استعمال الرموز

 استعمال الرموز :Using Symbols

 أولا : التعبير بالرموز :

مثال: مربع طول ضلعهa  سم . اكتب محيط المربع ومساحته بالرموز

 الحل : محيط المربع Perimeter = a+ a + a+ a= 4a

 المساحة Area   = a×a = a2

استبدل بالرموز : 

1          ابدا بالعدد m ، اضرب في 5 ثم اطرح 3

2          ابدا بالعدد s اجمع 7 ثم اطرح 13

3          ابدا بالعدد s، اجمع 4 ثم اضرب الناتج في 3 ثم اطرح 2

4          ابدا بالعدد s ، ربعه ثم اجمع 9

5          نبته طولها s سم ، زادت بمقدار d سم ثم قام البستاني بقص 4 سم ما طول النبته  الان

6          في يوم الخمبس كان عدد من في السينما k شخصا ، وفي يوم الجمعة كان العدد يزيد 25 عن  ثلاثة امثال العدد يوم الخميس  ما العدد يوم الجمعة

7          اذا كان وزن تفاحة t غم ما وزن s تفاحة

8          وزع شخص s ريالا على اولاده الخمسة ما نصيب كل منهم

ثانيا : جمع وطرح الحدود الجبرية :

مثال : اكتب بابسط صورة Simplify :

                                      1) 5a+7a - 2a   -a  

الحدود المتشابهة تجمع وتطرح وعليه فإن الجواب =9a

                                2) 3b+1-b+4

                                 = 2b +5   

                             3) 2ab+ab-7a+3ab                                            

                                     =6ab-7a

أسئلة :

اختصر ما يلي الى ابسط صورة :

                             1)3a-7+a+1

+4x+ 5 -3x                              2) 5x2

2x+ 5 +x - 7–                             3) x2

                4) a2 +ab + b2 -2ab - b2+ a2            

                            5) (2x-3) - (x+3)  - (2x+7) 

ضرب المقادير الجبرية :

سبق ان درست ان a 2 6= 2a.3a، وأن 6ab= 2a ( 3b) وهكذا فإننا نجري ضرب لحدود الجبرية كما في المثال التالي :

مثال:    

 فك الاقواس ثم اختصر Expand and Simplify   

                                              3x(2x-2)+x(2x-1)

الحل : باستخدام قانون التوزيع فإن - 6x+ 2x2- x              6x2

      -7x 8x2=                                         

مثال :

 فك الاقواس ثم اختصر Expand and Simplify  : 

( 2a – 7)( 3a + 8)

الحل :

( 2a – 7)( 3a + 8) = 6a2 + 16a – 21a – 56 = 6a2 – 5a – 56

مثال :

 فك الاقواس ثم اختصر Expand and Simplify

         

          2 (a+b )            2 (a– b)  

           3 ( a + b)   

الحل:

2 (a+b )  = (a+b)(a+b)

= a2+2ab + b2

       

(a – b) (a – b) = 2 (a– b)

            =a2 + - 2ab+     b2

       

                                                    

a3+a 3 b2 +a b2 3   +    b3= (a+ b) (a2 +2ab+b2  )= 3 (a +b)

اسئلة على ضرب المقادير الجبرية :

فك الاقواس ثم اختصر

                          1)    2x(x-1)-3x(x+5)     

                          2)    (3x-4)(3x+4)

                          3)    (2x+3) 2

                          4)    (3a-2) 2 

                          5)    (2x+5)(3x-1)- (x-1)2(x+1)

                          6)     (3a-4)(2a+4) - (a-3)(9+3)

                          7)     (5a-9)(5a+9) - (3a-5)(3a+5)

التحليل الى العوامل الاولية :Factorization

1) اخراج العامل المشترك Common Factor :

مثال :

 حلل الى العوامل :

                            1) 3ab+6a

                           2) 3x2-2x

                           3) 2xz+6z2

الحل :

                           1) 3ab +6a = 3a(b +2 )

2)--2x = 3x(x                            2) 3x2

                            3)2xz+6z2= 2z(x+3z)

اسئلة على التحليل الى العوامل باخراج العامل المشترك:

