المدارات الدائرية لأقمار الأرض

المدارات الدائرية لأقمار الأرض

المدارات الدائرية لأقمار الأرض

Circular Motion of the Earth's Satellites

105-مقدمة

•        كثيراً من الأقمار الصناعية (Artificial satellites)  للأرض تتحرك فى مدارات دائراية أو قريبة جداُ من الدائرية 0يختص موضع هذا الباب الحالى للحركة الدائرية الغير مقلقة (unperturbed  circular motion)   للقمر الصناعى

•        فى معالجة الحركة الدائرية الغير مقلقة لأقمار الأرض يفترض الأفتراضات المبسطة الأتية:

1-أن الأرض كرة كاملة الأستدارة

2-أن قوة جذب الأرض هى القوة الوحيدة المؤثر على القمر

3- عجلة الجاذبية (The gravitational acceleration) دائماً متجة إلى مركز الأرض وقيمتها g تعطى من قانون نبوتن بالمعادلة:

(5.1)                                                

حيث r بعد القمر عن مركز الأرض و   هى :

(5.2)                                         

G ثابت الجاذبية العام و   كتلة الأرض

4- مقدار واتجاة السرعة الإبتدائية  (The initial velocity)لابد وان يضمن حركة دائراية 0 من الأفتراض الثانى والمعادلة (5.1) نجد أن هذة  السرعة الدائرية   هى:

(5.3)                                          

•        السرعة الزاوية n velocity ) (The angular وهى ماتسمى الحركة المتوسطة(The mean motion) في علم الميكانيكا المدارية ترتبظ  بالسرعة الدائرية    بالمعادلة:

(5.4)                                              

•        الزمن الدوري    للقمر  وهوا لزمن الذي  يستغرقه القمر لعمل دورة كاملة  حول الأرض يعطى بالمعادلة:

(5.5)                                            

ويلاحظ أن زمن الدورة يمكن الحصول عليه من الحركة المتوسطة

                                                     

•        من المعادلتين (5.4),(5.3) نجد أن :

(5.7)                                           

وهذه معادلة مشهورة جداً في علم الميكانيكا الفضائية وتعرف كصورة لقانون كبلر(Kepler's law) . وتعتبر المعادلة  تقريباً جيداً جداً للعلاقة التامة:

(5.8)                                      

  والتقريب ناتج من افتراض أن كتلة القمر  يمكن إهمالها إذا ما قورنت بكتلة الأرض0 المعادلة(5.8) هى الصورة التامة لقانون كبلر للمدارات الدائرية . وطبيعياً أن هذا التقريب  لا يؤثر على الإطلاق إذا ما اعتبرنا ديناميكا القمر حيث أن كتلته أقل كثيراً جداً من كتلة الأرض . وعليه فإن المعادلة  صحيحة . لتقييم هذا التقريب نكتب المعادلة  على الصورة :

                                             

وعلى سبيل المثال إذا كانت كتلة القمر طناً واحداً فإن النسبة   تصبح من الرتبة   وهذا هو الخطأ الناشئ من إهمال الحد  .

•        يجدر بنا أن نذكر أن المعادلات السابقة يمكن تعديلها إذا ما أدركنا أن ارتفاع القمر فوق سطح الأرض غالباً ما يعطى وليست المسافة r  من مركز الأرض وهذه العلاقة هي :

                                                                                                     

حيث   متوسط نصف قطر الأرض , و  ارتفاع القمر فوق سطح الأرض .

•        الطاقة الميكانيكية الكلية(The total mechanical energy)  لوحدة الكتل لقمر يدور فى مدار دائرى حول الأرض على بعد r من مركزها هى:

                                          (5.10)

 وأن   و  هما على اترتيب طاقة الحركة(Kinetic energy)و طاقة الوضع(Potential energy)  لوحدة الكتل حيث:

                                                        (5.11) 

                                             (5.12)

•        ويلاحظ أن:

▲ من المعادلة 5.10)) والمعادلة 5. 4)) نجد أن عندما   فإن الطاقة الكلية للقمر تؤول الى قيمة ثابتة هى   وان  وعلية عندما   فإن طاقة القمر الكلية تصبح طاقة وضع فقط

