الأعداد الصحيحة

الأعداد الصحيحة Whole Numbers ( Integers)

   الاعداد الصحيحة

لقد تعلمت سابقا ان الاعداد الصحيحة تقسم الى قسمين :

1 ) الاعداد  الموجبة الصحيحة  :

لقد تعلمت اصنافا من الاعداد ، فتعرفت الاعداد الطبيعية 0 ، 1 ، 2 ، 3 ، 4 ،. . . . والكسور العادية ، والكسور العشرية ، وعرفت ان العدد الطبيعي يمكن ان تكتب على الصورة الكسرية ، وذلك بجعل العدد بسطا لكسر مقامه( 1 ) ، وتعلمت كيف تحول الكسور من صورة الى اخرى، وهي نفسها الاعداد الصحيحة الموجبة ، والتي تكتب 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، وكتب بطريقة ثانية +1، +2 ، +3 ، فاتفقوا على اعتبار التغير بالزيادة او الصعود موجبا ويرمز لها (+) ، اما في الحالة الحركة يمينا موجبا وكذلك يمكن اعتبار الحركة الى الامام موجبة، وتسمى الاعداد التي تدل على كميات موجبة بالاعداد الطبيعية او الموجبة .

2)  الاعداد السالبة الصحيحة :

اتفق الرياضيون ( تيسرا للتواصل بين  الناس ، وتبسيطا للظواهر العلمية ) على اعطاء بعض اشياء الكمية صفة الموجب واعطاء وعطاء الاشياء الكمية المعاكسة لها صفو السالب ، كما اتفقوا على اعتبار التغير بالنقصان او النزول سالبا ، اما في الحالة الحركة الى يسار فتكون الحركة سالبة، وكذلك يمكن اعتبار الحركة الى الخلف سالبة، وتسمى الاعداد التي تدل على كميات سالبة بالاعداد سالبة .

والان يمكنك كتابتها . . . ،3 ، 2 ، 1 ، صفر ، -1 ، -2 ، -3 ،..... = S ، وهي مكونة من مجموعة الاعداد الصحيحة الموجبة 1 ، 2 ،3، ......  =  z+، ومجموعة الاعداد الصحيحة السالبة  -1 ، -2 ، -3 ، ....... =  z-، ومجموعة صفر.

وعليه فان Z +   صفر   Z - = Z، ومن الممكن تمثيل z ، بأحد اشكال فن كما في الشكل المجاور                                                                                                                                                                       

                                                                                               

Z                                                                                                +   صفر  -Z                                                                                                                                                                          

                           

واليك المثال التالي لتتعرف على بعض استخدامات الاعداد الصحيحة:

مثال : عبر عن الجمل التالية باستخدام الاعداد الصحيحة:

1)         ربح محمد 5 دنانير.

2)         خسارة احمد 3 دنانير .

3)         ايداع عبير 10 دنانير في حساب توفيرها. ( اعتبر الايداع زيادة )

4)         سحب 5 دنانير من حساب التوفير.

5)         ارتفاع درجة حرارة الميزان الى 3 درجات مئوية فوق الصفر

الحل: 1) الربح هو حالة الزيادة ويعبر عن ذلك +5. 

       2) الخسارة هي حالة النقصان ويعبر عن ذلك -3.

       3)الايداع هو حالة الزيادة ويغبر عنه بالعدد +10 .

      4 ) السحب هو حالة النقصان ويعبر عنه -5.

5)ارتفاع درجة الحرارة بثلاث درجات مئوية فوق الصفر يشار اليه بالعدد الصحيح +3.

معكوس العدد

يقال ان العددين الصحيحين متعاكسان اذا وقعا على خط الاعداد تبعدان المسافة نفسها عن الصفر وتقعان  على جهتين مختلفتين  منه مل 5 ، -5 ،   4 ، -4 ،    6 ، -6

مثال (1)  :اذكر معكوس كل من الاعداد الاتية؟

أ ) 3                                            ب ) -4                               ج ) 6

الحل :       أ ) معكوس العدد 3 هو -3

              ب ) معكوس العدد -4 هو - (-4) = 4

              ج ) معكوس العدد 6 هو -6

مثال (2) : ما هو الوضع المعاكس لكل من العبارات الاتية :

أ ) 200 متر فوق سطح البحر.

