طرق العد

طرق العد

مقدمة: قبل البدء بدراسة مفهوم الاحتمال النسب ولاعتماده بشكل اساسي على عدد عناصر الفضاء العيني لتجربة عشوائية ,  فلا بد من معرفة الطرق التي تساعدنا على ذلك . وهناك اربعة طرق للعد سنتعرف عليها على النحو الاتي :

أولًا: قاعدة الضرب : إذا كانت التجربة E1 تحدث في n1 الطرق وكانت التجربة E2 تحدث في n2 من الطرق, فإن التجربتين معا تحدثان في  n1n2 من الطرق.

مثال: إذا أراد طالب أن يسجل في مقررين احدهما في قسم الاحصاء والآخر من قسم المحاسبة, فإذا كان عدد المقررات لقسم الاحصاء هو 4 وعدد المقررات من قسم المحاسبة هو 5, فما عدد الطرق التي يمكن أن يسجل الطالب فيها؟

الحل : عدد الطرق =  3 ×4  = 12 طريقة

ملاحظة:  يمكن تعميم القاعدة لتشمل k من التجارب.

مثال: كم هاتفا يمكن تركيبه في مدينة الدمام إذا تألف رقم الهاتف من أربعة أرقام بشرط أن يكون الرقم الأول من اليسار أوله العددين 8 أو  9 ؟

الحل: عدد الهواتف = 10  × 10 × 10 × 2 = 2000 طريقة.

( لاحظ أن العدد الأول له طريقتان فقط لاختياره أما باقي المنازل فله 10 طرق لاختيارهم هي عباره عن الاعداد من 0 إلى 9 ).

ثانيًا: قاعدة الجمع :  إذا كانت تجربة ما تحدث ف n2 من الطرق وكانت تجربة أخرى تحدث ف n2 من الطرق بحيث كان من المعلوم أن

التجربتين لا تحدثان معا ) مانعتان لبعضهما البعض ( فإن واحدة منهم أو الاخرى تحدث في n1+n2 من الطرق.

مثال: أراد طالب أن يسجل مقرر واحد إما من قسم الاحصاء أو قسم المحاسبة, بحيث كان عدد المقررات في قسم الاحصاء 3 وفي قسم المحاسبة 4 , فما عدد الاختيارات لديه؟

الحل: عدد الطرق = 3 + 4 = 7 طرق .

ملاحظة: يمكن تعميم قاعد الجمع لتشمل k  من التجارب.

ثالثا: التباديل Permutations: التباديل هي طرق ترتيب جميع أو بعض عناصر مجموعة ما.

مثال: ما عدد طرق ترتبٌ جمعٌ الاحرف a, b, c ؟

الحل: لاحظ أنه لدينا ثلاثة اماكن لنملأها من الاحرف الثلاثة حيث يمكن اختيار ثلاثة احرف للمكان الأول أما

المكان الثاني فيتبقى لدينا حرفان لملىء المكان واخيرا يبقى حرف واحد لملىء المكان الأخير وبتطبيق قاعدة الضرب نحصل على :

عدد الطرق = 1 × 2 × 3 = 6 طرق

وبشكل عام, لدينا الحالات الثلاث التالية:

            يمكن ترتيب n من العناصر المختلفة بطرق عددها nPn = n! = n(n-1)(n-2) …… 3×2×1

وهذا هو عدد تباديل n من العناصر المميزة.

( ملاحظة : تسمى العملية "n1" بمضروب العدد n وهو عبارة عن n × (n-1)×(n-2)× ……× 3×2×1  ومثال عليها

24 = 1×2×3×4 = 4! ).

مثال: بكم طريقة يمكن ترتيب احرف كلمة "تقوى" ؟

الحل: عدد الطرق يساوي 4P4 = 4×3×2×1 = 24

            في حالة وجود لدينا n من العناصر فيها n1 من العناصر المتماثلة و n2 من العناصر المتماثلة والمختلفة عن الاولى وهكذا لغاية k من العناصر المتماثلة , فإن عدد التباديل في هذه الحالة يصبح على النحو الآتي :npn= n!/(n1!n2!…nk!)

مثال: ما عدد تباديل احرف كلمة "سلسبيل"؟

الحل: عدد الطرق يساوي  6p6= 6!/(2!×2!)=(6×5×4×3×2×1)/(2×1×2×1)=180

لاحظ أن حرف "س" تكرر مرتنٌ وكذلك حرف "ل" أما بقية الاحرف فتكررت مرة واحدة.

            في هذه الحالة كان لدينا n من العناصر المميزة واردنا ترتيب جزء من هذه العناصر وليكن r , ففي هذه الحالة يكتب قانون التباديل على الصورة التالية : npr= n!/(n-r)!

مثال : ما عدد تباديل حرفين من كلمة " تاريخ" ؟

الحل : لاحظ أن عدد احرف كلمة  "تاريخ" هو 5 وبذلك تصبح قيمة n=5 أما r=2 كما هو مطلوب في السؤال وبذلك تصبح عدد الطرق تساوي 5p2= 5!/(5-2)!=(5×4×3×2×1)/(3×2×1)=20

رابعا: التوافيق Combinations: التوافيق هي الطرق التي نختار بها عددا معينًا من عناصر مجموعة معينة دون النظر الى الترتيب.

مثال : ما عدد الطرق التي نختار بها حرفين من الحروف A,B,C دون الاهتمام بالترتيب ؟

الحل : الاختيارات هي {A,B} , {A,C} , {B,C} وبذلك يكون لدينا 3 طرق .

وبشكل عام, عدد الطرق التي نختار بها r عنصر من مجموعة فيها n من العناصر بغض النظر عن الترتيب هو عدد توافيق n من العناصر مأخوذة منها r في كل مرة ويعطي بالصيغة التالية :  nCr= n!/(n-r)!r!

مثال: صف فيه 10 طلاب, بكم طريقة يمكن اختيار لجنة مؤلفة من 3 طلاب دون النظر الى الترتيب؟

الحل:10C3=  10!/(10-3)!3!= (10×9×8×7×6×5×4×3×2×1)/(7×6×5×4×3×2×1)=120

مثال: صندوق فيه 5 كرات حمراء و 7 كرات بيضاء.

            بكم طريقة نختار 4 كرات من الصندوق؟

            بكم طريقة تختار الكرات الأربع بحيث تكون فيها واحدة حمراء وثلاث كرات بيضاء؟

أ) من قاعدة التوافيق, عدد طرق اختيار 4 كرات من الصندوق يساوي

الحل:12C4=  12!/(12-4)!4!=(12×11×10×9×8!)/(8!×4!)=(12×11×10×9)/(4×3×2×1)=495

ب ) عدد طرق اختيار كرة واحدة من الكرات الحمراء هو    5C1=  5!/(4!×1!)=(5×4!)/4!=5

اما عدد طرق اختيار 3 كرات بيضاء فهو  7C3=  7!/(4!×3!)=(7×6×5×4!)/(4!×3×2×1)=35

إذن, من قاعدة الضرب, عدد طرق اختيار كرة واحدة وثلاث كرات بيضاء هو 35 = 175 × 3

تمارين:

1- بكم طريقة يمكن ترتيب كلمة “MISSISSPPI” ?

2- بكم طريقة يمكن اختيار رقمين من العدد 3159

أ- مع الترتيب؟ 

ب- بدون ترتيب؟

 

المحاضرة الثالثة : نظرية الاحتمالات

مقدمة : مفهوم الاحتمال .. هناك عدة طرق متعددة يمكن من خلالها تقديم مفهوم الاحتمال منها :

1/ طريقة الرأي الشخصي : وهي تعتمد على التقدير الشخصي للفرد والذي يرغب بتعيين احتمال حدوث حادث ما , و كأن يقول احتمال حصوله على تقدير مرتفع لمقرر الاحصاء للإدارة نظرًا للجهد الذي بذله في دراستها .

