الازدواج

الازدواج

تعريفه :- هو مجموعة من قوتين متساويتين فى المقدار

               ومتضادتين فى الاتجاه وخطا عملهما ليسا

             على أستقامة واحدة

ذراع الازدواج :-

هو البعد العمودى بين خطى عمل القوتين ( أ ب )

عزم الازدواج :-

هو عزم إحدى قوتى الازدواج بالنسبة لنقطة على خط عمل القوة الاخرى

معيار عزم الازدواج 

يساوى حاصل ضرب أحدى القوتين × البعد العمودى بينهما ( مع مراعاة اتجاه الدوران )

(1) إذا كان أتجاه الدوران ضد حركة          (2) إذا كان أتجاه الدوران مع حركةعقارب الساعة

       عقارب الساعة 

ج = ق ل                     ج = - ق ل

نظرية هامة

عزم الازدواج هو متجه ثابت لا يتوقف على النقطة التى ينسب إليها العزم

البرهان

عزم الازدواج = مجموع عزمى قوتيه بالنسبة لـ و

                 = و أ × ق + و ب × - ق

                 = و أ × ق – و ب × ق

                 = ( و أ – و ب ) × ق

                 =  ب أ × ق

 عزم الازدواج لا يتوقف على و 

 توازن إزدواجين :-

يقال لازدواجين ج1 ، ج2 أنهما متوازنان إذا تحقق أن ج1 + ج2 = 0  أو ج1 = - ج2

 أى أن يكون الازدواجين متساويين فى المقدار ومتضادان فى الاتجاه

تكافؤ إزدواجين :-

 يقال لازدواجين ج1 ، ج2 أنهما متكافئان إذا تحقق أن ج1 = ج2

 أى أن يكون الازدواجين متساويين فى المقدار ومتحدان فى الاتجاه

ملاحظة :-

الازدواج لا يتزن إلا مع إزدواج مثله مساو له فى المقدار ومضاد له فى الاتجاه .

               أ ب قضيب مهمل الوزن طوله 100 سم ، جـ ، ء نقطتان عليه تبعدان عن الطرف أ

               مسافة 40 ، 80 سم على الترتيب . أثرت قوى مقاديرها 300 ، ق ، 300 ، ق نيوتن عند أ ، جـ ، ء ، ب على الترتيب عمودية على القضيب بحيث كانت القوتان عند أ ، ب فى أتجاه واحد والقوتان الاخريين فى الاتجاه المضاد . عين قيمة ق بحيث يتوازن القضيب

حتى يتزن القضيب

ج1 + ج2 = 0

300 × 80 – ق × 60 = 0

24000 = 60 ق

ق = 400 نيوتن

               أ ب قضيب مهمل الوزن معلق أفقيا من مسمار من منتصفه . أثرت قوتان مقدار كل منهما

              7.5 نيوتن فى طرفيه أحدهما راسية الى أعلى والاخرى رأسية لاسفل كما شد بخيط يميل عليه بزاوية 60 ْ من نقطة عليه مثل جـ أوجد مقدار وأتجاه ونقطة تأثير القوة التى إذا أثرت على القضيب مع القوى السابقة حفظته فى حالة توازن وهو أفقى علما بان الشد فى الخيط 10 نيوتن وأن

طول القضيب 30 سم

القوتان 7.5 ، 7.5 تكونان إزدواجا معيار عزمه

ج1 = - 7.5 × 30 = - 225 نيوتن . سم

لكى يتزن القضيب يجب أن يؤثر عليه إزدواج عزمه

يساوى 225 نيوتن . سم

ولهذا فأن القوة ق ، ش يجب أن يكونان إزدواجا

ق = ش = 10 نيوتن  ، ق ( هـ ) = 60 ْ

ج2 = 225                                           جـ ء =          = 15  3

10 × جـ ء جا60 = 225 

5  3 جـ ء = 225                                  نقطة ء تبعد عن جـ مسافة 15  3 سم

                 أ ب قضيب منتظم طوله 60 سم ووزنه 10  ث . كجم ويتحرك فى مستوى رأسى حول

                 مفصل ثابت عند طرفه أ . أثر على القضيب إزدواج فى مستوى رأسى القياس الجبرى

                لعزمه 150 ث كجم . سم برهن على أن رد فعل المفصل عند أ يساوى وزن القضيب

               وأوجد ميل القضيب على الافقى فى وضع التوازن .                