▲أذا انطلق قمر صناعى من سطح الأرض بطاقة   فإن سرعتة الأبتدائية   هى:

حيث   سرعة القمر عند   اىان عند 

•        تمثل الأشكال   على الترتيب تغير كَل من السرعة الدائرى   والرمن الدورى P والطاقة الكلية مع الأرتفاع h عن سطح الأرض لقمر يدور حولها فى مدار دائرى ويلاحظ من هذة الأشكال الاتى:

•        من الأشكال   نجد أن:

▲ التغير فى كَل من    للأقمار التى على ارتفاعات صغيرة من سطح الأرض يحدث فى حدود ضيقة نسبياَ 

▲ للأرتفاعات  نجد أن الزمن الدورى P لايزيد عن  بينما لاتقل السرعة الدائرية 

▲ من المعروف أن الاقمار الصناعبة لايمكن أن تتوجد على ارتفاعات   وذلك للزيادة الشديدة فى المقاومة الهوائية0 وهذة الأرتفاعات تحدد اقل قيمة للزمن الدورى   واكبر قيمة للسرعة الدائرية  وعلية فإن الاقمار الصناعية على ارتفاعات   لها:

                     

•        من شكل5.3   نجد ان الطاقة الكلية لقمر يدور حول الأرض فى مدار دائرى تزداد كلما ازداد بعدة عن سطح الأرض بالرغم أن كل من  سرعتة الدائريةوكذلك طاقة حركتة كلاهما يقل مع الارتفاع

شكل 5.1 : تغير السرعة الدائرية  مع الأرتفاع h  لقمر يدور حول االأرض فى مدار دائرى

شكل 5.2 : تغير الزمن الدورى P مع الأرتفاع h  لقمر يدور حول االأرض فى مدار دائرى

شكل 5.3 تغير الطاقة الكلية Q  مع الأرتفاع h  لقمر يدور حول االأرض فى مدار دائرى

•        جدول 5.1 يعطي بعض قيم الثوابت الفيزيائية التي تستخدم في النظم الحسابية لهذا الباب

جدول 5.1 : قيم بعض الثوابت الفيزيائية

الثابت  القيمة

398598.624        

حيث   هي الحركة المتوسطة للأرض

•        ربما يبدو غريباً أن نجد عدداً من المسائل العملية الهامة يمكن معالجتها باستخدام النتائج البسيطة السابقة . وفيما يلي سنعطي بعضاً من هذه المسائل

▲ حساب الارتفاع الصحيح h وكذلك  للأقمار المتزامنة (Synchronized satellites)

•        القمر المتزامن هو القمر الذي زمن دورتهP يساوي 24 ساعة , وعليه إذا كان المستوى المداري لهذا القمر في المستوى الاستوائي للأرض فإن القمر يدور حول الأرض بحيث يكون دائماً فوق نفس النقطة من الأرض. يستخدم هذا النوع من الأقمار في أغراض الاتصالات . يحسب الارتفاع الصحيح  وكذلك  للقمر المتزامن كما يلى:

  1-n  من    حيث P تساوي 24 ساعة .

  2-   من   

   3-   من 

•        بأستخدام قيم الثوابت من جدول 5.1 نجد أن :

▼  الارتفاع الصحيح  للقمر المتزامن هو

▼  السرعة الدائرية   للقمر المتزامن هى

▲العلاقة بين    للقمر المتزامن

بفرض أن   هي السرعة الدائرية لقمر متزامن و   هي السرعة الدائرية لنقطة على خط الاستواء , فإن النسبة   تحسب كما يلي :

             1-أوجد  الأرتفاع   للقمر المتزامن كما سبق

             2- النسبة    من      

•        بأستخدام قيم الثوابت من جدول 5.1 نجد أن :

▼                                   النسبة   هى

               

▲ القيم التقريبية لـِ , r,   لمدار القمر الطبيعي للأرض

     1-   من    حيث   تساوي  27.32  يوماً وهو زمن دورة القمر حول الأرض .