2/ طريقة التكرار النسبي :وويعرفبأنهإذاتكررإجراءتجربةاحصائية n منالمراتتحتنفسالظروفوكانعددالمراتالتيتؤديإلىحدوثالحادث A يساوي n(A) , فإنالتكرارالنسبيلهذاالحادثهو(n(A))/n , وإذاكبرت n بدونحدودوكانتn(A) تكبرمعهابحيث يؤولالتكرارالنسبيفيالنهايةإلىعددثابت, وليكنp فعندئذتقولأناحتمالالحادث Aهوالعددp .

مثال : عند رمي قطعة نقد عدد معين من المرات بحيث يتم تسجيل ظهور الصورة فيها , نلاحظ أن التكرار النسبي يقترب من 1/2 عند رمي

فضاءالعينةذوالنقطالمتساويةإمكانيةالحدوث: إذااحتوىالفضاء العيني علىعددمنالنقاط n بحيث كانت فرصةالحصولعلىأينتيجة بسيطة مساوية على أية نتيجة بسيطة أخرى فإنه يقال أن الفضاء العيني S فيه  n من النقط إمكانية الحدوث ويكون كل حادث بسيط منفصلا عن أي حادث آخر بحيث يكون احتمال حدوث كل حادث مساويا للحادث الآخر . ومن هذا نحصل على النتيجة التالية : إذا احتوى حادث A على عدد من النقط n(A), فإن احتمال هذا الحادث هو : =p(A)=(n(A))/n= (A الحادث  عناصر عدد)/(العيني الفضاء عناصر عدد)

مثال : في تجربة القاء قطعة نقد متزنة ثلاث مرات أوجد احتمال كل من الحوادث التالية :

1/ إذا كان الحادث A  يمثل ظهور الصورة (H) مرتين على الاقل ؟

2/ إذا كان الحادث B يمثل ظهور الاوجه الثلاث متشابهة ؟

الحل : لاحظ أن عناصر الفضاء العيني لهذه التجربة تكتب كما يلي :

S={(H,H,H),(H,H,T),(H,T,H),( H,T,T),(T,T,T),(T,T,H),(T,H,T),(T,H,H)}

لاحظ أن عدد عناصر الفضاء العيني يساوي 2×2×2 = 8 (من قاعدة الضرب).

            p(A)= 4/8= 1/2

            p(B)= 2/8  =  1/4

قوانينالاحتمالات:في هذا البند سنورد القوانين الاولية في الاحتمال وهي :

نظرية (1) :

            إذا كان لدينا المجموعة الخالية ورمزها Ø فإن احتمال هذه المجموعة يساوي صفر . بالرموز  p(Ø) = 0

            إذا كان لدينا المجموعة الكلية ورمزها S فإن احتمال هذه المجموعة يساوي 1 . بالرموز p(S) = 1

            احتمال أي حادث E من الفضاء العيني S يكون محصور بين الصفر والواحد . بالرموز 0 ≤ p(s) ≤ 1

نظرية (2) : إذا كان A حادثًا في s , وكان Ᾱ هو متممة ذلك الحادث فإن p(Ᾱ) = 1 ‒ p (A)

مثال :إذا كان احتمال نجاح طال في مادة الحاسبة ما هو 80% , فما احتمال عدم نجاحه في تلك المادة ؟

الحل : بفرض اننا رمزنا لنجاح الطالب في مادة المحاسبة بالرمز A , فإن احتمال عدك نجاحه يساوي  p(Ᾱ) = 1 ‒ p (A) = 1 ‒ 0.08 = 0.20

مثال : إذا كان احتمال وصول طالب إلى محاضراته في الوقت المحدد هو 0.75 فما احتمال وصول الطالب المتأخر ؟

الحل : نقرض أن A = وصول الطالب على الموعد المحدد

Ᾱ = وصول الطالب متأخرًا

P(Ᾱ) = 1 ‒ p (A) = 1 ‒ 0.75 = 0.25

نظرية (3) : إذا كان A,B أي حادثين في الفضاء العيني S فإن p(AUB) = p (A) + p(B) ‒ p (A∩B)

مثال : إذا كان احتمال غياب طالب عن المحاضرة الأولى هو 0.30  وغيابه عن المحاضرة الثانية هو 0.15 واحتمال غيابه عن المحاضرة الأولى والثانية يساوي 0.20, أجب عن الاسئلة التالية :

            ما احتمال غياب الطالب عن أحد المحاضرتين على الأقل ؟

            ما احتمال عد غياب الطالب عن أي من المحاضرتين ؟

            ما احتمال حضور الطالب للمحاضرة الأولى ؟

الحل : نفرض أن A تمثل غياب طالب عن المحاضرة الأولى ونفرض أن B تمثل الغياب عن المحاضرة الثانية. وبذلكفأن A∩B  يمثل الغياب عن كلا المحاضرتين

            p(A U B) = p(A) + p(B) ‒ p(A ∩ B) = 0.30 + 0.15 ‒ 0.20 = 0.25

            عدم غياب الطالب عن أي محاضرتين يعني أنه حضر المحاضرتين, وهذا يعني متممة الحادث "غياب الطالب عن إحدى المحاضرتين على الأقل" أي أنه متممة (A U B) ومن قانون المتممة

p(A U B) = 1 ¬‒ p(A U B) = 1 ‒ 0.25 = 0.75

ملاحظة : في حال كان الحادثين B,A حادثين منفصلين , فإن تقاطعهما = Ø وبذلك تصبح النظرية (3) على الصورة

p(A U B) = p(A) + P(B)

مثال : إذا كان p(A) = 0.3 , p(B) = 0.4 بحيث كان الحادثين B,A حادثين منفصلين , فأوجد احتمال حدوث الحادث A أو حدوث الحادث B ؟

p(A U B) = p(A) + p(B) = 0.3 + 0.4 = 0.7

لاحظ أن احتمال حدوث الحادث A أو الحادث B او حدوث احدهما على الأقل تعني p(A U B) أما في حال السؤال عن احتمال حدوث الحادث A والحادث B أو حدوث كليهما معًا فهذا يعني p(A ∩ B)

نظرية (4) : إذا كان B,A أي حادثين في الفضاء العيني S فإن

            p(A ∩  B) = p(A) ‒ p(A ∩ B)

            p(B ∩ Ᾱ) = p(B) ‒ p(A ∩ B)

مثال : إذا كان احتمال حضور مدير شركة معينة في يوم ما يساوي 0.9 واحتمال حضور مساعد في ذلك اليوم هو 0.95 واحتمال حضور واحد منهما على الاقل يساوي أو أوجد احتمال

-1 حضورالمديرومساعده؟

 -2 حضورالمديروحده؟

-3 حضورالمساعدوحده؟

الحل : نعبر عن حضور المدير بالحادث A وحضور المساعد بالرمز , وحضور احدهما على الأقل بالرمز  A U B

            من نظرية رقم ثلاث نجد أن :

الحل :    p(A ∩ B)           p(B) ‒  p(A) +  p(A U B) =

            p(A ∩ B)           0.95 ‒   0.90 +           0.97  =

           

            0.88     0.97 =  1.85 ‒ p(A ∩ B) =

            حضور المدير وحده تعني أن المدير حضور وغيابك مساعد , وهذا يعني حدوث الحادث A وعدم حدوث الحادث

p(A ∩  B) = p(A) ‒ p(A ∩ B) 0.90 ‒ 0.88 = 0.02 

            حضور المساعد وحده تعني أن المساعد حضر والمدير غاب حدوث  B وعدم حدوث A .

p(B ∩ Ᾱ) = p(B) ‒ p(A ∩ B) = 0.95 ‒ 0.88 = 0.07

تمارين :  في تجربة القاء حجر نرد منتظم مرتين اوجد احتمال ما يلي :

تابع نظرية الاحتمالات

قوانين ديمورغان De Morgan’s Laws:

ومنها نستنتج :

            P((AUB) ̅) = P(A ̅∩B ̅)

            P((A∩B) ̅) = P(A ̅UB ̅)    من خواص العمليات الجبرية على المجموعات ما يسمى بقوانين ديمورغان والتي تنص على أن :

            ((AUB) ̅) = A ̅∩B ̅

            ((A∩B) ̅) = A ̅UB ̅

+ مثال : إذا كان :P(AUB) = 0.5  ,  P(B) = 0.4  ,  P(A) = 0.3أوجد ما يلي :

            احتمال حدوث الحادثين معاً .