ب) خسارة 20 دينارا.

ج) ربح 5 دنانير

د ) تحرك 5كم غربا

الحل :       أ) 200 متر تحت سطح البحر

                  ب) ربح 20 دينارا 

                 ج ) خسارة 5 دنانير

                  د ) تحرك 5 كم شرقا

أسئلة :

 1)استخدم خط الاعداد واعين الاعداد الآتية عليه :

أ) عدد صحيح يكون على بعد 3 وحدات من الصفر

ب) جميع الاعداد الصحيحة الموجبة التي هي اصغر من +5

ج) عدد صحيح على بعد 3 وحدات من (-1)

د) جميع الاعداد الصحيحة اتلتي تكون سالبة واكبر من -6

2) اجب على كل مما يلي :

أ) ما هو اكبر عدد صحيح سالب .

ب) ما هو اصغر عدد صحيح موجب

ج) ما العلاقة بين اكبر عدد صحيح سالب واصغر عدد صحيح موجب .

3) جد ناتج ما يلي :

أ) {1 ،- 2 ، 3 ، 2 } {-2 ، 5 ، 4 }

ج) {-1 } {1}

د) {-1}  {1}

3)         ارسم خط أعداد مناسب ، ومثل كلا من الاعداد الاتية ومعكوسها عليه:

   أ)14

  ب) – 53

  ج) -87

4) اكتب عناصر كل من المجموعات الاتية مستعينا بخط الاعداد :

أ){ِ A :A  عدد صحيح يبعد 4 وحدات عن الصفر}

ب) {B  :B  عدد صحيح سالب اكبر من -6 } 

الاعداد النسبية Rational numbers

 العدد النسبي

مثال ( 1 ) : اشترى خالد خمسة كتب بأربعة دنانير ، فما ثمن الكتاب الواحد؟

الحل : ثمن الكتاب الواحد=4÷5 = اربعة اخماس دينار

تلاحظ ان الكسر اربعة اخماس لا ينتمي الى N ، كما انه لا ينتمي الى Z

مما تقدم يتضح لنا ان مجموعة الاعداد الطبيعية ، ومجموعة الاعداد الصحيحة لا تفيان بالغرض

في بعض الاحيان ، مما يستدعي ايجاد مجموعة اخرى اوسع من مجموعة الاعداد الصحيحة

 Z   ، محافظين على خصائص العمليات فيها ، بحيث تكون المجموعة الاوسع تحوي Z ، ويوجد فيها حل للمسائل والمعادلات التي لا يوجد لها حل في Z.  ونسمي المجموعة الجديدة مجموعة الاعداد النسبية ن ويرمز لها بالرمز Q ، ونعبر عنها بالصورة الرمزية التالية :

مجموعة الاعداد النسبية ( Q ) =|x   B= x /A  : A ، B ينتمي الى  Z ، B ≠ صفر

         

مثال ( 2 ) : أي من الاتي ينتمي الى مجموعة الاعداد النسبية Q :

¾  ، - 1/3   ،  9   ، -    ½    ،  5/0 ،  -1  ،  4   ،  0

الحل :  ¾   Q، لانه على الصورة B/A حيث A ، B ينتمي الى Z ، B ≠صفر

        -⅓2   Q ، لانه يمكن كتابته على الصورة الكسر

         9    Q ، لانه يمكن كتابته على الصورة الكسر.

         -½3 Q ، لانه يمكن كتابته على الصورة

           5/0   Q لان المقام يساوي صفر.