 2- r من 

  3- السرعة الدائرية للقمر   من   .

حيث   كتلة القمر . ] أستخدمت الصورة التامة لقانون كبلر للمدارات الدائرية( المعادلة(5.8)) حيث أن كتلة القمر حوالى   من كتلة الأرض وعلية لايمكن اهمالها [

•        بأستخدام قيم الثوابت من جدول 5.1 نجد أن :

▼         القيمة التقربية لـ   هى

▼         القيمة التقربية لـ r هى

 ▼        القيمة التقربية لـ  هى 

▲ النسبة بين    عند دائرة الاستواء

القوة الطاردة المركزية ( لوحدة الكتل ) عند دائرة الاستواء تعطى بالمعادلة  . أما قوة الجاذبية ( لوحدة الكتل ) فهي     وعليه فإن

•        بأستخدام قيم الثوابت من جدول 5.1 نجد أن :

▼         النسبة   هى

وجدير بالذكر أن نيوتن قام بحساب هذه النسبة ووجد أنها تساوي 300 تقريباً .

▲ تقدير لمعدل تغير الطاقة الكليةَ  Q  بالنسبة للأرتفاع h

•        معدل تغير الطاقة الكليةَQ  كنتيجة لتغير الأرتفاع h لقمر صناعى يدور حول الأرض فى مدار دائرى يمكن الحصول علية بأشتقاق المعادلة (5.10) فنجد أن

•        بأستخدام قيم الثوابت من جدول 5.1 نجد أن :

         ▼    لاتتعدى 

•        الحركة الفضائية للمدار الدائري (Space motion for circular orbit)

▲عناصر المدار في الفضاء(The orbital elements in space)

يتحرك القمر الصناعي تحت تأثير الجذب المركزي للأرض وعلية فإنة وافقاً لقوانين الميكانيكا النظرية يكون مدار القمر واقعاً في مستوى واحد يسمى المستوى المدارى(The orbital plane) للقمر الصناعي

      يسمى خط تقاطع المستوى المدارى للقمر الصناعي مع مستوى الاستواء الأرضي   بخط العقدThe line) of nodes)

شكل 5.4 : عناصر الحركة في الفضاء لقمر صناعي يدور حول الأرض في مدار دائري

      تُسمى نقطة تقاطع المستوى المدارى للقمر الصناعي مع مستوى الاستواء الأرضي( النقطةَQ  في شكل5.4 ) في حركتة من الجنوب إلى الشمال بنقطة العقدة الصاعدة(The ascending node)  .بينما ُتسمى النقطة المقابلة  تماماً للنقطة Q بالنسبة لمركز الأرض ( غيرُمبينة في شكل5.4 ) بنقطة العقدة الهابطة(The descending node)

      يتحدد المكانD (مثلآ) لقمر صناعي عند الزمن t   في مدارة الدائري حول الأرض بالعناصر الآتية:

 ▼  : ُتسمى بطول العقدة الصاعدة(The longitude of the ascending node) وهى الزاوية بين الخط oQ والخط المار بنقطة الاعتدال الربيعي ) (The point of the vernal equinox.في العموم تقاس   مع اتجاة عقارب الساعة ( كما ُترى من اتجاة القطب الشمالي) وهى أيضا المطلع المستقيم( The right ascension ) للنقطة Q

▼i  : ُتسمى بميل المدار(The inclination of the orbit) وهى الزاوية بين المستوى المدارى للقمر الصناعي و مستوى الاستواء الأرضي.وتتراوح قيمة i بين 0 إلى 

         * لحركة القمر الصناعي من الغرب إلى الشرق فإن:            

         * لحركة القمر الصناعي من الشرق إلى الغرب فإن:     

 ▼ u : الزاوية بين الخطيين oQ ,oDوهى تقاس فى اتجاة حركة القمر الصناعي وحيث أن سرعة القمر في المدار الدائري ثابتة فعلية فإن

                                        

          

    حيث   هو زمن عبور القمر الصناعي نقطة العقدة الصاعدة(The time of the nodal passage)

