تعيين محصلة قوتان متوازيتان

تعيين محصلة قوتان متوازيتان

   إذا كانت القوتان متوازيتان وفى أتجاه واحد       إذا كانت القوتان متوازيتان ومتضادتان فى الاتجاه

ح = ق1 + ق2                                               ح = ق2 – ق1

ق1 × أ جـ = ق2 × ب جـ                                 ق1 × أ جـ = ق2 × ب جـ

ملاحظة :-

(1) إذا كانت المحصلة أصغر من إحدى القوتين فان القوتان فى أتجاهين متضادان

(2) إذا كانت القوتان متساويتان فإن المحصلة تنصف المسافة بين القوتين ومقدارها يساوى ضعف

      أيا من القوتين .

قاعدة :-  

محصلة قوتين متوازيتين ومتحدتى الاتجاه هى قوة فى أتجاههما ويساوى معيارها مجموع معيارى القوتين ويقسم خط عملها المسافة بين خطى عمل القوتين بنسبة عكسية لمعياريهما 

قاعدة :-

محصلة قوتين متوازيتين ومتضادتين فى الاتجاه وغير متساويتى المعيار هى قوة فى أتجاه القوة الاكبر معيارا ويساوى معيارها الفرق بين معياريهما ويقسم خط عملها المسافة بين خطى عمل القوتين من الخارج من ناحية القوة الكبرى معيارا بنسبة عكسية لمعياريهما

نظرية :-

مجموع عزوم أى عدد محدود من القوى المتوازية المستوية بالنسبة لاى نقطة يساوى عزم محصلة هذه القوى بالنسبة لنفس النقطة .

               قوتان متوازيتان مقدارهما 60 ، 40 نيوتن والمسافة بين خطى عملهما 50سم أوجد

              محصلتهما فى الحالتين :

              (1) القوتان فى أتجاه واحد                 (2) القوتان فى أتجاهين متضادين

القوتان فى أتجاه واحد

ح= ق1 + ق2 = 60 + 40 = 100

60 × أ ب = 40 × جـ ب

60 × س = 40 ( 50 – س )

60 س = 2000 – 40 س

60 س +40 س = 2000

100 س = 2000                   س = 20

القوتان فى أتجاهين متضادين

ح = ق2 – ق1 = 60 – 40 = 20

60× س = 40 ( 50 + س )

60س = 2000 +40 س

60س – 40 س = 2000

20س = 2000              س = 100 سم

             قوتان متوازيتان 100 ، ق نيوتن مقدار محصلتهما 150 نيوتن والبعد بين خطى عمل

             القوة الاولى والمحصلة 75 سم . عين مقدار وأتجاه خط عمل القوة ق فى الحالتين

             (1) 100 ، ح فى أتجاه واحد                   (2) 100 ، ح فى أتجاهين متضادين

(1) 100 ، ح فى أتجاه واحد

ق + 100 = 150

ق = 150 – 100 = 50

100 × 75 = 50 × س

7500 = 50 س

س = 150سم

(2) 100 ، ح فى أتجاهين متضادين

150 = ق – 100

ق = 150 +100 = 250

100 × 75 = 250 × س 

7500 = 250 س

س = 30 سم

              أربع قوى متوازية ومتحدة فى الاتجاه مقاديرها 3 ، 4 ، 1 ، 2 ث كجم تؤثر عند النقط

              أ ، ب ، جـ ، ء على الترتيب على خط مستقيم واحد عمودى على أتجاه القوى . عين

               محصلة القوى علما بأن أ ب = ب جـ = 100 سم ، جـ ء = 150 سم

                  

ح = 2+1+3+4 = 10 ث كجم

المحصلة 10 ث كجم وفى نفس أتجاه القوى

مجموع عزوم القوى حول أ يساوى عزم المحصلة عند أ

-2 × 350 – 1 × 200 -4 × 100 = - 10 × أ م

-700 – 200 – 400 = -10 أ م

- 1300 = -10 أ م                    أ م = 130 سم

المحصلة 10 ث كجم وخط عمل تأثيرها يقع على بعد 130 سم يمين أ

               ق1 ، ق2 قوتان متوازيتان متحدتان فى الاتجاه والبعد بين خطى عملهما 20 سم فإذا كان

              مقدار محصلتهما يساوى 50 نيوتن ويبعد خط عملها عن خط عمل ق1 مسافة 4سم أوجد

              مقدار كلا من القوتين

      

ق1 + ق2 = 50

ق1 × 4 = ق2 × 16

ق1 = 4 ق2

بالتعويض فى المعادلة الاولى

4ق2 + ق2 = 50

5 ق2 = 50                    ق2 = 10                     ق1 = 40

            قوتان متوازيتان صغراهما 30 نيوتن وتؤثر فى الطرف أ من قضيب خفيف أ ب والكبرى

            تؤثر فى الطرف الاخر ب فإذا كان مقدار محصلتهما 10 نيوتن ويبعد خط عملها عن الطرف

            ب بمقدار 90 سم فما طول القضيب .

