنابض مرن فإن طول النابض أثناء الدوران ( بسرعة زاوية ثابتة ) هو :

ل =   + ل ، حيث   : طول النابض وهو فارغ،

                        ل : مقدار إستطالته

ويكون التوتر عندئذ : 

تو = ك  سه2 ل = ثا . ل     حيث "ثا" ثابت مرونة النابض

إن هذه العلاقة الأخيرة عزيزي الطالب، تمكن من حساب إستطالة النابض أو ثابت مرونته إذا علم التوتر.

تمرين :

يتكون نواس مخروطي من جسم صلب أبعاده مهملة كتلته ك = 20 غ وخيط مهمل الكتلة  وعديم الإمتطاط طوله ل = 50 سم

1 - عين قيمة الزاوية ( ) التي يصنعها الخيط مع الشاقول المار بمحور الدوران عندما تكون السرعة الزاوية سه = 7.33 راد/ثا ، ثم أحسب توتر الخيط ودور النواس.

2 - ما هي أصغر سرعة زاوية تجعل النواس يبتعد عن الشاقول ؟

وما دور النواس عندئذ ؟ نعتبر ج = 9.8 م/ثا2.

الحل :

1 - بإتباع المنهجية المعتمدة في الدرس :

 الجملة المدروسة هي : الجسم الصلب،

 المرجع المختار : مرجع أرضي مزود بالمعلم ( م ،  ، ) ،

القوى المؤثرة على الجملة هي :   ،  نطبق نظرية مركز العطالة على الجملة :

 = ك 

  +   =   ( الشكل السابق )

بعد الإسقاط على المحورين م س ، م ع وبالتعويض نجد :

سه2 ل =      تجب =    ،

                             تجب =   = 0.365  ،

                             ومنه    = 69°   .

من العلاقة تو = ك سه2 ل

نجد : تو =   0.5    = 0.54  ن

دور النواس: سه =     د =   =   = 0.86 ثا.

2 - أصغر سرعة زاوية :

  =     =   = 4.4 راد/ثا.

ويكون دور الحركة عندئذ :

  =     =  

3 – إجـتـيـاز مـنـعـطـف:

ندرس اجتياز منعطف من خلال المثال التالي :

يسير دراج في منعطف مرفوع بزاوية( ) عن المستوى الأفقي نفرض أن الاحتكاكات بين الطريق والدراجة مهملة.

إذا كان نصف قطر المنعطف هو " نق " فاحسب السرعة التي يجب أن يسير بها الدراج بحيث يجتاز المنعطف دون أن ينزلق.

تطبيق عددي :

  = 5°  ، نق = 250 م ، ج = 9.8 م/

الحل :

- الجملة المدروسة هي : الدراج مع دراجته

- المرجع المختار : مرجع أرضي غاليلي

-  إن مسار مركز عطالة الجملة (م) ونصف قطرها "نق" وهي توجد في مستو عمودي على مستوي الشكل المقابل،

- القوى المطبقة على الجملة هي :

 الثقل   =     ورد فعل الطريق ر العمودي على الطريق لعدم وجود الاحتكاكات ( الاحتكاكات مهملة).

بما أن الدراج يجتاز المنعطف بسرعة ثابتة فإن الحركة تكون دائرية منتظمة وتكون محصلة   و   قوة متجهة نحو مركز الدائرة (م) وتسمى قوة جاذبة مركزية :   = ك  ( : التسارع الناظمي )

ونكتب :  +   = 

لدينا في مثلث القوى م ج د :

ظل   =   ، حيث ق = ك  = ك      ،

ظل   =   =      ،

  سر2 = ج نق ظل  .

سر =   =   = 14.6 م/ثا.

تمرين : كتلة دراج مع دراجته : ك =450 كغ، تسير الجملة على منعطف أرضية مستوية وأفقية ونصف قطره : نق = 200 م ، بسرعة سر إذا كانت المركبة المماسية لرد الفعل لا يمكنها أن تتجاوز القيمة الحدية 1200 ن فأحسب :

أ - أقصى سرعة ممكن أن يسير بها الدراج.

