الخميس، 1 ديسمبر 2016

القوى المتوازية تركيبها وتحليلها

القوى المتوازية: تركيبها وتحليلها
القوى المتوازية في الجسم المتماسك
درسنا في الفصل السابق كيفية تركيب وتحليل القوى المستوية المؤثرة في نقطة مادية، وافترضنا في هذه الحالة أن جميع القوى المؤثرة تلتقي في نقطة واحدة. ولكن إذا أثرت مجموعة من القوى المستوية على جسم متماسك، فإن هذه القوى يحتمل أن لا تلتقي في نقطة واحدة. ويحدث هذا خاصة إذا كانت القوى المؤثرة على الجسم المتماسك متوازية. ولدراسة تركيب وتحليل القوى المتوازية عندما تؤثر عل جسم متماسك، يحتم علينا معرفة بعض خصائص الجسم المتماسك.
يمثل شكل 2-1 جسماً غير محدود وتمثل النقاط أ، ب، جـ، د، دقائق صغيرة من هذا الجسم. فإذا أثرنا على هذا الجسم بقوى مستوية، ولم تتغير المسافات بين النقاط الهندسية لهذا الجسم، نقول: إن هذا الجسم جسم متماسك (rigid body).والمقصود بعدم تغير المسافات بين النقاط الهندسية للجسم هو أن المسافة بين أي نقطتين مثل أ ب، ب جـ، أ جـ.. تبقى ثابتة، كما تحفظ الزوايا بين الأضلاع أب، ب جـ، أ جـ.. بقيمتها. والأمثلة على الأجسام المتماسكة كثيرة، فقطع الصخر الصلب، وقطع الحديد، وقطع الخشب.. الخ كلها أجسام متماسكة في الظروف العادية. ومن


جهة أخرى، فإن قطع الطين والعجين ليست أجساماً متماسكة (لماذا)؟
ولكي نتمكن من تركيب القوى المتوازية المؤثرة على جسم متماسك نحتاج لفهم مبدأ انتقال نقطة تأثير القوة.
مبدأ انتقال نقطة تأثير القوة
ينص هذا المبدأ على أنه إذا أثرت قوة على جسم متماسك، فإنه يمكن اعتبار هذه القوة تؤثر في أية نقطة تقع على خط عمل القوة، على شرط أن تكون هذه النقطة متماسكة مع الجسم. فالشكل 2-2 يمثل جسماً متماسكاً تؤثر عليه القوة ق في النقطة أ. وبناء على المبدأ السابق، فإنه يمكن اعتبار كل من النقاط ب، ج، د، هـ، نقطة تأثير لهذه القوة. وحتى نثبت أنه يمكن اعتبار هـ (مثلاً) نقطة تأثير للقوة ق، نفترض أن هناك قوتين ق، -ق متساويتين في المقدار ومتضادتين في المنحى وتؤثران على الجسم المتماسك في نقطة هـ.
إيجاد محصلة قوتين متشابهتين
نعتبر قوتين مثل ق1، ق2 متوازيتين إذا كان خطا تأثيرهما متوازيين.
وإذا كان لهما المنحى نفسه، فنصفهما بأنهما قوتان متشابهتان، وأما إذا كان منحاها متعاكسين فهما غير متشابهتين.
ولإيجاد محصلة قوتين متشابهتين ق1، ق2 تؤثران في جسم متماسك في النقطتين أ، ب