ق – 30 = 10

ق = 10 + 30 = 40

30 × ( س +90 ) = 40 × 90

30س + 2700 = 3600

30س = 3600 – 2700

30س = 900                       س = 30سم

طول القضيب = 30 سم

              قوتان متوازيتان مقدار محصلتهما 250 نيوتن ومقدار أحدى القوتين 150 نيوتن وتعمل

              على بعد 40 سم من المحصلة أوجد مقدار القوة الثانية والبعد بين خطى عمل القوتين

               إذا كانت القوة المعلومة والمحصلة

                (1) فى أتجاه واحد                  (2) فى أتجاهين متضادين

(1) القوة المعلومة والمحصلة فى أتجاه واحد

250 = ق +150

ق = 250 – 150 = 100 ث كجم

150 × 40 = 100 × س

6000 = 100 س                   س = 60 سم

البعد بين القوتين 100 سم

(2) القوة المعلومة والمحصلة فى أتجاهين متضادين

ق – 150 = 250

ق = 250 + 150 = 400

150 × 40 = 400 × س

6000 = 400 س

س = 15 سم

البعد بين القوتين 25 سم .

               قوتان متوازيتان وفى أتجاه واحد مقدارهما 3 ق ، 2ق تؤثران فى النقطتين أ ، ب على

              الترتيب فإذا تحركت القوة 2 ق بحيث تظل موازية لنفسها مسافة قدرها س على الشعاع

               ب أ إثبت أن المحصلة تتحرك مسافة قدرها      س   فى نفس الاتجاه        

فى الحالة الاولى

2ق × ب جـ = 3 ق × أ جـ

2 ب جـ = 3 أ جـ

فى الحالة الثانية

2ق × ب/ جـ/ = 3 ق × أ جـ/

2 ب/ جـ/ = 3 أ جـ/                                          2س = 3 جـ جـ/ + 2 جـ جـ/

2( س + ب جـ/ ) = 3 ( أ جـ + جـ جـ/ )                2س = 5 جـ جـ/

2 ( س + ب جـ - جـ جـ/ ) = 3 ( أ جـ + جـ جـ/)        جـ جـ/ =        س

2س + 2 ب جـ - 2 جـ جـ/ = 3 أ جـ + 3 جـ جـ/ 

               أ ب جـ مثلث تؤثر عند رؤوسه أ ، ب ، جـ ثلاث قوى متساوية ومتوازية وفى أتجاه واحد

              إثبت أن محصلة هذه القوى تمر بنقطة تلاقى متوسطات المثلث

نوجد محصلة القوتين المؤثرتين عند أ ، ب

ح = ق + ق = 2 ق

وتؤثر فى منتصف أ ب

    جـ ء متوسط

نوجد محصلة القوتين المؤثرتين عند ء ، جـ

ح/ = 2ق + ق = 3 ق                                  =

2ق × ء س = ق × س جـ                 س تقسم ء جـ بنسبة 1 : 2 من جهة القاعدة

2 س ء = س جـ                              س هى نقطة تلاقى متوسطات المثلث

              أ ب جـ ء مربع تؤثر فى رؤوسه أ ، ب ، جـ ، ء أربع قوى متساوية ومتوازية وفى أتجاه

             واحد إثبت أن محصلة القوى الاربع تمر بنقطة تقاطع قطرى المربع

نوجد محصلة القوتين المؤثرتين فى أ ، ب

ح1 = ق + ق = 2 ق وتؤثر فى منتصف أ ب (س)

نوجد محصلة القوتين المؤثرتين فى ء ، جـ

ح2 = ق + ق = 2 ق  وتؤثر فى منتصف ء جـ (ص)

نوجد محصلة ح1 ، ح2 المؤثرتين فى س ، ص

ح = ح1 + ح2 = 2ق + 2ق = 4 ق وتؤثر فى منتصف س ص

أى تؤثر فى نقطة تقاطع قطرى المربع

              أ ، ب ، جـ ، ء ، هـ نقط تقع على خط مستقيم واحد بحيث أ ب = 4سم ، ب جـ = 6سم

             جـ ء = 8سم ، ء هـ = 10 سم أثرت خمس قوى مقاديرها 60 ، 30 ، 50 ، 80 ، 40

            ث . كجم فى النقط أ ، جـ ، ء ، ب ، هـ على الترتيب وفى أتجاه عمودى على أ هـ بحيث كانت

            القوى الثلاثة الاولى فى أتجاه واحد والقوتان الاخريان فى الاتجاه المضاد أوجد محصلة هذه

           القوى .

