الخميس، 8 ديسمبر، 2016

الهندسة الاحداثية


الهندسة الاحداثية Coordinate Ge

تقاطع خطي الأعداد المتعامدين ؛ الخط الأفقي

ويسمى محور السينات x axis ، والخط الرأسي ويسمى               الربع الأول       الربع الثاني محور  الصاداتy axis ، وتسمى نقطة تقاطعهما                                            
 نقطة الأصل Origin
                                              محور السينات                                و                        
 أما المستوى الناتج فيسمى المستوى                   x

الإحداثي أو المستوى الديكارتي.                                 الربع الرابع                الربع الثالث

كل نقطة في المستوى الإحداثي ، تقابل زوجا

مرتباordered pair من الأعداد الحقيقية ، مسقطه الأول يسمى                 

الإحداثي السيني، ومسقطه الثاني يسمى الإحداثي الصادي ، ويرمز له بالرمز (x,y  ) وكل

زوج مرتب من الأعداد الحقيقية ، يقابل نقطة واحدة فقط في مستوى المحورين الإحداثيين .

وقد قسم المستوى إلى أربعة أقسام بالمحورين الإحداثيين يسمى كل قسم منها ربعا ، وترقم بعكس

اتجاه عقارب الساعة كما في الشكل السابق ، كذلك يكون الاتجاه الموجب للمحور السيني على

يمين نقطة الاصل (o)     ( origin)( 0,0 ) ، والاتجاه السالب يكون على يسارها ، والاتجاه

الموجب للمحور الصادي يكون أعلى نقطة (o) والاتجاه السالب يكون أسفلها .



اسئلة :



1) ارسم في المستوى الديكارتي القطع المستقيمةAB, CD,EF  ، حيث (3 ،1)A ،(3،3)B ،C(2,2) ،D(5,2) ، E(3,-4) ،F( 6,4 )



2 )  عين النقطتين : ( 1,4) C ، ( ،3,4) D في المستوى الديكارتي ، ثم جد طول القطعة CD



3) اذا كانت (2،2) C، (2-2,) M، (-2،2-)K. جد احداثيي النقطة R  ، بحيث يكون
 الشكل RMCK مربعا



المسافة بين نقطتين في المستوى
Distance between two points
قانون المسافة بين نقطتين   :

                                                                                     y
                                                                                                               A                     5            
مثال  في الشكل ، جد AC (المسافة بين النقطتين A C,)                                             
                                                                                                               C   
الحل : من الرسم فإن                                                                B                      2         
BC=4 ، AB=5                                                                        
وباستخدام نظرية فيثاغورس                                                                         
فإن  :   x      5              1


AC ) 2 = (AB) 2 +(BC) 2)
                                                                                                    
= 9+16 AC ) 2 =)
 AC ) 2 =25)
AC ) 2 =5)

النقطة (5 ،5 )A ، والنقطة  (2 ،1 )C

2 ( 5 – 2) + 2 (5 – 1)   =AC
أو  2 ( 2-5 ) + 2 (1-5) = AC2

   9+16=AC2

   5   = AC

اسئلة :
1)      على المستوى الديكارتي:

أ‌)       عين النقطتين ِ) 2،-2) A ، (2،2) B

ب‌)     بين ان المثلث ABO متساوي الساقين حيث O نقطة الاصل .



2) لتكن (2 -،3) A، (-1،4) B، 2 ) ،1-) C ، (1 ، 2-)   D. هل الشكل
ABCD  متوازي اضلاع.



3) بين ان المثلث ABC الذي  (-1، A (2، (1،2) B (1 ،-1) C
 قائم الزاوية ثم جد مساحته .



4) اذا كانت (-1،0) A ، (0،3) B  (-2،4) C جد اطوال اضلاع المثلث ABC

إحداثيات النقطة التي تنصف قطعة مستقيمة
Mid point coordinates

قاعدة :

مثال :
جد إحداثي النقطة R إذا علمت أنها منتصف القطعة المستقيمة MN حيث ( 5، -3 ) M،

 (-2 ،7 ) N

الحل :
الإحداثي السينيي للنقطة 2= (-3 + 7) / 2 = R
الإحداثي الصادي لنقطة (5 +-2) /2 = 51
 ( 5 ,1 ، 2 ) R

اسئلة :
1)جد احداثيي منتصف القطعة  حيث (2 ، -4) A ، b(-3 ،-6)  B

2) جد احداثيات منتصف القطعة في الحالات التالية:

