المتتاليات والمتسلسلات الحسابية

المتتاليات والمتسلسلات الحسابية 

الدوال (الاقترانات)  Functions

في الشكل ادناه المخططات السهمية الآتية تمثل العلاقاتh,g,f  من

 { 0.2.4.6.8 B={ الى A={1.2.3.4}

            h                                  g                                     f

تأمل كلا من هذه العلاقات

* في العلاقة h  ارتبط العنصر1 من a بالعنصرين 0 ، 2 من b .

* في العلاقة g يوجد عنصر في a وهو 4 لم يرتبط بأي عنصر من b .

* في العلاقةf تلاحظ ان كل عنصر في a ارتبط بعنصر واحد وواحد فقط من b .

تسمى العلاقة f اقترانا ( دالة)  من aالى b ، لأن كل عنصر في aارتبط بعنصر واحد  فقط في b ، بينما العلاقتان h ،g  ليست اقترانين  .

في الاقتران nأعلاه تلاحظ أن العنصر 1 ارتبط مع العنصر 2 ويمكن التعبير عن ذلك بالصورة f(1)=2 ,2 هي صورة 1 في الاقتران f.

تعريف :

* الإقتران f هو علاقة من a الى b تربط كل عنصر من عناصر a بعنصر واحد فقط من عناصر b.

A تسمى مجال f ، b تسمى المجال المقابل للإقتران f، والمدى هو مجموعة صور عناصر a.

* إذا كان (x,y) تنتمي الىf ، فإننا نكتب f(x)=y

مثال : اذا كانت 0,9,1,25}  { x= {-3,-1,1,3,5} , y =

وكانت  g علاقة من x الى y حيث أن agb تعني أنa2=b

أ‌)       أوجد التمثيل السهمي والتمثيل بالأزواج المرتبة للعلاقة ع .

ب) هل هذه العلاقة اقتران ؟

الحل :أ) التمثيل السهمي كما في الشكل أدناه:

التمثيل بالازواج المرتبة {   (-3,9),(-1,1),(1,1),(3,9),(5,25)}

             y                               x

        

ب) هذه العلاقة عبارة عن اقتران لأنه يخرج من كل عنصر في xسهم واحد فقط

ملاحظة :

يمكن الاستعانة بالرسم لتمييز الاقتران لعلاقة مرسومة بيانيا ، وذلك برسم خط عمودي على منحنى العلاقة ،فإذا قطعها في نقطة واحدة فقط ، كانت اقترانا ، وإن قطعها في أكثر من نقطة فهي  ليست اقترانا .كما هو موضح في الشكلين ادناه :

                                                              

أسئلة :

1)  مثل بيانيا العلاقات الرياضية من 1-5طريقة مناسبة ثم أتحقق من كونها لإقتران :

1- اذا كانت{ {0,2=y =r x وكانت g علاقة من x الى yحيث أن agb تعني أن b=a+2

2- إذا كانت x=R وكانت fعلاقة على x حيث أن afb تعني أن b=25

3-إذا كانت x=R وكانت fعلاقة على x حيث أن afb تعني أن a=0

4-إذا كانت x={0,1,2,3,4,5} وكانت, y=R وكانت f علاقة من x الى y حيث أن afb تعني    =b

5- إذا كانت  {سالم ، محمد ، عبدالله }=x ،وكانت {كرة قدم ، كرة سلة

،كراتيه }=y وكانت fعلاقة من x الى yحيث أن afb تعني أن aيمارس لعبة b، وكان محمد وعبدالله يلعبان كرة القدم ، سالم يلعب كراتيه ، وسالم ومحمد يلعبان كرة سلة .

3)إذا كان{2,3,5,7,10,11 }              {1,2,3,5} =f

                   f:x              2x+1

4) إذا كانت ص مجموعة الاعداد الصحيحة :

                        Y             f: x

                 f:x              x 2 +4

أ) أجد f(2) , f(-1)

ب)أجد مدى f

ج)إذا كان f(x) = 13، فما قيمة x ؟

5)  حدد برسم خط عمودي ، فيما إذا كانت العلاقات المرسومة بيانيا أدناه اقترانات أم لا ؟

                     أ) 

ب)                                       

                 

أنواع الاقترانات :Types of functions

 إقتران الواحد لواحد :ONE TO ONE FUNCTION

لاحظ الاقترانين الممثلين بالمخططين المبينين في الشكلين أدناه ، فنجد أن كل عنصر في المدى في كل منهما هو صورة لعنصر واحد فقط في مجال الاقتران .  