القضيب يقع تحت تأثير إزدواج معيار عزمه = 150 ث كجم سم

ولكى يتزن القضيب لابد من أن تكون القوتان ر ، 10 إزدواجا أخر

مساو للإزدواج الاول فى المقدار ومضاد له فى الاتجاه

 ر = 10 ث كجم

ج2 = - 150

- 10 × 30 جتاهـ = - 150

- 300 جتاهـ = - 150

جتاهـ =                ق( هـ ) = 60 ْ

             أ ب جـ ء صفيحة رقيقة منتظمة وزنها 3 نيوتن على هيئة مربع طوله 50 سم مثقوبة ثقبا

             صغيرا بالقرب من أ ومعلقة من هذا الثقب فى مسمار رفيع بحيث كان مستواها رأسيا أوجد

            الضغط على المسمار إذا أثر على الصفيحة إزدواج عزمه 7.5 نيوتن . سم فى مستواها

            فأثبت أن الضغط على المسمار لا يتغير ثم أوجد ميل القطر أ جـ على الرأسى فى وضع

           التوازن إذا علم أن وزن الصفيحة يؤثر فى نقطة تلاقى قطرى المربع .

فى الحالة الاولى ر = و = 3 نيوتن

الصفيحة واقعة تحت تأثير إزدواج معيار عزمه 7.5 نيوتن . سم

لكى تتزن يجب أن تكون القوتان 3 ، ر إزدواجا مساو للإزدواج الاول

فى المقدار ومضاد له فى الاتجاه

ر = و = 3 نيوتن [  الضغط على المسمار لا يتغير ]

ج2 = - 7.5

- 3 × أ م جاهـ = - 7.5

  أ م = 25   2   سم

-3 × 25  2 جاهـ = - 7.5

- 75  2 جاهـ = - 7.5

جاهـ =            = ــــــــــ       ق( هـ ) = 15 //  3/  4 ْ

                أ ب قضيب مهمل الوزن طوله 1.5 متر تؤثر عند نقطتى تثليثه قوتان مقدار كلا منهما

                200 نيوتن فى إتجاهين متضادين وعموديا على القضيب . رفعت القوتان وأثرت بدلا

               منهما قوتان أخريان مقدار كلا منهما 120 نيوتن عند طرفى القضيب بحيث تكونان

            إزدواجا يكافئ الازدواج الاول . فما هو ميل خط عمل كل من القوتين الجديدتين على القضيب

