المجموعة المنتهية والمجموعة غير المنتهية

 المجموعة المنتهية والمجموعة غير المنتهية

   Finite and Infinite Sets

لتكن {مجموعة احرف كلمة الخرطوم} = W

ويمكن كتابة المجموعة س بطريقة ذكر جميع عناصر المجموعة:

{ ا ، ل ، خ ، ر، ط ، و ، م}= W

تلاحظ انه يمكن حصر عناصر المجموعة س ، أي يمكن الاننتهاء من عد عناصرها.

تسمى هذه المجموعة وأمثالها بالمجموعة المنتهية ، ولكن هل هناك مجموعات لا يمكن حصر

عناصرها ، ولا يمكن الانتهاء من عد عناصرها ؟

والجواب : نعم ، فمثلا  المجموعة { ب : ب عدد فردي } F=  لا يمكن حصر عناصرها ولا

يمكن الانتهاء من عد ايضا .

وتسمى هذه المجموعة وامثالها بالمجموعة غير المنتهية.

ومن الامثلة على المجموعات غير المنتهية :

1- مجموعة الاعداد  الطبيعية    {  0 ،1،2،3،4،5. . .} = N

2- مجموعة مضاعفات العدد5.

 

 العمليات على المجموعات Operations on Sets

اولا : تقاطع المجموعات    Intersection  

اذا كانت  2،3،4،5،6 = A

          2،4،6، 8،9،12،15 =B

تلاحظ ان المجموعة العناصر المشتركة بين المجموعتين A، Bهي هي المجموعة    

  2، 4،6   =  D وتسمى المجموعة DبمجموعةA تقاطع B.

ويرمز لها بالرمز  A B   ، او B  A  ، وتقرأ Aتقاطع B، او Bتقاطع A. وتكتب بطريقة الصفة المميزة    X:X A  و X    B   =A  B .

وبشكل عام ، فان تقاطع مجموعتين مثل A،B هو المجموعة التي تنتمي الى عناصرها لكل من المجموعتين A،  Bمعا ، ويرمز لهاA  B، اوB A.

مثال ( 1)  :اذا كانت A مجموعة ارقام العدد 23452،و كانت

B =   أ : أ عدد فردي محصور بين 2،8 ، اوجدA  B

الحل : ان

 2 ، 3 ، 4 ، 5    = A ، 3 ، 5 ، 7 = B، ومجموعة التقاطع بين  A  B هي مجموعة كل العناصر المشتركة بين المجموعتينA ،  B.

أي ان  3 ، 5 =A B= W

مثال ( 2 ) : اذا كانت Aمجموعة الاشهر الميلادية التي عدد ايامها 31 يوما ،

 وكانت S  مجموعة الاشهر الميلادية التي عدد اايامها 30 يوما ، فاوجدA   S

الحل : ان   كانون الثاني ، اذار ، ايار ، تموز ، اب ، تشرين الاول ، كانون الاول= A

كما ان{نيسان ، حزيران، ايلول ، تشرين الثاني  =S اذن A  S= {} =     

ونقول في هذه الحالة بان المجموعتين A ، S  منفصلتان او متباعدتان

ثانيا : اتحاد المجموعات   Union of Sets

اذا كانت  {اسامة ، غسان ، امل ، سعيد}= A هي مجموعة الطلبة المتفوقين في مبحث الرياضيات في صفك ،   { سائد ، اسامة ، سعاد }=B هي مجموعة الطلبة المتفوقين في مبحث العلوم في صفك ، واراد مدير المدرسة القيام برحلة للطلبة المتفوقين في مبحث الرياضيات او في مبحث العلوم الى نادي العلوم والرياضيات في مدرسة مجاورة.

ما هي مجموعة الطلبة التي ستشارك في الرحلة؟

ان مجموعة الطلبة التي ستشارك في الرحلة تشمل كل طالب من المتفوقين في الرياضيات أو العلوم ، أي أن المجموعة التي ستشارك في الرحلة هي

 أسامة ، غسان ، امل ، سعيد ، سائد، سعاد . = D

وتسمى هذه المجموعة مجموعة اتحاد المجموعتين A ،B وتكتب

B  A =   BA ، وتقرأ A اتحاد B.

مثال : اذا كانت

  مجموعة احرف  كلمة بيروت= A،  ل ، ب ، ت ، ع =B

1)         مثل المجموعتين باحد اشكال فن.