      في حالة   أو  يصبح المستوى المدارى للقمر الصناعي منطبقا على مستوى الاستواء الأرضي.وعلية فتصبح العقد ( العقدة الصاعدة والعقدة الهابطة ) غير محددة .وللتغلب على هذة الصعوبة  تأخذ   ثم تقاس الزاوية u من الخط 

      يتضح مما سبق أن موضع وسرعة القمر الصناعي في مدارة الدائري حول لأرض يتعينا عند الزمن    من معرفة أربعة عناصر هم :   طول العقدة الصاعدة و  ميل المدار و  زمن عبورالقمر الصناعي نقطة العقدة الصاعدة وأخيراً    نصف قطر المدار أو   زمن الدورة (حيث )

      يجب ملاحظة أن الحركة في مدار دائري هي حالة خاصة من الحركة الفضائية  لكتلة نقطية في مجال قوة جذب جسم مركزي كامل الاستدارة. كما نعلم فإن هذة الحركة العامة تُوصف بنظاماً من ستة معادلات تفاضلية وعلية فإنة تُعرف بستة عناصر مستقلة (على سبيل المثال الشروط الأولية للحركة ) أما في حالة المدار الدائري فإن العنصرين الناقصان فُيستنتجان من شروط الدائرية للمدار وهى: 

1 – مسقط متجة السرعة على r (و هو  ) دائماً يساوى صفر0

2- مسقط متجة السرعة على المستوى العمودى على  r يساوى دائماً  0

▲الإحداثيات الكروية المركز يأرضية(Geocentric spherical coordinates )

يتحدد موضع القمر الصناعي في الإحداثيات الكروية المركز يأرضية بثلاثة إحداثيات هم:

      r : بعد القمر عن مركز الأرض

        : المطلع المستقيم  وهو الزاوية بين الخط   من مركز الأرض إلى نقطة الاعتدال الربيعي   ومستوى الزوال المار بالقمر الصناعي .وتقاس من  في اتجاة الشرق

•          : الميل(declination) وهو الزاوية بين الخط oD و مستوى الاستواء الأرضي.ويقاس موجباً إذا وقع القمر فوق دائرة الاستواء الأرضي و يقاس سالباً إذا وقع القمر تحتة.

205- النظم الحسابية المستخدمة

النظام الحسابيSD1

•        الغرض

حساب السرعة الدائرية   والحركة المتوسطة   وزمن الدورة   والطاقة الكلية لوحدة الكتل Q ومعدل تغير Q بالنسبة إلى الأرتفاع  لفمر صناعى يدور في مدار  دائري  حول الأرض

•        أساسيات

      تُعطى  من المعادلة (5.7) عل الصورة:

                                           

                                                              (5.14)                                                   

    

       

      بينما تحسب الكميات   على الترتيب من المعادلات (5.10),(5.5),(5.4) حيث تعطى   بدلالة نصف قطر الأرض   وأرتفاع القمر الصناعى h عن سطح الأرض بالمعادلة (5.9) كما تعطى   بدلالة كتلة الأرض   وثابت الجاذبية العام G من المعادلة(5.2)

      جدول  5.1  يعطى القيم العددية للثوابت  و 

      يحسب معدل تغير الطاقة الكليةَQ  إذا كان القمر على بعد  من مركز الأرض من:

(5.15)                                             

•        المدخلات

1-      القيم  العددية لـ

2-      ارتفاع الجسم h فوق سطح الأرض

•        المخرجات

•        النظم الحسابية المستخدمة

لا يوجد

•        الخطوات الحسابية

1-   rمن المعادلة  (5.9)

2-  من المعادلة  (5.14)

3 -  من المعادلة (5.4)

5-  من المعادلة (5.5)

6-  من المعادلة (5.10) 

7-  من المعادلة (5.15)

8-انتهت الخطوات الحسابية

•        أمثلة محلولة

1- قمراً صناعياً على أرتفاع   من سطح الأرض أحسب لهذا القمر 

•        الحل

2-  قمراً صناعياً على أرتفاع من سطح الأرض يساوى خمسة مرات  قدر نصف قطرها أحسب لهذا القمر 