6ax2+                    1)2ax2

                    2)4x-6

                  3) 3ab+4az – 5ad

-4xz2                    4)8xz2

                  5) x2+xd

                      6)2a(x-z)+)(x-z) 2

2) تجميع الحدود واخراج العمل المشترك

مثال :

 حلل الى العوامل Factorize  :

1) 6x+3+2xz+z

2) ax+az-bx-bz

3) 2x2 -3x+2xz-3x

الحل :

1) 6x+3+2xz+z

                               3(2x+1)+z(2x+1)=

                                (3+z)(2x+1) =

                                   2)  ax+az-bx-bz

                                          (ax+az)-(bx+bz)=

                                           a(x+z)-b(x+z)=

                                            (a-b)(x+z)=

                                       3) 2x2 -3x+2xz-3z

                                                x(2x-3)+z(2x-3)=

                                                (x+z)(2x-3)=

أسئلة :

حلل الى العوامل:

1) ax+bx-az-bz

2) 4m+xm +4d+xd

3)5x2 +10bx+x+2b

      4) x2 –x+xz - x

5) 2x2 - 6x – x + 3

6) x3 + 3x2 +4x+ 12

3)الفرق بين المربعين Difference of two squares 

تعلمت ان (x-z)(x+z)= x2 – z2 ، وعليه يمكن تحليل

x2 – z2 على الصورة (x- z)(x+ z)

ويسمى المقدار x2 – z2 فرق بين المربعين

امثلة :

حلل الى العوامل :

4a2-9b2                               2)               m2 – n2                        1) 

الحل :

                     (m- n)(m+n) = m2 – n2  1)

                   (2a- 3b)(2a+3b) = 4a2-                                  2)9b2

اسئلة :

حلل العوامل :

z2 -  1   1) x2

2) 4x2 -9z2

3) a2 -b2

4)m - 49

d2- 5)x2

6)4m2 -36d2

*ايجاد قيم عددية :

مثال :

حلل الى العوامل ثم احسب قيمة  :

1) 13 2 -7 2 

2) 11 2 - 9

الحل : 1)13 2 -7 2               

          =(13 -7) (13+7) = 6×10= 60

          2) 11 2 - 9 =

          =( 11 -9) (11+9) = 2 , ×2= 4, .

اسئلة :

حلل الى العوامل ثم احسب

1) 28-22

2) 217 –23

3) 216  -24

4) 288 -212

5) 245 – 25

6) 299 -1

4)    تحليل العبارة التربيعية الثلاثية Quadratic expressions

العبارة التربيعية الثلاثية هي التي على الصورة :

ax2+bx+c                        حيث a ، b،c  صفر

         اولا : عندما يكون معاملx 2=1

مثال :             

 باستخدام قانون التوزيع ، نعلم أن :

(x+2)(x+4) = x(x+4)+2(x+4)

+4x+2x+8                                         x2 =

                                             x2 +6x+8  = 

أي أن x2 +6x+8   = (x+2)(x+4)

وهذا هو تحليل العبارة التربيعية x2 +6x+8 .

من المثال السابق ، نلاحظ أن:

1-         تحليل العبارة التربيعية x2 +6x+8=(x+2)(x+4)يتكون من عاملين وضعا داخل زوجين من الاقواس هكذا : x2 +6x+8=(x+2)(x+4)

2-         الحدان الأولان في القوسين (أي x،x) هما عاملان للحد الأول في العبارة التربيعية .

3-         الحدان الثانيان في القوسين (أي2, 4) هما عاملان للحد الثابت فبي العبارة التربيعية ، ويلاحظ أن مجموعهما يساوي معامل الحد الاوسط وهذه ملاحظة مهمة إذ لو تم اختيار عاملين آخرين للعدد 8 مثل 8،1 لما كان مجموعهما يساوي معامل الحد الاوسط وبالتالي لما كان التحليل صحيحا

مثال :

حلل العبارة التربيعية :

                                                                                         x2 + 5x+6

الحل: (x        )(x         ) =+5x+6  x2

العددان اللذان حاصل ضربهما =6 ومجموعهما = 5 ، هما 2 ، 3 ‘إذن فالحدان الثانيان في القوسين هما +2،+3   نكمل التحليل :