نسمي كلا من هذين الاقترانين اقترانا واحدا لواحد ، وفق التعريف الآتي :

تعريف :

يسمى إقتران b               aبأنه واحد لواحد إذا كان كل عنصر في المدى صورة لعنصر واحد فقط في المجال .

أو بعبارة مكافئة إذا كان x1≠ x2  فإنf(x1) ≠  f(x2)

ملاحظة :

من التعريف أعلاه

يكون الإقتران ليس واحدا لواحد عندما يوجد x1 ، x2 بحيث ان:

x1≠ x2                    ولكن              f(x1) =  f(x2)

فمثلا الاقتران  f(x)=x2 أعلاه ليس واحدا لواحد لانه يوجد :

2= x1 ، x2=2- حيث :

            2 ≠ -2   لكن : f(2)=x(-2)=4

ويمكن معرفة أن الاقتران  واحد الى واحد من الرسم ، كما في الاشكال أدناه وذلك برسم خط مستقيم أفقي يوازي محور السينات ، فإذا قطع منحنى الاقتران مرة واحدة فقط ،فإن الاقتران يكون واحدا لواحد ، أما إذا قطعه أكثر من مرة ، فإنه يكون ليس واحدا لواحد. 

1)                                                  2)

                                                          

3)                                               4)        

                              

5)                                              6)

                                 

من الواضح من الاشكال 1,2,3اعلاه أن أي مستقيم يوازي محور السينات يقطع الشكل في نقطة واحدة ، لهذا فهي أشكال تمثل اقترانات واحد لواحد . أما في الأشكال4,5,6, أعلاه واضح أن المستقيم الموازي لمحور السينات (أفقي) يقطع الشكل في أكثر من نقطة لهذا فهي أشكال اقترانات ليست واحدا لواحد.

أسئلة :

1)  حدد الاقترانات التي تكون واحدا لواحد :

{(1,2),(2,1),(3,3),(4,5)} 1)

{(12,1),(31,2),(41,2)}2)

{(10,15),(20,25),(30,25),(40,15)}3)

2) أثبت باستخدام الرسم أن الاقترانات الاتية هي واحد لواحد :

حيث x ≥ صفر x2 +1  1)f(x)=

2) f(x)=3x-2

أسئلة :

1)   إذا كانت ط ={0,1,2,3,…}N=هي مجموعة الأعداد الطبيعية .

وكان ق : f:N                    N

            x              2x+1

أ)جد f(1) , f(3)

ب) ما مدى الاقتران f ؟

ج)  هل f واحد لواحد ولماذا؟

د) هل يوجد أعداد صورتها 4؟

4) لتكن أ= {1,2,3,4,5}A= وليكن  A   f:A اقترانا كما هو موضح في المخطط

أ) اجد مجال f

ب) هل f واحد لواحد ؟

د) اجد مدى f؟

5) إذا كان f:R        rR،حيث :

                          x,x0   f(x)=

                        - x,x0        

أ) جد f(1),f(-2),f(0)

ب) جد مدى f

د) هل واحد لواحد ؟

و) أرسم f في المستوى الديكارتي .

6) إذا كان  ,  f(x)=x2  :

أ) جد f(0),f(1),f(-2)

ب) جد مدى f

ج) أرسم الاقتران f في المستوى الديكارتي .

رابعا :تركيب الاقترانات Composite Functions

ليكن الاقتران F يربط بين البلدان وعوصمها كما في المخطط السهمي الآتي :

مثال :                                        F

وليكن الاقتران ك يربط بين هذه العواصم وأهم المعالم فيها كما يأتي :                                       

                                                G

والآن كيف يمكن ربط البلدان مع معالم عواصمها ؟

يمكننا ذلك بملاحظة المخطط التالي :

                      F                                 g

ويمكن اختصاره بالمخطط التالي :

إن هذا المخطط يوضح اقترانا جديدا يسمى تركيب الاقترانين F ، G ويرمز له بالرمز g     f ويقرأ f  بعد g .