ِ A (1,-3)       B(-5,1)

A(-7,4)        B(1,9)

A(2,6)         B(4,10) 







ميل الخط المستقيم: Gradient( slope) of a st. line 


نلاحظ أن ميل الخط المستقيم :
في حالة y1 = y2 ، يكون هذا المستقيم عمودا على محور y( موازيا لمحورx)، وميله = صفر
وفي حالة x1 = x2   يكون هذا المستقيم عمودا على محورx
 ( موازيا لمحور y) ، وميله غير معرف ( أي ليس له ميل )

مثال  :
جد ميل الخط المستقيم المار بالنقطتين A(1,3)  ,  B(2,5)
الحل: 
          ميل مستقيم 
                                                                                                   m =  y2 – y1
X2 – x1
                              
 
مثال :
جد ميل القطعة المستقيمة AB ، إذا كانت ( -1,0 ) A، (2,-6 ) A
الحل:
   ميل القطعة
=  =
اسئلة :
1) اذا كانت (2,-4) A، (7,t) B وكان ميل AB= 2 .  فما قيمة t ؟

2) ما ميل المستقيم الذي يمر بنقطة الاصل والنقطة (-4،-6)


معادلة الخط المستقيم : x           Equation of a line
                                                                   ( x, y)      y                              
أ )  صورة الميل ونقطة Slope, point form
ليكن لدينا المستقيم  Lالذي ميله m ، ويمر بنقطة معلومة مثل ( x1 ، y 1)              (y 1 ، x1 )     
كما في الشكل  لإيجاد معادلة المستقيم  ، نفرض أي نقطة عليه مثل x
فيكون   = m
وعليه ، فإن :


تسمى هذه المعادلة بمعادلة الخط المستقيم
مثال : جد معادلة الخط المستقيم الذي ميله2 ويمر بالنقطة (-1,3)
الحل : معادلة المستقيم هي  : Y – Y1 = M (X – X1 )
   معادلة المستقيم المطلوبة: Y-3=2(X-(-1))
                    إذن                Y=2X+5                                               Y

ب) صورة النقطتين :two points form        
يمكن إيجاد معادلة الخط المستقيم ، إذا علمت إحداثيات نقطتين
يمر بهما مثل : (y 1،  x1)A  ، (x2 ,  y2 ) B، كما هو       X
 في الشكل  المجاور ، ذلك كما يلي :
أولا : نأخذ نقطة عامة  (y، x) على الخط
ثانيا : نجد ميل = m =  y2 – y1
X2 – x1                             
ثالثا : نجد ميل   = AD، وبما أن ميل AB يساوي ميل AD لأن A ، B ، D تقع على نفس الخط المستقيم
               
                  

مثال : جد معادلة المستقيم الذي يمر بالنقطتين ( 5,4)a،  ( 6,8)b
الحل : المعادلة هي على الصورة :    = 


(y-4) = 4(x-5) =
y-4 =4x-20 =
 y =4x-16

ب) صورة الميل والمقطع الصاديSlope y-intecept form :
إذا قطع المستقيم جزءا من محور الصادات يساوي c ،                                   y) (x,
وكان ميله m ، لاحظ الشكل  المجاور ، فإن :                                                    
 =  m                                                                                             (0,c)                                                    
=y-c =mx 
=y=mx+c
وتسمى هذه الصورة لمعادلة الخط المستقيم صورة الميل والمقطع الصادي
مثال : جد معادلة الخط المستقيم الذي ميله يساوي 2 ، ويقطع 3 وحدات
من الاتجاه السالب لمحور (y)
الحل : y=mx+c
                     y=2x-3( انظر الشكل المجاور)                                                                                                                                                                                         
تدريب:جد معادلة المستقيم الذي ميله 8 ويقطع 9 وحدات من
الاتجاه الموجب لمحور (y )                                                x
    
                                                                                -3                                                                                                                                                      
د) صورة المقطعين: intercepts form
إذا كان الخط المستقيم يوازي محور x فإن الإحداثي (y )لأي نقطة واقعة عليه لا يتغير وبالتالي فإن معادلته : y=b ، انظر الشكل )
إذا كان الخط المستقيم يوازي x فإن الإحداثيy لأي نقطة عليه لا يتغير وبالتالي فإن معادلته : x=a، انظر الشكل أدناه.
                                          y                                                         y       


                     x                                                     x
                              
  
ولإيجاد معادلة المستقيم بدلالة مقطعيه من المحورين الإحداثيين ليكن المستقيم يقطع  3  6, من المحورين على الترتيب   وعليه  يقطع محور x عند النقطة ( 3,0 ) ، ويقطع محور الصادات عند النقطة ( 0,6 ) ، نستخدم صورة النقطتين :
          = 
إذن معادلة المستقيم المار بالنقطتين ( 3,0) ،(0,6)  هي:
 
