الخميس، 1 ديسمبر، 2016

مركز الثقل

مركز الثقل
 الأرض تجذب الأجسام باتجاه مركزها، وأن ثقل الجسم هو عبارة عن قوة جذب الأرض له. ولكن، في أية نقطة من الجسم يؤثر ثقله؟ يمكننا اعتبار أي جسم مكوناً من مجموعة من الدقائق المادية. وإذا كان الجسم صغيراً نسبياً، فإنه يمكننا اعتبار قوى جذب الأرض لهذه الدقائق (أي أثقالها)، قوى متوازية وفي الاتجاه نفسه (مركز الأرض) والمنحى نفسه. ومقدار محصلة هذه القوى يساوي مجموع مقادير الدقائق، ويساوي ثقل الجسم نفسه (شكل 2-8).ونقطة تأثير هذه المحصلة هي ما يسمى بمركز ثقل الجسم، أي أن ثقل الجسم هو النقطة التي يؤثر بها ثقله. ومن هنا نفهم أن خط عمل ثقل الجسم يجب أن يمر بمركز ثقله (شكل 2-9).وللجسم مركز ثقل واحد وهو ثابت لا يتغير مهما كان وضع الجسم.
وهناك طريقة عملية، وأخرى حسابية لإيجاد مركز ثقل جسم معين. وتستخدم الطريقة الحسابية إذا كان الجسم منتظماً، وتستخدم الطريقة العملية إذا كان الجسم منتظماً أو غير
منتظم، وهذه الطريقة أكثر استعمالاً في حالة إيجاد مركز الثقل للأجسام غير المنتظمة.
قومي بالنشاط 2-1 في كتاب دليل النشاطات العملي
مركز أثقال بعض الأجسام المنتظمة
1) مركز نقل قضيب منتظم.
يوضح شكل 2-10 قضيباً منتظماً أ ب، منتصفه هو من النقطة م، ويراد إيجاد مركز ثقله. لنأخذ دقيقتين مادتين متشابهتين س، ص على جانبي م، وعلى بعدين متساويين من م، أي أن: وبما أن ثقل الدقيقة س= ثقل الدقيقة ص، فإن محصلة هذين الثقلين تؤثر في نقطة تنصف المسافة بين ل، ل، أي في م. ومن هنا نفهم أن مركز ثقل الدقيقتين س، س هو النقطة م، ويمكن إيجاد دقيقة مادية بين أ، م متشابهة لدقيقة مادية بين ب، ولها البعد نفسه عن م، ويكون لكل زوج من هذه الدقائق (مثل س، ص) مركز ثقله وهو النقطة م، وبالتالي فإن مركز ثقل القضيب كله هو النقطة م، أي أن مركز ثقل قضيب منتظم هو نقطة منتصفة.
2) مركز ثقل صفيحة منتظمة على شكل متوازي أضلاع
يمثل شكل 2-11 صفيحة منتظمة أ ب جـ د
على شكل متوازي أضلاع. والمطلوب هو إيجاد مركز ثقل هذه الصفيحة.
لتكن النقاط: هـ، و، ل هي منتصفات الأضلاع: أ د، أ ب، ب جـ، جـ د. دعينا نقسم الصفيحة إلى مجموعة كبيرة من الشرائح الصغيرة المتشابهة (مثل س ص، س ص) وذلك برسم مستقيمات متوازية للضلعين أ د.
ب ج. إن هذه الشرائح هي قضبان منتظمة. وبذلك فإن مركز ثقل كل شريحة هو منتصفها.
وحيث أن الخط هـ وينصف كل المستقيمات المتوازية للضلعين أ د، ب ج، فإن منتصف س ص هو م، كذلك منتصف س ص هو م. نفهم من ذلك أن مركز ثقل س ص هو م، كذلك مركز ثقل س ص هو م. إن مراكز أثقال بقية الشرائح (غير مبنية في الشكل) تقع على المستقيم هـ وأيضاً، أي أن مركز ثقل الصفيحة على هـ و.
وبتقسيم الصفيحة إلى شرائح صغيرة متشابهة بواسطة مستقيمات موازية للضلعين أ ب، ج د، فإننا نتوصل بنفس الطريقة السابقة إلى أن مركز ثقل الصفيحة يقع على الخط ل. (لاحظي أن ك ل يصل بين منتصفي الضلعين أ ب، ج د).
وبما أن مركز ثقل الصفيحة يقع على ه و، وفي الوقت نفسه يقع على ك ل، فإننا نستنتج أن مركز ثقل الصفيحة هو نقطة تقاطع هـ و، ك ل، وهي نقطة م (شكل 2-11).ومن الواضح أن م هي نقطة تقاطع قطري متوازي الأضلاع. ويستنتج من ذلك أن مركز ثقل صفيحة منتظمة على شكل متوازي أضلاع هو نقطة تقاطع قطريها.
3)            مركز ثقل صفيحة منتظمة بشكل مثلث
يبين الشكل 2-12 صفيحة منتظمة أ ب جـ مثلثة الشكل، والمطلوب إيجاد مركز ثقلها.