         -1   Q ، لانه يمكن كتابته على الصورة -1/1

           4      Q ، لانه يمكن كتابته على الصورة  4\1

        0     Q، لانه يمكن كتابته على الصورة صفر /1

وبشكل عام :

كل عدد صحيح A، يمكن وضعه على الصورة A /1 ، وبالتالي كل عدد صحيح هو عدد نسبي أي انه : لكل Aينتمي Z فأن A ينتميQ

 كل عدد طبيعي هو عدد نسبي أي انه : لكل A ينتمي الىN، فان A ينتمي الى Q

ويمكن التعبير عن ذلك باحد اشكال فن كما    في الشكل المجاور         

                                                                                                 Q      

 مجموعة الاعداد النسبية هي مجموعة غير منتهية تتكون من :  

أ‌)          مجموعة الاعداد النسبية السالبة ، ويرمز لها بالرمز Q- .                         Z        N

ب‌)        مجموعة الاعداد النسبية الموجبة، يرمز لها بالرمز Q+.

ت‌)        مجموعة الصفر 0

وعليه يمكن التعبير عن مجموعة الاعداد النسبية ن على النحو الاتي :

                                        

                                                                             Q+     صفر   Q- 

مثال (3 ) : لتكن س = -3/2 ، 0 ، 5 ، 1/4 ، -1

1)         اذكر الاعداد التي تنتمي الى Q+

2)         اذكر الاعداد التي تنتمي الى Q-

الحل : 1) الاعداد التي تنتمي الى Q+هي 1/4 ، 5

         2) الاعداد التي تنتمي الى Q- هي -1 ، -3/2

اسئلة :

ضع احد الرموز   في الفراغ لتصبح العبارة الصحيحة :

1) -04,   . . . . . .  N

2)   . . . . . . N

3) Z  ......... N

4)صفر .  . . .. . . Q

5)9√. . . . . Q

أ‌)            

ب‌)       

ت‌)         

ث‌)         

ج‌)       

الحل :

أ) =   الجذر المطلوب هو 7/9

ب‌)        = =

ت‌)        =

ث‌)        لا يوجد جواب في ن ( أي أنه لايوجد عدد نسبي اذا ضرب في نفسه

 يعطي  )

ج‌)           لا يوجد له جواب في ن لأنه لا يوجد جذر تربيعي لعدد السالب

مثال (2) : أوجد ناتج كل مما يلي ما أمكن ذلك :

أ‌)            

ب‌)       

ت‌)         

الحل : أ)  =    

       ب)   =   =  

      ت)    لا يوجد له جواب في ن ( لأنه لا يوجد عدد نسبي اذا ضرب في نفسه ثلاث مرات يعطي 25/64

اسئلة :

جد قيمة كل مما يأتي :

1)  

2)

3)  

4)

5)

6) \

 الأعداد الحقيقية Real numbers

كتابة الكسور العشرية على الصورة 

تعرفت سابقا كتابة الأعداد النسبية  على صورة عشرية منتهية أو فكيف تجري العملية العكسية ، أي كتابة الكسور العشرية المنتهية أو الدورية على الصورة 

أن كتابة الكسور العشرية المنتهية على صورة   عملية سهلة ومألوفة فمثلا العدد 7 = 7 /10 والعدد 03 1 = 103/ 100 وهكذا. أما كتابة الكسور العشرية الدورية على الصورة   فيمكن أن تتم بإحدى طريقتين: طريقة الأنماط أو الطريقة الجبرية وسنوضح الطريقتين فيما يلي:

الطريقة الأولى ( طريقة الأنماط ):

مثال: بإجراء عملية القسمة لتحويل العدد النسبي أ/ ب إلى الصورة العشرية يمكنك التحقق من صحة التحويلات الواردة في الجدول الآتي :

الصورة أ/ ب        

 

الصورة العشرية    

 

يلاحظ من الجدول أن :

 =     ،    =   وبنفس النمط تكون   =     ،  = ................الخ

  وبنفس النمط تكون  ......الخ

 ،  وبنفس النمط تكون ،  ... الخ                                                                                                                           

اسئلة : اكتب كلا من الكسور العشرية الاتية على صورة العدد النسبي  بابسط صورة : أ) 75,            ب) 048,               ج)64,5            د)15