ب - الزاوية التي يجب أن يميل بها الدراج مع دراجته حتى لا ينزلق                 ج = 9.8 م/ثا2

الحل :

أ - نطبق نظرية مركز العطالة على الجملة في مرجع أرضي نجد :

 +   = ك   . . . . . . .(1)

نحلل   إلى مركبتيه المماسية 

والناظمية  ومنه   = 

ونكتب العلاقة (1) على الشكل :

  +   = ك   (  +  = 0 )

بالإسقاط على محور أفقي موجه نحو مركز المنعطف نجد :

  = ك تع . . . . . . .(2)

سر = ثابت    ( تسارع ناظمي )

ونكتب العلاقة (2) كما يلي :

  = ك  ومنه نجد :    سر =   =   = 23.1 م/ثا

ب - الزاوية التي يجب أن يميل بها الدراج حتى لا ينزلق

ظل  =     =   =    = 0.272 ،

ومنه :   = 15°

4 – طريقة حل مسألة في الديناميك

لحل مسألة في الديناميك نتبع الخطوات التالية :

- نعين الجملة المدروسة

- نختار مرجعا غاليليا مناسباً ونزوده بمعلم مناسب.

- نحصي القوى المؤثرة في الجملة ( يجب رسم الجملة ).

نحدد جهة الحركة.

إما أن نطبق : نظرية مركز العطالة :على أجزاء الجملة المتحركة حركة إنسحابية ونكتب

 = ك 

ونظرية التسارع الزاوي : على أجزاء الجملة المتحركة حركة دورانية  ونكتب :      ونسقط العلاقات الشعاعية على محور الحركة ونأخذ القيم الجبرية لمساقط العلاقات الشعاعية ومن ثم نستنتج تسارع الحركة وبالتالي طبيعتها ثم نجري الدراسة الحركية بعد تعيين الشروط الإبتدائية

ونطبق : نظرية الطاقة الحركية : طح =   عم بعد تعيين الوضعين الإبتدائي والنهائي للجملة.

وتمكننا نظرية الطاقة الحركية من تعيين سرعة الجملة مباشرة.

تطبيق أول : آلة آتود :

علقت كتلتان  = 135 غ ،  = 110 غ في نهايتي خيط يمر على محز بكرة مهملة الكتلة يمكنها الدوران حول محور أفقي ثابت مار بمركز تحرر الجملة في اللحظة ز = 0 بدون سرعة إبتدائية

أ - ما طبيعة حركة   و   ؟

ب - أحسب تسارع كل من   ،   وإستنتج شدة توتر الخيط.

ج - أحسب المسافة التي تقطعها الكتلة  , بعد 2 ثا من بدء الحركة وسرعتها عند هذه اللحظة.   نعتبر ج = 9.8 م/. وكتلة الخيط والإحتكاكات مهملة.

الحل :

أ - نطبق نظرية مركز العطالة على   في مرجع أرضي غاليلي :  = ك     ،

  +  =     ،

بالإسقاط على محور الحركة :      0

  -  =   تع    =   -   تع. . . . . .(1)

نطبق نظرية مركز العطالة على   في مرجع أرضي غاليلي :

   +  =     ،

بالإسقاط على محور الحركة :

  -    =   تع    =   +   تع . . . . . . (2)

بما أن البكرة مهملة الكتلة :   = 

  -   تع =   +   تع ،

  -     = تع +   تع ،

  ج -   ج    = تع +   تع ،

(   -  )= (  +  ) تع

 تع =    ج = ثابت

تع = ثابت  حركة الكتلتين   = ،   مستقيمة متغيرة بإنتظام.

حساب تع : تع =  

توتر الخيط : من (1) نجد :  =   ( ج -  تع )

                                   = 135 .  ( 9.8 - 1) ،

                                   = 135 .   (9.8)  1.19 ن

ج - ) حساب المسافة والسرعة بعد 2 ثا من بدء الحركة :

الحركة مستقيمة متغيرة بانتظام معادلاتها :

س =   ،

سر= 

حسب الشروط الإبتدائية : ز = 0  = 0  ،   = 0

إذن : س =    س =  (1) (2)2 = 2 م

سر = تع ز   سر = 1   2 = 2 م/ثا.

ملاحظة :

 يمكن حل التمرين بتطبيق نظرية الطاقة الحركية كما يلي :

- الوضع الإبتدائي : الوضع 1

- وضع كيفي : الوضع 2

عندما تنزل الكتلة   مسافة ع نطبق نظرية الطاقة الحركية على الجملة 

(  + + بكرة) في مرجع غاليلي :

 طح =  عم

  -   = عم + عم  ،

( ) - ( ) =  ع -  ع

وحسب الشروط الإبتدائية : ز = 0     = 0 

إذن :   =   ج ع -  ج ع.

 (   + ) = (  -  ) ج ع       ج ع (1)

إن المقدار :   ج = ثابت

ومنه نكتب :  = ثا.ع    تتناسب طردياً مع المسافة ع. وبالتالي فالحركة مستقيمة متغيرة بإنتظام ومنه نكتب :

  = 2 تع ع . . . . . . (2)

بمطابقة (1) و (2) نجد : تع =   ج ،

ونكمل الحل بالطريقة السابقة.