2)         اوجد A  B

   الحل : 1) شكل فن المقابل يمثل المجموعتين A ، B

            2) ان   ي ، ر ، و ، ب ، ت ، ل ، ع = A  B

المجموعة الكلية والمجموعة المتممة Complement  Universal and

مثال : اذا كانت

 {   x : x احد اشهر السنة الميلادية }  =S     

وكانت { y : y احد اشهر السنة الميلادية السنة الميلادية عدد ايامه 30 يوما }=A

1)اكتب عناصر المجموعة S بطريقة ذكر جميع عناصر المجموعة.

2) اكتب عناصر المجموعة A  بطريقة ذكر جميع عناصر المجموعة.

3) ماذا تلاحظ بالنسبة المجموعة A

الحل : 1)  { كانون الاول ، كانون الثاني ، شباط ن اذار ، حزيران ، تموز ، اب ، ايلول ، تشرين الاول، تشرين الثاني } = S

        2) { نيسان ، حزيران ، ايلول ، تشرين الثاني }= A

  

3) الاحظ ان كل عنصر في المجموعة A ينتمي الى المجموعة S . أي ان A S .

نقول ان المجموعة S هي المجموعة الكلية في هذا المثال بالنسبة للمجموعة A، وعليه اذا كانت S هي المجموعة الكلية في سؤال ما فان :

•          جميع العناصر التي تنتمي الى المجموعات تنتمي الى S.

•          جميع المجموعات الواردة في السؤال مجموعات جزئية من S .

•          المجموعة S ثابتة في السؤال الواحد ولكنها تتغير من سؤال الى اخر .

هذا وتسمى مجموعة العناصر الموجودة في S وغير المجموعة A بمتممة المجموعة A

وتكتب A

=A { W : W  S ، W   A}    

مثال ( 2 ) : اذا كانت

 { 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6 ، 7 ، 8 ،9 }=  E ، { 2 ، 7 ، 8}= A،

{ 2 ، 3 ، 5 ، 7 }   =S ، فأوجد كلا مما يلي من المجموعات الاتية :

1) A                               2) S                              3) 

4) A S                     5) E                                 6)  S   A

الحل : 1 ) {  1 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6 ، 9 }   = A -  E =   A

           

      2)    {  1 ، 4 ، 6 ، 8 ، 9  }=     S – E = S

      3)        E = 

     4 )    2 ، 3 ، 5 ، 7 ، 8 = A S،

اذن متممتها : 1 ، 4 ، 6 ، 9 

5)  = E – E= E

     6 )  2 ، 7  = A  S

اذن  1 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6 ، 8 ،9 = A  S

قانونا ديمورغان :

1)         S  A  = A S

A                       S

           

           

2)         A  S = A  S

A                         S

قانون توزيع الاتحاد على التقاطع:

                              A ( S  D ) = (A S )  (A D )

قانون توزيع التقاطع على الاتحاد:

A  (S D ) = ( A  S )  ( A  D )

  

اسئلة عملية على المجموعات :

صف فيه 30 طالب منهم 14 يدرسون الرياضيات ، 18 يدرسون الفيزياء ، 2 لا يدرسون ايا

من الموضوعين ، ارسم شكل من اشكال فن لتوضيح هذه المعلومات ثم اجب عن الاسئلة

التالية :

1)         ما عدد الطلبة الذين يدرسون الموضوعين معا 

2)         ما عدد الطلبة الذين يدرسون الرياضيات فقط 

                                         

                                                                    30

الحل:                                           14           18                                                                                 

14+18 +2 =34                                                

34-30=4                                                          2

اذن عدد الطلبة الذين يدرسون الموضوعين هو 4

عدد الطلبة الرياضيات فقط هو 14-4=10

اسئلة على المجموعات :

1)اذا كانت {2، 3 ، 5 ، 7} = A، {2 ، 4 ، 6 ، 8 }= B، E مجموعة الاعداد الطبيعية من

1الى 10 ، اوجد ما يلي :

1)         A B

2)         A B

3)         A- B

4)         B- A

5)        

6)

   7)  

2) مدرسة فيها 300 طالب منهم 90 مشتركون في نادي السباحة ،100 مشتركون قي نادي كرة القدم ،150 غير مشتركين في اي من الناديين ، ارسم شكل من اشكال فن واستعمله في اجابة الاسئلة التالية :