على التوالي، نفترض وجود قوتين ق، -ق تؤثران في الجسم المتماسك في النقطتين أ، ب على الترتيب، بحيث تكون هاتان القوتان متساويتين ومتضادتين وخطأ عملهما ينطبقان على أ ب، وبالتالي فإن افترضهما لا يؤثر على محصلة ق1، ق2، لأن محصلة ق، -ق هي صفر. أي أن محصلة ق1، ق2 هي نفسها محصلة ق1، ق2، ق، -ق.
والآن دعينا نمثل ق1، بالسهم أ ج، ق2 بالسهم ب د، ق بالسهم أهـ، -ق بالسهم ب و. نجمع ق1، ق فنجد أن محصلتها هي ح1 ويمثلها أ ك. كذلك نجمع ق2، -ق فنجد أن محصلتها هي ح2 ويمثلها ب ل. لاحظ أن  ح1، ح2 قوتان تتلاقيان في نقطة واحدة هي م، وبالتالي يمكن إيجاد محصلتهما بالطرق السابقة. غير أن نقطتي تأثيرهما مختلفتان، فهما أ، ب. وباستخدام مبدأ انتقال نقطة التأثير السابق ذكره يمكننا اعتبار أن م هي نقطة تأثير مشتركة لكل من ح1، ح2.
نرسم من موازياً لكل من القوتين ق1، ق2. إن هذا الموازي هو م ن. كذلك نرسم من موازياً للمستقيم أ ب وليكن هذا الموازي هو ع ع. حتى نحصل على كل من ح1، ح2 نتبع طريقة التحليل.
نحلل ح1 إلى مركبتيها: مركبة لها منحى م ن ومركبة لها منحى م ع. إن هاتين المركبتين هما ق1، ق (لماذا؟).
نحلل كذلك ح2 إلى مركبتيها: مركبة لها منحى م ن، ومركبة لها منحى م ع. إن هاتين المركبتين هما ق2، -ق.


وبذلك نحصل على مجموعة من القوى: ق1، ق2، ق، -ق وكلها تؤثر في م (شكل 2-4).
وحيث إن ق، -ق قوتان متساويتان ومتضادتان، فإن محصلتهما تساوي صفراً وتبقى فقط القوتان ق1، ق2 ولهما محور واحد المنحى نفسه. وبذلك فإن محصلتهما ح تساوي مجموعهما. أي أن
إن ح هذه هي محصلة ق1، ق2، ق، -ق المبينة في شكل (2-4).وقد قلنا سابقاً إن محصلة ق1، ق2، ق، -ق هي نفسها محصلة ق1، ق2 المؤثرتين في أ، ب على الترتيب. نستنتج من ذلك أن محصلة ق1، ق2 المؤثرتين في أ، ب هي ح التي تعطى من العلاقة أعلاه. أي أن محصلة ق1، ق2 المؤثرتين في أ، ب هي ح حيث:
أي أن مقدار محصلة قوتين متشابهتين يساوي مجموع مقداريهما، ومحورها (اتجاهها) مواز لمحوري (اتجاهي) القوتين، ومنحاها هو منحاها أيضاً.
إيجاد نقطة تأثير محصلة قوتين متشابهتين لإيجاد نقطة تأثير محصلة قوتين متشابهتين نفترض أن نقطة تأثير المحصلة هي ن، حسب الشكل السابق 2-3. ولتحديد موقع ن بالنسبة للنقطتين أ، ب نأخذ المثلثين المتشابهين م ن أ . ك هـ أ وبذلك فإن:


كذلك المثلثان م ن ب، ل و ب متشابهان، وبذلك فإن:

وبقسمة العلاقة الأولى على العلاقة الثانية نحصل على:

أي أن نقطة تأثير المحصلة ن تقسم المسافة بين نقطتي تأثير القوتين ق1، ق2 من الداخل بنسبة عكسية لمقداري القوتين.
نستخلص مما سبق أنه إذا أثرت قوتان متشابهتان على جسم متماسك فإن مقدار محصلتهما مجموع مقداريهما، ومحورها يوازي محور أية واحدة منها كما أن منحاها هو منحى أية واحدة منها، أما نقطة تأثيرها فتقسم المسافة بين نقطتي تأثير القوتين من الداخل بنسبة عكسية لمقداري القوتين.
ويمكن كتابة العلاقة (2) على الشكل التالي:
إيجاد محصلة عدة قوى متشابهة
إذا كان هناك أكثر من قوتين متشابهتين (أي إذا كان هناك عدة قوى متوازية لها الاتجاه والمنحى نفسهما)، فيمكن إيجاد محصلتها باستخدام العلاقة (1) التي تمكننا من إيجاد محصلة قوتين متشابهتين، وذلك بواسطة التطبيق المتتالي لهذه العلاقة. فمثلاً إذا كان لدينا القوى المتشابهة ق1، ق2، ق3، فإننا نحصل على محصلة ق1، ق2، أولاً، ولتكن محصلتهما ح1. بعد ذلك نحصل على محصلة ح1، ق3، ولتكن ح، فتكون ح هي محصلة القوى ق1، ق2، ق3.