تطبيق ثان :

يتحرك جسم (أ) كتلته   = 500 غ بدون إحتكاك على مستو يميل على الأفق بزاوية = 30  ، يثبت خيط عديم الإمتطاط ومهمل في (أ) ثم يمرر على محز بكرة مهملة الكتلة موضوعة في قمة المستوى المائل     

 تحمل النهاية الثانية للخيط جسماً (ب) كتلته  = 300 غ . يوجد على إرتفاع 1.5 م من سطح الأرض يحرر الجسم (أ) إبتداءاً من النقطة (م) في اللحظة ز = 0 بدون سرعة إبتدائية

1 - أحسب تسارع الجملة ،

2 - أحسب زمن وصول الجسم (ب) إلى الأرض وسرعته عندئذ ثم أحسب طاقته الحركية.

نأخذ ج = 10 و.د

الحل :

1 - نطبق نظرية مركز العطالة على (أ) في مرجع أرضي غاليلي :    =    تع

  +   + ر =   تع

بالإسقاط على محور الحركة :

  -   جب  =   تع    =   جب   +   تع . . . . (1)

          

نطبق نظرية مركز العطالة على (ب) في مرجع أرضي غاليلي :

    =    تع  +    =   تع ،

بالإسقاط على محور الحركة :

  -   =   تع      =   -   تع . . . . . . (2)

بما أن البكرة مهملة الكتلة فإن :   =   ،

  جب  +   تع  =   -   تع ،

-  ج جب   +  ج =   تع +   تع ،

(  -   جب  )ج  = (  +   ) تع ،

ومنه :   تع =  ج = ثابت

ومنه فإن حركة الجسمين أ ، ب مستقيمة متغيرة بإنتظام ،

تع =    10 ،

تع = 0.625 م/ثا2 .

2 - زمن وصول (ب) إلى الأرض وسرعته وطاقته الحركية عندئذ

* تع = ثابت  حركة (ب)، (أ) مستقيمة متغيرة بإنتظام معادلاتها :

س =   ،

سر= 

حسب الشروط الإبتدائية : ز = 0  = 0  ،   = 0

إذن : س =    ز =  =   2.2 ثا

سر = تع ز   سر = 0.625  2.2  1.37 م/ثا

طح =   =    0.3  (1.37 )2 = 0.28 جول

أسئلة التصحيح الذاتي :

1 - تنزل سيارة كتلتها 1100 كغ في منحدر ميله 8% ( ينقص الإرتفاع بالنسبة للمستوي الأفقي ب 8 م عندما تقطع السيارة 100 م ) بحيث يكون محركها غير مشغل وكوابحها غير مشدودة ، فتصل سرعتها إلى 65 كم /سا بعد زمن قدره 45.1 ثا.

أ - أحسب  تسارعها إذا كانت حركتها متسارعة بإنتظام وسرعتها الإبتدائية معدومة.

ب - أحسب شدة قوة الإحتكاك

ج - ما هي المسافة المقطوعة خلال هذه المدة الزمنية  نأخذ ج = 9.8 م/ثا2

2 - تصعد سيارة كتلتها ك = 1200 كغ طريقاً مستقيماً ميله 10% ( يرتفع الطريق ب 10 م من أجل مسافة مقطوعة قيمتها 100 م ) بسرعة ثابتة سر = 90 كم / سا بحيث لا يعيق حركتها أي قوة ما عدا ثقلها.

أ - أحسب شدة القوة المحركة  ،

ب - يوقف المحرك عن التشغيل في لحظة (ز) تؤخذ كمبدأ  للأزمنة ( ز = 0 )

وتكمل السيارة صعودها ، في أي لحظة  تتوقف ؟

ما هي المسافة التي تكون  قد قطعتها عندئذ إبتداءاً من نقطة توقيف المحرك ؟

أعط طريقتين لحل هذا السؤال.

ج - أجب عن السؤال (ب) بفرض أن السيارة تخضع لقوة كبح مق شدتها ثابتة مق = 300 ن.

نأخذ ج = 9.8 م/ثا2.

3 - لدينا نابض ذو حلقات غير متلاصقة طوله وهو فارغ  وثابت مرونته ثا، نهمل كتلة النابض، نلف النابض حول ساق م ص ملحمة في م بساق شاقولية ( ) وبحيث يصنع مع ( ) زاوية نحو الأسفل (  = 90° ).     