P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A∩B)

0.5 = 0.3 + 0.4 - P(A∩B)

P(A∩B) = 0.7 – 0.5 = 0.2

            عدم حدوث الحادثين أي من الحادثين B, A.

P(A ̅∩B ̅) = P((AUB) ̅) = 1- P(A∪B) = 1-0.5 = 0.5

            عدم حدوث الحادث A أو الحادث B.

P(A ̅UB ̅) = P((A∩B) ̅) =1 – P(A∩B) = 1-0.2 = 0.8

            حدوث الحادث A وعدم حدوث الحادث B.

P(A∩B ̅) = P(A) - P(A∩B) = 0.3 - 0.2 = 0.1

            حدوث الحادث B وعدم حدوث الحادث A.

P(B∩A ̅) = P(B) - P(A∩B) = 0.4 – 0.2 = 0.2

            احتمال حدوث الحادث A أو الحادث B إذا كانA, B حادثين منفصلين.

P(AUB) = P(A) + P(B) = 0.3 + 0.4 = 0.7

الاحتمال الشرطي Conditional Probability:

يعرف الاحتمال الشرطي على أنه احتمال وقوع الحادث A مشروطاً بحدوث الحادث B .. ويرمز له بالرمز P(A/B) ويعرف كالآتي:

P(A/B) = (P(A∩B))/(P(B)) , P(B) >0

وكذلك يمكن تعريف الاحتمال الشرطي للحادثB مشروطاً بحدوث الحادث Aعلى النحو الآتي:

P(B/A) = (P(A∩B))/(P(A)) P(A) >0

+ مثال : رميت قطعة نقد 3 مرات , فإذا رمزنا لظهور الصورة بحرف H وظهور الكتابة بحرف T. إذا علم أن الوجه الأول في الرمية الأولى H , فما احتمال أن يكون الوجهان الآخران H,H ؟

الحل :

            الفضاء العيني S = {(H,H,H),(H,H,T),(H,T,H),(H,T,T),(T,T,T),(T,T,H),(T,H,T),(T,H,H)}

            نفرض أن A يمثل الحادث *ظهور H في المرة الأولى* .. - نفرض أن B يمثل *ظهور H, H في الرمية الثالثة والثانية*

            المطلوب P(A/B)؟

            قانون الاحتمال :P(B/A) = (P(A∩B))/(P(A))

            بالنظر لفضاء العينة :

                 P(A) = 4/8

P(A∩B) = 1/8

            بالتعويض في قانون الاحتمال الشرطي نحصل على:

P(B/A) = (1/8)/(4/8) = 1/4

سؤال: اعتماداً على المثال السابق إذا علمت أن الوجه الأول كان T فما احتمال أن يكون الوجهان الآخران H, T؟

قاعدة الضرب Multiplication Rule:

من خلال تعريف الاحتمال الشرطي نجد أن :

            P(A∩B) = P(A) P(B/A)              P(A∩B) = P(B) P(A/B)

+ مثال : إذا كان :- P(A/B)= 0.4     - P(B)= 0.3     - P(A)= 0.6

أوجد :

- P(B/A)

P(B/A) = P(A∩B)/P(A)

= (0.3+0.4)/0.6 = 0.12/0.6 = 0.2

     - P(A∩B)

P(A∩B) = P(A) P(B/A)

= 0.6 x 0.4 = 0.12

الحوادث المستقلة Independent Events:

تعريف: يقال بأن الحادثان A,B حادثان مستقلان إذا كان حصول أحدهما لا يؤثر على الآخر. أي أن:

P(A/B) = P(A)

لاحظ أن حدوث A لا يتأثر بوجود الحادث B، وكذلك

P(B/A) = P(B)

وبتعويض هذه القيم في قانون الاحتمال الشرطي : P(B/A) = (P(A∩B))/(P(B))

نحصل على : P(A∩B) = P(A) x P(B)

+ مثال : إذا كان A,B حادثين مستقلين , وكان P(A) = 0.4  و P(B) = 0.6

أوجد : 

- P(A∩B)

P(A∩B) = P(A) x P(B) = 0.4 x 0.5 = 0.24

– P((A∩B) ̅)

P((A∩B) ̅) = 1 - P(A∩B) = 1 – 0.24 = 0.76

+ مثال : إذا كان –P(B/A) = 0.5     -P(A/B) = 0.6     -P(A) = 0.6       هل الحادثان A,B مستقلان ؟ وما احتمال الحادث B؟

الحل :

بما أن P(A/B) = P(A) = 0.6 فإن الحادثان A,B مستقلان .

مع ذلك نجد أن P(B) = P(B/A) = 0.5

تمارين : إذا كان –P(A) = 0.7   -P(B) = 0.8

أوجد ما يلي :

            P(AUB) إذا كانا حادثين مستقلين .

P(AUB) = P(A) + P(B) –P(A∩B) = 0.8 + 0.7 – ( 0.8 x 0.7 ) = 0.94

            P(AUB) إذا كانا حادثين منفصلين .

P(AUB) = P(A) + P(B) = 0.8 + 0.7 = 1.5

            P((A∩B) ̅) إذا كانا حادثين مستقلين .

P((A∩B) ̅) = 1- P(A∩B) = 1 – ( 0.8 x 0.7 ) = 0.44

            P(A/B) إذا كانا حادثين مستقلين .

P(A/B) = P(A) = 0.7

            P(B/A) إذا كانا حادثين منفصلين .

P(B/A) = (P(A∩B))/(P(A))  = 0/0.7 =

 

المحاضرة الخامسة

الفصل الثاني: المتغيرات العشوائية والتوزيعات الاحتمالية المنفصلة

            مقدمة

في كثير من الأحيان تكون نتائج تجربة ما قياسات وصفية أو نوعية، مثل الفضاء العيني لتجربة إلقاء قطعة نقط مرة واحدة إما H وإما T وهي قياسات نوعية أما في تجربة إلقاء حجر نرد فتكون النتائج الأعداد من 1 إلى 6 وتكون النتائج في هذا الفضاء العيني نتائج قياسية (كميات عددية). وفي جميع هذه الأنواع من التجارب التي تكون النتائج فيها قياسات نوعية أو قياسات كمية فإننا سنقوم بربط كل نتيجة من نتائج الفضاء العيني لتجربة إحصائية بقيمة عددية من خلال تعريف اقترانات حقيقية على نقاط فضاء العينة وبالتالي إعطاءنا المجال.

            المتغير العشوائي Random Variable:

تعريف: المتغير العشوائي X هو اقتران حقيقي يعرف على فضاء العينة بحيث يعين قيمة عددية لكل نتيجة بسيطة فيه، ويرمز له بحرف لاتيني كبير Y, X ... ولأي قيمة لذلك المتغير بحرف صغير y, x ...

مثال: عرف المتغير العشوائي X والذي يمثل عدد مرات ظهور الصورة H في تجربة القاء قطعة نقد ثلاث مرات؟

الحل:     عناصر الفضاء العيني       قيمة X   نلاحظ أن كل نتيجة بسيطة من عناصر الفضاء العيني تأخذ قيمة واحدة معينة حيث البعض منها يتشابه في ذلك العدد وبذلك نستطيع إعادة تنظيم النتائج السابقة علة الصورة التالية:

            النتيجة   قيمة X

            HHH    3                      {HHH}  3

            HHT     2                      {THH, HTH, HHT}         2

            HTH     2                      {THT, TTH, HTT}           1

            HTT      1                      {TTT}    0

            TTT       0                                

            TTH      1                                

            THT      1                                

            THH     2                                

إن مجموعة القيم التي يأخذها المتغير العشوائي X تسمى فضاء X والمجموعات الجزئية لهذا الفضاء تسمى حوادث تعبر عنها بدلالة X. ففي المثال السابق تكون الحوادث {X=3}, {X=2}, {X=0}.