ح = 60+30+50- 80 – 40 = 20 ث . كجم

      

مجموع عزوم القوى حول أ يساوى عزم المحصلة

حول أ

80 × 4 -30 × 10 – 50 × 18 +40 × 28 = - 20 × س

320 – 300 – 900 + 1120 = - 20 س

140 = - 20 س          س = - 7 سم

المحصلة تساوى 20 ث كجم وتبعد عن أ مسافة 7سم فى أتجاه هـ أ

               أ ، ب ، جـ ، ء أربع نقط تقع على خط مستقيم واحد حيث ان أ ب = 32 سم ، ب جـ = 40

            ، جـ ء = 8سم أثرت القوتان المتوازيتان 8 ، 10 نيوتن فى أ ، جـ وأثرت فى ب ، ء القوتان

            7 ، 3 نيوتن وفى أتجاه مضاد لاتجاه القوتين المؤثرتين فى أ ، جـ عين محصلة هذه

            المجموعة من القوى وبعد نقطة تقاطع خط عملها مع أ ء عن نقطة أ .

ح = 8 +10 – 7 – 3 = 8 نيوتن

مجموع عزوم القوى حول أ = عزم المحصلة حول أ

7 × 32 – 10 × 72 + 3 × 80 = - 8 × س           س = 32

224 – 720 +240 = - 8 س                              المحصلة = 8 نيوتن وتؤثر عند ب فى أتجاه

- 256 = - 8 س                                                مواز للقوتين 8 ، 10

إتزان مجموعة من القوى المتوازية المستوية

             

إذا أتزن جسم تحت تأثير مجموعة من القوى المتوازية المستوية فإن :-

1-     مجموع القياسات الجبرية لهذه القوى = صفر

2-     مجموع القياسات الجبرية لعزوم هذه القوى حول أى نقطة فى مستويها = صفر

ملاحظات

1- إذا كان القضيب على وشك الدوران = على وشك الانقلاب = دون أن ينقلب = دون أن يختل

      كل هذا يعنى أن القضيب ما زال متزنا

2- إذا كان القضيب على وشك الدوران

     حول جـ فان ر1 = 0

3- إذا كان القضيب على وشك الدوران

     حول ء فإن ر2 = 0

4- يفضل عند أخذا العزوم أخذها عند نقطة بها مجهول

                قضيب منتظم طوله 1 م ووزنه 50 نيوتن معلق أفقيا عند طرفه بحبلين رأسيين ويحمل

                القضيب ثقلين أحدهما 15 نيوتن على بعد 20 سم من أحد الطرفين والاخر 20 نيوتن

                 على بعد 30 سم من الطرف الاخر أوجد مقدار الشد فى الحبلين

ش1 + ش2= 15+50+20

ش1 + ش2 = 85 نيوتن  

المجموعة متزنة

جأ = 0

15 × 20 +50 × 50 +20 × 70 – ش2 × 100 = 0     4200 = 100 ش2

300 +2500 +1400 – 100 ش2 = 0                        ش2 = 42 نيوتن                   

                                                                              ش1 = 85 – 42 = 43 نيوتن

           

             أ ب قضيب منتظم طوله 90سم ووزنه 60 نيوتن معلق فى وضع أفقى بخيطين رأسيين

            من طرفيه أ ، ب أين يعلق ثقل مقداره 150 نيوتن حتى يكون الشد عند أ ضعف الشد عند ب

2ش + ش = 150 +60

3ش = 210

ش = 70 نيوتن

القضيب متزن

جأ  = 0                                                      15 س = 360

150 × س +60 × 45 –70 × 90 = 0          س = 24 سم

15 س + 270 – 630 = 0                         الثقل يعلق على بعد 24سم من أ

              أ ب قضيب منتظم طوله 150سم ووزنه 140 نيوتن يرتكز فى وضع أفقى على حاملين

              أحدهما عند أ والثانى عند جـ التى تبعد 25سم من ب أوجد الضغط الواقع على كلا من

              الحاملين ثم عين مقدار الثقل الذى يجب تعليقه عند ب حتى يكون القضيب على وشك

             الانقلاب . ما قيمة الضغط الواقع على الحامل جـ عندئذ .