نثبت إحدى نهايتي النابض في م ونعلق في النهاية الأخرى جسماً (ج) كتلته ك يمكنه الإنزلاق على م ص.

آ - الجملة ساكنة :

أ - عين مختلف القوى المطبقة على (ج) الذي يفرض نقطياً.

ب - عبر عن إستطالة النابض  وشدة القوة المطبقة من كطرف الساق على (ج) وكذلك شدة توتر النابض تو.

تطبيق عددي:  = 15 سم ، ثا = 20 ن/م ، = 33° ،ك = 150 غ ، ج = 9.81 م/ثا2.

ب - الجملة تدور الآن حول ( ) بسرعة زاوية ثابتة سه بحيث لا يهتز النابض ويبقى طوله ثابتاً ،

أ - عين مسار (ج) ،

ب - عبر عن طول النابض وأحسب من أجل = 6 را/ثا ثم من أجل = 10 راد/ثا بأخذ نفس القيم العددية ل  ، ثا، ، ج، ك في السؤال آ

ج - عبر عن شدة فعل الساق على (ج)  بدلالة ك، ج،، سه، ثم أحسبها من أجل = 6 را/ثا، = 10 راد/ثا

د - بين أن فعل الساق على (ج) ر ينعدم من أجل قيمة خاصة للسرعة الزاوية ( سه ) يطلب حسابها.

التصحيح الذاتي :

1 - الحركة مستقيمة متسارعة بإنتظام إذن معادلة سرعتها :

سر = تع ز +  ،

ومنه تع =   ،

سر = 65 كم/سا =  م/ثا ،

إذن : تع =   =   = 0.4 م/ثا2.

ب - نسمي قوة الإحتكاك مق وهي قوة حاملها مواز للمستوي المائل ( الطريق ) وجهتها معاكسة لجهة الحركة.

نطبق نظرية مركز العطالة على السيارة في مرجع أرضي نعتبره غاليليا :

    = ك 

   =     +   +   = ك 

بالإسقاط على محور الحركة سَ س نجد :  - مق = ك تع،

                                           ك ج جب  - مق = ك تع             

ومنه : مق = ك ج جب  -  ك تع،

مق = ك ( ج جب  -  تع ) ،  جب  =   = 0.08 ،

مق = 1100 ( 9.8 0.08 - 0.4 ) = 1100 0.384 = 422 ن

جـ – الحركة متسرعة بانتظام معادلتها :

س =  ،

   = 0 لأن السيارة إنطلقت من السكون في اللحظة ز = 0 ،

ومنه : س =   ،

            س -   = س =   ،

أي  س =   = س =     0.4 (45.1)2 = 407 م

2 - أ - نطبق نظرية مركزالعطالة على السيارة في مرجع أرضي غاليلي :

   = ك 

=     +   +   = ك 

بالإسقاط على المحور سَ س نجد :

  -   = ك تع ،

  - ك ج جب = ك تع   = ك ج جب + ك تع

                                = ك ( ج جب  + تع )

بما أن السرعة ثابتة فالحركة مستقيمة منتظمة ومنه تع = 0

  = ك ج جب ،

جب  =  = 0.1 ، ومنه   = 1200  9.8  0.1 = 1176 ن

ب - توقيف المحرك يعني   = 0 ومنه فالسيارة لا تخضع إلا لثقلها وفعل الطريق عليها.

نطبق على السيارة نظرية مركز العطالة في معلم أرضي غاليلي :

   = ك 

  +   +  = ك 

بالإسقاط على المحور سَ س :

-   = ك تعَ

- ك ج جب = ك تعَ  تعَ = - ج جب

                          تعَ = - 9.8   0.1 = - 0.98 م/ثا2

وحيث أن تعَ ثابت فالحركة مستقيمة متغيرة بإنتظام، ومنه نكتب :

 = تعَ   +      =   ،

حيث   : السرعة في نهاية الحركة المتباطئة   = 0 ،

 : السرعة في نهأية المرحلة الأولى وهي ثابتة   = 90كم/سا.

  =   م/ثا = 25 م/ثا

حساب الزمن   :

  =   = 25.5 ثا

حساب المسافة المقطوعة في اللحظة   = 25.5 ثا

- الطريقة الأولى  س =  

                         س -   =   ،

                      س -   =  (25.5)2 + 25   25.5 = 319م.

- الطريقة الثانية :   = م تعَ ( س -   )

   س -   =  

س -   =   =   = 319 م.