مثال : إذا كان f(x)=x+5 وكان g(x)=2x-3 فأوجد

 (f     g)(4)     

الحل :                                                                     g         f

 أي أن(f    g)(4)     15                                               9 4            

مثال : إذا كان- x2 f(x)= 1 ، وكان  g(x)=x+3،أوجد قيمة g(f(3))

الحل :                                                                              x2 1- f(x)=

إذن     =1-9=-8 1-32   f(3)=

       g   (f(3))= g(-8)

                       -8+3=-5=

الحل بطريقة أخرى : وهو كالتالي :

g    f (x)= g(f(x))

               =f(x)+3

              +3 =1-x2

إذن       +3 =g    f(3) =1-32

                      =-8+4=-5

مثال : إذا كان, f(x)=3x+2,g(x)=x2-7 ،أجد:

1) f     g(x)

2) g     f(x)

هلf     g(x) = g    f(x)  3)

الحل:                                                                      1) f   g = f(g(x))

                         =f(x2 – 7)

          f    g(x)= 3(x 2 -7)+2

=3x2 -21+3

         f    g(x)=3x2 -19

2) g    f(x)=g(f(x))

=g(3x+2)

≠                                                                      g    f(x)=(3x+2) 2 -7                                       

                     =9x2 +12x+4-7

             9x2 +12x -3  =d    k(x)

 ج)

 مما سبق يتضح أن :d    k(x) ≠ k    d(x)

أسئلة :

1)  جد كلا    f   g(x) ، g   f(x) في كل من الاسئلة الآتية :

1) f(x)= x+1               ,          g(x)=10x-5    

2) f(x)=x2 -1               ,           g(x)= x+5 

       g(x)=2x     ,      3)f(x) =14x2 –x – 1 

4)f(x) = 4x-1             ,             g(x)=5-3x                  

5) f(x)= x2 +4x+1      ,            g(x)= x 

(x-1)   6) f(x) = 1+2x           ,           g(x)= 

حيث أن 0≠x                ,                ,            g(x)=   7)F(X)=

الاقتران التربيعي Quadratic function

تعريف :

الاقتران التربيعي هو كل دالة (x)f يمكن كتابته على الصورة:

ax 2+bx+c

مثال :

 ليكن  x2 +5x-6 =f(x)اوجد:

f(0) ,f(-1),f(1),f(2),f(-3)

الحل :

f(0)=02 +5 ´0-6=-6

f(-1)=(-1) 2 +5´-1-6= 1-5-6=-10

f(1)= 12 +5´1-6=1+5-6=0

f(2)22 +5´2-6=4+10-6=8

f(-3) =(-3) 2 +5´-3-6=9+-15-6=-12

مثال :

 اذا كان f(x) =3-x2 ، اوجد :

f(1), f(-1),f(2),f(0),f(-2),f(a+1)

الحل :

f(1) =3-12 =2 ,f(-1)=3-(-1) 2 =2 ,f(2) =3-(2) 2 =-1

f(0)=3-02 =3 ,f(-2)=3-(-2) 2 =-1 ,f(a+1)=3-(a+1) 2 

اذا لم يحدد المجال في السؤال ، يعتبر المجال جميع الاعداد الحقيقية ح ، اما مدى الاقتران فهو مجموعة جميع القيم الممكنة للاقتران.

التمثيل البياني للدالة التربيعي الذي مجاله R:

 Graph of Quadratic function

 لنأخذ ابسط اقتران تربيعي  f(x)=x2 ولنحاول رسمه بيانيا.

-3      -2      -1      3       2       1       0       X

9       4       1       9       4       1       0       Y

ونعين هذه النقاط على المستوى الديكارتي

واذا حاولنا دراسة هذا الدالة بشكل اكثر فاننا نلاحظ ما يأتي :

1)      اصغر قيمة يأخذها الدالة هي 0 وتحدث عند النقطة (0,0)

2)      الاقتران متماثل حول محور y

3)      مدى الاقتران { y:y ³ 0}

4)      النقطة (0,0) تسمى الرأس

5)      يسمى المنحنى المرسوم اعلاه قطعا مكافئا.

تعميم :

ان التمثيل البياني لأي دالة تربيعي هو قطع مكافئ.( Parabola)

مثال :

 ارسم الدوال التربيعية الاتية :

1)f(x)=x 2 +2                     2)f(x)=x2 -2

الحل :أ)                          

           

نلاحظ ان :

أ‌)       جميع هذه الدوال متماثلة حول محور Y .