•        الحل

النظام  الحسابى SD2 

•        الغرض

تعين مدى الارتفاع h لقمر صناعي فوق سطح لأرض ( يدور حولها في مدار دائري) والذي يسمح بتطبيـق الحل الخطى بين زمن الدورة P و h  في حدود  معيار نسبى 

•        أساسيات

      تُعطى العلاقة بين لارتفاع h  فوق سطح الأرض و زمن الدورة P لقمر صناعي يدور حولها في مدار دائري بالمعادلة

                                          

,                                                    (5.16)                              

حيث

 ,                                                       (5.17)                                           

                                           

.                                                (5.18)                                                   

        بإستخدم نظرية ذات الحدين نجد أن العلاقة الخطية بين P و hعلى الصورة

(5.19)                                                                        

      الخطأ بين المعادلتين التامة والتقريبية هو   بينما الخطأ النسبي هو   وإذا كان هذا الخطأ النسبي اقل من أو يساوى المعيار  فإن

                                                (5.20)

يختص النظام االحالى لتعين مدى الارتفاع  h  لقمر صناعي والذي يسمح بتطبيـق المعادلة الخطية 5.19)) بين P و h   وذلك في حدود معيار نسبى 

•        المدخلات

1- 

2-المعيار النسبي 

3-المعيار النسبي  لإيقاف العملية التكرارية لإيجاد  

•        المخرجات

مدى الارتفاع 

•        النظم الحسابية المستخدمة

النظام الحسابي  المساعد A1

•        الخطوات الحسابية

 1- استدعى النظام الحسابي المساعد A1 لحل المعادلة:

  تكرارياً لإيجاد قيمة   في حدود المعيار 

2- عين المدى المطلوب للإرتفاع h من المتباينة :

3-  انتهت الخطوات الحسابية

•        مثال محلول

عين مدى الإرتفاع h الذي يسمح بتطبيـق لحل الخطى بين P و h[ المعادلة  [(5.19) في حدود  معيار نسبى =0.01  مع اعتبار   كمعيار لإيقاف العملية التكرارية

•        الحل

      اعتبر التقريب الأولى 

      بتطبيق الخطوات الحسابية للنظام A1  نجد أن التقربيات المتتالية كما في الجدول الآتي:

 x                                       التكرار   

                                             

      وعلية فإن الحل التقريبي في حدود المعيار    هو 

      مدى الارتفاع h الذي يسمح بتطبيـق لحل الخطى بين P وh  في حدود المعيارالنسبى   هو

 

أي

النظام  الحسابى SD3 

•        الغرض

حساب الإحداثيات الكروية المركز يأرضية   وكذلك معدلات التغير    عند اى زمن   لقمر صناعي يدور حول الأرض في مدار دائري  حيث  المطلع المستقيم ,  الميل,  البعد عن مركز الأرض

أساسيات                                                                                                         

•        تُحسب r بدلالة h من المعادلة(5.9)  بينما تحسب   من المثلث الكروي  )QDD' شكل(5.4 كما يلي:

شكل1.4 : المثلث الكرويَQDD'

▲ بتطبيق قانون البتانى للضلع   وللضلع u نجد أن:

(5.21)                                

حيث u تعطى بدلالة الزمن t والحركة المتوسطة n  و زمن عبور القمر الصناعي نقطة العقدة الصاعدة   بالمعادلة(5.13)

▲ بتطبيق قانون الجيب على نفس المثلث الكروي' نجد أن

(5.22)                                  

      حيث أن المدار دائرياً  فإن   بينما ُتحسب معدلات التغير    بأجراء التفاضل على المعادلات السابقة مع ملاحظة أن i و ثوابت وان  نجد أن   : 

(5.23)                              

                                           (5.24)                                  

      المدخلات

•        المخرجات

•        النظم الحسابية المستخدمة

1-النظام الحسابي المساعد A2

2- النظام الحسابي المساعد A5

•        الخطوات الحسابية

 1-   من المعادلة   (5.9) 

 2 -  n من المعادلة  (5.14)

 3 -  u من المعادلة  (5.13)