أو بتطبيق نظرية الطاقة الحركية نصل إلى نفس النتيجة

ج - نطبق نظرية مركز العطالة على السيارة في مرجع أرضي غاليلي :

   = ك 

=     +   +  = ك 

بالإسقاط على سَ س نجد :

          

- ك ج جب  - مق = ك تعً   تعً =   = ثابت

ومنه فالحركة مستقيمة متغيرة بانتظام.

تعً = -   = - 1.23م/ثا-2

ويكون زمن التوقف   =   =   = 20.3 ثا

والمسافة المقطوعة خلال هذا الزمن :

- الطريقة الأولى : سَ -   = 

                       سَ -   =   = 254 م

- الطريقة الثانية :

سَ -   =    =   =  = 254 م

3 - آ - الجملة الساكنة :

أ - نعين مختلف القوى المطبقة على (ج) :

 : ثقل (ج) شاقولي نحو الأسفل ث = ك ج

 : توتر النابض ، حامله وحهته نحو (م)

تو = ثا  ل،

  فعل الساق على (ج) حامله عمودي على م ص ،

 جهته نحو الأعلى.       

ب - إستطالة النابض وتوتوه :

نطبق نظرية مركز العطالة على (ج) في مرجع غاليلي :

   = ك    =     +   +   =  ، بالإسقاط على م ص نجد :

ث تجب - تو = 0   ث تجب = تو = ثا        = 

تطبيق عددي :    =   = 0.0617 سم = 6.2 . 10-2 م

ومنه   = ثا   = 20  6.2 . 10 -2 = 1.24 ن

ويكون فعل الساق على (ج) : بالإسقاط على (ج ن ) :   - ث جب  = 0.

      = ث جب = ك ج جب = 0.15 9.18  0.544 = 0.8 ن.

  = ث جب = ك ج جب   = 0.15  9.81  0.544 = 0.8 ن.

ب - الجملة الآن تدور :

أ - نعين مسار ج :

إن مسار (ج) هو دائرة محورها ( )ونصف قطرها

نق = ج ه = م ج جب .

نق = م ج جب =  جب.

وتوجد هذه الدائرة في مستو عمودي على (  ) أي في مستو أفقي.

          

ب - عبارة طول النابض  :

السرعة ثابتة ومنه فالحركة دائرية منتظمة تسارعها تع =  =               تع =  = سه2نق =  سه2 ل جب ، حامله ( ج ه) وجهته نحو ه.

بتطبيق نظرية مركز العطالة على (ج) في مرجع أرضي غاليلي نجد :

   = ك   ،

=     +   +  = ك   ،

بالإسقاط على ( ج ص ) نجد :

ث تجب - تو = - ك تع جب ،

ك ج تجب  - ثا ل = - ك سه2   جب جب ،

ك ج تجب - ثا (  -   ) = - ك سه2   جب2 ،

ك ج تجب + ثا  = ثا  - ك سه2  جب2 ،

ك ج تجب + ثا  =   ( ثا - ك سه2جب2 )

ومنه :   = 

تطبيق عددي :

من أجل   = 6 راد/ثا       = 0.230 م.

                = 10 راد/ثا      = 0.272 م.

جـ – شدة فعل الساق على (ج) ،

* نطبق نظرية مركز العطالة على (ج) :  +   +   = ك              بإسقاط العلاقة على ( ج ن ) نجد :

  - ث جب = - ك تع تجب  تع =  = سه2 جب ،

  = ث جب  - ك سه2  جب  تجب ،

  = ك جب  ( ج -  سه2  تجب )،

تطبيق عددي :

  = 6 راد/ثا    = 0.23 ن

  = 10 راد/ثا   = - 0.77 ن

   0 : تعني أن الجسم لا يلمس الساق من الأعلى وإنما يلمسها من الأسفل

- من العبارة :  = ث جب - ك سه2 جب تجب ،

                           = ك جب ( ج -  سه2 تجب )

بوضع    = 0 نجد :

0 = ك جب ( ج -  سه2 تجب )،

  0   ج -  سه2 تجب   =0 ،

ومنه   ج =  سه2 تجب ،

وحيث أن  =  ،

بالتعويض نجد : ج =    سه2 تجب

ثا ج - ك ج سه2جب2 = ك ج سه2 تجب2 + ثا سه2 تجب

 ثاج = ك ج سه2 ( جب2 + تجب2 ) + ثا سه2 تجب

ثاج = سه2 ( ك ج + ثا  تجب )  سه = 

سه =   = 7.0 راد/ثا.

دوران جسم صلب حول محور ثابت

أهداف الدرس :

               1 - يتذكر عزم قوة بالنسبة لمحور ثابت.

               2 - يستنتج أن عزم عطالة جسم يعبر عن ممانعه الجسم لتغيير حالته

                     الحركية الدورانية.