لتكن النقطتان د، هـ منتصفي الضلعين ب، جـ، أ ب على الترتيب. لنأخذ شريحة س ص موازية للضلع ب جـ فتقطع أ د في النقطة ع. والآن دعينا نثير هذا السؤال: ما هو مركز ثقل الشريحة س ص؟ للإجابة عن هذا السؤال تأملي المثلثين المتشابهين أ س ع، أ ب د. وكذلك المثلثين أ ع ص، أ جـ د. أنهما متشابهان أيضاً. ومن تشابه المثلثين أ س ع، أ ب د نستنتج أن:
ومن تشابه المثلثين أ ع ص، أ جـ د نستنتج أن:
وبقسمة العلاقتين (1)، (2) على بعضهما وبمعرفة أن ب د = ج د، نحصل على س ع= ع ص
أي أن ع هي منتصف س ص، وبالتالي فإن ع هي مركز ثقل الشريحة س ص. إن ع تقع على المستقيم أ د، فإننا نفهم أن مراكز أثقال الشرائح كلها الموازية للضلع ب جـ تقع على المستقيم أ د.
نستخلص من ذلك أن مركز ثقل الصفيحة يقع على المستقيم المتوسط أ د.
وإذا أخذنا شرائح موازية للضلع أ ب، فإننا نستطيع أن نثبت بنفس الطريقة السابقة أن مركز ثقل الصفيحة يقع على المستقيم المتوسط جـ هـ.
وحيث إن مركز ثقل الصفيحة يقع على أ د، وفي الوقت نفسه يقع على جـ هـ، فإننا نستنتج أن مركز ثقل الصفيحة هو م وهو نقطة تقاطع مستقيماتها المتوسطة.
)نستطيع أن نعمم هذه النتيجة فنقول: إن مركز ثقل صفيحة منتظمة على شكل مثلث هو نقطة تقاطع مستقيماتها المتوسطة).
ولإيجاد نقطة تقاطع المستقيمات المتوسطة للمثلث بالنسبة لرؤوس أو منتصفات أضلاعه نتأمل المثلثين المتشابهين د ه م، أ م جـ، حيث:
كذلك المثلثان ب هـ د، أ ب جـ متشابهان، حيث:
نستنتج من العلاقتين السابقتين أن:
أي أن مركز ثقل الصفيحة م يقسم المستقيم المتوسط أ د من جهة الرأس بنسبة ومعنى ذلك أن م تبتعد مسافة تساوي المستقيم المتوسط من جهة الرأس أو المستقيم من جهة القاعدة. وبشكل عام نقول: إن مركز ثقل صفيحة منتظمة مثلثة الشكل هو نقطة تقاطع مستقيماتها المتوسطة التي تبعد مسافة تساوي أحد المستقيمات المتوسطة من جهة الرأس، أو المستقيم المتوسط من جهة القاعدة.
قومي بالترتيب 2-جـ في كتاب دليل النشاطات العملي
مثال 1
أ ب ج صفيحة منتظمة على شكل مثلث متساوي الساقين، طول ضلعه أ ب=20 سم،
وطول قاعدته ب ج=32سم. ثبتي في الرؤوس أ، ب، جـ الأثقال 0,10 نيوتن، 0,20 نيوتن، 0,30 نيوتن على الترتيب. فإذا كان وزن الصفيحة 0,40 نيوتن فأوجدي مركز ثقل هذه القوى (الصفيحة مع الأثقال).
الحل
نستعين بالشكل (2-13أ) لإيجاد مركز ثقل الصفيحة. نأخذ المستقيم المتوسط أ د ونجد طوله بتطبيق نظرية فيثاغورس على المثلث أ د جـ.
1- نعين محصلة الأثقال عند ب، جـ
مقدارها= نيوتن. وتؤثر في نقطة هـ حيث جـ هـ = 12,8 سم.
2- نعين محصلة الأثقال عند أ، م مقدارها = نيوتن. وتؤثر في نقطة ل حيث أل=6,4سم.
- المسألة اختصرت إلى قوتين متشابهتين مقدار كل منها 0.5 نيوتن وتؤثران في ل، هـ
وتؤثر في نقطة ك منتصف (ل هـ) ويمكن إيجاد بعدها عن كل من المحور السيني والمحور الصادي: ج و، و ك.