الطريقة الثانية (الطريقة الجبرية ) :  فيما يأتي طريقة جبرية تساعدنا في كتابة الكسر العشري الدوري على الصورة   ، كما يتضح في الأمثلة الآتية : مثال(1) :     حول الكسر العشري الدوري  4 إلى صورة العدد نسبي    الحل : نفرض أن س = 4                          ..... ( 1 )           ولوجود رقم عشري واحد يدور نضرب الطرفين في 10:           10س = 44   ( لماذا )                   .....  ( 2 )           بطرح ( 1 ) من ( 2 ) هكذا : 10س = 44                                                 - س = -4                                                  9س= 4  مثال (2) : حول العدد 132 إلى صورة العدد نسبي   الحل : نفرض أن س =    ولوجود رقمين عشريين يدوران ، نضرب طرفي المعادلة (1) في 100 :                                                      1000س=       ( لماذا )                 بطرح (1) من (2) هكذا :        100 س = 13 213                                                              - س = 132                                                                                                                                 99س = 211

                                    أي أن                  س = 211 / 99

مثال( 3 ) : حول العدد   إلى عدد نسبي   .

الحل : نفرض أن س =                   ... ( 1 )

         ولأن أول رقم على يمين الفاصلة غير دوري ، نضرب أولا المعادلة (1) : في 10:

              10س =  ...  (  2 )

وكما في المثال السابق ، نضرب طرفي المعادلة ( 2) في100لان عدد الأرقام التي تدور هو 2:

             1000س =  ...  (3)

بطرح (2) من ( 3) 990س = 309

                                س = 309 / 990 =103 /330

   

اسئلة :

اكتب الكسور العشرية المنتهية الاتية على صورة كسور عشرية دورية:

أ)7, 0                                  ب) 83,0                            ج)064,0

الأعداد غير النسبية Irrational Numbers

مثال (1) : ما هو الجذر التربيعي لعدد 2 :

الحل : العدد 2 ليس مربعا كاملا ، لذا يمكننا البحث عن جذره التربيعي بطريقة التقريب المتتالي كما يأتي :

من الواضح أن   2 عدد يقع بين 1 ، 2              ...( 1 )

بقسمة المسافة بين 1 ، 2 إلى عشرة اقسام متساوية وتربيع الأعداد11 ، 21 ، 3  1 ...ألخ كما في الجدول الآتي   :

العدد      1,1       1,2  

1,3       1,4       1,5       1,6       1,7       1,8       1,9

مربع العدد            

 

نستنج أن 2 عدد يقع بين  41 ، 51           ...(2)

بقسمة المسافة بين 41 ،51 إلى عشرة أقسام متساوية وتربيع الأعداد : 411 ، 421 ، 431 ....الخ ، كما في الجدول السابق ، نجد أن :

جذر 2 عدد  يقع بين 411 ، 421                  ...(3)

بهذه الطريقة يمكن الاستمرار في تقريب العدد    2 لأي من المنازل العشرية نشاء

لقد تم حساب 2 لعدد كبير جدا من المنازل العشرية مستعينين بالآلات الحاسبة العلمية والحاسوب   ، فإحدى الحاسبات العلمية المتوفرة على الحاسوب أعطت المنازل الثلاثين الأولى للعدد  كما يأتي

414213562373095048801688724209 2 =1  

اذا تفحصنا المنازل العشرية في هذا التمثيل للبحث عن رقم أو مجموعة أرقام تتكرر بصورة دورية لما وجدنا شيئا من هذا القبيل أي أن التمثيل العشري للعدد   2 غير منته وغير حقيقي . لذا فإن العدد  2  هو عدد غير نسبي

مثال (2) : ما هو الجذر التربيعي   لعدد 3 ؟

الحل :    3 عدد يقع بين 1 ، 2   ( لماذا )

        بالرجوع إلى الجدول مربعات الأعداد في المثال السابق، نستنتج أن   3  عدد يقع بين 71، 81

اذا قسمنا المسافة بين 71، 81 إلى عشرة أقسام متساوية وحسبنا مربعات الأعداد الناتجة نستنتج أن:

3 √ عدد يقع بين 731، 741

ويمكننا بهذه طريقة الاستمرار في تقريب قيمة  3 لأي من عدد المنازل العشرية نشاء ، وباستخدام الآلة الحاسبة العلمية في الحاسوب نحصل على المنازل الثلاثين الأولى للعدد   3 :

3=1732050807568877293527446341505 

واذا تفحصنا المنازل العشرية في هذه قيمة ، لا نجد رقما أو مجموعة الأرقام تتكرر بصورة دورية. أي أن التمثيل العشري للعدد  3 غير منته وغير دوري .لذا فإن جذر 3 هو عدد غير نسبي .