إذن                                 
  ( بقسمة الطرفين على 6 )
أي    وتسمى هذه الصورة لمعادلة الخط المستقيم صورة المقطعين .
وشكل عام   ( حيث aالمقطع من محور x، b المقطع من محور y )
مثال : جد معادلة الخط المستقيم الذي مقطعه من محور x هو2، ومقطعه من محور y هو 3 
الحل : معادلة المستقيم بدلالة المقطعين هي         
 إذن المعادلة هي  ،وبضرب الطرفين في (6) ينتج :
 3x+2y=6                                    
ﻫ ) الصورة العامة لمعادلة الخط المستقيم:
يمكن التعبير عن جميع الصور السابقة لمعادلة الخط المستقيم بالصورة:
      



تعتبر هذه المعادلة الصورة العامة لمعادلة الخط المستقيم.
مثال  :
 جد ميل المستقيم الذي معادلته 7y-14x+9=0
الحل :
نعيد كتابة المعادلة لتصبح على الصورة  y= mx+c     
7y-13x+9=0                             7y=14x-9
                                         y=2x+ ( بقسمة الطرفين على 7)
  إذن   ميل المستقيم  m=2 
    (لاحظ أن ميل الخط المستقيم 7y-13x+9=0= - معامل x / معامل y )
                  وبشكل عام ميل المستقيم  ax+by+c=0     هو – 
اسئلة :
1) جد الميل والمقطع من المحور الصادي (y) للمستقيم الذي معادلته :
    1)y =x-6                    
2) 3x-4y+5=0
3) y=3x-2
4) y+x=6
2)جد طولي المقطعين من المحورين للمستقيم 2x-4y-8=0
3)جد معادلة الخط المستقيم المار بالنقطتين(3,2) A، (0,3) B، ثم اكتب هذه المعادلة بدلالة المقطعين من المحورين الاحداثيين ، ثم اكتب المعادلة على الصيغة العامة لمعادلة الخط المستقيم. 




التمثيل البياني للمعادلة الخطيةGraph of linear function 
سبق أن درست ان حل المعادلة الخطية في متغير واحد ، يعني إيجاد قيمة المتغير التي تحقق صحة المعادلة ، أي تجعل الطرف الأيمن يساوي الأيسر.
أما في حالة المعادلة الخطية في متغيرين ، فإن حلها عدد لا نهائي من الأزواج المرتبة على شكل (x , y ) ، وتقع على خط مستقيم عند تمثيلها بيانيا ، وتمثل مجموعة جميع النقاط الواقعة على الخط مجموعة الحل لهذه المعادلة.

مثال : مثل بيانيا مجموعة الحل للمعادلة x+y-2=0

الحل : 1) نجعل ص موضوع القانون ( نكتب y بدلالة x ) في المعادلة فتصبح المعادلة
y=-x+2
        2) نختار ثلاث قيم للمتغير x ، نحسب قيم y المناظرة لها ، وسنأخذ في هذا المثال القيم  0.1.-1 للمتغير x.
        3) نكون جدولا بقيم x، y المناظرة كما هو أدناه.
-1      1       0       X
3       1       2       Y

2)      نعين النقاط ((0,2), (1,1),  (-1,3 على المستوى الديكارتي.
                                                                                            y

           ( لاحظ أنها تقع على خط مستقيم واحد )                               
      5) نصل بين النقاط بخط مستقيم
         نلاحظ أن الخط الناتج له خاصية هامة                                    2                      
         جدا ، وهي أن كل نقطة على هذا الخط                                                        
         تحقق المعادلة الخطية ، وكل حل على     x               2              
       شكل زوج مرتب(x,y) يجب أن يقع
       على هذا الخط. انظر الشكل  .                                                   
                                                                                                                                                                                     مثال  : استخدم طريقة المقاطع في التمثيل البياني للمعادلة الخطية  3y+2x=6
                                                                                              y
الحل : 1) نعوض عن قيمة x  ﺑ 0،                                                    
ونجد قيمة y المناظرة                                                                        2
       2) نعوض عن قيمة y ﺑ 0،
           ونجد قيمة x المناظرة.                                    x            3
3       0       x
0       2       y

  نعين نقطتي التقاطع من الجدول أعلاه ونصل بينها بخط مستقيم كما هو في الشكل أعلاه .