          

ر1 + ر2 = 140

جأ = صفر

140 × 75 – ر2 × 125 = 0

140 × 75 = 125 ر2

ر2 = 84             ر1 = 140 – 84 = 56 نيوتن

   

140 × 50 = ق × 25

ق = 280 نيوتن

ر2 = 140 +280 = 420 نيوتن

                ساق مهملة الوزن طولها 120 سم ترتكز فى وضع أفقى عند طرفيها على حاملين عند

               أى موضع من الساق يجب تعليق ثقل قدره 12 ث كجم حتى يصبح مقدار رد الفعل عند

               أحد الطرفين مساويا لضعف قيمته عند الطرف الثانى .

2ر + ر = 12

3ر = 12

 ر = 4

جأ = 0

12 × س = 8 × 120

   س = 80سم

              ساق من الحديد طولها 50سم ووزنها 75 نيوتن يؤثر عند منتصفها ترتكز فى وضع أفقى

              على حاملين البعد بينهما 24 سم فإذا كان الضغط على أحد الطرفين ضعف الضغط على

              الحامل الاخر . أوجد بعد كل من الحاملين عن طرف الساق القريب منه      

  

2ر + ر = 75

3ر = 75

ر = 25

50 × س = 25 ( 24 – س )

50 س = 600 – 25 س

75 س = 600                     س = 8سم

الحاملين على بعد 17 سم ، 9 سم من الطرفين

              علق قضيب مهمل الوزن طوله 120سم فى وضع أفقى بواسطة خيطين رأسيين عند

              طرفيه ثم علق فيه ثقلان مقدارهما 5 ، 8 نيوتن عند نقطتى تثليثه أوجد الشد فى كلا من

                الخيطين

ش1 + ش2 = 13 نيوتن

جأ = 0

5 × 40 + 8 × 80 = ش2 × 120

200 + 640 = 120 ش2

840 = 120ش2

ش2 = 7 نيوتن

ش1 = 13 – 7 = 6 نيوتن

                أ ب قضيب منتظم طوله 120سم ووزنه 60 نيوتن يرتكز القضيب فى وضع أفقى على

                 حامل عند طرفه ب ويحفظ فى حالة توازن بواسطة خيط رأسى مثبت من نقطة فيه تبعد

               40 سم من الطرف أ ويحمل ثقلا مقداره 20 نيوتن عن نقطة تبعد 20 سم من أ عين قيمة

                 الشد فى الخيط والضغط على الحامل 

ش + ر = 20 +60 = 80

المجموعة متزنة

جب = 0

- 60 × 60 + ش × 80 – 20 × 80 = 0

- 3600 + 80 ش – 1600 = 0                  80ش = 5200

80ش – 5200 = 0                                    ش = 65نيوتن

                                                                ر = 80 – 65 = 15 نيوتن

            أ ب قضيب غير منتظم طوله 140 سم محمول أفقيا بخيطين رأسيين أحدهما عند ب والاخر

             يبعد 40سم من أ فإذا كان الشد فى الخيط الاول        الشد فى الخيط الثانى فعين نقطة تأثير

              الوزن . وإذا علم أن أكبر ثقل يلزم تعليقه من أ دون أن يختل التوازن هو 12 نيوتن فأوجد

              وزن القضيب  

4 ش × س = ش ( 100 – س )

4 س = 100 – س

4س + س = 100

5س = 100

س = 20سم

نقطة تأثير الوزن تبعد 60سم عن أ

12 × 40 = و × 20

480 = 20 و

و = 24 نيوتن

               أ ب قضيب منتظم طوله متر واحد ووزنه 700 ث جم يرتكز على حامل عند طرفه ب

                وحفظ فى حالة توازن فى وضع أفقى بواسطة خيط خفيف رأسى مثبت فى نقطة على القضيب تبعد عن طرفه أ بمقدار 30 سم ويحمل ثقلا مقداره 350 ث جم من نقطة تبعد 10 سم عن أ أوجد كلا من الشد فى الخيط والضغط على الحامل وإذا علق من أ ثقلا جعل القضيب على وشك الانفصال عن الحامل . أوجد مقدار هذا الثقل وقيمة الشد فى الخيط 

ش + ر = 350 + 700 = 1050

جب = 0

- 700 × 50 + ش × 70 – 350 × 90 = 0

- 3500 + 7 ش – 3150 = 0

7ش – 6650 = 0

7ش = 7650          ش = 950

ر = 1050 – 950 = 100 نيوتن

الحالة الثانية

القضيب على وشك الانفصال عن الحامل ر = 0

( ما زال القضيب متزنا )