5x+6+                                                              x2

التحقق : بإجراء ضرب العاملين : (3+x )(2   +x)

حاصل الضرب

  x2 +3x +2x+6=

                                                    x2 + 5x +6=

                     = العبارة الاصلية ، أي أن التحليل الصحيح

مثال :

 حلل :

                   x2 -6x+5

الحل :

      1)                    x2 -6x+5=(        x )(          x )      

2)   ما هما العددان اللذان حاصل ضربهما =5 ومجموعهما -6 ؟

بما ان حاصل الضرب (+5) موجب فالعددان إما موجبان معا أو سالبان معا ولأن مجموعهما (-6)سالب إذن فهما سالبان معا . العددان هما -1 ، -5 . نكمل التحليل :

                   x2 -6x+5=  (x- 1)(  x  -5)

التحقق :بإجراء ضرب العاملين ومقارنة ناتج الضرب بالعبارة التربيعية يمكن التحقق من صحة التحليل .

مثال : حلل  6- (x+1)5- x)2+1)

الحل :

الطريقة الاولى

 لجعل المقدار على الصورة العامة العبارة التربيعية أي ax2+bx+c، نفك الاقواس ونجمع الحدود المتشابهة ونكمل التحليل هكذا :

(x+1)(x+1)-6 =  6- (x+1)5- x)2+1)

                                         2x+1-5x+11+2 x  =       

                                   x2 +3x+10=     

                                               (x-5)(x+2)=

طريقة ثانية :

بفرض أنx+1= y  والتعويض في المقدار الاصلي ،

يكون المقدار = 5y-6-y2

                 =(y-6)(x+1)

وبالتعويض بدل y قيمتها x+1 ،

يكون المقدار =(x+1-6) (x+1+1)

                  = (x-5)  ((x+2

اسئلة :

 حلل العبارات الاتية الى عواملها الاولية :

-3x+2  1) x2

2) 7x+x2 -8

3) x2 –x -12

4) (x+2) 2 -10(x+2)+24

ثانيا :

 عندما يكون معامل x2 ≠1

لا تختلف طريقة التحليل في هذه الحالة عن الحالة الخاصة السابقة عندما كان معامل x2 =1 فالتجريب هو الاساس ، وقد يستغرق منك التجريب في الحالة العامة بعض اوقت نظرا لتعدد الامكانات القابلة للتجريب ولكن التدريب والممارسة سيساعدك في الوصول الى التحليل المطلوب في وقت أقل.

مثال(1):

 باستخدام قانون التوزيع ، نعلم أن :

 (x+4)(2x+1) = (x+4)(2x+1)

                      = 2x2 +x+8x+4

                          2x2 +9x+4  =

أو بصورة عكسية:

2x +9x+4  =(x+4)(2x+1)

من المثال نلاحظ أن ما يلي :

1)الحدان الاولان في القوسين (x،2x) هما عاملان للحد الاول في العبارة التربيعية.

2)الحدان الثانيان في القوسين (+4،+1) هما عددان حاصل ضربهما=الحد الثابت في العبارة التربيعية وبحيث :

4x+x×1=9x = الحد الاوسط اذا سمينا الحدين 4،2x الحدين القريبين ، وسمينا الحدين x،1 الحدين البعيدين، نلاحظ أن التحليل يكون صحيحا عندما يكون (حاصل ضرب الحدين القريبين + حاصل ضرب الحدين البعيدين )=الحد الاوسط في العبارة التربيعية .

ويمكن استخدام التمثيل الاتي في عملية الضرب والجمع المذكورة.

اولا: نكتب عوامل الحد الاول عوامل الحد الاول في العبارة التربيعية تحت بعضهما.

                             x          4                                  x

                           2x          1                                +8x

                                                                            9x= الحد الاوسط

ثانيا  نكتب عوامل الحد الثابت في العبارة التربيعية تحت بعضهما .

نجري ضرب الحدين على كل من القطرين

ونجمع حاصلي الضرب ونقارن ذلك بالحد الاوسط

مثال :

 حلل :     2x2 -7x +6

الحل  :   1) (2x          )(x              ) =2x2 -7x+6

          2)نلاحظ أن الحد الثابت 6موجب والحد الاوسط سالب،فالعاملان للعدد 6 يجب أن يكونا سالبين ، ويساعدنا هذا الاستنتاج في تقليص حالات التجريب .