 4 -

 5 – ا ستدعى النظام الحسابي  A2 لتحديد الربع الصحيح للزاوية 

 6 -

 7 - ا ستدعى النظام الحسابيA5   لإختزال الزاوية  للمدى 

 8 -  من المعادلة   (5.22)  

 9 -  من المعادلة  (5.23) 

10 -  من المعادلة   (5.24)

 11 -انتهت الخطوات الحسابية

•        ملاحظات

      إذا كانت الزاويا المُدخلة بالتقدير الدائري و الزمن بالثواني فأن  كلاهما بالتقدير الدائري لكل ثانية 

      من الخطوة 6 يُلاحظ أن الزاوية   يمكن أن تزداد عن   وعلية فقد اُستخدم النظام الحسابي A5 لاختزال هذة الزاوية للمدى 

•        أمثلة محلولة

احسب r ,  لقمر صناعي يدور حول لأرض في مدار دائري بعد ساعة من عبورة نقطة العقدة الصاعدة إذا كانت

1-  km                  

2-  km 

3- km                 

4- km 

•        الحل

      بعد ساعة من عبور ة نقطة العقدة الصاعدة هذا يعنى أن  

      طول متجة الموضع بـ    وكل من  بـ الدرجات بينما   بـ بالدقائق القوسية لكل ثانية

      بتطبيق الخطوات الحسابية السابقة نجد أن:

النظام  الحسابى SD4 

•        الغرض

حساب مركبات متجة الموضع و مركبات متجة السرعة  عند اى زمن   لقمر صناعي يدور حول الأرض في مدار دائري وذلك من عناصر مدارة  

•        أساسيات

      كثيراً من التطبيقات العملية للأقمار الصناعية تتطلب معرفة موضع وسرعة القمر في نظام إحداثيات ثلاثية التعامد  (انظر شكل 5.4) حيث :

•        المحور  : امتداد محور دوران الأرض

•        المحور  : امتداد الخط الواصل من مركز الأرض إلى نقطة الاعتدال الربيعي  

•        المحور   :عمودياً على كل من المحاور 

      تُعطى مركبات متجة الموضع و مركبات متجة السرعة  عند اى زمن   لقمر صناعي يدور حول  الأرض با لمعادلات آلاتية

                   (5.25)     

            (5.26)     

حيث   نصف قطر المدار الدائري و  السرعة الدائرية وأن

      بينما باقي الكميات في هذة المعادلات وكذلك مُدخلات النظام الحالي فد سبق وان عُرفت في النظام الحسابي

    

      بما أن   متجهات متعامدة فينتج أن  حيث   تمثل حاصل الضرب القياسي للمتجهين B وA وعلية فإن

                                                             (5.33) 

   

      المدخلات

•        المخرجات

  و  عند الزمن 

•        النظم الحسابية المستخدمة

لايوجد

•        الخطوات الحسابية

1 -   r  من المعادلة (5.9)

2 -   n من المعادلة(5.14)

3 -   من المعادلة(5.4)

4 -  u من المعادلة (5.13)

5 –  من المعادلات (5.27) إلى (5.32) على الترتيب

6 -  من المعادلة (5.25)

7 -   من المعادلة (5.26)

8 – انتهت الخطوات الحسابية

•        ملاحظات

      إذا كانت   بـ  والزمن بالثواني فأن أىً من مركبات متجة الموضع تكون بـ   وأىً من مركبات متجة السرعةبـ

      يمكن التأكد من دقة الحسابات وذلك بتحقيق المعادلات

                                   (5.34)  

(5.35)                            

(5.36)                                   

حيث   معاير دقة كل منها فى حدود 

      المعادلة (5.36) هي القيمة التقريبية للمعادلة (5.33)

•        أمثلة محلولة

احسب مركبات متجة الموضع و مركبات متجة السرعة لكل قمر من الأقمار الصناعية آلاتية والتي تدور حول الأرض في مدارات دائرية وذلك بعد زمن t من عبور نقطة العقدة الصاعدة

1-                     

2 –

3 -                

4 -

ثم تأكد من دقة الحسابات وذلك بتحقيق المعادلات (5.36),(5.35),(5.34) بمعيار دقة  .