مثال: اعتماداً على المثال السابق عرف المتغيرات العشوائية التالية:

            المتغير العشوائي Y يمثل الفرق المطلق بين بين عدد H وعدد T؟

            المتغير العشوائي Z يمثل عدد H ناقصاً عدد T؟

الحل: أ)  الحادث المقابل     قيمة Y   ب)        الحادث المقابل     قيمة Z

            {TTH, THT, THH, HTH, HTT, HTT}          1                      {TTT}    -3

            {TTT, HHH}      3                      {HTT, THT, TTH}           -1

                                               {HHT, HTH, THH}         1

                                               {HHH}  3

            أنواع المتغيرات العشوائية:

ينقسم المتغير العشوائي إلى قسمين:

            المتغير العشوائي المنفصل (Discrete): وهو المتغير الذي يأخذ قيماً إما محدودة أو لا نهائية محدودة بمعنى أنه يمكن ربط قيمة واحداً لواحد مع مجموعة الأعداد الصحيحة. ومن الأمثلة عليه عدد أفراد الأسرة، عدد المواليد...

            المتغير العشوائي المتصل (Continuous): وهو المتغير الذي يأخذ جميع القيم في فترة ما ومن الأمثلة على ذلك: درجة الحرارة، وزن الإنسان...

نلاحظ أن كل قيمة من قيم المتغير العشوائي X يقابله حادث أو مجموعة من الحوادث من فضاء العينة S وبالتالي يمكن تعيين احتمالاً لهذا الحادث بدلالة المتغير العشوائي مساوياً لاحتمال الحادث في فضاء العينة S. والمثال التالي يوضح ذلك.

مثال: في تجربة إلقاء قطعة نقد ثلاث مرات حيث X يمثل عدد مرات ظهور الصورة H، أوجد:

            P{X=3}2-P{X=2}

الحل:1- نلاحظ أن X=3 يقابل الحادث HHH وبالتالي P(X=3) = 1/8

            في حالة X=2 فنلاحظ أن الحوادث التي تقابل هذه القيمة هي {HHT, HTH, THH} وبالتالي

P(X=2) = 3/8

ويمكننا وضع جدول يعطينا قيم X والاحتمالات المقابلة لها كما في الجدول التالي:    P(X=X) قيمة X

            1/8       3

            3/8       2

            3/8       1

            1/8       0

تمرين: في تجربة إلقاء حجر نرد منتظم مرتين، إذا كان المتغير العشوائي X يمثل مجموعة العددين الظاهرين، عرف ذل كالمتغير واحتمال كل منهما؟

الجدول السابق يقودنا إلى التعريف التالي:

            التوزيع الاحتمالي المنفصل Discrete Probability Distribution:

تعريف: كل جدول أو معادلة يعطي جميع القيم التي يمكن أن يأخذها متغير عشوائي منفصل مع احتمال كل قيمة منها يسمى توزيعاً احتمالياً منفصلاً أو اقتران احتمالي، بحيث يحقق الشرطين التاليين:

            احتمال كل قيمة من قيم X عدد غير سالب.

            مجموع الاحتمالات للقيم التي يأخذها X تساوي 1.

وإذا عبرنا بالرمز f(x) للاحتمال P(X=x) فإن الشرطين السابقين يصبحان على الصورة:

لجميع قيم x , f(x) ≥ 0

لجميع قيم x , ∑f(x) = 1

مثال: هل تمثل المعادلة f(x) = /15;x=1,2,3,4,5 لغير ذلك: f(x) = 0 توزيعاً احتمالياً منفصلاً؟

الحل: لاحظ أن الشرط الأول متحقق لجميع قيم X. أما مجموع قيم f(x) فهي:

∑_1^5▒〖f(x)=1/15+〗  2/15+3/15+4/15+5/15=15/15=1

إذا: f(x) توزيع احتمالي حقق الشرطين الأول والثاني.

يمكن وضع المعادلة على شكل جدول على الصورة:     المجموع            5          4          3          2          1          X

            1          5/15     3/15     3/15     2/15     1/15     f(x)

مثال: أوجد قيمة a في الجدول التالي والتي تجعل ذلك الجدول يمثل توزيعاً احتمالياً واحسب احتمال X اكبر من 4 واحتمال X أقل من أو تساوي 4؟

6          5          4          3          2          1          x

1/10     1/5       1/5       1/20     3/20     a          f(x)

الحل: بما أن ∑▒〖(x)=1〗 فإن:

a + 1/10+3/20+1/20+1/5+1/5=1

وبتوحيد المقامات نجد أن:

a = 1-14/20=20/20-14/20=5/20=3/10

ولإيجاد احتمال X أكبر من 4:

P(X>4)=P(X=6)=1/5=1/10=3/10

أما لإيجاد احتمال X أقل من أو يساوي 4:

P(X≤4)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)=3/10+3/20+1/20+1/5=14/20=7/10

 

المحاضرة السادسة

الفصل الثاني : المتغيرات العشوائية و التوزيعات الاحتمالية المنفصلة

            التوقع الرياضي للمتغير العشوائي :

تعريف : التوقع الرياضي للمتغير العشوائي المنفصل الذي اقترانه الاحتمالي f (x) هو المقدار التالي :

μ=E(X)= ∑_x▒xf(x)

مثال : اوجد التوقع الرياضي للمتغير X و الذي توزيعه الاحتمالي موضح في الجدول التالي :

Xf (x)    f(x)      X

0.9       0.3       3

0.8       0.2       4

1.0       0.2       5

0.6       0.1       6

1.4       0.2       7

الحل : من خلال ضرب القيمة x في f(x) كما هو موضح في العمود الثالث و بعملية الجمع نحصل على

μ=E(X)= 4.7

مثال : اوجد توقع X اذا كان

f (X) = x/15  ;x=1,2,3,4,5

لغير ذلك f (x) = 0

الحل :

μ=E(X)= ∑_x▒xf (x)= 1×1/15+2×2/15+3×3/15+4×4/15+5×5/15

= (1+4+9+16+25 )/15= 55/15= 11/3

            خواص التوقع الرياضي

نظرية (1) : لكل متغير عشوائي X  , اذا كان b , aعددين ثابتين فان :

E(aX+b)= aE(x)+ b

وهذا يعني انه اذا ضرب المتغير العشوائي بعدد ثابت وليكن a , و اضيف له عدداً ثابتاً آخر وليكن b فان التوقع الرياضي يتأثر بنفس الطريقة فيصبح بعد التعديل مساوياً للتوقع الاصلي مضروبا في a و مضافا اليه العدد b  .

مثال : اذا كان E(X)= 6 , اوجد

            E(3X+5)

            E(0.5X-2)

الحل :

            E(3X+5)= 3×6+5=23

            E(0.5X-2)= 0.5×6-2=1

مثال : اذا كان E(X)= 10 وكان E(ax+5)=25 , اوجد قيمة a؟

الحل :

E(ax+b)= aE(X)+b=a×E(X)+b=a×10+5=25 →10a=20 →a=2

تمرين : اعتماداً على الجدول التالي و الذي يمثل توزيع احتمالي منفصل للمتغير العشوائي x

f (x)      x

0.3       1

0.4       2

0.1       3

a          4

اوجد :

            قيمة المجهول a

            المتوقع الرياضي للمتغير العشوائي x

            E(2X+10) ؟

تباين المتغير العشوائي X

تعريف : اذا كان μ توقع المتغير العشوائي X تباين Xو يعبر عنه بالرمز σ^2 بالصيغة التالية :

σ^2=∑_X▒〖(X-〗 μ)^2 f(x)

مثال : جد تباين Xاذا كان توزيعه الاحتمالي كما يلي :

الحل : نجد اولا توقع xكما يلي :

μ=E(X)=10×1/4+20×1/4+30×1/4+40×1/4=25

و لحساب التباين , نجد ان :