               3 - يتذكر نظرية هو يغنز في حساب العزوم العطالية.

               4 - يستنتج نظرية التسارع الزاوي ويطبقها في حل مسألة في

                    الديناميك

المدة الزمنية اللازمة للدرس : 3 ساعات.

الدروس التي ينبغي مراجعتها :

              - عزم قوة بالنسبة لمحور ثابت : من برنامج السنة الأولى ثانوي.

المراجع :    نفس المراجع السابقة* عزم عطالة جسم : من برنامج السنة الثانية.

تصميم الدرس :

1 - تذكير

2 - نظرية التسارع الزاوي

3 - عزم عطالة بعض الأجسام الصلبة المتناظرة بالنسبة لمحور

      دورانها

- أسئلة التصحيح الذاتي.

- أجوبة التصحيح الذاتي.

بعد دراستنا للأجسام التي تتحرك بحركة إنسحابية والتي طبقنا عليها نظرية مركز العطالة نشرع الآن في دراسة الأجسام التي تقبل الدوران حول محور ثابت. والأمثلة على هذه الأجسام من الحياة اليومية كثيرة نذكر منها : دوران جذع محرك ، دوران رقاص الساعة ، دوران بكرة . . . . . .وقبل الشروع في الدراسة نذكرك عزيزي الطالب ببعض المفاهيم التي مرت بك في السنتين الأولى

والثانية من التعليم الثانوي.

1 - تذكير :

1 - 1 - عزم قوة بالنسبة لمحور دوران ثابت ()

لدينا قوة ق تؤثر في النقطة أ من الجسم الصلب (ص) القابل للدوران

 حول المحور () المار بالنقطة (م)، نسمي ذراع القوة ق بالنسبة

 للمحور ( ) :        

البعد العمودي بين حامل القوة ق ومحور الدوران

() ونرمز له بالرمز (ذ).نسمي الفعل التدويري للقوة              

  بالنسبة للمحور () عزم القوة   ونرمز له بالرمز :

      ( نقرأ : عزم ق بالنسبة للمحور ).

ويتعلق بشدة القوة   وبذراعها (ذ)، كما يتعلق بوضع مستوي الدوران ( م أ ب ) وبإتجاه الدوران في هذا المستوي.

ويعرف كما يلي :

تعريف :

 - عزم قوة ق بالنسبة لمحور الدوران () يساوي جداء شدة القوة في ذراعها، ونكتب :

    = ق . ذ

في الحقيقة يعرف عزم القوة ق بالنسبة لمحور دوران () بالجداء الشعاعي.

 (       ')= 

    = م أ . ق جب  

الذي هو شعاع نقتصر على تعيين شدته التي هي :  = م أ . ق جب ( م أ ، ق )

إن المقدار : م أ جب ( ) هو ذراع القوة (ذ) بالنسبة لمحور الدوران ومنه نكتب :

   =+ ق . ذ

- لإيجاد عزم قوة بالنسبة لمحور دوران يجب اختيار اتجاه موجب للدوران

*فإذا أدارت القوة ق الجسم في الاتجاه الموجب المختار كان العزم موجباً ونكتب:

    = + ق ذ

* أما إذا أدارت القوة ق الجسم في الاتجاه المعاكس للاتجاه الموجب المختار ( أي في الاتجاه السالب ) كان العزم سالباً.

ونكتب :    = - ق . ذ

في الشكل المقابل :

  = + .  ،

  = -  .  = - نق ،

فالعزم مقدار جبري.     

يقدر العزم في الجملة الدولية بوحدة

المتر  النيوتن ( م  ن )

خصائص العزم :

أ - لا يتغير عزم القوة بالنسبة لمحور ثابت عند نقل تأثيرها على إمتداد حاملها.

ب - يكون عزم القوة معدوماً إذا كان حاملها يوازي أو يلاقي محور الدوران.

ج - إن عزم القوة يساوي عددياً ضعف مساحة المثلث ( م أ ب ) أي :

   =  2 سط ( سط : مساحة المثلث م أ ب )

         1 - 2 - عزم عطالة نقطة مادية بالنسبة لمحور

نفرض أن لدينا قوة   تؤثر في نقطة مادية (ه) تدور

 حول نحور ثابت () مار بها بالنقطة  (م)،

نطبق نظرية مركز العطالة على النقطة (ه) في

مرجع غاليلي فنجد :   = ك 

نحلل القوة   إلى مركبتيها ،  في معلم فريني :

  =    +    ،

 =  ك  + ك

حيث  ،  هما مركبتا شعاع التسارع تع في معلم فريني.