1) ما عدد المشتركين في الناديين معا

2) ما عدد المشتركين في النادي كرة القدم فقط 

الأعداد الصحيحة Whole Numbers ( Integers)

   الاعداد الصحيحة

لقد تعلمت سابقا ان الاعداد الصحيحة تقسم الى قسمين :

1 ) الاعداد  الموجبة الصحيحة  :

لقد تعلمت اصنافا من الاعداد ، فتعرفت الاعداد الطبيعية 0 ، 1 ، 2 ، 3 ، 4 ،. . . . والكسور العادية ، والكسور العشرية ، وعرفت ان العدد الطبيعي يمكن ان تكتب على الصورة الكسرية ، وذلك بجعل العدد بسطا لكسر مقامه( 1 ) ، وتعلمت كيف تحول الكسور من صورة الى اخرى، وهي نفسها الاعداد الصحيحة الموجبة ، والتي تكتب 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، وكتب بطريقة ثانية +1، +2 ، +3 ، فاتفقوا على اعتبار التغير بالزيادة او الصعود موجبا ويرمز لها (+) ، اما في الحالة الحركة يمينا موجبا وكذلك يمكن اعتبار الحركة الى الامام موجبة، وتسمى الاعداد التي تدل على كميات موجبة بالاعداد الطبيعية او الموجبة .

2)  الاعداد السالبة الصحيحة :

اتفق الرياضيون ( تيسرا للتواصل بين  الناس ، وتبسيطا للظواهر العلمية ) على اعطاء بعض اشياء الكمية صفة الموجب واعطاء وعطاء الاشياء الكمية المعاكسة لها صفو السالب ، كما اتفقوا على اعتبار التغير بالنقصان او النزول سالبا ، اما في الحالة الحركة الى يسار فتكون الحركة سالبة، وكذلك يمكن اعتبار الحركة الى الخلف سالبة، وتسمى الاعداد التي تدل على كميات سالبة بالاعداد سالبة .

والان يمكنك كتابتها . . . ،3 ، 2 ، 1 ، صفر ، -1 ، -2 ، -3 ،..... = S ، وهي مكونة من مجموعة الاعداد الصحيحة الموجبة 1 ، 2 ،3، ......  =  z+، ومجموعة الاعداد الصحيحة السالبة  -1 ، -2 ، -3 ، ....... =  z-، ومجموعة صفر.

وعليه فان Z +   صفر   Z - = Z، ومن الممكن تمثيل z ، بأحد اشكال فن كما في الشكل المجاور                                                                                                                                                                       

                                                                                               

Z                                                                                                +   صفر  -Z                                                                                                                                                                          

                           

واليك المثال التالي لتتعرف على بعض استخدامات الاعداد الصحيحة:

مثال : عبر عن الجمل التالية باستخدام الاعداد الصحيحة:

1)         ربح محمد 5 دنانير.

2)         خسارة احمد 3 دنانير .

3)         ايداع عبير 10 دنانير في حساب توفيرها. ( اعتبر الايداع زيادة )

4)         سحب 5 دنانير من حساب التوفير.

5)         ارتفاع درجة حرارة الميزان الى 3 درجات مئوية فوق الصفر

الحل: 1) الربح هو حالة الزيادة ويعبر عن ذلك +5. 

       2) الخسارة هي حالة النقصان ويعبر عن ذلك -3.

       3)الايداع هو حالة الزيادة ويغبر عنه بالعدد +10 .

      4 ) السحب هو حالة النقصان ويعبر عنه -5.

5)ارتفاع درجة الحرارة بثلاث درجات مئوية فوق الصفر يشار اليه بالعدد الصحيح +3.

معكوس العدد

يقال ان العددين الصحيحين متعاكسان اذا وقعا على خط الاعداد تبعدان المسافة نفسها عن الصفر وتقعان  على جهتين مختلفتين  منه مل 5 ، -5 ،   4 ، -4 ،    6 ، -6

مثال (1)  :اذكر معكوس كل من الاعداد الاتية؟

أ ) 3                                            ب ) -4                               ج ) 6

الحل :       أ ) معكوس العدد 3 هو -3

              ب ) معكوس العدد -4 هو - (-4) = 4

              ج ) معكوس العدد 6 هو -6

مثال (2) : ما هو الوضع المعاكس لكل من العبارات الاتية :

أ ) 200 متر فوق سطح البحر.