σ^2=∑_X▒〖(X-〗 μ)^2 f(x)

            f (x)      x

            1/4       10

            1/4       20

            1/4       30

            1/4       40

=(10-25)^2×1/4+ (20-25)^2×1/4+(30-25)^2×1/4+ (40-25)^2×1/4

= (225+25+25+225)/4=125

اما الجذر التربيعي الموجب للتباين فيسمى الانحراف المعياري و يعبر عنه بالرمز σ حيث نلاحظ ان الانحراف المعياري للمثال السابق هو

σ=√(σ^2 )= √125

خواص التباين :

اذا كان X متغيرا عشوائيا منفصلا معدله μ وتباينه σ_X^2 وكان لدينا التحويل Y=aX+b حيث b,aثابتان فان

σ_y^2= a^2 σ_x^2

اما الانحراف المعياري للمتغير Y فهو

σ_y=|a|σ_y

مثال : اذا كان للمتغير σ_X^2=16 ,μ_2=50,X اوجد معدل Y وتباينه و انحرافه المعياري اذا كان Y = 3X – 4 ؟

الحل : μ_Y=E(3X-4)= 3μ_X-4=3×50-4=146

σ_Y^2= 3^2×σ_X^2=9×16=144

σ_Y=√144=12

توزيعات احتمالية خاصة : هنالك كثير من المتغيرات العشوائية التي شاع استعمال توزيعاتها الاحتمالية بحيث من المفيد دراسة كل منها على حده , ومن هذه التوزيعات

            توزيع ذات الحدين في كثير من التجارب تكون النتيجة احد الامرين اما نجاح او فشل , وتتألف هذه التجارب من تكرار و اعادة المحاولات المستقلة عن بعضها البعض , فمثلا في تجربة القاء قطعة نقد فان النتيجة اما ظهور صورة او كتابة و تكون نتيجة أي محاولة مستقلة عن الاخرى وهكذا . ان هذه المحاولات تسمى محاولات بيرنوللي

تعريف : محاولات بيرنوللي : كل تجربة تحقق الشروط التالية تسمى محاولات بيرنوللي :

            نتيجة كل محاولة احد الأمرين , نسمي "احدها" نجاح و الأخرى "بالفشل"

            نتيجة كل محاولة مستقلة عن أي المحاولة الأخرى

            احتمال النجاح في كل محاولة عدد ثابت يرمز له بالرمز P وبذلك فان احتمال الفشل هو q = 1-p

ومن الامثلة على هذه التجارب : فحص مجموعة من المصابيح الكهربائية , فحص مجموعة من الطلاب لمعرفة حاجته الى نظارات طبية ....

تعريف : اذا اجريت تجربة بيرنوللي nمن المرات وكان احتمال النجاح في المحاولة الواحدة pوكان xيمثل عدد النجاحات في المحاولات كلها فان :

P (X=x)= nCx×p^x×(1-p)^(n-x);x=0,1,2,….,n

وهذا هو التوزيع الاحتمالي لمتغير ذات الحدين ويرمز له بالرمز b(x;n;p)  .

مثال : رميت قطعة نقد متزنة اربع مرات , جد التوزيع الاحتمالي لهذه التجربة ثم اوجد احتمال ظهور الصورة اربع مرات ؟

الحل : ان هذه التجربة تحقق شروط تجربة ذات الحدين حيث ان p=1/2  ,n=4 , ومنها

b(x;4;1/2)=p(X=x)=4Cx×(1/2 )^x×(1-1/2 )^(4-x);x=0,1,2,…

وعندX=4 , ينتج ان :

وb(4;4;1/2)= p(x=4)= 4C4 ×( 1/2 )^4  ×(1- 1/2 )^(4-4)=1×(1/2 )^4×(1/2 )^0= 1/16

ويمكن حساب احتمال عدم ظهور الصورة P (X=0 )او ظهور الصورة مرة واحدة P(X=1 )وهكذا .

تمرين 1: رميت زهرة نرد منتظمة ثلاث مرات , ما احتمال عدم ظهور العدد 6فيها , ما احتمال ظهور العدد 6ثلاث مرات ؟

تمرين 2  : في تجربة ذات الحدين , اذا كان p=0.1 ,n=15 اوجد p(x≤2) حيث Xيمثل عدد النجاحات ؟

خواص التوقع الرياضي و التباين العشوائي الذي يتبع توزيع ذات الحدين :

نظرية : اذا كان X متغيرا عشوائيا يتبع توزيع ذات الحدين b(x; n; p) فان :

            توقع Xهو           μ=E(X)=np

            تباين Xهو            σ^2=npq

مثال : ما هو التوقع الرياضي و التباين لمتغير ذات الحدين اذا كان p=2/3  ,n=60

الحل : μ=E(X)=60×2/3=40

σ^2=npq=60 ×2/3×1/3=40/3

            توزيع بواسون :

ان التجارب التي تعطينا عدد النجاحات في فترة زمنية معينة او منطقة محددة تسمى بواسون . و الفترة الزمنية قد تكون دقيقة او يوما او اسبوعا او شهرا او غير ذلك اما المنطقة المحددة فقد تكون صفحة كتاب او مترا مربعا او غير ذلك

وبشكل عام تجربة بواسون تحقق الشروط التالية :

            معدل النجاحات التي تحدث في فترة زمنية معينة او منطقة محددة معلوم وليكن λ

            احتمال حدوث نجاح حادث واحد في فترة زمنية قصيرة او منطقة زمنية صغيرة يتناسب مع طول تلك الفترة او مساحة تلك المنطقة .

            احتمال حدوث نجاحين او اكثر في فترة زمنية قصيرة او منطقة صغيرة مهمل .

            حدوث النجاحات في أي فترة زمنية مستقل عن حدوث أي نجاحات اخرى في عدة فترات زمنية منفصلة .

تعريف : توزيع بواسون

التوزيع الاحتمالي لمتغير عشوائي بواسون X الذي يمثل عدد النجاحات في فترة زمنية معينة او منطقة محددة هو

P(x;λ)= P(X=x)= (e^(-λ) λ^x)/x!;x=0,1,2,…

حيث ʎ هي معدل النجاحات في الفترة الزمنية المعينة او المنطقة المحددة e= 2.718

مثال : تصل المكالمات الهاتفية الى مقسم احد المستشفيات بمعدل مكالمة واحدة في الدقيقتين

ما احتمال وصول كل من الحوادث التالية :

            صفر مكالمة في اربع ؟

            4مكالمات في فترة اربع دقائق ؟

الحل : نفرض ان X= عدد المكالمات في فترة اربع

اذن λ=1/2×4=2

ان Xيتبع توزيع بواسون الذي معدله  = 2λ وينتج ان

            عدم وصول أي مكالمة في اربع دقائق هو :

P(0;2)= P(X=0)=(e^(-2) 2^0)/0!= e^(-2)=0.1353

            وصول اربع مكالمتا في اربع دقائق هو :

p(4;2)=p(x=4)= (e^(-2) 2^4)/4!=16/24 e^(-2)=0.0902

تمرين : معدل حوادث السيارات عند اشارة ضوئية 3في الاسبوع الواحد . ما احتمال عدم حدوث أي حادث في اسبوع معين , ما احتمال حادثين او اقل في اسبوع معين ؟

خواص التوقع الرياضي و التباين للمتغير العشوائي الذي يتبع توزيع بواسون :

نظرية : اذا كان X متغير بواسون العشوائي الذي توزيعه الاحتمالي P(x;λ) حيث λ معدل عدد الحوادث في فترة زمنية معينة فان توقع Xهو E(X) = λ وتباين Xهو σ=2/X=λ

مثال : ما هو التوقع الرياضي و الانحراف المعياري لمتغير عشوائي يتبع توزيع بواسون اذا كان25 =λ ؟

الحل : E(X)= 25 ,σ_X=5

لاحظ ان الانحراف المعياري هو الجذر التربيعي للتباين .