ب‌)     عندما a> 0 فان : المنحنى مقعر للأعلى ،  وعندما a< 0 ، فان المنحنى مقعر للاسفل .

تعميم :

الدالة f(x)=x2 +nهو انسحاب للدالة  x2=f(x) بمقدار n وحدة باتجاه محور y الموجب اذا كانت n موجبة ، والسالب اذا كانت n سالبة.

مثال :

 ارسم الدوال التربيعية التالية :

1)f(x)=(x+2) 2                                2)f(x)=(x-1) 2          

1)f(x)=(x+2) 2 الحل :                                 

ب) 2)f(x)=(x-1) 2          

 

نلاحظ أن :

ا)جميع المنحنيات لها قيمة صغرى واحدة هي صفر .

2)محور التماثل لكل منها خط عمودي هو x =-2,x=1، وايضا  x=3على الترتيب .

تعميم :

الدالة f(x)=(x-m)2 هو انسحاب للدالة  f(x)=x2 بمقدار m باتجاه محور x الموجب اذا كانت m موجبة والسالب اذا كانت m سالبة .

مثال : مثل الدوال الاتية بيانيا:

1)f(x)=(x-1) 2 +2                                              2)f(x)=(x+2) 2 -3

   الحل:

1)f(x)=(x-1) 2 +2         

2)f(x)=(x+2) 2 -3

من المثال السابق نلاحظ ان :

1)      جميع هذه المنحنيات هي نفس منحنى y=x2 بعد انسحابه افقيا ثم عموديا .

2)      رأس القطع المكافئ على الترتيب هو ،(1,2),(-2,-3)

مثال :

مثل الدوال الاتية بيانيا:

1)f(x)=x2                        2)f(x)=2x2

الحل:

أ) f(x)=x2

ب)        f(x)=2x2

مثال:

 مثل الاقترانات الاتية بيانيا :

               1)f(x)=-2x2                                            2) f(x)=    

الحل :

1)f(x)=-2x2

ب)        f(x)=    

من المثالين السابقين نلاحظ ان :

ا)هذه الاقترانات هي تمدد للدالة f(x)=x2باتجاه محور y

2) رأس القطع المكافئ لكل هذه الاقترانات هو((0,0

المتتاليات والمتسلسلات

   المتتاليات ( المتتابعات) SEQUENCES

تواجهنا في كثير من الأحوال مجموعات من الأعداد نهتم بترتيب عناصرها بحيث يكون لدينا في كل حالة : عنصر أول ، عنصر ثان ، عنصر ثالث ، . . . نسمي كلا من الأعداد من هذه المجموعات المرتبة متتالية ( متتابعة ) تمييزا لها عن المجمعات العادية التي درسناها سابقا والتي لا أهمية للترتيب بين عناصرها. 

مثال : المجموعة المرتبة : 2 ، 4 ،6 ، 8 ، . . . هي متتالية المعروفة ، متتالية الأعداد الزوجية الموجبة .

نسمي العدد 2 الحد الأول في المتتالية والعدد 4 الحد الثاني فيها ،. . . وهكذا.

مثال: المجموعة المرتبة : 1 ، 3 5 ، . . . هي متتالية الاعداد الفردية الموجبة  ، حدها الأول = 1 ، وحدها الثاني = 3 ،. . . وهكذا.

الحد العام للمتتالية : GENERAL TERM OF A SEQUENCE

بوجه عام تتوالى حدود المتتالية بانتظام أي تكون هذه الحدود وفق نمط أو قاعدة معينة بحيث نستطيع معرفة اي حد في المتتالية إذا عرف ترتيب الحد . الحدالذي رتبته n يسمى النوني أو الحد العام في المتتالية ويرمز له بالرمز un.

مثال: اكتب المتتالية التي حدها العام n2 + 3 = un

الحل : للحصول على حدود المتتالية u1, u2, u3، . . . نعوض قيم n: 1 ، 2 ، 3 ، . . .

 في قانون الحد العام

إذن 5 = 2 × 1 + 3 = u1

      7= 2 × 2 + 3 = u2

      9= 2 × 3 + 3  = u3

    وتكون المتتالية هي : 5 ، 7 ، 9 ، . . .

اسئلة :

السؤال الاول :

 اكتب الحد العام للمتتاليات التالية :

أ) 

ب) 1 ،8 ،27 ،. . . .