مثال   : استخدم طريقة المقاطع في التمثيل البياني للمعادلة الخطية. 5+4y=2x
الحل :  1) نعوض عن قيمة 0    y،    فتكون   x=
          2) نعوض عن قيمة x       ب    فتكون   y =    
                                                                        
     y

مثال: إذا كان ثلاثة أمثال العدد x مطروحا منه
ضعفا العدد y يساوي 6 ، ، اكتب معادلة خطية
 بدلالة   xوy ثم مثل حلها بيانيا .                                                      
الحل : ثلاثة أمثال العدد x تساوي 3x
        ضعفا العدد y يساوي 2y.
 ( ثلاثة أمثال x – ضعفي y= 6)
تصبح   3x -2y=6وللتمثيل البياني                       x 
نعوض عن قيمة x 0 مرة ، ومرة                                                  2                                       
نعوض عن قيمةy 0 ونرسم
 الخط المستقيم كما هو في الشكل                                                          -3
               
0       2       X

3-      0       y
                                                                                                                              

مثال : هل تقع النقطة (1.2) على المستقيم الذي معادلته 5x- y=3؟
الحل :  نعوض بدل x بالقيمة1، ونعوض بدل y بالقيمة -2 في الطرف الأيمن
1+-2=3                  ×5
          الطرف الأيمن = 3
          الطرف الأيسر =3

بما أن الطرف الأيمن = الطرف الأيسر
 إذن النقطة (1.2 ) تقع على الخط المستقيم  5x- y=3





اسئلة :
1-   اذا كانت النقطة (r ، r-)A تقع على الخط المستقيم الذي معادلته :
y=x+2 . احسب قيمة r.


2-      اذا كانت النقطة (1.-2) تنتمي الى مجموعة حل
 المعادلة الخطية ax+2y-7=0 . احسب قيمة a.

3-   اذا كان العدد x يزيد عن العدد y بمقدار 2 ، اكتب معادلة خطية تعبر عن العلاقة بين هذين العددين ثم مثلها بيانيا.

التوازي والتعامد
Parallel lines
قاعدة :



مثال ( 1 ) : بين  أن المستقيم المار بالنقطتين (3,8) ، (4,9) يوازي المستقيم  المار
بالنقطتين  (11,14)   ، (12,15)
الحل : 
        ميل المستقيم الأول                    
        ميل المستقيم الثاني                 
إذن   ميل المستقيم الاول = ميل المستقيم الثاني
إذن   المستقيمان متوازيان .




التعامد : perpendicular lines
قاعدة:




مثال : إذا كانت (A(2,4), B(-1,2) , C(-1,5) , D(1,2 بين أن المستقيمين AB . CD متعامدان

الحل :      m  AB =
         ميل    m  CD
         وبما أن   أي أن ميل AB × ميل  CD -1=
        إذن    AB عمودي على CD ، وتكتب CD   AB

اسئلة :

1)  جد ميل المستقيم الذي يعامد المستقيم المار بالنقطتين  (1,5)  (2,7)
2)  ِ A (3,-2) , B(0,1) , C(-6,-5)  هل  A,B,Cهي رؤوس مثلث قائم الزاوية ، ثم جد مساحة هذا المثلث
3) اذا كانتA(3,2) , B(5,y) , C(2,-1),  D(3,-2) اوجد قيمة y في كل من الحالتين :
أ )  المستقيم AB يوازي المستقيم CD
ب)  المستقيم AB يعامد المستقيم CD
4) جد معادلة المستقيم في كل من الحالات الاتية :
أ)  يمر بالنقطة (2,-1) ويوازي المستقيم 3x+2y=10
ب  )يمر بالنقطة (1,0)وعمودي على المستقيم المار بالنقطتين A(5,4) ،B(3,8)
5  )جد معادلة العمود المنصف للقطعة المستقيمة AB ، حيث A(2,3
B(-2,5)
     