 

المحاضرة الثامنة

الفصل الثالث: التوزيعات الاحتمالية المتصلة

تعريف: إذا كان X متغير عشوائي متصل وكان f(x) اقتران حقيقي يتحقق الشرطان التاليين:

            f(x)≥0 ,-∞<X<∞

            ∫_(-∞)^∞▒〖f(x)dx=1〗

(عن المساحة تحت منحنى f(x) وفوق محور السينات = 1 فإن f(x) تسمى الكثافة الاحتمالية أي التوزيع الاحتمالي المتصل للمتغير X.

ويكون احتمال وقوع X بين قيمتين a = x , b = x يساوي المساحة تحت منحنى f(x) وفوق المحور الأفقي والمحصور بين a , b والشكل التالي يوضح ذلك

           

أي أن:

P( a<x<b ) = ∫_a^b▒f(x)dx

ومن أنواع التوزيعات الاحتمالية المتصلة التي سنتعرف عليها في هذا الفصل:

            التوزيع الطبيعي (The normal Distribution): ويعتبر من أهم التوزيعات الاحتمالية المتصلة حيث يوصل التوزيع الطبيعي من خلال معادلة رياضية تحدد منحناه وتعين تماماً وبمعرفة كل من المعدل µ والتباين س2 والتي يمكن كتابتها على الصورة التالية:

f(x)=1/√2πس e^- (X-μ)^2/  2س^2

حيث μ: معدل التوزيع ، س2: التباين ، e≈2.718 ، π=3.14 ، واحتمال الحادث X هو الذي يقع بين النقطتين a ، b هو:

p(a<x<b<)=∫_a^b▒f(x)dx

وسنعبر عن المتغير العشوائي X والذي يخضع للتوزيع الطبيعي الذي معدله µ وتباينه س2 بالرمز (س 2X:N (M,

* خواص التوزيع الطبيعي:

1- مماثل حول العمود المقام على الوسط الحسابي M بحيث يشبه شكله شكل الجرس.

2- له قيمة واحدة، وبذلك له منوال واحد ينطبق على الوسط الحسابي M.

3- تقارب طرفا منحنى التوزيع الطبيعي من الصفر عندا X→-∞ ، X→∞.

4- المساحة تحت منحنى التوزيع الطبيعي تساوي 1.    

            التوزيع الطبيعي المعياري (Standard Normal Distribution): هو التوزيع الطبيعي الذي معدله (وسد الحسابي) يساوي صفر وتباينه يساوي 1، وسنعبر عن التوزيع بالرمز Z: N (0, 1).

نظرية: إذا كان التوزيع الاحتمالي للمتغير العشوائي X هو التوزيع الطبيعي ذو المعدل µوالتباين س2 فإن توزيه المتغير العشوائي:

Z = (X-M)/س   هو التوزيع الطبيعي المعياري.

كل قيمة من X تقابلها قيمة من قيم Z حسب التحويل السابق وتسمى قيم Z القيم المعيارية المقابلة لقيم X.

مثال: إذا كان X: N (70,25) ، أوجد القيم المعيارية المقابلة لكل من القيم التالية:

1- X1 = 62

2- X2 = 13

الحل: لتحويل قيم X إلى قيم Z ، نستخدم التحويل التالي: Z = (X-M)/س   (س= الانحراف المعياري)

1- Z1 = (65-70)/5=(-5)/5=-1

2- Z2 = (13-7-)/5=(-57)/5

* المساحات تحت التوزيع الطبيعي: نستخدم جداول التوزيع الطبيعي المعياري لإيجاد المساحة المحصورة بين متغيرين عشوائيين حيث تعطى هذه الجداول المساحة إلى يسار ثم Z بشكل عام موجبة كانت أم سالبة بمعنى P (Z < z).

لاحظوا أن العمود الأيسر في الجدول يعطي قيم Z ذات خانة عشرية واحدة والصف العلوي يعطي الخانة العشرية الثانية، وتقاطع الصف مع العمود يعطي المساحة المطلوبة. 

المساحة تحت منحنى التوزيع الطبيعي المعياري.

( قيم Z موجبة ) ........... ( قيم Z سالبة )

> نستخدم القيم ............ > نستخدم الجداول

الإحصائية لقيم ........... الإحصائية لقيم

Z الموجبة ................ Z السالبة

[ داخل جسم الجدول هي عبارة عن المساحات التي تقع على يسار قيمة معيات معينة ]

أمثلة على المساحة التي تقع على يسار قيم معيارية مختلفة:

هي عبارة عن المساحات على يسار

قيمة معيارية معينة

= 1

= 0.6982

=0.0003

0.4562 Z 3.4

Z 0.52

Z 3.48

Z 0.11  

القيمة المعيارية Z

المقابلة لقيمة X المختلفة

 

المحاضرة التاسعة

الفصل الثالث : التوزيعات الاحتمالية المتصلة

X:N(H ,σ^2 )→Z∶N(0,1)

↓↓

                          قيم معياريه مثاليه للمتغير العشوائي X               متغير عشوائي ينتمي للتوزيع الطبيعي الذي  

                         حيث تنتمي الى التوزيع الطبيعي المعياري              معدلة M و تباينه σ^2 .

                            الذي وسطه صفر وتباينه 1.

            هناك تحويل بين قيم المتغيرات العشوائية X الى قيم معياريه مقابلة لها تعطى بالصيغة :

Z = (X-H)/σ

            تطبيقات على التوزيع الطبيعي :

في هذا البند سنقوم بإعطاء بعض الامثلة كتطبيقات على استعمال التوزيع الطبيعي .

مثال : تخضع اوزان عبوات احدى انواع الحلويات لتوزيع طبيعي وسطه 85 غم وانحرافه المعياري 25 غم

            ما هو احتمال ان وزن احدى العبوات التي اخذت بشكل عشوائي تزيد على 90 غم ؟

            ما هو احتمال ان وزن احد العبوات والتي اخذت بشكل عشوائي تقل عن 82 غم ؟

الحل :

نفرض ان وزن العبوات = X ,

X:N (85 , 〖2.5〗^2)

المطلوب :

            P(X>90)

            P(X<82)

الحل : لابد من القيام بعملية تحويل قيم X الى قيم Z المعيارية المقابله لها .

            Z=(90-85)/2.5=2/2.5=2

P(X>90)=P(Z>2)= 1-P(Z<2)

=1-0.9772

=0.0228

            P(X<82)=P(Z<-1.2)

Z=(82-85)/2.5=3/2.5=-1.2       =      الجدول من مباشرة

=0.1151

مثال : تخضع تكاليف الولادة الطبيعية في المستشفيات في ما لتوزيع طبيعي وسطه 115 دولار و تباين 49 دولار .

ما احتمال ان تكوين تكاليف احدى الولادات الطبيعية ما بين 104 , 122 دولار ؟

الحل : X:N ( 115 , 49 )

المطلوب :P(104<X<122) ؟

=P(X<122)-P(X<104)

=P(Z<(122-115)/7)-P(Z<(104-115)/7)

=P(Z<1)-P(Z<-1.57)

=0.8413 -  0.058

=0.7831          

 

المحاضرة العاشرة

الفصل الثالث : التوزيعات الاحتمالية المتصلة

2\ توزيع t : t- Distribution

ان احد التوزيعات الاحتمالية المتصلة الهامة لمتغير عشوائي متصل هو توزيع t .

تعريف :اذا كان توزيع الكثافة الاحتمالية للمتغير العشوائي t

معطى بالمعادلة :

f (t)= c ( 1+t^2/v )^(-v+1/2)  ,-∞<t<∞

فان هذا التوزيع يسمى توزيع t حيث v درجات الحرية و c ثابت يعتمد على v ليجعل المساحة تحت المنحنى تساوي 1 .

خواص منحنى توزيع t :

            يشبه منحنى توزيع t شكل الجرس , وهو احادي المنوال له قيمه تقابل t=0 , بحيث يتماثل منحنى الشكل حول العمود المقام على t .