وبشكل عام إذا كان لدينا عدة قوى متشابهة فإن مقدار محصلتها يساوي جموع مقادير القوى، واتجاه المحصلة ومنحاها هو اتجاه أية واحدة من القوى المتشابهة ومنحاها. أما بالنسبة لنقطة تأثير المحصلة فإننا نجدها بالتطبيق المتتالي للعلاقة (2).وهناك طريقة أخرى ستدرس في السنة القادمة إن شاء الله عند بحث  موضوع العزوم.
إيجاد محصلة قوتين غير متشابهتين
بحثنا حتى الآن في كيفية إيجاد محصلة قوتين متشابهتين أو أكثر. فكيف نجد محصلة قوتين غير متشابهتين أو أكثر؟ تجدين أنه من السهل عليك أن تثبتي أن مقدار محصلة قوتين غير متشابهتين يساوي الفرق بينهما، أي أن:
ومحور (اتجاه) المحصلة يوازي محوري القوتين، بينما منحاها هو منحى القوة الكبيرة ق1. أما نقطة تأثير المحصلة فتقسم المسافة بين نقطتي تأثير ق1، ق2 من الخارج بنسبة عكسية لمقداري القوتين.
والشكل 2-5 يبين لنا الحقائق السابقة:
ولإيجاد موقع ن نستخدم العلاقة:
وتجدر الملاحظة أن ح أقرب إلى القوة الكبيرة منها إلى القوة الصغيرة.
قومي بالتدريب 2-ب في كتاب دليل النشاطات العلمي
وإذا كان لدينا مجموعة من القوى المتوازية، بحيث كان منحى قسم منها مضاداً لمنحى القسم الآخر، فلإيجاد محصلتها:


نجد أولاً محصلة المجموعة ذات المنحى الواحد، ولتكن هذه المحصلة ح1، ثم نجد محصلة المجموعة الثانية ذات المنحى الآخر المضاد ولتكن هذه المحصلة ح2، فتكون المحصلة النهائية لمجموعة القوى كلها هي ح حيث:
ويمكن إيجاد منحى المحصلة ونقطة تأثيرها بالطريقة السالفة الذكر.
مثال1
جسم متماسك أثرت فيه القوتان المتشابهتان ق1=12 نيوتن، ق2=18 نيوتن. فإذا كانت المسافة بين نقطتي تأثير القوتين ق1، ق2=10 سم فأوجدي محصلة هاتين القوتين، ونقطة تأثير هذه المحصلة.
الحل
نستعين بالشكل التوضيحي 2-6
مقدار ق1=12 نيوتن
مقدار ق2=18 نيوتن
أ ب= 10 سم.
ح=؟، أن=؟
)حيث ن: نقطة تأثير المحصلة ح)
ح=ق1+ق2
إذن مقدار ح=12+18=30 نيوتن.
ومحور ح يوازي محوري ق1،ق2، ومنحاها هو منحى ق1،ق2، ومنحاها هو منحى ق1،ق2، أما نقطة تأثيرها ن، فيمكن إيجادها من العلاقة:
ق1×ن أ=ق2×ن ب
12 × ن أ= 18 (10-ن أ)
12 ن أ=180-18ن أ
30ن أ=180
ن أ=6
أي أن نقطة تأثير المحصلة ن، تبعد 6 سم عن نقطة تأثير ق1.
مثال2
جسم متماسك تؤثر عليه القوتان غير المتشابهتين ق1=30 نيوتن، ق2=40 نيوتن. فإذا كانت المسافة بين نقطتي تأثير القوتين ق1، ق2 = 15 سم فأوجدي محصلة هاتين القوتين، ونقطة تأثيرها.
الحل
نستعين بالشكل التوضيحي 2-7
مقدار ق1=30 نيوتن
مقدار ق2=40 نيوتن
أ ب= 15 سم
ح=؟
ح=ق2-ق1 (لاحظ أن ق2 ق1)
إذن مقدار المحصلة ح =40 – 30
10 = نيوتن.
واتجاهها هو اتجاه القوتين ق1، ق2 ومنحاها هو منحى نقطة تأثيرها ن، فليكن بعدها عن ب مسافة س، حيث إن ن تقسم أ ب من الخارج بنسبة عكسية للقوتين ق1، ق2، فإن:



ق1 × أ= ق2 × ن ب
ق1 × [15 + س] = ق2 × س
30 (15 + س) = 40 × س
3 (15 + س) = 4 × س
45 + 3س = 4س
45 = س
إذن س=45سم
أي أن تأثير المحصلة تبعد عن نقطة تأثير ق2 مسافة 45 سم. ونلاحظ أن ح أقرب إلى القوة الكبيرة ق2 منها إلى القوة الصغيرة ق1.

(1-2) توازن الأجسام بفعل القوى المتلاقية.
لنراقب فتاتين تشدان حبلين مربوطين بحلقة بقوتين متساويتين، لهما المحور نفسه، وفي اتجاهين مختلفين (الشكل 1-6). إذا جمعنا القوتين جمعاً هندسياً، نجد أن المحصلة صفر:
ق1 + ق2 = صفر
في هذه الحالة نقول: إن الحلقة متوازنة بفعل هاتين القوتين.
لنأخذ ثلاثة حبال متساوية في الطول، ولنربطها بحلقة صغيرة، ولنطلب من ثلاث فتيات أن تشد كل منهن أحد الحبال وبالقوة نفسها تقريباً، وكل باتجاهها. نجد أن الحلقة تبقى ساكنة في حالة
واحدة فقط، وهي إذا كانت الزوايا بين الحبال الثلاثة متساوية. عندئذ نقول: إن الحلقة متوازنة بفعل القوى الثلاث.
إذا جمعنا القوى ق1 وق2 و ق3 نجد المحصلة صفراً (الشكل 1-7).
اجمعي القوى الثلاث جمعاً متجهاً مبتدئةً بالأولى والثانية، ثم اجمعي المحصلة مع الثالثة.
النشاط 1-2
يمكننا إجراء تجارب عديدة كهذه، فنراقب عدداً كبيراً من القوى المتلاقية في نقطة واحدة، سواء أكانت هذه القوى متساوية أو غير متساوية، بحيث يؤثر جميعها في حلقة واحدة، وسنصل دائماً إلى نتيجة ثابتة: تبقى الحلقة ساكنة إذا كانت محصلة القوى التي تؤثر عليها تساوي صفراً. ونقول هنا: إن الجسم متوازن بفعل هذه القوى ونكتب هذه النتيجة رياضياً:
ق = صفرå
والرمز å نقرؤه (مجموع).
مثال 1-2
ما هو اتجاه ومقدار القوة اللازمة لموازنة القوتين ق1 وق1 إذا كانت ق1 = ق2 = 10 نيوتن وإذا كانت الزاوية بين ق1 وق2 تساوي 60°؟
ما اتجاه هذه القوة؟
الحل:
لنحسب أولاً محصلة ق1 وق2
ق1 + ق2 = ق3
بما أن المثلث ب ق1 ق2 متساوي الأضلاع فإن ب ج =؟=؟ 8.65
وعليه فإن ق3 = 17.3 نيوتن. أما اتجاه ق3 فهو خط يكون مع خط ق1 أو ق2 زاوية قدرها 30° من ب نحو ج. وبذلك فإن القوة اللازمة لموازنة ق3 هي القوة ق4 التي تساوي ق3 في المقدار وتعاكسها في الاتجاه. أي أن ق4 = -ق3.
مثال 1-3
جسم ثقلة مئة نيوتن معلق بخيطين لا ثقل لهما كما هو مبين في الشكل (1-9). فما هي قوة الشد (Tension) في كل من الخيوط الثلاثة عندما يتزن الجسم؟
الحل:
قوة الشد في الخيط الذي يتدلى به الجسم تساوي 100 نيوتن. لحساب القوتين ق1 وق2 يجب أولاً حساب مسقط (Projection) كل منهما على المحورين العمودي، والأفقي.