ش = ك +1050

ججـ  = 0

- ك × 30 – 350 × 20 +700 × 20 = 0      ك =

- 3ك – 700+ 1400 = 0

-3 ك + 700 = 0                                         ش =          + 1050 =

- 3 ك = - 700

                قضيب خفيف طوله 30 سم معلق من طرفيه بواسطة خيطين رأسيين لا يتحمل أيا منهما

                شدا يزيد عن 28 نيوتن . علق من إحدى نقط القضيب ثقلا قدره 42 نيوتن أوجد

               المواضع التى يمكن تعليق الثقل منها دون أن ينقطع أيا من الخيطين 

ش1 + ش2 = 42

28 + ش2 = 42            ش2 = 42 – 28 = 14 نيوتن

جب = 0

28 × س = 14 ( 30 – س )        س = 10

2س = 3 – س                          أى أن الثقل يمكن تعليقه من أى نقطة على القضيب لا يقل بعدها

3س = 30                                عن أيا من الطرفين بـ 10سم     10 < س < 20

               قضيب منتظم طوله 100 سم موضوع على نضد أفقى وجزء منه طوله 20 سم يقع خارج

              النضد فإذا كان أكبر ثقل يمكن تعليقه من الطرف الخالص للقضيب ويظل متزنا على النضد

               هو 15 نيوتن . فما وزن القضيب وقيمة رد فعل النضد

ر = 15 + و

جس = 0

- 15 × 50 + ر × 30 = 0

- 750 = - 30 ر        ر = 25 نيوتن

بالتعويض فى المعادلة الاولى   و = 25 – 15 = 10 نيوتن

                 يحمل رجلان أ ، ب جسما كتلته 90 كجم معلق من قضيب معدنى خفيف فإذا كانت

                المسافة بين الرجلين 60 سم وكانت نقطة تعليق الجسم تبعد 20سم منأ فما مقدار ما يتحمله كلا من الرجلين من هذا الثقل وإذا كان الرجل ب لا يتحمل أكثر من 50 ث كجم فعين أكبر مسافة من أ يمكن تعليق الثقل عندها حتى يتمكن ب من الاستمرار فى حمل القضيب

ر1 + ر2 = 90

ر1 × 20 = ر2 × 40

ر1 = 2 ر2          بالتعويض فى المعادلة الاولى

2ر2 + ر2 = 90            3ر2 = 90             ر2 = 30 ث كجم

 ر1 = 90 – 30 = 60 ث كجم

فى الحالة الثانية

 ر1 +50 = 90                 ر1 = 90 – 50 = 40

40× س = 50 ( 60 – س )

4س = 300 – 5س

4س +5 س = 300

9س = 300

س =          = 33.3 سم

               قضيب منتظم طوله 100سم ووزنه 12 ث كجم يرتكز أفقيا على وتدين جـ ، ء يبعدان 30

              ، 10سم عن منتصف القضيب على الترتيب أوجد أكبر ثقل يمكن تعليقه من أحد طرفى

              القضيب دون أن يختل توازن القضيب وأوجد رد فعل القضيب فى كل حالة

ر1=ك +12                                                       ر2 = ك/ +12

ك × 20 = 12 × 30                                         ك/ × 40 = 12 × 10

ك = 18 نيوتن                                                         ك/ = 3 نيوتن

ر1 = 18 +12 =30 نيوتن                                  ر2 = 3 +12 = 15 نيوتن

              س ل قضيب غير منتظم طوله 46 سم يرتكز فى وضع أفقى على حاملين عند ص ، ع على

             القضيب حيث س ص = 6سم ، ع ل = 7سم وجد أن القضيب يكون على وشك الدوران إذا علق من الطرف س كتلة مقدارها 120 جم . أو من الطرف ل كتلة مقدارها 180 جم أوجد وزن القضيب وبعد نقطة تأثيره عن الطرف س 

و × هـ - 120 × 6 = 0                                   و ( 33 – هـ ) = 180 × 7

و هـ = 720                                                33 و – و هـ = 1260

                                                                33 و – 720 = 1260

                                                                33 و = 1260 +720 = 1980

                                                                      و = 60 نيوتن

    بالتعويض فى المعالة الاولى

60 هـ = 720                  هـ = 12 سم

 الوزن مقداره 60 ث كجم ويبعد عن الطرف س مسافة 18 سم