ب) خسارة 20 دينارا.

ج) ربح 5 دنانير

د ) تحرك 5كم غربا

الحل :       أ) 200 متر تحت سطح البحر

                  ب) ربح 20 دينارا 

                 ج ) خسارة 5 دنانير

                  د ) تحرك 5 كم شرقا

أسئلة :

 1)استخدم خط الاعداد واعين الاعداد الآتية عليه :

أ) عدد صحيح يكون على بعد 3 وحدات من الصفر

ب) جميع الاعداد الصحيحة الموجبة التي هي اصغر من +5

ج) عدد صحيح على بعد 3 وحدات من (-1)

د) جميع الاعداد الصحيحة اتلتي تكون سالبة واكبر من -6

2) اجب على كل مما يلي :

أ) ما هو اكبر عدد صحيح سالب .

ب) ما هو اصغر عدد صحيح موجب

ج) ما العلاقة بين اكبر عدد صحيح سالب واصغر عدد صحيح موجب .

3) جد ناتج ما يلي :

أ) {1 ،- 2 ، 3 ، 2 } {-2 ، 5 ، 4 }

ج) {-1 } {1}

د) {-1}  {1}

3)         ارسم خط أعداد مناسب ، ومثل كلا من الاعداد الاتية ومعكوسها عليه:

   أ)14

  ب) – 53

  ج) -87

4) اكتب عناصر كل من المجموعات الاتية مستعينا بخط الاعداد :

أ){ِ A :A  عدد صحيح يبعد 4 وحدات عن الصفر}

ب) {B  :B  عدد صحيح سالب اكبر من -6 } 

مقرر الرياضيات

مراجعة اساسية :Essential revision

1) الترتيب :ان ترتيب حسب المقادير يتطلب معرفة بالرموز الرياضية المشهورة مثل :

= يساوي 

≠ لا يساوي

> أكبر من

< أصغر من

≤أصغر أو يساوي

≥أكبر أو يساوي

فعندما نقول أن S≥3 فهذا يعني ان S يمكن ان تكون...  3,4,5,6 ويمكن تمثيل ذلك

على خط الاعداد

    

             0     1     2      3        4        -4     -3     -2     -1

اما عندما نقول ان 2-<S≤ 5 ممكن ذلك ان S يمكن ان تكون-5,-1,0,……,5

ويمكن تمثيل ذلك على خط الاعداد

    

0     1     2      3      4    5                             -4     -3     -2     -1          

  كتابة العدد بالصورة العلمية( القياسية)

Standard (Scientific ) form

تعرض لنا في حياتنا العلمية أحيانا أعداد تكون كبيرة جدا أو صغيرة جدا ، فعلى سبيل مثال سرعة الضوء  م/ ث300000000، وكذلك الميكرون الواحد يساوي بوصة0.00003937 ولا شك في أن التعامل مع هذه الأعداد بصورتها العشرية هذه يعد صعبا دون استخدام الآلة الحاسبة لذلك تم الاتفاق على استخدام أسس العدد 10 لكتابة مثل هذه الأعداد ، لتكون على الصورة التالية  1  a  10،    a  ,   a  10 zعدد نسبي، z عدد صحيح ، وتعرف هذه الصورة بالصورة العلمية للعدد.

مثال ( 1 ) :اكتب كلا من الأعداد الآتية بالصورة العلمية للعدد :

1)  1000000                                                

2)   923478.5

3)  230000000

  4)  278.34191

•          الحل : تذكر A× 10S    ، حيث 10 A 1

  10 6 × 1) 1000000=1 

10 5×2) 923478.5= 9.234785

10 8 ×3) 320000000 = 2.3

10 2     ×4) 278.34191 = 2.7834191

مثال ( 2) :

 اكتب كلا مما يأتي بالصورة العشرية :

1.2                        2) 3.4   107                3) 2.175  10             1 )   10 9

                الحل :

      1)  1.2  108 =1200000000     

             = 3.4  2)  3.4   10 7

             2750 = 3)  2.175   104

ألأس السالب :

10=  1×110

0.1       =  1 10-1 

0.01 = 1 10-2

مثال : اكتب.0032    بالصورة العلمية

الحل: 3.2 ×10 -3

                                        

اسئلة :

1---      اكتب كلا مما يأتي على الصورة العشرية :

1) 2.9  10 8

1.4  ×2) 10

3) 1  10 9

125    10 7  4) 6.