ملاحظات : 1)بما أن  2  عددا غير نسبي فإن العدد    2   + 1 هو عدد غير نسبي أيضا حيث أن الجزء العشري في ناتج الجمع هو غير منته وغير دوري كما هو في جذر 2 ، و وكذلك فإن الأعداد :

2   + 2  ،  2 +3   ،    2+4 ، ..... الخ هي جميعها أعداد غير نسبية أي أن مجموعة جميع الأعداد غير نسبية هي مجموعة غير منتهية .

2) الكثير من الجذور التربيعية لأعداد طبيعية هي أعداد غير نسبية مثل :   5 ،  6  ،   7 ،   8 ، في الحقيقة إن الجذر التربيعي لكل عدد نسبي غير مربع كامل هو عدد نسبي مثل 17   ،   31 ،.... الخ . وكذلك فإن الجذر التكعيبي لكل عدد نسبي غير مكعب كامل هو عدد غير نسبي مثل 2، 1/4،.... الخ وتسمى مثل هذه الجذور جذورا صماء   SURDS.

3) إن الجذور الصماء ليست الأعداد غير النسبية الوحيدة وقد تعرفت سابقا أن النسبة بين محيط أي الدائرة وطول قطرها نسبية ثابتة لجميع الدوائر ، وتسمى هذه النسبة النسبة التقريبية  ويمز لها بالرمز     .

 إن القيمة التقريبية للعدد والتي تستخدم عادة في التطبيقات العدد المختلفة هي 143 أو 22/7 .

يجب التأكيد هنا بأن القيمتين المذكورتين لا تمثلان القيمة الدقيقة للعدد      . إن العدد    هو عددغير نسبي كالعدد جذر 2 والتمثيل العشري الآتي يعطي النازل الثلاثين الأولى للعدد     .

=3, 141592653589793238462643888279 

اسئلة :

اجد قيمة  لمنزلتين عشرتين مستخدما طريقة التقريب المتتالي .

2) الاعداد الاتية اعداد غير نسبية وهي  جذور صماء ، استخدم الالة الحاسبة وجد قيمة تقريبية (لاقرب منزلتين عشرتين )لكل منها :

  

مجموعة الاعداد الحقيقية   Real Numbers

يوضح شكل فن التالي توسيع مجموعة الأعداد النسبية ن إلى مجموعة الأعداد الحقيقية R.

ويوضح هذا الشكل أن R هي أوسع مجموعة نتعامل بها وأن باقي المجموعات العددية هي مجموعات جزئية منها بمهنى أن كل عدد طبيعي أو صحيح أو نسبي أو غير نسبي هو عدد حقيقي.

لاحظ أن المنطقة المظللة هي المنطقة الممثلة لمجموعة الأعداد غير النسبية.

                                                                                          R

                                              

                                     22/7

                                                    .                            

                       Z-1 ، -2 ، -3 ،.

                           0 ، 1، 2 3 ، …….                        

     7                          N

               913

                                                                        010010001

مثال : لأي من المجموعات العددية : الطبيعية ، الصحيحة ، النسبية ، غير النسبية ، الحقيقية ينتمي كل من الأعداد الآتية :  4 ، 80 ،  37 ، 010010001 ؟

الحل :     4 = 2 فهو عدد طبيعي وصحيح ونسبي وحقيقي .

           80= فهو عدد نسبي وحقيقي

           37 = جذر أصم فهو عدد غير نسبي وهو عدد حقيقي

010010001 عدد عشري غير منته وغير دوري فهو غير نسبي وهو عدد حقيقي

اسئلة :

اجد قيمة ما يلي :

1) 

2)

3)

4)

اكتب كلا من النظير الجمعي والنظير الضربي لكل من الاعداد الحقيقية الاتية       

  الجذور والعمليات عليها

تعرفت سابقا كلا من الجذر التربيعي والجذر التكعيبي ، وحيث أن الجذور تقدم أمثلة جيده على الأعداد الحقيقية بنوعيتها النسبي وغير النسبي ، فسنقدم المزيد من الأمثلة على الجذور ، ونتعرف العمليات عليها وخواصها.