وشدتا المركبتين    ،  هما على التوالي،

  = ك  = ك = ك = ك نق = ك نق تعه . . . . (1)

  = ك  = ك = ك سه2 نق . . . . . . . . . (2)

إن عزم القوة ق بالنسبة لمحور الدوران() يساوي مجموع عزمي المركبتين  ،   بالنسبة لنفس المحور ،

أي أن :    =   + 

وبما أن حامل المركبة   يمر بمحور الدوران () فإن :   = 0

ومنه :    =   =   . نق

وحيث أن :   = ك نق تعه     ( العلاقة 1 )

فإن :    = ك نق2 تعه . . . . . . . . . (3)

إن المقدار : ك نق2 ثابت يرمز له بالرمز (عط) ويسمى عزم عطالة نقطة مادية كتلتها "ك" تدور على بعد ثابت من محور الدوران ().

أي:       = ك نق2

. . . . . . . . . . . . . .(4)

ومنه نكتب العلاقة (3)

   = عط تعه

. . . . . . . . . . . . .(5)

يقدر عزم العطالة (عط) في الجملة الدولية ب : ( كغ م2 )

نتيجة : - إذا دارت نقطة مادية بحركة دائرية حول محور ثابت () فإن عزم محصلة القوى المؤثرة فيها بالنسبة لهذا المحور يساوي جداء تسارع الزاوي ( تعه ) في عزم عطالتها ( عط ) بالنسبة للمحور نفسه.

1 - 3 - عزم عطالة جسم صلب بالنسبة لمحور ثابت () :

نعتبر الجسم المكون من النقاط المادية  ،  ،  ، . . . التي كتلتها على التوالي ،  ، ، . . . . . وأبعادها عن محور الدوران على التوالي ، ، ، وتؤثر فيها على التوالي القوى ،  ،  ، . . . .

إن جميع نقاط الجسم تنجز نفس الزاوية خلال نفس الزمن عند دوران الجسم فلها إذن:

- نفس السرعة الزاوية ( سه )

- نفس التسارع الزاوي ( تعه)

في كل لحظة زمنية

ويكون عندئذ عزم كل قوة بالنسبة لمحور الدوران () هو :

  =   تعه

  =   تعه

  =   تعه

  =   تعه

ويكون المجموع الجبري لعزوم القوى بالنسبة لمحور الدوران :

 = +   + ..  .

               =  تعه +  تعه+ . . . . . .  تعه

               =(  +  +  +  . . . .  )تعه

  = (  ) تعه . . . . . . . . . . . . .(6)

نسمي مجموع   عزم عطالة الجسم الصلب بالنسبة ل ()

أي أن  عط      عط = 

. . . . .  . . . .  .(7)

ونكتب العلاقة (6) كما يلي :

  = عط تعه .

. . . . . . . . . . . . .  .(8)

2 - نظرية التسارع الزاوي :

إن العلاقة

   = عط تعه،

تعبر عن نظرية التسارع الزاوي التي تطبق على الأجسام التي تدور حول محور () والتي نصها :

- إذا دار جسم صلب حول محور ثابت فإن جداء عزم عطالته بالنسبة لهذا المحور في تسارعه الزاوي يساوي مجموع عزوم القوى الخارجية فيه بالنسبة للمحور نفسه

- من العلاقة السابقة نكتب :

تعه =   ،

ونستنتج أن التسارع الزاوي :

- يتناسب طرديا مع المجموع الجبري لعزوم القوى الخارجية في الجسم

- يتناسب عكسياً مع عزم عطالة الجسم الصلب بالنسبة للمحور ( ) وهذا يتناسب العكسي يبين أن عزم عطالة الجسم يعيق دوران الجسم فكلما كان (عط) كبيراً كان (تعه) صغيراً ومنه فإن عزم عطالة جسم يعبر عن ممانعة هذا الجسم لتغيير حالته الحركية الدورانية.

ملاحظة :

- إذا كانت القوى الخارجية المؤثرة على الجسم الدوار مقسمة إلى قوى محركة وقوى مقاومة فإن عزمها الكلي يكتب :

  =  +   = عط تعه

مع    0

- إذا كان :       فإن تعه  0 ،

وتكون الحركة دورانية متسارعة

- إذا كان :       فإن تعه  0 ،

وتكون الحركة دورانية متباطئة

- إذا كان :       فإن تعه 0 ،

وتكون الحركة دورانية منتظمة إذا كان الجسم يدور، أما إذا كان ساكناً فإنه يبقى ساكناً

عزم عطالة بعض الأجسام الصلبة المتناظرة بالنسبة لمحور دورانها:

- إذا كانت الأجسام غير متناظرة بالنسبة لمحور دورانها أي غير منتظمة الشكل فإنه لا يمكن حساب عزم عطالتها وإنما يتم إيجاده تجريبيا .