أسئلة وتمارين
قوتان متشابهان مقدارهما ق1، ق2 تؤثران في جسم متماسك في الوقت نفسه، ونقطتا تأثيرهما أ، ب على الترتيب. جدي مقدار محصلتهما ونقطة تأثيرهما في الحالات التالية:
ق1=7 وحدات، ق2=25 وحدة، أ ب=16سم.
ق2=25 وحدة، ف2=15 وحدة، أ ب=40سم.
جـ)ق1=26وحدة، ق2=9 وحدات، أ ب=70 سم.
قوتان غير متشابهتين مقدارهما ق1، ق2 تؤثران في جسم متماسك في الوقت نفسه، ونقطتا تأثيرهما هما أ، ب على الترتيب. جدي مقدار محصلتهما ونقطة تأثيرها في الحالات التالية:
ق1= 17 نيوتن،
ق2=25 نيوتن،
أ ب=8سم.
ق1=23 نيوتن،
ق2=15 نيوتن،
أ ب=40 سم.
ج) ق1=13نيوتن،
   ق2=4,5 نيوتن،
  أ ب=17 سم.
3) ق1، ق2 قوتان متشابهتان تؤثران في جسم متماسك في الوقت نفسه في النقطتين أ، ب على الترتيب. فإذا كانت المسافة أ ب=40سم، ومقدار محصلة القوتين 20 نيوتن، ونقطة تأثيرها تبعد 8سم عن أ، جدي مقدار كل من ق1، ق2.
4) ق1،ق2 قوتان تؤثران في جسم متماسك في الوقت نفسه في النقطتين أ، ب على الترتيب. فإذا كانت المسافة أ ب=36 سم، ومقدار محصلة القوتين 30 نيوتن 30 نيوتن ونقطة تأثيرها تبعد 16 سم عن ب، جدي مقدار كل من ق1،ق2.
5) قضيب منتظم طوله 90 سم، ووزنه 0,4، نيوتن، علق فيه ثلاث حلقات أثقالها نيتن بحيث تكون أبعادها: 20سم، 40سم، 60سم على التوالي من أحد طرفي القضيب. أوجدي بعد مركز ثقل المجموعة (القضيب مع الحلقات) عن هذا الطرف.
6) أ ب جـ د مربع طول ضلعه 10 سم. وضعت الأثقال 10 نيوتن، 15نيوتن، 50 نيوتن، 25 نيوتن على الرؤوس أ، ب، جـ، د، على الترتيب. أوجدي بعد مركز ثقل المجموعة عن كل من الضلعين أ ب، ب جـ.
7) أ ب جـ د مربع وضع على رأسيه أ، جـ ثقلان كل منهما يساوي و نيوتن، وعلى الرأسين ب، د ثقلان آخران كل منهما يساوي و نيوتن. أثبتي أن مركز ثقل المجموعة هو نقطة تقاطع قطري المربع.
8) أ ب جـ د صفيحة منتظمة على شكل مستطيل، حيث طول أ ب=8سم، وطول ب جـ=12سم. علق في الرؤوس أ، ب، ج، د الأثقال نيوتن على الترتيب. فإذا كان ثقل الصفيحة 0,5 نيوتن، فأوجدي بعد مركز ثقل المجوعة عن كل من أ ب، ب جـ.
9) أ ب ج د مربع طول ضلعه 40سم. أثرت في رؤوسه أ، ب، جـ، د القوى المتوازية المتشابهة ق، 3ق، 5ق، 7ق، جدي بعد نقطة تأثير محصلتها عن مركز المربع.
10) أ ب جـ مثلث قائم الزاوية في أ، وطول أ ب=12سم، أ ج=9سم، وضعت على الرؤوس أ ، ب، جـ، الأثقال وعلى الترتيب. جدي بعد مركز ثقل المجموعة عن ب.