•        الحل

      بعد  q ساعة (مثلاً) من عبور ة نقطة العقدة الصاعدة هذا يعنى أن  

      أىً من مركبات متجة الموضع بـ   وأىً من مركبات متجة السرعة بـ

      بتطبيق الخطوات الحسابية السابقة نجد أن:

النظام  الحسابي SD5 

•        الغرض

حساب مركبات متجة الموضع و مركبات متجة السرعة  عند اى زمن   لقمر صناعي يدور حول الأرض في مدار دائري وذلك من احداثياتة الكروية   ومعدلات التغير   حيث   بعد القمر عن مركز الأرض و  المطلع المستقيم والميل على الترتيب.     

•        أساسيات

      من أرصاد القمر الصناعي يمكن أن نوجد    وأيضا معدلات تغيرهم  عند اى زمن 

      ترتبط مركبات الموضع بـ الاحداثياتة الكروية   )انظر شكل (5.5)) بالمعادلات الاتية :

                                                                                                                                                                                                                                      

شكل  5.5:العلاقة بين ألإحداثيات و) (

(5.37)                                                    

(5.38)                                                     

                                                                       

                                                                            (5.39) 

حيث

      بأجراء الاشتقاق للمعادلات السابقة بالنسبة للزمن t مع ملاحظة أن   ثابتة نجد أن

(5.40)                               

(5.41)                              

(5.42)                                                        

        

                          

المدخلات

 

•        المخرجات

  و  عند الزمن 

•        النظم الحسابية المستخدمة

لايوجد

•        الخطوات الحسابية

1 -      من المعادلة (5.9)

2 -  و  و  من المعادلات(5.39),(5.38),(5.37) على الترتيب

3 -  و  و  من المعادلات(5.42),(5.41),(5.40) على الترتيب

4 -– انتهت الخطوات الحسابية

•        ملاحظات

      إذا كانت  xوy وz وr km  و  بـ  (او ) و بـ /sec  (او rad/sec) فأن  و و  تكون بـkm/sec

      يمكن التأكد من دقة الحسابات بتحقيق المعادلات (5.36),(5.34) مع المعادلة

 

(5.43)                            

•        أمثلة محلولة

احسب مركبات متجة الموضع و مركبات متجة السرعة لكل قمر من الأقمار الصناعية آلاتية والتي تدور حول الأرض في مدارات دائرية وذلك من واقع البيانات:

يمكن التأكد من دقة الحسابات بتحقيق المعادلات (5.36),(5.34) مع المعادلة(5.43) فى حدود معيار دقة  .

•        الحل

      كل من   معطاة بـ   ويجب ملاحظة تحويلهم إلى   قبل الحساب

      بتطبيق الخطوات الحسابية السابقة نجد أن:

النظام  الحسابى SD6 

•        الغرض

حساب العناصر المدارية  ,  عند اى زمن   لقمر صناعي يدور حول الأرض في مدار دائري من مركبات متجة الموضع و مركبات متجة السرعة  عند هذة الزمن

•        أساسيات

      يعتبر التحويل بين الموضع والسرعة والعناصر المدارية واحدة من أكثر المسائل شيوعاً في ديناميكا الفضاء

      العناصر المدارية  ,  وأيضا محاور إسناد متجها الموضع والسرعة   قد سبق تعريفيهما في النظامين الحسابين SD3 و SD4وان

(5.44)                                          

                                                   (5.46) 

حيث   هي على الترتيب متجهات الوحدة على امتداد المحاور  على الترتيب( شكل5.4 )

      في الخطوات الحسابية  للنظام الحالي استخدم حوا صل الضرب الاتجاهية

                                                               (5.46)  

(5.47)                                                   

حيث   متجة الزخم الزاوي و  المتجة المشير إلى نقطة العقدة الصاعدة( شكل5.4 )

      كذلك قد استخدم في نفس الخطوات الحسابية  حاصل الضرب القياسي  للمتجهين B,A لإيجاد الزاوية  (مثلاً) بينهما من

(5.48)                                            