2-----    اكتب كلا مما يأتي على الصورة العلمية للعدد :

1) 780000

2) 314375.2 

3) 615000000000

4) 1 000 000 000

3-----     اوجد قيمة D في الحالات التالية :

1) .00025 = 2.5  10 D

D      2) 0.00000006 = 6  10 

قوة العمليات :Order of Operations          

           

اذا كان السؤال يشمل على اكثر من عملية فإننا نجري العمليات حسب الترتيب التالي

1) الاقواس                                2)الاسس                     3)القسمة

4) الضرب                                5) الجمع                     6)الطرح

كما في الامثلة التالية :

1) 3+7  2-4=3+14-4=13

2)   (3+7)×2-4 =10×2-4 =20-4 =  162) (3+7)  2-4 =10  2-4= 20-4 =16

  3) 3+7(2-4)=3+7 -2=3+-14=-11

4) (3+7)  (2-4) = 10-2=-20

  

التقريب : Approximation

حضر مباراة لكرة القدم 28617 شخص ، هذا الرقم فيه 5 ارقام معنوية ويمكن تقريبه الى عدة

درجات من التقريب

فمثلا هذا العدد يصبح  30000           لاقرب 10000

                               29000       لاقرب 1000

                               28600    لاقرب 100

سؤال : قرب لاقرب 1000 : 

1) 68786               2) 74245                   2) 4020

سؤال : قرب لاقرب 10   

1) 485                 2) 83                 3) 997

المنازل العشرية : Decimal Places

وهو عدد الارقام التي على يمين الفاصلة العشرية

مثال :

اكتب  7.864 لاقرب منزلة عشرية واحدة

الحل :

هذا يعني اننا نحتاج الى منزلة عشرية واحدة على يمين الفاصلة ولهذا ننظر الى اول

منزلة بعد هذه الحالة 6 ولانها اكبر من 5 فاننا تزيد واحدا على المنزلة المطلوبة فيصبح العدد

  لمنزلة عشرية واحدة =7.9  7.864

مثال:

 اكتب  5.574 لاقرب منزلتين عشريتين 

لاقرب منزلتين عشريتين 5.574 =  5.57

الارقام المعنوية :Significant figures

مثال : اكتب 43.25لاقرب 3 ارقام معنوية

الحل: 43.25 فيه 4 ارقام معنوية ولجعله 3 ارقام معنوية يصبح 43.3

مثال : اكتب 0.00043لاقرب قم معنوي واحد

الحل : 0.00043 فيه 2 رقم معنوي فقط ولجعله رقم معنوي يصبح 0.004

الاعداد الاولية :Prime numbers

العدد الاولي هو العدد الذي له عاملان قاسمان فقط هما 1 والعدد نفسه وفيما يلي بعض الاعداد الاولية :

2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,……

القاسم (العامل ) المشترك الاكبر HCF  Highest Common Factor  

المضاعف المشترك الاصغر  Lowest Common Multiple    LCM

يمكن استخدام فكرة التحليل الى العوامل الاولية لايجاد القاسم المشترك الاكبر لعددين ، كما يمكن

معرفة القاسم مباشرة للاعداد الصغيرة نسبيا فمثلا

H.C.F   للعددين   7     5, هو     1  اما  LCM   فهو  35

  h.c.f   للعددين  4 , 6  هو  2        اما    LCM   فهو  12

 اما في حال الاعداد الكبيرة فاننا نلجأ الى التحليل الى العوامل الاولية لايجاد القاسم المشترك

الاكبر

مثال : جد القاسم المشترك الاكبر للعددين 360,240

الحل :                       360                                 240     

                            10    36                           24         10

                     

                        5     2    6    6                    6     4     2   5

                                 3   2     3    2        2                                           2   2   3    

360=2  2 2 3  3  5

240=2  2 2  2   3  5

            وعليه                 LCM =720         120    H.C.F= 2  2 2  3 5    =

تمارين :

 جد القاسم المشترك الاعظم والمضاعف المشترك الاصغر للعددين في الاقواس فيما يلي :

1)    (12,8)                                 2)   (27,18)                               3)   150,90)

4)     (49,70)

     المجموعات والاعدادSets and Numbers

المجموعة وعناصرها

يكثر استعمال كلمات مرادفة لكلمة المجموعة في حياتنا اليومية مثل اسرة ، عائلة ، فريق ، باقة ، جماعة ،قطيع ، سرب. . . لتدل على تجمع من الاشياء التي ينظر اليها ويفكر بها كوحدة واحدة ، فالكلمات الموجودة داخل الشكل البيضاوي ما يسمى مجموعة فصول السنة

فالربيع هو احد عناصر محموعة فصول السنة، وامارات المتحدة هي إحدى عناصر مجموعة الدول العربية، وإمارة دبي هي إحدى عناصر مجموعة إمارات المتحدة.