            شكله يشبه شكل التوزيع الطبيعي المعياري ألا انه اكثر انخفاضاً منه , بالاضافه الى ان تقارب طرفيه من الصفر عندما 

t→∞,t→ -∞ ابطأ من تقارب منحنى التوزيع الطبيعي المعياري

و الشكل التالي يوضح منحنى التوزيع الطبيعي مع منحنى توزيع t :

             

ملاحظة : يعتمد منحنى توزيع t على معلمة هامة تحدد شكل ذلك المنحنى وهي درجات الحرية فعندما تزداد درجات الحرية يقترب منحنى توزيع t من التوزيع الطبيعي المعياري .

            حساب الاحتمالات تحت توزيع t :

تحسب الاحتمالات تحت توزيع t من خلال حساب المساحات المختلفة التي تقع على يسار قيم t بدرجات حرية مختلفة , ويوجد جداول خاصة لهذه المساحات ويكون استعمال هذه الجداول كالتالي :

            تسجل درجات الحرية v في العمود الايسر , وعلى الخط الأفقي تسجل مساحات معينة λ ، اما داخل الجدول فتمثل قيم t التي تقع المساحة معينة على يسارها وتعبر عن قيمة t التي تقع على يسارها المساحة λ تحت منحنى توزيع t بدرجات حرية V بالرمز t [λ: V]

            ان جدول t يعطي قيم t [λ;v]القريبة من 1 , لهذا عندما تكون λ صغيرة مثل 0.05 , 0.01 وغريها , فأننا نستعمل القاعدة t [λ; v]= -t [1-λ;v]وذلك بسبب تماثل توزيع t حول العمود المقام على الصفر .

مثال : المتغير العشوائي t يتبع لتوزيع t بدرجات حرية 4 , اوجد

            المساحة الواقعة على يسار 1.532 ؟

            ما هي قيمة t التي يقع الى يسارها المساحة 0.01 ؟

            قيمة √ بحيث t [λ;]= -2.776 ؟

الحل :

            t [λ;4]=1.531

من جدول توزيع مباشرة

نجد ان λ=0.90

            t [0.01;4]= ??

t [0.01;4]= -t [1-0.01,4]

= -t [0.99,4]

= -3.747

            t [λ;4]= -2.776

من الجدول مباشرة , نجد ان قيمة المساحة التي تحقق الشرط

t [λ;4]=2.776

هي λ=0.975

وبسبب وجود اشارة السالب , لابد ان اخذ المتممة من العدد 1 , وبذلك فان قيمة λ التي تحقق الشرط

[λ;4]= -2.776

هي :- λ=1-0.975=0.025

3\ توزيع كاي تربيع : Chi – square Distritoution

تعريف : اذا كان توزيع الكثافة الاحتمالي للمتغير العشوائي x^2 معطى بالمعادلة :

f(x^2 )= c (x^2 )^(( v-2)/2) 〖e^-〗^(x 2/2)  ,x^2>0

فان هذا التوزيع يسمى توزيع كاي تربيع بدرجات حرية v حيث تعتمد c على v وتحدد تكون المساحة تحت المنحنى تساوي 1 .

             

لإيجاد المساحات تحت منحنى كاي تربيع أو ايجاد القيم التي تقع الى يسارها او الى يمينها مساحة معينة , سنستخدم جدول كاي تربيع حيث يسجل عدد درجات الحرية في العمود الأيسر , وتسجل المساحات التي تقع إلى  يسار قيمة x^2 على الخط الافقي وتسجل قيم x^2 داخل جسم الجدول .

مثال : اذا كان المتغير العشوائي x^2 يخضع لتوزيع كاي تربيع على درجات حرية 10 , اوجد :-

            قيمة ^2 التي يكون على يسارها 0.99 من المساحة .

            قيمة x^2 التي يكون الى يمينها 0.01من المساحة .

            قيمة x^2 التي يكون الى يسارها 0.975و القيمة التي يكون الى يسارها 0.025من المساحة ؟

الحل :

ملاحظة : نعبر عن قيمة المتغير العشوائي x^2 التي يقع على يسارها المساحة λ بدرجة حرية v تحت منحنى توزيع x^2 بالرمز .

x^2 [λ;v]

            x^2 [0.99 ;10]= ??

من الجدول مباشرة : x^2=23.209

            قيمة x^2 التي يكون الى يمينها 0.01من المساحة

لاحظوا ان المساحة التي تقع على يمين λ=0.01 هي المساحة التي تقع على يسار √=0.99 , وبذالك فان قيمة x^2=23.209

                        x^2 [0.975 ;10]=x^2 [0.025 ;10]اليمين المساحة  المساحة من اليسار

x^2 [0.025 ;10]=x^2 [0.975 ;10]=3.247

            تمرين :

اذا كان المتغير العشوائي x^2 يخضع لتوزيع كاي بدرجة حرية v = 15 اوجد :

            قيمة ^2 التي تقع 0.99من المساحة على يسارها ؟

            قيمة ^2 التي تقع 0.01من المساحة على يمينها ؟

 

المحاضرة الحادية عشر

الفصل الثالث: التوزيعات الاحتمالية المتصلة

4- توزيع F: (The F-Distribution)

يعتبر توزيع F من التوزيعات الاحتمالية الهامة والتي تستعمل في اختبار الفرضيات (موضوع الباب السادس).

تعريف: إذا كان توزيع الكثافة الاحتمالية للمتغير العشوائي F

f(F)=(cF (v_1-2)/2)/((v_2+v_1 F)^((v_1+v_2)/2) ) , F > 0

فإن هذا التوزيع يسمى توزيع F ويعبر عنه بالرمز F(V1 , V2) حيث أن V2 , V1هي درجات الحرية و C هي ثابت يعتمد على V2 , V1 ويعين بحيث تصبح المساحة أسفل منحنى التوزيع تساوي 1.

يوجد لدينا في هذا التوزيع عدوان من الدرجة الحرية، وبما أن V2 يظهر في المقام فقط فإنه يعتبر درجات الحرية، ويعتبر V1 درجات حرية البسط ويظهر V1 قبل V2 في الرموز F(V1 , V2).

خواص منحنى توزيع F: منحنى توزيع F أحادي المنوال ملتوٍ قليلاً إلى اليمين، وكلما زادت درجات الحرية V2 , V1 يقترب منحنى توزيع F من منحنى التوزيع الطبيعي وهو موجب لجميع قيم F بين الصفر واللانهاية.

             

مثال: أوجدي ما يلي:

1- F(0.95 ; 9.7)← معدل (3.64 , 3.73)

←F = 3.68

2- F(0.99 ; 9.7)← معدل (6.62 , 6.84)

←F = 6.73

وفي حال إيجاد قيم F إذا كانت المساحة على يسارها وقيم غير موجودة في الجدول (بمعنى قيم صغيرة) مثل F(0.05 ; V1 , V2) أو

F(0.01 ; V1 , V2) ، ففي هذه الحالة تستخدم الصيغة التالية: F(λ; V1 ,V2) = 1/(F(1-λ; V_2  ,V_1))

مثال: أوجدي قيمة ما يلي:

1- F(0.05 ; 10 , 7) = 1/(F(1-0.05;7,10))= 1/(F(0.95;7,10))=1/3.14

2- F(0.01 ; 1 , 15) = 1/(F(0.99 ;15 ,1))=1/((6056+6209)/2)

تمرين: أوجد المساحة إلى يسار F=3 إذا كانت V1 = 7 ، V2 = 20 ؟

أوجد المساحة λ بحيث F(λ ; 5 , 5)

نهاية الباب الثالث..

الباب الرابع: توزيعات المعانية

إحصاءات العينة: "Sample Statistics"

مقدمة: يخضع المجتمع الذي تؤخذ منه العينة لتوزيع معين  وهو توزيع  المجتمع حيث تسعى بالتوزيع الاحتمالي لمتغير عشوائي يمثل كأنة أفراد ذلك المجتمع.

أما إحصاء العينة فهو أي اقتران تتعين قيمة من العينة.