أما إذا كان محور الدوران هو محور تناظر الجسم فيمكن حساب عزم عطالة الجسم بالنسبة لذلك المحور. ونذكرك فيما يلي عزيزي الطالب، بعزوم عطالة بعض الأجسام منتظمة الشكل التي تعرفت عليها في السنة الثالثة ثانوي.

أ - حلقة ثقيلة كتلتها "ك" ونصف قطرها "نق" : مثل بكرة

 كتلتها موزعة بإنتظام على محيطها أو أسطوانة مجوفة.

   = ك .نق2 ،

ب - فرض أو أسطوانة مصمتة متجانسة كتلتها ك

ونصف قطرها نق :

   =   ك نق2

ج - كرة مصمتة متجانسة كتلتها "ك" ونصف قطرها

نق بالنسبة لمحور مار بأحد أقطارها :

  =    ك نق2

          

د - قضيب متجانس كتلته "ك" طوله "ل" ومقطعه مهمل أمام طوله بالنسبة لمحور عمودي عليه ومار من مركز ثقله ( منتصفه)

          

  =    ك ل2

هـ - نظرية هويغز :

عزم عطالة جسم صلب يدور حول محور ما ( َ ) يساوي عزم عطالته بالنسبة للمحور () المار بمركز عطالته(م) والموازي ( َ ) مضافاً إليه جداء كتلته في مربع البعدين المحورين :  

  =   =  ك + ب2

مثال 1 : آلة آتود :

تتألف آلة آوتود من بكرة كتلنها ك ونصف قطرها

 نق تقبل الدوران حول محورها الأفقي الثابت ()  المار بمركز عطالتها (م) يلف حول محز البكرة  خيط مهمل الكتلة وعديم الإمتطاط  يحمل في نهايتيه  كتلتين :   ، حيث :

     تحرر الجملة من السكون بدون سرعة

 ابتدائية ، تهمل  كل الاحتكاكات .

          

1 - ما طبيعة حركة كل من  والبكرة ؟

2 - أوجد التسارع الخطي للكتلتين :   ،  والتسارع الزاوي للبكرة.

3 - أحسب سرعة   بعدما تقطع مسافة ل = 2.5 م والسرعة الزاوية للبكرة عندئذ وعدد الدورات التي قد تكون أنجزتها البكرة

تطبيق عددي :   = 250 غ،   = 200 غ ك = 50 غ، ج = 10 م/ثا2، نق = 10 سم ، عط = ك نق2

الحل :

- نطبق نظرية مركز العطالة على أجزاء الجملة التي هي في حالة حركة إنسحابية                      (  ،  )،ونطبق نظرية التسارع الزاوي على البكرة التي هي في حالة حركة دورانية.

-  نطبق نظرية مركز العطالة :

-       على  : 

               +  = 

بالإسقاط على محور الحركة :

  -  =

   =   -   . . . . (1)

على   : 

          

صالحة ونطبق مكانها قوانين أخرى هي قوانين الميكانيك النسبوي والتي ستعرض إلى دراستها في المحور الأخير  من البرنامج ( شعبة العلوم الدقيقة فقط )

5 - 3 - مبرهنة الطاقة الحركية :

لقد درست عزيزي الطالب ، نظرية الطاقة الحركية لجملة مادية تتحرك حركة انسحابي في السنة الثانية ثانوي، ولا شك أنك تذكر نصها " التغيير في الطاقة الحركية لجملة مادية خلال مجال زمني معين يساوي المجموع الجبري لأعمال القوى الداخلية

والخارجية المؤثرة في الجملة خلال نفس المجال الزمني "

أي  طح=   -   =  

وإليك برهانها.لنعتبر جسماً كتلته "ك" يتحرك حركة انسحابي ، في اللحظة (ز) تكون سرعته   وكمية حركته   = ك   وطاقته الحركية :

طح =  ،

ويخضع لمجموعة قوى محصلتها   ( =  )

فخلال الانتقال العنصري  يكون العمل العنصري للقوة   د عم =   .  .

وعندما ينتقل مركز و عطالة الجسم من الوضع (1) إلى الوضع (2) فإن عمل القوة ق يساوي مجموع الأعمال العنصرية د عم بين الوضعين (1) و(2) ونكتب :

  =  د عم =    . دل

وحيث أن   =   =   = ك 

و=     =   . د ز