المجموع الجبري للمساقط على المحور الأفقي:
ق2 جتا 53 - ق1 جتا 37° = صفراً.
ق2 جا53° جا 37° - ق3 = صفراً
يمكننا حل المعادلتين بسهولة إذا استخرجنا من الجداول المختصة:
جتا 37° = 0.8
جتا 53° = 0.6
جا 37° = 0.6
جا 53° = 0.8
فنحصل على: ق1 - 60 نيوتني و ق2 = 80 نيوتن.
 الكمّيات المتجهة
يجب التفريق بين الكميات القياسية (Scalar Quantities) التي تتحدد بالمقدار فقط كالكتلة؛ والطول، والسعة.. الخ، والكميات المتجهة (Vectors Quntities) التي تتحدد بثلاثة عناصر:
1. نقطة التأثير. 2. الاتجاه. 3. المقدار (الشكل 1-1).
تتمثل الكميات المتجهة بيانياً بسهم، يمثل ذيله نقطة التأثير، وطوله المقدار، أما رأس الخط المستقيم الذي يقع عليه السهم فيمثل الاتجاه وسنمثل المتجه بحرف يعلوه سهم صغير، أما مقدار المتجه فسنمثله بالحرف نفسه دون سهم.
يمكن جمع كميتين متجهتين أو أكثر كما تعلمنا في السنة السابقة بالنسبة للقوى (الشكل 1-2) أما القوانين الجبرية المتعلقة بالكميات المتجهة فهي:
حيث أخذنا ح‍ وح‍1 وح‍2 ككميات قياسية وم وم1 وم2 ككميات متجهة. وننبه هنا على أن (ح‍ م) هو كمية متجهة لها خصائص م ما عدا مقدارها الذي يساوي حاصل ضرب ح‍ بمقدار م وإذا كانت ح‍ سالبة ينعكس اتجاه ح‍ م بالنسبة لاتجاه م. وهنالك طريقتان لضرب كمية متجهة بكمية متجهة أخرى: الضرب القياسي، والضرب المتجه.
الضرب القياسي لمتجهين:
لنأخذ متجهين م1 وم2 يشتركان في نقطة التأثير ويختلفان في الاتجاه، ولتكن ى الزاوية بينهما (الشكل 1-3). نحدد الضرب القياسي للمتجهين كما يلي: الضرب القياسي لمتجهين م1 و م2 (Scalar Product) يساوي حاصل ضرب مقدار مسقط م1 على محور م2 بمقدار م2:
ويُمثّل الضرب القياسي رياضياً بوضع نقطة بين المتجهين، أي:
م1 0 م2 = م1 م2 جتا ى
* تأكدي من أن م2 0 م1 = م1 0 م2


الضرب المتجه:
لنأخذ متجهين م1 وم2 (كما في الشكل 1-3)، فالضرب المتجه (Vector Product) للمتجهين هو متجه م3 ويكتب م3 = م1 × م2 وخصائصه الثلاث:
1) نقطة تأثير هي نقطة تأثير المتجهين.
2) مقداره يساوي م1 م2 جا ى.
3) واتجاهه يتعامد مع المستوى الذي يحوي المتجهين م1 وم2 بحيث يكون في اتجاه مفك يميني يدير المتجه م1 نحو المتجه م2 من خلال الزاوية الصغيرة بينهما (الشكل 1-4).
مثال 1-1
خذي المتجهين الظاهرين في الشكل 1-5.
احسبي:
1) الضرب القياسي للمتجهين.
2) الضرب المتجهة لهما.