 (1-3) توازن الأجسام بفعل القوى المتوازنة.
ماذا يحدث لو أثرت على جسم معين قوتان متوازيتان في نقطتين مختلفتين؟ انظري إلى عاملين يحملان جسماً ثقيلاً موضوعاً في وسط لوح خشبي (الشكل 1-10). القوى التي تؤثر في اللوح ثلاث:
القوة ق1 التي تمثل ثقل الجسم الموضوع على اللوح.
القوتان ق2 و ق3 اللتان يبذلهما العاملان.

درسنا في السنة الثانوية الثانية أن محصلة القوى المتوازنة التي تؤثر على جسم تساوي المجموع الجبري لهذه القوى، لأنها تعمل على محاور متوازية. فإذا تمكن العاملان من تثبيت اللوح والجسم في حالة اتزان، فإن محصلة القوى المؤثرة على اللوح تساوي صفراً. ويمكننا التأكد من هذا الأمر بقياس القوى الثلاث بوساطة الدينامومتر كما في الشكل 1-11
* ماذا يحدث لو وضع الثقل في موضع آخر غير وسط اللوح، كما في الشكل 1-12؟

النشاط 1-3
إذا قمنا بقياس المسافة بين كل من طرفي اللوح حيث نشد بالقوى ق1 وق2، وبين النقطة التي نضع فيها الثقل؛ نجد أن النسبة بين مقدار القوى ق1 وق2 هي عكس النسبة بين المسافات ف1 وف2 (الشكل 1-12).
أي: ؟=؟
ق1 0 ف1 = ق2 0 ف2
من هنا يظهر أن الكمية ق ف أي حاصل ضرب مقدار القوة بالمسافة التي نفصلها عن موضع الجسم هي ذاتها بالنسبة لطرفي اللوح وهذه الكمية نسميها العزم (عز)، وتقاس في النظام الدولي بالنيوتن متر، وتعطي مقدارها بالعلاقة:
عز = ق ف (1-2)
وسنعرف متجه العزم عز فيما بعد (ص18)
والنتيجة التي نصل إليها هي أنه عندما يتوازن اللوح أفقياً، فإن عزم القوة ق1 بالنسبة لنقطة ما يساوي عزم القوة ق2 بالنسبة للنقطة نفسها.
وهكذا يصبح لدينا شرطان يجب توفرهما لحصول توازن القوى:
مجموع ق = صفراً (1-1).
مجموع عز = صفراً (1-3).
مثال 1-4
يحمل عاملان جسماً ثقله 800 نيوتن بواسطة عصا طولها متر واحد. فإذا كان الجسم معلقاً على بُعد 40 سم من أحدهما. فما هي القوة التي يبذلها كل منهما لتبقى العصا أفقية؟
(الشكل 1-13)
الحل:
نحصل على الجواب إذا طبقنا المعادلتين:
مجموع ق = صفراً، أي ق1 + ق2 = 800 نيوتن.
مجموع عز = صفراً، أي ق1 × 60 = ق2 × 40.
\ق1 = 320 نيوتن، ق2 = 480 نيوتن