فمثلاً الوسط الحسابي للعينة هو 1/x=(∑_(i=0)^n▒x)/n

هو إحصاء عينة . حيث نلاحظ أن قيمة تتغير من عينه لأخرى. فمثلاً أذا أخذت عينة حجمهاn بحيث كان لدينا X1 ,X 2,……,Xn فإن هذه العينة تحدد قيمة ما للوسط الحسابي ,وإذا أخذت عينة عشوائية أخرى بتقسيم  الحجم n فإن الوسط الحساب لهذا العينة ربما يتغير عن الوسط الحسابي للعينة الأولى وهكذا. وهذا يعني أن X  فتتغير عشوائي تتغير قيمته بتغير العينة .

تعريف (1): المعلمة ( (parameterهي ثابت يصف المجتمع أو يصف توزيع المجتمع كالوسط الحسابي للتوزيع أو الانحراف المعياري له.

تعريف (2): إحصاء العينة Sample Statistic))هو أي متغير تتعين قيمته من جميع العينات ذا حجم معين مأخوذه من مجتمع ما. وباختصار هو اقتران تتعين قيمته من العينة.

ومثال عليه: الوسط الحسابي للعينة X.

تعريف (3): يسمى التوزيع الاحتمالي لإحصاء العينة توزيع المعاينةلذلك الإحصاء.  

المحاضرة الثانية عشر (المباشرة الثانية)

الفصل الرابع: توزيعات المعاينة

توزيع المعاينة للوسط الحسابي ¯X:

نظرية (1): إذا كان X يخضع للتوزيع وسطه (معدله) M وتباينه س2 وكان ¯X يمثل الوسط الحسابي للعينة ذات الحجم n والمحسوبة من هذا المجتمع فإن:

1- توزيع¯X هو: M_¯X=M

2- تباين ¯X هو: س_¯X^2=س^2/n

شرطه أن السحب مع الارجاع.

مثال: سحبت عينة عشوائية من مجتمع لا نهائي معدله 70 وتباينه 40. إذا كان حجم العينة 10، فأوجد:

1- الوسط الحسابي للعينة.

M_¯X=M=70

2- تباين العينة.

س_¯X^2=س^2/n=40/10=4

3- الانحراف المعياري للعينة.

س_¯X^2=√4=2

توزيع المعاينة للوسط الحسابي ¯X عند المعاينة من مجتمع طبيعي:

نظرية (2): إذا كان X1, X2, …., Xn عينة عشوائية من مجتمع طبيعي وسطه (معدله) M وتباينه س2 فإن توزيع ¯X يكون التوزيع الطبيعي ذا الوسط M والتباين س^2/n حيث أن المتغير العشوائي Z = (¯X-M)/(س/√n)

يخضع لتوزيع طبيعي معياري.

مثال: تخضع علامات الطلاب في أحد المقررات لتوزيع طبيعي وسطه 65 وانحراف معياري 18. اخذت عينة عشوائية حجمها 36 طالب، احسب:

1- احتمال أن يزيد وسط علامات العينة على 74؟

P(¯X>74) = P(Z >(¯X-M)/(س/√n)) = P(Z>(74-65)/(18/√36))

= P(Z> 3)

= 1 – P(Z < 3)

= 1 – 0.9987

= 0.0013

2- احتمال أن يقل وسط علامات العينة على 60؟

P(¯X<60)=O(Z<(¯X-M)/(س/√n))

= P (Z <(60-65)/(18/√36))

= P (Z <-1.67)

= 0..475

 

المحاضرة الثالثة عشر - توزيعات المعاينة

نظرية (3): المعاينة من مجتمع طبيعي وسطه M وتباينه س2 غير معلوم.

إذا اخذت عينة عشوائية من توزيع طبيعي وسطه M وتباينه س2 غير وعلوم بحيث كان ¯M (الوسط الحسابي للعينة) لعينة حجمها n وانحرافها المعياري s فإن المتغير: T=(¯X-M)/(s/√n)

يخضع لتوزيع t بدرجات حرية v = n – 1

مثال: إذا كانت أطوال الطلاب في أحد الصفوف المدرسية تتبع التوزيع الطبيعي المتوسط يساوي 160سم، إذا سحبت عينة عشوائية من 4 طلاب فما احتمال أن يقل متوسطها الحسابي عن 166سم، إذا علمت أن الانحراف المعياري للعينة يساوي 10سم؟

الحل: P(¯X<166) ?

T=(¯X-M)/(s/√n) = (166-160)/(10/√4)=6/5=1.2

P(t[λ,3]=1.2) = 0.90

نظرية (4): توزيع المعاينة للفرق بين وسطي عينين (¯X-¯Y):

إذا اخذت عينة عشوائية حجمها n1 من مجتمع طبيعي معدله M1 وتباينه س2، ثم اخذت عينة عشوائية اخرى حجمها n2 من مجتمع طبيعي معدله M2وتباينه س2 بحيث كان مستقل عن المجتمع الأول، ورمزنا للوسط الحسابي للعينة الأولى بالرمز ¯X والوسط الحسابي للعينة الثانية ¯Y فإن توزيع الفرق وسطي العينة  بين (¯X-¯Y) يكون التوزيع الطبيعي ذا معدل (M1 – M2) والتباين (س_1^2)/n_1 +(س_2^2)/n_2  بحيث:

Z = ((¯X-¯Y)-(M_1-M_2))/√((س_1^2)/n_1 +(س_2^2)/n_2 )

يخضع للتوزيع الطبيعي المعياري

مثال: تخضع علامات الناجحين من امتحان الدراسة الثانوية العامة في احدى المدارس (أ) لتوزيع طبيعي معدله 70 وانحرافه المعياري 12، وفي مدرسة ثانية (ب) تخضه العلامات للتوزيع الطبيعي معدله 74 وانحرافه المعياري 16، اخذت عينة عشوائية حجمها 16 من المدرسة (أ) وعينة عشوائية اخرى حجمها 9 من المدرسة (ب)، على فرض أن الوسط الحسابي للعينة الأولى ¯X، وللعينة الثانية ¯Y، أوجد:

أ- P(¯Y-¯X) >8 ؟>احتمال الفرق بين وسطين عينين

ب-  P(¯X-¯Y)<3 ؟

الحل: أ-

P[(Z=(¯Y-¯X)-(M_1-M_2 ))/√((س_1^2)/n_1 +(س_2^2)/n_2 )>(8-(74-70))/√((12)^2/16+(16)^2/9)]

P(Z>(8-4)/√(9-26.4))=P(Z>0.65)

= 1-P(z<0.65)

= 1 – 0.7422

= 0.2578

ب- P[(Z=(¯Y-¯X)-(M_1-M_2 ))/√((س_1^2)/n_1 +(س_2^2)/n_2 )<(3-(70-74))/√((12)^2/16+(16)^2/9)

P(Z<(3-(-4))/√(9+28.4))=P(Z<7/√37.4)

= P (Z<1.14)

= 0.8729

تمرين ومسائل:

سؤال (1): إذا كان لدينا المتغير العشوائي X والذي يتبع التوزيع الطبيعي ذا المعدل 25 والتباين 36، أجب عن الاسئلة التالية:

1- أوجد القيمة المعيارية المقابلة للعدد X=10 ؟

2- أوجد القيمة المعيارية المقابلة للعدد ¯=10 في حال كان لدينا عينة حجمها 16 ؟

3- اوجد الوسط الحسابي للعينة إذا علمت أن n=25 ؟

4- اوجد التباين الحسابي للعينة إذا علمت أن n=25 ؟

5- أوجد الانحراف المعياري للعينة إذا علمت أن n=16 ؟

تمرين:إذا كان لدينا التوزيه الطبيعي X;N (10,25) والتوزيع الآخر Y;N (15,36)،      سحبت عينة من المجتمع الأول حجمها 16، وسحبت عينة من المجتمع الآخر حجمها 25، أوجد احتمال الفرق بين (¯Y-¯X) يقل عن العدد 3 ؟

المطلوب: [P (¯Y-¯X)<3]