الحل:
1) الضرب القياسي يساوي م1 م2 جتا 60° = 5 × 3 × 1/2 = 7.5
2) الضرب المتجه هو متجه نقطة تأثيره هي ب مقداره: 5 × 3 جا ى
= 15 جذر 3/2 = 12.99
واتجاهه متعامد مع السطح المستوي المكون من م1 و م2، إلى أسفل، لأننا إذا أدرنا برغياً لينزل، بالاتجاه من م1 إلى م2 فإنه يتحرك نزولاً.
أسئلة وتمارين
1)            ما المقصود بالتعريف الإجرائي للقوة؟
2)            عددي ثلاثة أنواع مختلفة من القوى؟
3)            ما هو الجهاز الذي نستعمله في المختبر لقياس القوة؟ هل تقاس كل أنواع القوى بهذا الجهاز؟
4)            ما هي وحدة القوة المستعملة في النظام العالمي للوحدات؟ اذكري تعريفها؟
5)            ما المقصود بالكمية المتجهة، وبالكمية غير المتجهة؟ اضربي مثالين على كل منهما؟
6)            وضحي المقصود بالعبارة التالية: أن عملية تحليل القوى هي عكس عملية تركيب (جمع) القوى.
7)            قوتان مقدارهما ق، ق تؤثران في نقطة مادية، بحيث أن الزاوية بينهما هي هـ. احسبي مقدار محصلة القوتين في كل من الحالات التالية:

8)            قوتان مقدارهما 12 نيوتن، 16 نيوتن. أوجدي مقدار اكبر واصغر محصلة يمكن أن تنشا منهما.
9)            ؤثر القوة ق ومقدارها 30 نيوتن، في نقطة مادية في اتجاه الشمال الغربي ، جدي مركبتي هذه القوة باتجاه الشمال وباتجاه الغرب ( جتا 45 = 0.7 تقريبا)
10)            وضع جسم يزن 100 نيوتن، على مستوى مائل يميل عن الأفق بزاوية مقدارها 30 أوجدي مقداري مركبتي الثقل: باتجاه المستوى وباتجاه عمودي على المستوى.
11)            قوتان مقدار كل منهما ق ومحصلتهما مقدارها ق أيضاً أوجدي الزاوية بين القوتين.
12)            ؤثر أربع قوى في نقطة مادية في الوقت نفسه: الأولى مقدارها 2 نيوتن باتجاه الشرق، والثانية مقدارها 4 نيوتن باتجاه الشمال، والثالثة مقدارها 5 نيوتن باتجاه الغرب، والرابعة مقدارها 8
نيوتن باتجاه الجنوب أوجدي مقدار محصلة هذه القوى واتجاهها.
13)            تؤثر قوتان مقدارهما في نقطة مادية في الوقت نفسه، والزاوية بينهما هي . أوجدي مقدار محصلتهما في الحالتين التاليتين بالرسم.
تحققي من إجابتك بالطريقة الحسابية.
14) تؤثر قوتان مقدارهما س،ص في نقطة مادية في الوقت نفسه ومقدار محصلتهما ع. لوحظ إذا ضاعفنا (ص) فإن (ع) تتضاعف، وإذا عكسنا اتجاه (ص) فإن (ع) تتضاعف أيضاً اثبتي أن س:ص:ع=
15)            تؤثر ثلاث قوى في نقطة مادية في الوقت نفسه. فإذا كانت مقادير هذه القوى هي وباتجاهات موازية لأضلاع مثلث متساوي الأضلاع ومأخوذة بترتيب دوري واحد، أوجدي مقدار المحصلة واتجاهها ومنحاها.

ليست هناك تعليقات:

إرسال تعليق