ومن الأمثلة على المجموعات:

مجموعة الشهور السنة الميلادية.

مجموعة عواصم الدول العربية في آسيا.

مجموعة طلاب فريق كرة الطائرة في مدرسة.

مجموعة الأعداد الزوجية المحصورة بين 11،3

تستخدم الحروف الهجائية  ,B,A. . . لترمز إلى المجموعات.

فتقول مثلا Aهي مجموعة ألوان العلم القطري ( اكتب عناصر هذه المجموعة ).

كما نقول بأن الأبيض احد عناصر المجموعةA أو ينتمي إلى المجموعة س ويرمز لذلك بالرمز  ولكن اللون الأصفر ليس احد عناصر المجموعةA أو لا ينتمي إلى المجموعة ِِِA، ويرمز لذلك الرمز 

نقول:

عمان     مجموع عواصم الدول العربية الآسيوية.

مصر     مجموعة الدول الأوروبية.

ل          مجموعة أحرف كلمة جمال.

7         مجموعة الأعداد الفردية.

9        مجموعة الأعداد الأولية

                                       

 طرق كتابة المجموعات

هناك طريقتان لكتابة المجموعة:

الطريقة الأولى: كتابة المجموعة بذكر عناصرها.By Listing elements

إذا كانتA مجموعة عوامل العدد 12 فإنه يمكن أن يعتبر عن هذه المجموعة بكتابة جميع عناصرها وهي 12، 6، 4، 3، 2، 1 بين حاصرين كما يلي:

12، 6، 4، 3، 2، 1 = A

حيث توضع العناصر بين حاصرين بغض النظر عن ترتيبها ، مع مراعاة عدم تكرار العناصر المتشابهة كما توضع فاصلة بين كل عنصر وآخر . وتسمى هذه الطريقة ذكر جميع عناصر المجموعة، أو طريقة الحصر، أو طريقة السرد أو طريقة القائمة في الكتابة المجموعة.

مثال(1): اكتب مجموعة أحرف كلمة الدوحة بطريقة ذكر جميع عناصرها.

الحل: مجموعة أحرف كلمة الدوحة هي

    ا، د، ل، ح، ة، و  =Y   

مثال (2): اكتب مجموعة أرقام العدد 5325454 بذكر جميع عناصرها.

الحل: المجموعة أرقام العدد هي

     4، 5، 2، 3  =  X     

 نلاحظ هنا بأننا لم نكرر العناصر المتشابهة.

الطريقة الثانية: كتابة المجموعة بطريقة الصفة المميزة:By Describing elements

إذا كانت

{السبت، الأحد، الاثنين،  الثلاثاء، الأربعاء، الخميس، الجمعة } = A

فانه يمكن التعبير عن المجموعة س بإعطاء رمز عام لعناصرها ثم ذكر الصفة المميزة هذه العناصر، فنقول:

     { ب: ب أحد أيام الأسبوع} = A ، حيث ب ترمز للعناصر، و(:) تعني (حيث).

وتقرأ Aهي مجموعة العناصر ب حيث ب أحد أيام الأسبوع.

مثال: اكتب مجموعة الأعداد الطبيعية المحصورة بين 3، 22 التي تقبل القسمة على5 دون باق:

1-         بطريقة ذكر جميع عناصر المجموعة.

2-         بطريقة الصفة المميزة.

الحل: 1- بطريقة ذكر جميع عناصر المجموعة.

الأعداد الطبيعية المحصورة بين3،22  والتي تقبل القسمة على 5دون هي 5، 10، 15،20.

إذن المجموعة المطلوبة هي     {5، 10، 15،20} =  A

2) بطريقة الصفة المميزة :المجموعة المطلوبة

           { x: x عدد طبيعي محصور بين3، 22  ويقبل القسمة على 5 دون باق } =A        

 تمثيل المجموعات باشكال فن  Venn Diagrams

يمكن تمثيل المجموع بمنحنى مغلق بسيط، حيث تمثل عناصر المجموعة بنقاط داخل المنحنى

المغلق ويسمى هذا التمثيل بأشكال فن نسبة إلى العالم البريطاني جون فن.