القوتان 200 ، 200 تكونان إزدواجا ج1 معيار عزمه

ج1 = - 200 × 0.5 = - 100 نيوتن . م

القوتان 120 ، 120 تكونان إزدواجا ج2 يكافئ الازدواج الاول

ج2 = - 100

- 120 × 1.5 جاهـ = - 100

180 جاهـ = 100

جاهـ =                           ق(هـ) = 34 ْ

               أثر إزدواجان مستويان فى قضيب أ ب مهمل الوزن طوله 90 سم وكان الازدواج الاول

               يتكون من قوتين ق ، ق ث كجم والثانى من قوتين 2 ، 2 ث كجم  كما بالشكل المقابل

               عين قيمة ق التى تجعل القضيب يتزن تحت تأثير الإزدواجين

القضيب متزن تحت تأثير إزدواجين ج1 ، ج2

ج1 = - 2 × 50 = - 100

ج2 = ق × 60 جا45 = 30  2 ق

القضيب متزن

ج1 + ج2 = 0

-100 + 30  2 ق = 0

30  2  ق = 100

ق = ـــــــــــــ × ــــــ =               =

            أ ب جـ ء صفيحة رقيقة على هيئة مربع طول ضلعه 50 سم ووزنها 300 ث جم ويؤثر فى

            نقطة تلاقى القطرين ثقبت الصفيحة ثقبا صغيرا بالقرب من أ وعلقت من هذا الثقب فى مسمار أفقى رفيع بحيث أتزنت فى مستوى رأسى . أوجد الضغط على المسمار وإذا أثر على الصفيحة إزوداج معيار عزمه 7500 ث جم . سم وأتجاهه عمودى على مستوى الصفيحة إثبت أن الضغط على المسمار لا يتغير ثم أوجد ميل القطر أ جـ على الرأسى فى وضع الاتزان .   [ 300 – 45 ْ ]

             أ ب جـ ء مربع طول ضلعه 1 م تؤثر قوتان معيار كلا منهما 4 ث كجم فى أ ب ، جـ ء كما

             أثرت قوتان معيار كلا منهما ق ث كجم عند ب ، ء بحيث تصنع الاولى مع د أ والثانية مع

             ب جـ زاويتين متساويتين فى القياس وقياس كل منهما  15 ْ عين قيمة ق حتى يتكافأ

             الازدواج المكون من القوتين الاولين والازدواج المكون من القوتين الاخريين                                   

قطر المربع ب ء =  2

ء هـ = ب ء جا60 =  2 ×        =

شرط تكافؤ إزدواجين هو

          ج1 = ج2

-       4 × 1 = - ق ×

ق = 4 ×        =          ×       =

             أ ب جـ ء مستطيل فيه أ ب = 40 سم ، ب جـ = 30 سم أثرت قوتان كل منهما 200 نيوتن

              فى أ ب ، جـ ء وقوتان أخريان مقدار كلا منهما ق ، ق عند أ ، جـ وتوازيان ب ء عين قيمة

              ق حتى يتكافأ الازدواجان الناتجان

(ب ء )2 = (30)2 + (40)2 = 2500

ب ء = 50 سم

أ ص = 2 أ س = 2 ×                 = 48سم

          الازدواجان متكافأن

                 ج1 = ج2

            - 200 × 30 = - ق × 48

                     ق =               = 125 نيوتن

              قضيب منتظم طوله 40سم ووزنه 2.4 ث كجم يمكن للقضيب الدوران بسهولة فى مستوى

             رأسى حول مفصل ثأبت عند طرفه أ أثر على القضيب إزدواج معيار عزمه 24 ث كجم . سم

             وأتجاهه عمودى على المستوى الرأسى الذى يمكن للقضيب الدوران فيه عين مقدار وأتجاه

             رد فعل المفصل وزاوية ميل القضيب على الرأسى فى وضع التوازن

القضيب يقع تحت تأثير إزدواج معيار عزمه = 24 ث كجم سم

ولكى يتزن القضيب لابد من أن تكون القوتان ر ، 2.4  إزدواجا أخر

مساو للإزدواج الاول فى المقدار ومضاد له فى الاتجاه

 ر = 2.4 ث كجم وتؤثر رأسيا لاعلى 

ج2 = -  24

- 2.4 × 20 جاهـ = - 24

- 48 جاهـ = - 24

جاهـ =                ق( هـ ) = 30 ْ أو 150 ْ

             أ ب قضيب منتظم طوله 60سم ووزنه 18 نيوتن يمكن للقضيب الدوران بسهولة فى مستو

             رأسى حول مسمار أفقى ثابت يمر بثقب صغير فى القضيب عند النقطة جـ التى تبعد 15 سم

             عن أ فإذا أستند القضيب بطرفه ب على نضد أفقى أملس وشد الطرف أ أفقيا بحبل حتى أصبح رد فعل النضد مساويا لوزن القضيب أوجد الشد فى الحبل ورد فعل المسمار علما بأن القضيب يتزن فى وضع يميل فيه على الافقى بزاوية قياسها 60 ْ