اسئلة :

اجد قيمة كل من :

أ)                                  ب)                         ج)

عملية جمع وطرح الجذور   Operations on Surds     

تجري عملية الجمع والطرح بين الجذور المتشابهة فقط تماما كما مر معك سابقا في حالة الحدود الجبرية متشابهة

يقال عن الجذور بأنها متشابهة إذا كانت الأعداد هي نفسها داخل الجذور ، وكانت الجذور من نفس النوع أو أن لها نفس الدليل فدليل    هو 3 ودليل     هو 4 ودليل 8 هو 2 الذي اصطلح على عدم كتابته ، فمثلا :  5  ، 5-2    ،  6  ،  4 ، هي جذور غير متشابهة .

مثال (1)  :    أوجد قيمة المقدار 2 3 +   2 4– 2  2

الحل  : المقدار   3 + 4  2 -  2  2 = (3 +4 - 2 )  2 

                                                    =2   5

مثال (2)  :    أوجد قيمة المقدار : 3 4 + 25    +  3  - 26

 الحل :   المقدار3 4 + 25    +  3  - 26    

     = (4  3 +   3 ) + ( 5  2 – 6  2 )

        = (4+1)  3 +(5 – 6 )  2

        = 35    - 2

اسئلة :

اجد الناتج :

أ)                                                ب)

عملية ضرب الجذور :

إذا كان A ، B عددين حقيقيين موجبين أو  صفرا :

AB  =  B × A  

نتيجة (1) : A ×A =   =    3(     )     = A

نتيجة (2) : إذا كانت A ، B ، D أعدادا حقيقية موجبة أو صفرا فإن :

     A × B× D  =A × B  ×D  

لاحظ أن :  ( A × B  )×D  =  A × B  ×D     

                                            = ( A × B)  ×D  = ( A× B × D)

وبشكل خاص :  A ×  A ×A  =( A × A × A ) =  A 3 

وبشكل عام :   S ( A ) =   AS    

مثال (1) : أوجد قيمة :   3  ×  12 

الحل :   3  ×  12 = ( 3×12 ) =   36 = 6

مثال (2) : أوجد قيمة :   2  ×  4  × 8 

الحل  :   2 ×  4 ×   8 = (  2×4×8) 

                               =   64  = 8

مثال (3) : أوجد قيمة : (   3 + 2 ) (   3 -  2 )

الحل :  بفك الأقواس أي تطبيق خاصية التوزيع يكون :

   (   3  +   2 )  (   3  -   2  ) = (   3 +   2 ) 3+ (  3 + 2 ) (-2)

       =   3 ×   3  + 3 × 2 +  (2-) × 3 + ( 2-)  ×  2 

      =  3 +   6  - 6 - 2  =1

مثال (4) : أوجد قيمة   53  ×   253 

الحل :  المقدار   5 3 ×   253 =   ( 5×25 ) 3=   ( 5×5×5(3= 5

تبسيط الجذور :

يقال عن الجذور :  3 ،  2 ،  5  ،... أنها في أبسط صورة ، ولكن الجذور :   8 ،  75 ، ... ليست الجذور في ابسط صورة ، إذ يمكن إخراج بعض العوامل من داخل الجذر كما يأتي :

   8 =   (2×4 ) =  4 ×  2 = 2 × 2

  75 =  ( 25× 3 ) =  25 × 3 =3 5 

إن عملية تبسيط الجذور بالطريقة المذكورة تسهل عملية جمع وطرح الجذور التي درسناها.