ج)7 ،7 ،7 ،. . . . .

المتسلسلات ورمز المجموع SERIES AND SIGMA NOTATION

عرفنا فيما سبق أن المتتالية هي مجموعة مرتبة من الأعداد الحقيقية وفق قاعدة معينة ويفصل بين حدودها الإشارة ((،)) ولكن إذا استبدلنا إشارة ((،)) بإشارة الجمع ((+)) فإن المتتالية تسمى متسلسلة فمثلا: 2 ، 5 ، 8 ، . . . متتالية أم المجموع : 2 + 5 + 8 + . . . فيسمى متسلسلة وللتعبير عن هذا المجموع نستخدم رمزا خاصا يسمى∑ ( ويقرأ سيجما )

مثال : إذا كان   = a ،  = b، أوجد قيم a ، b . ما العلاقة بينهما ؟ ماذا نستنتج ؟

الحل :

30= 3 × 1 + 3 × 2 + 3 × 3 + 3 × 4 = 3 + 6 + 9 + 12 = a

10= 1 + 2 + 3 + 4 =  b

نلاحظ أن  B3 = a

المتتاليات والمتسلسلات الحسابية :ARITHMETIC  PROGRESSION

اتفق مقاول أن يحفر بئرا عمقه 6 أمتار على أن يتقاضى مبلغا قدره 50 ريالا عن أول قدم يحفره ، 75 ريالا عن القدم الثاني ، 100 ريالا عن القدم الثالث . . . وهكذا

يريد صاحب البئر معرفة كم يكلفه حفر المتر السادس من البئر ،/ وكم يكلفه حفر البئر كله .

كتب صاحب البئر الاجرة التي سيدفعها للمقاول عن كل متر يحفره مستخدما النمط السابق نفسه وهو زيادة منتظمة قدرها 25 ريالا  ، فكتب المتتالية :50 ، 75 ، 100 ، 125 ، 150 ، 175.

استنتج صاحب البئر أن المتر السادس يكلفه 175 ، وأن تكاليف حفر البئر كله هي :

50 + 75 + 100 + 125 + 150 + 175 = 675 ريالا.

تسمى المتتالية : 50 ، 75 ، 100 ، 125 ، 150 ، 175  متتالية حسابية .

مثال :

 ميز المتتاليات أو المتسلسلات الحسابية من غيرها فيما يلي :

1) 3 ، 5 ، 7 ، . . . ، 31                               2) 1 + 1/2 + 1/3 + . . . + 1 /20

3) متتالية الأعداد الأولية                                 4) r + 7 ) ∑

                                                                                 r=1

الحل :

1) المتتالية 3 ، 5 ، 7 ، . . . ، 31 حسابية لأن أساسها ثابت حيث 5 – 3 = 2 ، 7 – 5 = 2

2) المتسلسلة 1 + 1/2 + 1/3 + . . . + 1 /20  ليست حسابية لأن

 أساسها غير ثابت حيث 1 / 2 – 1 = - 1 / 2  ، بينما 1/3 – 1/2 = - 1/6

3) متتالية الأعداد الأولية : 2 ،3 ، 5 ، 7 ، . . . ليست حسابية لأن 3 – 2 = 1

 بينما 5 – 3= 2 فأساسها غير ثابت

4) (r + 7 ) ∑       = (1+7) + (2+7 ) + (3+7 ) + ( 4 + 7) + . . . + ( 10+ 7)

                          = 8 +9+10+. . . +17

فهي متسلسلة حسابية لأن أساسها ثابت حيث 9 - 8= 10 - 9 = 1      

الحد العام للمتتالية الحسابية:

لنأخذ المتتالية الحسابية : 3 ، 7 ، 11 ، 15 ،19، 23 ، 27 التي أساسها 4 ونلاحظ النمط التالي:

الحد الثاني 7 = 3 + 4×1 = 3 + ( 2 – 1 )×4 = u2

الحد الثالث 11 = 3 + 4× 2 = 3 (3 – 1 ) × 4 = u3

              

                              

الحد السابع 27 = 3 + 6 × 4 = 3 + (7 – 1 ) × 4 = u7

لاحظ أن كل حد = العدد 3 (الحد الأول )  + ( رتبة الحد – 1 ) × الأساس وهذا ينطبق أيضا على الحد الأول ،تحقق من ذلك.