ر1 = و = 18 تكونان إزدواج معيار عزمه

ج1 = 18 × س م = 18 × 15 = 270

لكى يتزن القضيب يجب أن تكون القوتان

ر1 ، ش إزدواج أخر مساو للازدواج الاول فى

المقدار ومضاد له فى الاتجاه

ر2 = ش وتكون فى الاتجاه الموضح بالرسم

ج2 = -  ش × 15 جا60

    = -  7.5  3 ش

الازدواجان متزنان

ج1 + ج2 = 0

270 – 7.5  3 ش = 0

7.5  3 ش = 270

ش =              =          = 12 3

           أ ب جـ ء صفيحة رقيقة على هيئة مربع طول ضلعه 20سم ووزنها 150 نيوتن ويؤثر فى

            نقطة تلاقى القطرين . علقت الصفيحة على مسمار أفقى رفيع من ثقب صغير بالقرب من

          الرأس ء فأتزنت فى مستوى رأسى أوجد الضغط على المسمار وإذا أثر على الصفيحة إزدواج            

          أتجاهه عموديا على مستويها فأتزنت فى وضع فيه أ ء أفقى أوجد معيار عزم الازدواج .

فى الحالة الاولى ر = و = 150 نيوتن

القوتان 150 ، 150 تكونان إزواج معيار عزمه

ج1 = - 150 × 10 = - 1500

لكى تتزن الصفيحة يجب أن يؤثر عليها إزدواج أخر

 مضاد لهذا الاتجاه ومساو له فى المقدار

ج2 = 1500 نيوتن . سم

             أ ب جـ ء صفيحة رقيقة على هيئة مستطيل فيه أ ب = 18 سم ، ب جـ = 24 سم ووزنها

             20 نيوتن ويؤثر فى نقطة تلاقى القطرين . علقت الصفيحة فى مسمار أفقى رفيع من ثقب

             صغير بالقرب من الرأس ء بحيث كان مستواها رأسيا . فإذا أثر على الصفيحة إزدواج

             معيار عزمه 150 نيوتن . سم وأتجاهه عمودى على مستوى الصفيحة فأوجد زاوية ميل

             ء ب على الرأسى فى وضع الاتزان .

فى الحالة العادية

ر = و = 20 نيوتن

فى الحالة الثانية

الصفيحة واقعة تحت تأثير إزدواجين متزنان

ج1 = 150

لابد القوتان ر ، 20 تكونان إزدواج أخر ج2 يتزن مع ج1

ج2 = - 150

20 أ م جتاهـ = - 150

- 20 × 15 جتاهـ = - 150

-300 جتاهـ = - 150

جتاهـ =          ق( هـ ) = 60 ْ

             أ ب جـ صفيحة على هيئة مثلث متساوى الاضلاع ووزنها 50 ث جم ويؤثر عند نقطة

             تلاقى متوسطات المثلث . علقت الصفيحة فى مسمار رفيع أفقى من ثقب صغير بالقرب

            من الرأس أ بحيث كان مستواها رأسيا . أثر على الصفيحة إزدواج معيار عزمه يساوى

           250 ث جم . سم وأتجاهه عمودى على مستويها فاتزنت . أوجد ميل أ ب على الافقى إذا

           علم أن أرتفاع المثلث يساوى 15 سم

فى الحالة العادية ر = و = 50 ث جم

فى الحالة الثانية

الصفيحة واقعة تحت تأثير إزدواجين متزنان

ج1 = 250

لكى تتزن الصفيحة يجب أن تكون القوتان ر ، 50

إزدواج معيار عزمه = - 250

ج2 = - 250

- 50 × أ م جاهـ = - 250

- 50 × 10 جاهـ = -250

- 500 جاهـ = - 250

جاهـ =           ق ( هـ ) = 30 ْ  أو 150 ْ

إذا كان ق ( هـ ) = 30   فأن ق ( ب أ س ) = 0     فيكون أ ب عمودى على الافقى

 زاوية ميل أ ب على الافقى = 90 ْ

إذا كان ق ( هـ ) = 150   فأن فأن ق ( ب أ س ) = 120 ْ

 زاوية ميل أ ب مع الافقى = 30 ْ

              أ ب جـ صفيحة رقيقة على هيئة مثلث قائم الزاوية فى ب فيه أ ب = 12 سم ، ب جـ = 15

             ووزنها 6 نيوتن يؤثر فى نقطة تلاقى متوسطات المثلث علقت الصفيحة فى مسمار أفقى

             رفيع من ثقب صغير بالقرب من الرأس أ بحيث كان مستواها عموديا فإذا أثر على الصفيحة 

            إزدواج أتجاهه عمودى على مستويها بحيث أتزنت فى وضع كان فيه أ ب رأسيا أوجد معيار

            عزم الازدواج .