مثال 1-5
مسطرة طولها متر واحد، وضع على طرفيها جسمان ثقلهما 40 و10 نيوتن على الترتيب. إذا أردنا حمل المسطرة والجسمين بواسطة علاقة دينامومتر بحيث تبقى المسطرة أفقية:
أ) أين يجب وضع العلاقة؟
ب) ما هي قراءة الدينامومتر؟
ج) إذا أزحنا الدينامومتر حتى يصبح في وسط المسطرة، ثم أضفنا جسماً ثقله 50 نيوتن، فأين يجب تعليق هذا الجسم، وماذا نقرأ على الدينامومتر؟
الحل:
أ) لنفرض أن ف هي المسافة بين الدينامومتر والجسم الأكبر.
40 × ف = (1.00 - ف) × 10
ف = 0.20 متراً أي 20 سم
ب) 40 + 10 = 50 نيوتن.
ج) لنفرض أن س هي المسافة بين الجسم الإضافة ووسط المسطرة حيث ثُبت الدينامومتر وإذا طبقنا العلاقة مجموع عز = صفراً، بالنسبة لوسط السمرطة، نحصل على المعادلة التالية:
40 × 0.50 = 10 × 0.50 + 50 × س
(نيوتن × متر) = (نيوتن × متر) + (نيوتن × متر)
س = 0.30، أي 0.30 متر
أما القراءة على الدينامومتر فهي:
50 + 40 + 10 =100 نيوتن


(1-4) تحديد عام للعزم:
لنأخذ مسطرة مثقوبة في وسطها، ولنثبتها على طاولة بمسمار يمر في الثقب بطريقة تسمح للمسطرة بالدوران حول المسمار. إذا شددنا طرفي المسطرة بواسطة دينامومترين موضوعين على الطاولة بحيث تكون قوتا الشد متعامدتين مع اتجاه المسطرة. من الطبيعي أن نجد قوتي الشد متعادلتين إذا بقيت المسطرة في وضعها الأفقي المتوازن.
ماذا يحدث لو غيرنا اتجاه إحدى القوتين؟
اذا قمت بالتجربة يتبين لك أنه عليك زيادة القوة ق1 لكي تبقى المسطرة في الوضع المتوازن نفسه. ويمكن فهم هذه الظاهرة نظرياً بتحليل القوة ق1 بالنسبة لمحورين متعامدين (الشكل 1-14): محور المسطرة، والمحور المتعامد على المسطرة.
ق1 = ق3 + ق4
فالقوة ق4 تشد المسطرة باتجاه النقطة الثابتة ث، وبالتالي ليس لها تأثير على توازن المسطرة. والقوة ق3 تحاول إدارة المسطرة، فتوازنها ق2.
وتعطينا معادلة العزوم:
ق3 . ب ث = ق2. ث ج (1-4).
ولكن إذا نظرنا إلى المثلث ب أ ج‍ نرى أن:
جا ى = ق3/ق1
أي ق3 = ق1 جا ى (1-5)
حيث ي هي الزاوية بين ق1 والمسطرة.