بشكل العام : إذا كان الحد الاول لمتتالية حسابية هو a وأساسها d  فإن الحد الثاني =  a+ d ، الحد الثالث = a + d2 والحد العاشر = a+ 9d ،وهكذا . . . ويكون الحد العام ( الحد النوني ) هو

  ( n– 1 ) d = a = un

مثال :

 أوجد الحد الخامس في المتتالية الحسابية التي حدها الأول 2 وأساسها 5. تحقق بكتابة الحدود الخمسة الأولى من المتتالية.

الحل :

2=  a،  5 = d

  a+ ( n – 1 ) n= un

2 + (5 – 1 ) ×5= u5

22= 2 + 4× 5  = u

التحقق : المتتالية هي 2 ، 7 ، 12 ، 17 ، 22

الحد الخامس = 22 ، النتيجة صحيحة.

الأوساط الحسابية:ARITHMETIC MEAN

إذا أخذنا ثلاثة حدود متتالية من متتالية حسابية فإن الحد الأوسط منها يكون وسطا حسابيا للحدين الآخرين، ففي المتتالية الحسابية : 5 ، 9 ، 13 ، 17 نلاحظ أن العدد 9 هو الوسط الحسابي للعددين المجاورين 5 ، 13 لأن 9 = 5 = 13  / 2 كما أن العدد 13 هو الحسابي للعددين المجاورين 9، 17.

مثال:

 أدخل 4 أوساط حسابية بين العددين 4 ،  29

الحل : عند ادخال 4 أوساط حسابية بين 4 ، 29 تصبح المتتالية على النحو : 4 ، x 1 ،x2 ، x3، x4 ،29

وتكون  4= a،  29 = u6

  a + d 5 = u6

29= 4 + 5 × d

20= 5d          d = 5

تصبح المتتالية الحسابية : 4 ، 9 ، 14 ، 19 ، 24 ، 29 وتكون الاوساط هي 9 ،14 ، 19 ، 24

    مجموع المتسلسلة الحسابية :SUM OF ARITHMETIC SERIES

في عام 1787 م طلب معلم من تلاميذه أن يجمعوا جميع الاعداد الصحيحة من 1 إلى 100 أي

 1+ 2 + 3 + . . . + 100 لم تمض سوى دقائق معدودة حتى فاجأه احد تلاميذ ويدعى جاوس

 ( وكان آنذاك في الصف الثالث ) بأن اعطاء الجواب الصحيح وهو 5050. سأله المعلم مندهشا كيف حصلت على الجواب ،

كتب جاوس الحل كما يلي :

cn = 1 + 2 + 3 + . . . + 100 ثم كتب المجموع نفسه بشكل معكوس

cn = 100 + 99 + 98 + . . . + 1

بالجمع  cn 2= 1010 + 101+ 101 + . . . + 101    ( عدد  الحدود 100)

2c = 101 × 100

c= 101 × 100 / 2 = 50 ( 101 ) = 5050

مثال : أوجد مجموع أول 20 حدا من حدود المتسلسلة : 3 + 8 + 13 + . . .

الحل : المتسلسلة هي متسلسلة حسابية حدها الأول a= 3 ، d = 5

  n / 2  (2a + ( n – 1 ) d ) = cn

20 / 2 ( 2 × 3 + 19 × 5 ) = 10 ( 6 + 95 ) = cn

                                              = 10 × 101 = 1010

المتتاليات والمتسلسلات الهندسية

GEOMETRIC SEQUENCE AND SERIES

الحد العام للمتتالية الهندسية

مثال:

 ما ترتيب الحد الذي قيمته 1215 من حدود المتتالية الهندسية: 5 ، 15 ، 45 ،. . . ؟

الحل :

نفرض أن الحد الذي قيمته 1215 هو un حيث a = 5 ، r = 3

1215 = 1-arn   =  un

1215 = 5× 3n-1   ( بالقسمة على 5 )