لكى تتزن المجموعة يجب أن يكون عزم الازدواج المؤثر على الصفيحة مساو

لعزم الازدواج الناتج من القوتين ر ، و

ر = و = 6 نيوتن

ص ب =     × ب جـ =     × 15 = 5سم

ج = 6 × 5 = 30 نيوتن . سم

 تعريف مجموع إزدواجين مستويين

هو الازدواج الذى معيار عزمه يساوى مجموع معيارى عزمى هذين الازدواجين

ج= ج1 + ج2

***************************************************************

              أ ب جـ ء مربع طول ضلعه 30 سم ، أثرت قوتان مقدار كلا منهما 200 ث جم فى أ ب

             ، جـ ء وقوتان مقدار كلا منهما 500 ث جم فى أ ء ، جـ ب أوجد القياس الجبرى لعزم

              الازدواج المحصل .

القوتان 200 ، 200 تكونان إزدواج معيار عزمه

ج1 = - 200 × 30 = - 600

القوتان 500 ، 500 تكونان إزدواج معيار عزمه

ج2 = 500 × 30 = 15000

عزم الازدواج المحصل

ج = ج1 + ج2 = - 600 + 1500 = 900

   تعريف مجموع أى عدد محدود من الازدواجات المستوية

  يعرف مجموع أى عدد محدود من الازدواجات المستوية على أنه الازدواج الذى يساوى عزمه مجموع عزوم هذه الازدواجات .

ج = ج1 + ج2 + ج3 + ............... + جن

             أ ب جـ ء مربع طول ضلعه 60 سم أثرت قوى مقاديرها 40 ، 50 ، 40 ، 50 نيوتن فى

              أ ب ، جـ ب ، جـ ء ، أ ء على الترتيب كما أثرت قوتان فى أ ، جـ مقدار كلا منهما 30  2

             نيوتن كما هو مبين بالشكل أوجد

(1) عزم الازدواج الذى يكافئ المجموعة

(2) مقدار وأتجاه قوتين تعملان عند ب ، ء وتوازيان أ جـ بحيث يكون المربع فى حالة توازن

القوتان 40 ، 40 تكونان إزدواج معيار عزمه

ج1 = - 40 × 60 = - 2400

القوتان 50 ، 50 تكونان إزدواج معيار عزمه

ج2 = 50 × 60 = 3000

القوتان 30  2 ، 30  2 تكونان إزدواج معيار عزمه

ج3 = 30  2 × 60  2 = 3600

عزم الازدواج المحصل = ج1 + ج2 + ج3

                              = - 2400 +3000 + 3600 = 4200

لكى تتزن المجموعة يجب أن تكون القوتان ق ، ق إزدواج معيار عزمه = - 4200

- ق × 60   2 = - 4200           ق =                =         = 35  2

             أ ب جـ ء مربع طول ضلعه ل ، م  أ ب ، هـ  ء جـ بحيث م ب = هـ ء =         أثرت

            قوتان مقدار كلا منهما 100 نيوتن فى أ ء ، جـ ب وأثرت قوتان أخريان مقدار كلا منهما

            150 نيوتن فى م جـ ، هـ أ عين عزم الازدواج المحصل .