ويجب التأكيد بأن:

مثال: إذا كانت A هي مجموعة الأعداد الأولية المحصورة بين 4 ،12.

1-         اكتب المجموعة A بطريق ذكر جميع العناصر.

2-         اكتب المجموعة A بطريقة الصفة المميزة

3-         مثل المجموعةِA بأحد أشكال فن.

الحل: 1- الإعداد الأولية المحصورة بين 4 ،12 هي 5،7،11

         إذن المجموعة      { 5،7،11 } = A

                                                                                                   

        2- المجموعةA =    { x: x عدد أولي محصور بين 4 ،12 }                                                                                                                                                                                                             

3-         الشكل المجاور يبين تمثيل المجموعة A بأحد أشكال فن:           A                             

                                                                                       5                 7

                                                                                                   

                                                                                               11

  المجموعة الجزئية ( الاحتواء ) Subsets

  

                                                                                                                                                                                B                                                                                               

                                        

إذا كانت A                                                                                                 

 A=      { و، ا، ح، ة }    هي مجموعة                                                       

حروف كلمة واحة، B  =   { ا، ل، د، و، ح، ة }   هي مجموعة           ة    ا       و                                                                                                                                                                                                                                                                                                               

حروف كلمة الدوحة. فان كل عنصر ينتمي للمجموعة A                      ح                    ل                          

ينتمي أيضا للمجموعة B.                                                                                                                                                        

فمثلا و    A، و    Bآ، كما إن  ح  A  ،ح   B...                          د                                            

وهكذا لجميع عناصر المجموعةA.                                                            

مثال: إذا كانت

     { 1،2،3،4،5،6،7،8،9} = A

فأي المجموعات الآتية مجموعة جزئية من المجموعة A

1)      {5،6، 7 }= B                 2)    { 5 ، 8، 9}= C           3) المجموعةA     

الحل:

1)         تلاحظ ان 5  B، 5 A، كما إن B6  ، A 6 ، وكذلك فان  7 B،

        7   A.

إذن  B A لان كل عنصر من عناصر المجموعةB ينتمي للمجموعة A.

2)         إن المجموعةC ليست مجموعة جزئية من المجموعة A وفي هذه الحالة

 نكتب   C   A

3)         إنA  A  لان كل عنصر في ِAينتمي اليها

ويمكن تعميم الحالة الثالثة بان كل مجموعة هي مجموعة جزئية من نفسها.

تذكر بان الانتماء يربط عنصرا بمجموعة بينما يربط الاحتواء مجموعة بمجموعة.

   تساوي المجموعات Equality of two sets   

إذا كانت ع هي مجموعة أحرف كلمة بسام، ص هي مجموعة أحرف كلمة باسم فان

   ب، س، ا،  م ،}  =  A    ب، ا، س، م}=  . B

وتلاحظ أن كل عنصر من عناصر المجموعة  Aينتمي إلى المجموعة B وعليه فان

A      B، كما إن كل عنصر في المجموعة  Bينتمي إلى  Aوعليه فان B  A ، وفي الحالة نقول إن A= B.

مثال : إذا كانت Sهي مجموعة أرقام العدد 3234 ، وكانت Dهي مجموعة أرقام العدد 2243 ، فهل S= D

الحل : ان { 2،3،4 } =S،{ 3،4،2}= D وبما ان عناصر المجموعةS هي نفسها عناصر المجموعة D ، اذن D=  S

   المجموعة الخالية Empty Set

لتكن  { أ : أ دولة عربية في اوروبا } = A

نلاحظ ان المجموعة س لا تحتوي على أي عنصر ، اذ لا توجد اية  دولة عربية في اوروبا .

                                      {}                                            

                                                              

ومن الامثلة على المجموعات الخالية :

1)         مجموعة الاشهر التي يزيد ايامها على 31 يوما

2) مجموعة احرف العلة في كلمة رفح .

3)مجموعة الاحرف المنقوطة في كلمة صلاح

4)مجموعة الاعداد الصحيحة المحصورة بين 2،5التي تقبل القسمة على  7بدون باق

فمثلا :           2،3          أ : أ عدد صحيح اقل من 10 