234 = 3n- 1  اذن   n – 1 = 5 لأنه إذا تساوت الأساسات تساوت الأسس

                           n = 6

الحد الذي قيمته 1215 هو الحد السادس

الأوساط الهندسية:GEOMETRIC MEAN 

مثال : ما هو الوسط الهندسي  للعددين 4 ، 9

الحل :  نفرض أن الوسط الهندسي للعددين 4 ، c ،9

من التعريف تكون 4 ، c ، 9 متتالية الهندسية ويكون c / 4 = 9 / c

                                                                   c2 = 36 =          c=± 6

إذن يوجد وسطان هندسيان للعددين 4 ، 9 ، هما 6 ، فتكون لدينا متتاليان إحداهما : 4 ، 6 ، 9 والأخرى : 4 ، -6 ، 9

لاحظ أن 6 =   4 × 9

مجموع المتسلسلة الهندسية:SUM OF GEOMETRIC SERIES

لاحظ أنه إذا كانت  1 = r فإننا لا نستطيع تطبيق القاعدة المذكورة أعلاه ولكن المتسلسلة الهندسية تصبح :

a+ a + a + . . . = a ∑ = n a

مثال ( 1 ) :

 أوجد مجموع الحدود الستة الأولى من حدود المتسلسلة الهندسية : 3 + 6 + 12 + . . .

الحل :

  3= a،  2 = r

c = 3 ( 2 6– 1 ) / 2 – 1 = 3 ( 64 – 1 )  / 1 = 3 × 63 = 189

مثال ( 2 )        4

 أوجد            5R  ∑

                        R=1

الحل :

المتسلسلة هي : 5 1 + 5 2+ 5 3+ 5 4

أي أنها : 5 + 25 + 125 + 625 = 780 ، يمكن حساب المجموع باعتبار المتسلسلة متسلسلة

هندسية حدها الأول 5 وأساسها 5 فيكون مجموعها هو :

c = 5 ( 5 4– 1 ) / 5 – 1 = 5 × 624 / 4 = 5 × 156 = 780

 المتسلسلة الهندسية اللانهائية :

INFINITE GEOMETRIC SERIES

مثال :

  أوجد مجموع المتسلسلة 1 + 1/3 +1/9 + . . . إلى ما لا نهاية ( إن وجد ).

الحل :

المتسلسلة هندسية لا نهائية حدها = 1 ، وأساسها = 1/3

وبما أن 1/3< 1 إذن يوجد للمتسلسلة مجموع هو

c= a / 1 – r = 1 / 1-1/3  = 1 / 2/3 = 3\2

مثال  :         ∞

 أوجد ( -1/2)r ∑

الحل :

الحد الأول من حدود المتسلسلة هو  -1/2 = (-1/2) =u

u2= ( -1/2)2  = 1/4       ، u3=  (-1/2)3=-1/8

حدود المتسلسلة هي : -1/2 ، 1/4 ، -1/8 ، . . . فهي متسلسلة لا نهائية.   

r = 1/4 ÷-1/2 = - 1/2 ، وبما أن | -1/2| = 1/2<1 إذن للمتسلسلة الهندسية اللانهائية

مجموع هو:

c∞ = a/1- r = -1/2 /( 1+1/2 ) = -1/2 / 3/2 = -1/3 

يمكن استخدام مجموع المتسلسلة الهندسية اللانهائية في بعض تطبيقات كما يتضح من المثال الآتي:

مثال (3):

 حول الكسر العشري الدوري 4   إلى كسر عادي

الحل: إن الكسر العشري يكافئ الكسر العشري00000 444 0

00000 444 0 = 4/10 + 4/100 + 4/ 1000 +. . .

لاحظ أن 4/100 ÷ 4/10 = 1/10 ، 4 / 1000 ÷ 4/ 100 = 1/10

فالمتسلسلة هندسية لا نهائية أساسها r = 1/10 ،   4/10 =a

فيكون مجموعها c= a / 1- r = 4/ 10 /  1-1/10 = 4/9 ÷ 9/10 =

 4/10× 10/9 = 4/9

إذن 4   = 4/9 . تحقق من صحة الجواب بتحويل الكسر 4/9 إلى كسر عشري

      

عطفا على الحديث الشفوي مع حضرتكم وكذلك مع المدير الاكاديمي بخصوص المكافأة المالية بدل اعداد كتب الرياضيات وجريا على ما هو متبع في المدارس المستقلة ونظرا للحاجة الماسة ، أرجو النظر في صرف مبلغ عشرة الاف ريال علما بأن كتاب الصف العاشر جاهز وسيكون كتاب الحادي عشر جاهز في غضون اسبوع