مثال (1) : اكتب العدد3 2 بالصورة B :

الحل:      3 ×2  =   4  ×  3

                      =   ( 4× 3)  =  12

مثال (2) : جد قيمة المقدار :    12 = + 3 5  -   3 4

الحل  : نكتب  12 في أبسط صورة :   12 =  ( 4×3)  =  3 × 4  = 32

        إذن المقدار  = 32   +   3 5–  3 4

                        =   3 (2+5-4 ) بإخراج عامل مشترك

                        =  3 ×3

                        = 3  3

اسئلة :

1)جد قيمة كل من :

أ)

ب) 

ج)

2)جد قيمة كل من :

أ)                                 ب)                         ج)

3) اذا كانت اطوال اضلاع مثلث بالسنتمترات كما ياتي :

أ)بين ان المثلث متساوي الساقين .

ب)جد طول محيط المثلث واكتبه بابسط صورة

عملية قسمة الجذور :

مثال ( 1) : إذا كانت 9 = A  ، 16= B فأوجد قيمة كل من  ،  ، ماذا نستنتج

الحل  :   =  = 

       = =    =                    أي أن     = 

مثال (2) : إذا كانت- 8 = A،  64 = B فأوجد قيمة كل من :

                 ، . ماذا نستنتج ؟

الحل :          =   = = 

                     = = =        

           استنتج أن :   =    لأن كلا منهما = -1 /2

انطاق المقام :Rationalizing Denominator

علمنا أن الجذور مثل :  2 ،  3  ، 5 ،... الخ تسمى الجذور صماء لأن ما بداخلها أعداد ليست مربعات كاملة فلا يمكن التخلص النهائي من إشارة الجذر ومن هنا تأتي صعوبة عملية القسمة على مثل هذا النوع من الجذور . من أجل ذلك نستخدم عملية انطاق المقام ( أي جعل المقم خاليا من الجذور ) لتسهيل إجراء عملية القسمة كما يتضح من الامثلة الآتية :

مثال (1) : انطق المقام الكسر  

الحل :   =    × =  2

مثال (2) : إنطق المقام الكسر : 4 /( 2 - 3 )

الحل :   4 / 2 -  3 = 4 / 2  - 3 ×   2 +  3 / 2+  3 

        = 4(2 +  3  )   / 4+32– 32    - 3 = 4(2+  3 ) / 1 = 4 ( 2+  3 )

اسئلة :

1) جد قيمة كل من :

أ)                         ب)                     ج)          د)

2)انطق المقام كل من الكسور الاتية واكتب الناتج بابسط صورة :

أ)            ب)                  ج)                  د) 

الأسس    

الأسس الصحيحة الموجبة :

تعلم أن 3 ، 9 ، 27 ، 81 ، 243 . . . . .  هي أعداد مضاعفات العدد 3

كما تعلمت أن :

 3      =3×1                      = 3 1             

9       = 3×3                     =3 2               وهو حاصل ضرب العدد 3 في نفسه مرتين                             

27     =  3×3×3               =33           وهو حاصل ضرب العدد 3 في نفسه3مرات                          81     = 3×3×3×3            = 3 4              وهو حاصل ضرب العدد 3 في نفسه4مرات

243   = 3×3×3×3×3       = 3 5             وهو حاصل ضرب العدد 3 في نفسه5مرات

ويقرأ العدد 3 (( 3 أس 5 )) أو القوة الخامسة للعدد 3                                

   

وبشكل عام : 

وبشكل عام : 

مثال (3) :   أثبت أن ( 3  ) = 3   = 3

            

الحل :     ( 3 2) 4= ( 3 × 3 ) 4

             (23) 4 = ( 3× 3 ) ( 3 × 3 ) ( 3 × 3 ) ( 3 × 3 )

             (23) 4 = 3 2×4   = 3 8

ملخص قوانين الأسس الصحيحة

1) m+   n a  = a m × a n                         2) a m n=   n ( am)

3) n a × b n =  n( a× a )                          4)  a m / n a = m- n a

5) a-n  =                                             6)a0= 1 ،

ملخص قوانين الأسس الكسرية ( النسبية )

1)   a =  a n                                      ( ويقرأ الجذر النوني للعدد a )

                       

2)     a =  m (  )                               ( وتقرأ الجذر النوني للعدد a m )

اسئلة :

 جد قيمة ما يلي :

1) (-27) 1/3                2) (8)-2/3            3)(64)-1/6     4)  10 

2) رتب ما يلي تصاعديا :

                ،           3                 ،