•        المدخلات

1-  و  عند الزمن t             

2 - 

•        المخرجات

 ,  عند الزمن 

•        النظم الحسابية المستخدمة

النظام الحسابى المساعد A4

•        الخطوات الحسابية

1 -   

2 -  

3 - 

4 -

5 –

6 -

7 - 

     8-

     9-i من

     10-أذا كانت   أو   أذهب للخطوة 16

     11- أستدعى النظام الحسابى A4 لايجاد الزاويتين   لـ

      أذا كانت   فإن 

      أذا كانت   فإن 

12-

                      13- أستدعى النظام الحسابى A4 لايجاد الزاويتين   لـ

      أذا كانت   فإن 

      أذا كانت   فإن   

14 - 

15 -أذهب للخطوة 19

16-

17-

18-  غير مُعرفة

19-أنتهت الخطوات الحسابي

•        ملاحظات

      إذا كانت   بـ  والزمن بالثواني فأن أىً من مركبات متجة الموضع تكون بـ   وأىً من مركبات متجة السرعةبـ

      حيث أن الدالة   تُعطى الزاوية بين   وان i دائماَ فى هذة المدى فعلية يمكنا استخدام الدالة العكسبة   مباشراً من آلة او من الحاسب الآلى  بدون اى اختبارات أضافية (انظر خطوة 9من الخطوات الحسابية السابقة)

      كماأشرنا سابقا فى مقدمة هذا الباب أن فى حالة   أو   تأخذ   ثم تقاس الزاوية u من الخط   وضحت هذة الحالة  فى الخطوة 8 من  الخطوات الحسابية السابقة

      حيث أن الزاوية    تتراوح بين   فيجب أعتبر جميع المواقع فى المستوى x-y وذلك باستخدام النظام الحسابى A4  لحساب هذة ن الزاوية (انظر خطوة 11من  الخطوات الحسابية السابقة)

      كما فى حالة الزاوية   تعين القيمة الصحيحة للزاوبة u باستخدم النظام الحسابى A4 (انظر خطوة 13 من الخطوات الحسابية السابقة)

•        أمثلة محلولة

احسب العناصر المدارية  ,   عند الزمن t  كل قمر من الأقمار الصناعية آلاتية والتي تدور حول الأرض في مدارات دائرية وذلك من مركبات متجة الموضع و مركبات متجة السرعة  عند هذة الزمن وذلك من واقع البيانات:

•        الحل

      بتطبيق الخطوات الحسابية السابقة نجد أن:

405- تمارين حسابية

•        موضع التمارين: المدارات الدائرية لأقمار الأرض

•        النظم الحسابية المستخدمة :  مع النظم الحسابية المساعدة A5,A4,A2,A1

•        البيانات : على الطالب أن يختار للقمر الصناعى المقابل لرقمة  التسلسلى فى كشف أسماء الطلبة البيانات الأتية:

▲ من جدول 5.2

 1- أرتفاع القمر الصناعىh  (km) عن سطح الأرض

 2 – المعيار 

 3- العناصر المدارية للقمر الصناعى وهى:

 ♦ الميل المدارى i

 

•        المطلوب: بعد هذا الاختيار تنفذ الحسـابات الآتية:

1 –التاريخ الميلادى المقابل للتاريخ المختار                                    4 درجات

2- التاريخ الميلادىلأول شهر رمضان المقابل للتاريخ المختار                 4 درجات

3- التاريخ الهجرى بعد 10000 يوماً من التاريخ المختار                      4 درجات

4- يوم الأسبوع للتاريخ المختار                                               3 درجات 

5- رقم اليوم في السنة للتاريخ المختار                                          درجتين

6- ماإذا كانت السنة للتاريخ المختار كبيسة أم بسيطة                            درجة 

7- التاريخ الهجرى المقابل لرقم اليوم50 بعد 200 سنة من التاريخ المختار     درجتين

8- عدد الأيام بين التاريخ المختار وبدايةأول أيام عيد الأضحى

     لعام 1425 هجرياً                                                         5 درجات

•        عرض النتائج: يستخدم من كراسة العملى نموذج  عرض النتائج    4.1