             المعادلات 
   المعادلة الخطية في متغيرين
سبق ان تعلمت ان  معادلة الخط المستقيم والتي يمكن كتابتها على الصورة :
ax+by+c=0 : a، b، c   R ، حيث a.b لا تساويان صفرا معا .
وهذه الصورة هي معادلة خطية في متغيرين ، ولذا فإن حل هذه المعادلة هو مجموعة جميع الأزواج المرتبة ( x,y ) التي تحقق  المعادلة وبالتالي تقع على الخط المستقيم .
مثال : ميز المعادلات الخطية من غيرها في كل ما يأتي ، وعين القيم a,b,c في المعادلات الخطية منها:
 1) 3x-y+1=0                                 
  2) 2x+5=0
 3) 3x=2y-7                                     
 -1=17 4)x2
 5) 3x+y3 =5                                    
الحل : أ) معادلة خطية a =3 ,b=-1 ,c=1
       ب) معادلة خطية  a=2  ,b=0 ,c=5
       ج) 3x=2y-7   =  3x-2y+7=0
            إذن معادلة خطية  a=3 , b=-2 , c=7
      د) ليست معادلة الخطية لوجود  x2
     ﻫ) ليست معادلة الخطية لوجود y3

مثال : إذا كان x – y +2 = 0  اجعل x موضوع القانون.
الحل :  x– y +2 = 0
         X = y - 2 
         X =  3y - 6        
اسئلة :
1) اذا كانت النقطة (2,,7) تقع على المستقيم الذي معادلته
 ax+by=20 ، كون معادلة خطية من هذه المعلومات .

2) اذا كان ثمن الدفتر الواحد x قرشا ، وثمن القلم الواحد y قرشا ، وكان مجموع ثمن 5 دفاتر و8اقلام 240 قرشا . كون معادلة من هذه المعلومات

3) عبر عن y بدلالة x  في المعادلة 3x - 




حل نظام من معادلتين خطيتين  ٍSystem of Linear Equations
تعلمت في درس سابق أن المعادلة الخطية في متغيرين لها عدد لا نهائي من الحلول ، يمثلها خط مستقيم واحد في المستوى الديكارتي ، إذا كان لدينا معادلتان خطيتان ، يظهر أمامنا عند تمثيلها بيانيا معا حالات ثلاث هي:
1) أن يتقاطع الخطان في نقطة واحدة ( x.y ) ويسمى الزوج المرتب في هذه الحالة حل المعادلتين 
2) أن يتوارى الخطان  المستقيمان ، وفي هذه الحالة لا يوجد نقطة تقاطع، أي أنه لا يوجد حل لهاتين المعادلتين معا.
3) أن يتطابق الخطان ، أي أنهما خط واحد ، وهذا يعني أن عدد الحلول لا نهائي.
هذا وسوف نقصر البحث في هذا الدرس على أنظمة المعادلات التي لها حل واحد،أي أن الخطين المستقيمين الممثلين لهما يتقاطعان في نقطة واحدة.
الطريقة الأولى  – الحل بطريقة التمثيل البياني( الرسم ) Graphing method
يمكن تلخيص هذه الطريقة بأن نقوم بالتمثيل البياني للمعادلتين على مستوى ديكارتي واحد،  ، ونقرأ نقطة التقاطع على شكل زوج مرتب (x.y) فيكون هو الحل .

مثال:  أوجد بواسطة التمثيل البياني حل المعادلتين:
3x-y=1
2x+y=-6
الحل : تستخدم طريقة المقاطع  لتمثيل المعادلتين كما في الشكل                                                                                          
      3x-y=1                                      2x+y=-6                                     
-3      0       x
0       -6      y

0       x
0       -1      y
                                                                                                         -1


من الشكل  نلاحظ أن نقطة التقاطع (-1,-4) أي أن                                         -4                               
 حل المعادلتين آنيا هو   y=-4  x=-1                             

اسئلة :
1) اذا كان مجموع عددين س،ص يساوي20 وكان الفرق بينهما6،
 كون نظاما من معادلتين خطيتين ثم اوجد العددين بطريقة التمثيل البياني .
2) حل كلا من انظمة المعادلات الاتية بواسطة التمثيل البياني :
1) x-y=7
   y=2x+1

2) x+2y=4
       2x-y=3




الطريقة الثانية : الحل بطريقة الحذف By elimination
مثال :
جد مجموعة الحل بطريقة الحذف للمعادلتين الآتيتين ، ثم تحقق من صحة الحل :
2x+y=8
3x-2y=12
الحل:
           . . . (1)2x+y=8
           . . .(2)3x-2y =12
                                    ( بضرب طرفي المعادلة (1) ،2)           . . .(1) 4x+2y=16                   
. . .(2)3x-2y=12                       