وإذا وضعنا النتيجة (5) في العلاقة (4) نحصل على:
ق1. ب ث. جا ى = ق2 . ث ج (1-6).
لكن الكمية في الشطر الأول من المعادلة (6) تساوي مقدار الضرب المتجه للمتجهين ب ث وق1 بينما الكمية التي في الشطر الثاني تساوي مقدار:
ث ج × ق2. ومن هنا نعرف العزم كما يلي:
العزم هو محصلة الضرب المتجه للمسافة المتجهة (من النقطة الثابتة حتى نقطة تأثير القوة) بالقوة
عز1 = ب ث × ق1
عز2 = ث ج × ق2
وإذا أخذنا الشكل 1-14 المرسوم على ورقة موضوعة على طاولة أفقية تبيّن لنا أن عزم ق1 يتجه لاختراق الورقة نزولاً، بينما عزم القوة ق2 يتجه إلى الابتعاد عن الورقة صعوداً. ويمكن اذن كتابة المعادلة (6) كما يلي: عز1 = عز2
\ مجموع العزوم = صفر
(1-5) القانون العام للتوازن الساكن
من كل ما تقدم يمكننا وضع القانون العام لتوازن جسم ساكن تحت تأثير قوى متعددة:
إذا تأثر جسم بقوى متعددة: منها ما هي متلاقية، ومنها ما هي متوازية، ومنها ما هي غير متلاقية ولا متوازية، فإن هذا الجسم يكون في حالة توازن ساكن، إذا كانت محصلة القوى المتلاقية صفراً، ومجموع عزوم باقي القوى صفراً أيضاً.
نعبر عن هذا الكلام وبلغة الرياضيات كما يلي:
مجموع ق = صفر و مجموع عز = صفر


تطبيق عملي:
الرافعة هي أقدم الآلات التي عرفها الإنسان وأبسطها إطلاقاً. فقد استعملها الإنسان منذ القدم للقيام بثلاثة أعمال لم يكن بوسعه أداؤها وحده:
1) رفع الأثقال بواسطة الرافعة من النوع الأول الشكل (1-15-أ). وهذه الأثقال لم يستطع رفعها باليدين فقط.
2) كسر أجسام صلبة، أو لي قضبان متينة باستخدام الرافعة من النوع الثاني (الشكل 1-15-ب).
3) تحريك أجسام أو القيام بشغل في مكان بعيد نسبياً، إما لأنه لا يمكن الوصول إليه بسهولة؛ أو لسهولة أداء العمل من مسافة معينة (الشكل 1-15-ج).
وفي الحالات الثلاث يحصل التوازن عندما نبذل قوة ق1 تعطى بالمعادلة:
ق1 × ف1 = ق2 × ف2
لموازنة قوة ق2 على مسافة ف2
ويجب زيادة هذه القوة حتى تتعدى هذا المقدار لكي تبدأ الرافعة بالعمل.



(1-6) الازدواج:
عندما درسنا توازن القوى المتوازنة أخذنا قوى متوازية في اتجاه واحد. أما الآن فسندرس القوى المتوازية المتساوية التي تعمل باتجاهين متاقبلين.
لنأخذ (كما في الشكل 1-16 أ) مسطرة مثقوبة في وسطها، ولنثبتها على طاولة بمسمار يمر في الثقب بطريقة تسمح للمسطرة بالدوران حوله. لنشد طرفي المسطرة بواسطة دينامومترين موضوعين على الطاولة باتجاهين متعاكسين كما في الشكل (1-16ب). إذا شددنا بقوتين ق1 وق2 بالمقدار نفسه، نرى أن المسطرة تتحرك بشكل دائري، لكون عزم القوة ق1 يساعد عزم القوة ق2.
عز1 - ف1 × ق1
عز2 = ف2 × ق2
عز1 يحرك المسطرة باتجاه معاكس لحركة عقارب الساعة، وكذلك عز2، فالعزمان يتعاونان في إنتاج الحركة نفسها، وبذلك يمكننا جمع العزمين فنحصل على عزم القوتين: عز1 + عز2.
نسمي القوتني ق1 و ق2 المتساويتين والمتوازيتين اللتين تعملان باتجاهين متعاكسين ازدواجاً (Douple). وعزم الازجواج يساوي (ف1 + ف2) × ق، أي إن:
عزم الازدواج يساوي حاصل ضرب المقدار المشترك للقوتين بالمسافة العمودية بين القوتين. والازدواج كبير الأهمية في الآلات، ونجده حيث نجد حركة دائرية، فعندما تفتحين باباً مثلاً تبذلين ازدواجاً على المفتاح (الشكل 1-17).