نجرب العددين -1،-6:        2x              -1             -12x

                                      x              -6             +- x

                                                                        13x - ≠ الحد الاوسط

نجرب العددين -3،-2 :

                   2x               -3                              -4x

                     x                -2                           +-3x

  

                                                                      -7=الحد الاوسط

التحليل المطلوب هو ((2x- 3)(x- 2

اسئلة :

حلل كلا من العبارات التربيعية الاتية:

1) 5x2 + 11x +2  

2) 7x + 15x +2    

3) 6x2+x-1   

4) 2x2 – 5x -7 

            5) 4x2 -19xy+12y2

        

التعويض بدل  الرموز:

Substituting Numbers for letters

اذا كان x= -3   .   y = 4   .   m=2  .  n=-1، ،  احسب قيمة ما يلي كما في المثال

مثال :

=x2 y -5mn

=  (-3)^2(4) – 5(2)(-1)  = 46

                                               1) x2  

2) 3m2

3) y(x-m+n)

المعادلات الجبرية وحلها

 ُEquations  and solution

  .

اولا :

 المعادلة والمتطابفة : Equations and identities

 لاحظ الجملتين

x+1 =4

x+x=2x

ان الاولى تسمى معادلة والثانية تسمى متطابقة ،  ولا بد انك لاحظت ان المعادلة هي جملة مفتوحة قد تكون صائبة او خاطئة وان حل المعادلة يعني ايجاد قيمة المتغير التي تجعل الجملة المفتوحة صائبة

اما في حالة المتطابقة فهي جملة صائبة دائما مهما كانت قيمة المتغير

ثانيا :

المعادلة الخطية في متغير واحد

حل المعادلات التالية : الاول محلول

1) x+1=4

x=4-1

x=3

2) y-7=12

x+6=5 3)

4) y+7=-5

5) x+6=8

6) 4x=16

7)5x=-5

8) -3m=9

9) -12n =-6

مسائل عملية على المعادلات الخطية في مجهول واحد :

 Problems on linear equations

1-         مستطيل طوله x+2 وعرضه x ، اوجد الطول والعرض اذا كان محيطه 30 سم

2-           مثلث اطوال اضلاعه  y، 2y-3، 2y+1، اوجد طول كل ضلع اذا

كان  محيطه 17 سم

3-            مثلث زواياه32 ، x ، 4x+3 ، اوجد قيمة كل زاوية

4-               شكل رباعي زواياه   n ،  2n+10،n+14 ، 76. اوجد قيمة كل زاوية

القانون وتغيير موضوع القانون   

                      (Formula) Changing the Subject of Law

                                        

مر معك الكثير من القوانين في الرياضيات والعلوم مثل

   r2 =m   حيث m مساحة الدائرة ، r نصف القطر

  b×h  = حيث m مساحة المثلث ،p القاعدة ،  hالارتفاع المنزل عليها

وفي القانونين اعلاه فان موضوع القانون هو m ( لاحظ ان الرمز موضوع القانون يظهر بشكل

منفرد في احد الطرفين ولا يظهر في الطرف الاخر)

ونرغب احيانا بتغيير موضوع القانون من رمز الى اخر  كما في الامثلة التالية :

اجعل x موضوع القانون في ما يلي :

 X    – y = c 3)                                        c= xm 1)

           c + y =x                                            x = 

    -f  =  xm – d 4)                              m( a + x) = y 2)        

         xm = f + d                                   ma+  xm= y                                       x   =                                         am  -  y    =  xm 

                                                    =  x

اسئلة وتمارين :

اجعل الحرف بين الاقواس موضوع القانون

1-   n m+r =                                 (  m )

2-    3x = 2y + c                           ( c  )

3-    b( x – y) = m                       (  b )

4-    b( x – m) = m                      ( m )

5-    b( x – y) = m                        ( y)

6-    (m + n )/n =d                      ( m )

7-    n2  +2bx =m2                        (n )

8-       A=  r(k2 + h2)               ( h)