نجمع المعادلتين (1)، (2) للتخلص من y ، فتصبح:  7x = 28              x = 4
نعوض قيمة المتغير س في أي من المعادلتين ولتكن الأولى :  2x+ y =8     . . . (1)
                                                                           8+ y =8          y    = 0
أي أن مجموعة الحل هي ((4,0

التحقق:
نعوض بدل x بالقيمة 4 وبدل y بالقيمة 0 في المعادلتين (1)،(2)
       
            المعادلة الاولى تصبح 2 × 4 + 0 =8

          المعادلة الثانية تصبح 3×4-2×0 = 12صحيحة


اسئلة :

1) استخدم طريقة الحذف لحل كل من انظمة المعادلات الخطية الاتية :

   1) x+y=15                 
                                                                                              x-y=5

  2) 2a+3b=9          
           4a+b=13                

 3) 7x+5y =32
8x+3y= 45




الطريقة الثالثة – الحل بطريقة التعويض By Substitution

مثال: جد مجموعة الحل بطريقة التعويض للمعادلتين الآتيتين :
x+y =-3  ….(1)
                x+2y=2  ….(2)
الحل :

1) نأخذ المعادلة الأولى x+y=-3 ونغير موضوع القانون فيها إلى ص فتصبح
                              y=-3 - x

2) نعوض قيمة  y= -3-xفي المعادلة الثانية  x+2y=2 فتصبح.
              x+2(-3-x)=2
x-6-2x=2                
                      -6-x=2
                        x=-8

3) نعوض -8 بدل في المعادلة y=-3-x
               y=-3-(-8)
y=5                       
 إذن هو الحل المرتب ( -8,5)



اسئلة:
1) استخدم طريقة التعويض لحل كل من انظمة المعادلات الاتية :
a) x+y=5                            b) y=3x                               c) x-y=3
y=x+1                                 x+2y=7                                   x+y=4

تطبيقات على المعادلات الخطية Problems on linear  equations
   
نتعرض في حياتنا اليومية إلى العديد من المسائل التي يمكن حلها بتكوين معادلات وحل تلك المعادلات.
ولابد من الإشارة هنا انه لحل مثل هذه المسائل نتبع الخطوات الآتية:
                            1) نقرأ المسألة قراءة جيدة ونفهم المعطيات المطلوب
                            2) نمثل المتغيرات في السؤال برموز مثل x ، y ،. . .
                            3) نحول الجمل الكلامية إلى معادلات جبرية.
                           4) نحل المعادلتين بأي من الطرق السابقة ونجد قيمة المطلوب في المسألة.
مثال : إذا علمت أن قياس إحدى  زوايا مثلث هو90 وأن الفرق قياسي الزاويتين الآخريين هو 36 أوجد قياس الزاوية الصغرى في المثلث:

الحل  1) نفرض أن قياسي الزاويتين الباقيتين بالدرجات هما x، y
         2) بما أن قياس إحدى زوايا المثلث = 90  إذن مجموع x ، y هو90
                                   X+y=90
       3)   بما ان الفرق بين قياسي الزاويتين = 36
                        X-y=36
4)                                           x+y=90  ….(1)
x-y=36  .....(2)
      5) نحل المعادلتين بحذف  y ، وذلك بجمع المعادلتين (1)،(2)
             
  إذن     x=63        2x=126
        بالتعويض في المعادلة (1) x+y=90  إذن y=90-63
 

                   y=27     إذن قياس الزاوية الصغرى في هذا المثلث = 27



اسئلة :

1) جد عددين مجموعهما 15 ، والفرق بينهما 5 



2)اذا كان الخط الذي معادلته y+ax=c  يمر بالنقطتين  (3,1)،(1,5)
.جد قيمة كل من a ,c


3)اذا كان مجموع ثمن جهازي فيديو وثلاثة اجهزة تلفزيون هو1750 ريال ، بينما يبلغ ثمن اربعة اجهزة فيديو وجهاز تلفزيون واحد 1250 ريال ، احسب ثمن كل جهاز.

        
4)اذا كان قياس احدى زوايا مثلث 60 ، وكان الفرق بين قياسي الزوايتين الاخرتين45 ،جد قياس الزاوية الكبرى في المثلث .


5) اذا كانت سرعة قارب باتجاه التيار 14م/ ث ، بينما سرعته في الاتجاه المعاكس 6 م / ث ، جد سرعة القارب وسرعة التيار.



ليست هناك تعليقات:

إرسال تعليق