أ م = ل -        =

( أ هـ)2 = ( أ ء )2 + ( ء هـ)2 = ل2 +       =

أ هـ =

م س = أ م جاى =                 × ـــــــــ  =

القوتان 100 ، 100 تكونان إزدواج معيار عزمه        ج1 = 100 ل

القوتان 150 ، 150 تكونان إزدواج معيار عزمه   ج2 = - 150 ×                 = -75  3ل +75ل

عزم الازدواج المحصل = 100 ل – 75  3 ل + 75 ل ~ 45 ل

             أ ب جـ ء مستطيل فيه أ ب = 10 سم ، جـ ب = 12 سم . نصف أ ب فى س  ، جـ ء فى ص

             وأثرت القوى التى مقاديرها 180 ، 200 ، 180 ، 200 ، 260 ، 260 فى أ ب ، جـ ب ،

             جـ ء ، أ ء ، أ ص ، جـ س على الترتيب عين عزم الازدواج المحصل .

القوتان 200 ، 200 تكونان إزدواجا معيار عزمه

ج1 = - 200 × 10 = - 2000

القوتان 180 ، 180 يكونان إزدواجا معيار عزمه

ج2 = 180 × 12 = 2160

القوتان 260 ، 260 تكونان إزدواجا معيار عزمه

ج3 = - 260 ص م = - 260 × جـ ص جاى = - 260 × 5 ×        = - 1200

عزم الازدواج المحصل

ج = ج1 + ج2 + ج3 = - 2000 + 2160 – 1200 = - 1040 ث جم . سم

               أ ب جـ ء هـ و مسدس منتظم طول ضلعه 15 سم أثرت قوى مقاديرها 40 ، 50 ، 30

               ، 40 ، 50 ، 30 فى أ ب ، جـ ب ، جـ ء ، ء هـ ، و هـ ، و أ على الترتيب عين عزم

               الازدواج المكافئ للمجموعة .

ب ء = ب و = أ جـ = 15   3

القوتان 30 ، 30 تكونان إزدواج معيار عزمه

ج1 = 30 × 15  3 = 450  3

القوتان 40 ، 40 تكونان إزدواج معيار عزمه

ج2 = 40 × 15  3 = 600  3

القوتان 50 ، 50 تكونان إزدواج معيار عزمه

ج3 = - 50 × 15  3 = - 750  3

معيار العزم المحصل 

ج = ج1 + ج2 + ج3 = 450  3 + 600  3 – 750  3 = 300  3

               أ ب جـ ء هـ و مسدس منتظم طول ضلعه 10 سم أثرت القوى 7 ، 4 ، 7 ، 4 ث جم فى

             ب أ ، ب جـ ، هـ ء ، هـ و على الترتيب . كما أثرت قوتان مقدار كلا منهما ق ث جم فى جـ ء

             ، و أ عين قيمة ق حتى تتزن المجموعة

                أ ب جـ ء متوازى أضلاع فيه أ ب = 16 سم ، ب جـ = 20 سم ، ق ( أ ب جـ ) = 130

               أثرت القوى التى مقاديرها 3 ، 5 ، 3 ، 5 ث كجم فى أ ب ، جـ ب ، جـ ء ، أ ء على

                الترتيب عين عزم الازدواج المحصل

               أ ب جـ ء مربع طول ضلعه 30 سم أثرت القوى التى مقاديرها 4 ، 5 ، 4 ، 5 نيوتن فى

               أ ب ، جـ ب ، جـ ء ، أ ء على الترتيب . كما أثرت قوتان مقدار كلا منهما 3  2 نيوتن عند

               أ ، جـ فى الاتجاهين ب ء ، ء ب على الترتيب أوجد

أولا : الازدواج الذى يكافئ المجموعة

ثانيا : مقدار وأتجاه قوتين تعملان عند ب ، ء وتوازيان أ جـ وتجعلان المجموعة فى حالة توازن

          أ ب جـ ء مستطيل فيه أ ب = 30 سم ، ب جـ = 40 سم أثرت القوى التى مقاديرها 15 ، 30    

          15 ، 30 فى ب أ ، ب جـ ، ء جـ ، ء أ على الترتيب أثبت أن هذه المجموعة تكافئ إزدواج

           وأوجد معيار عزمه وأوجد قوتين تؤثران فى أ ، جـ عموديا على أ جـ حتى تتزن المجموعة