إذا بذلنا ازدواجاً على جسم ما، يتحرك هذا الجسم بحركة دائرية. فإذا أردنا إيقاف هذه الحركة، وجب علينا بذل ازدواج آخر يبطل تأثير الازدواج الأول. فما هي خصائص الازدواج الموازن هذا؟
لنأخذ مثلاً المسطرة التي في الشكل (1-18)، ولنأخذ ازدواجات قواها متعامدة مع محور المسطرة وذلك لتسهيل الشرح.
إذا بذلنا ازدواجاً موازناً على طرفي المسطرة، فما هو مقدار عزم هذا الازدواج؟
لنفترض أن الازدواج الثاني مكون من قوتين متوازيتين ق3 وق4، تبعد نقطتا ارتكازهما مسافة ف2 عن النقطة الثابتة ب. فإذا طبقنا شرط توازن العزوم في القانون العام للتوازن نجد:
عز1 + عز2 - عز3 - عز4 = صفر
ق1 × 2 ف1 = -(ق3×2 ف2)
عزم الازدواج المحرك يساوي عزم الازدواج الموازن في المقدار، ولكنه متعاكس معه في الاتجاه.
مثال 1-6
تؤثر ثلاثة ازدواجات على مسطرة خشبية كما هو مبين في الشكل (1-19). ما هي قيمة القوة ق؟
الحل:
2 × 200 = 2 × 140 + ق ×80
ق = 1.5 نيوتن


(1-8) توازن الأجسام المتحركة
عندما نسمع عن جسم أنه في حالة توازن تحت تأثير عدد من القوى، فأول ما يتبادر إلى ذهننا أن هذا الجسم ساكن. وهذا ناتج عن التباس في معنى كلمة توازن كما نستعملها في حياتنا العادية.
ففي دراستنا للفيزياء نستعمل كلمة توازن بمعنى أدق وأكثر تحديداً: فالتوازن هو حالة الجسم الذي ينطبق عليه القانون العام للتوازن بشرطية (مجموع ق = صفراً، ومجموع عز = صفر،) كما حدد سابقاً ويمكن للجسم أن ينطبق عليه هذا الشرطان أثناء حركته أيضاً. وسنحاول هنا إعطاء فكرة عن هذا النوع من التوازن بعرض بعض الأمثلة ريثما تتضح الصورة بشكل أفضل في الفصل الثاني أثناء دراسة مفهوم القصور الذاتي، وفي الفصل الرابع لدى دراسة الحركة الدائرية.
مثال أول:
اذا وضعنا كرة زجاجية ملساء برفق على طاولة زجاجية (ملساء أيضاً)، تستقر الكرة على الطاولة بحالة توازن ساكن تحت تأثير قوتين:
1) ثقل الكرة التي يجذبها إلى أسفل
2) قوة ثانية تساوي الأولى وتبذلها الطاولة لتمنع الكرة من اختراقها.
اذا دفعنا الكرة بقوة صغيرة بحيث يستمر تأثيرها لبرهة وجيزة جداً، وبطريقة لا تجعل الكرة تدور على نفسها. نرى أن الكرة تستمر في الحركة لفترة طويلة (حتى تصل إلى طرف الطاولة على الأقل).
وأثناء هذه الحركة، وبعد أن تتوقف القوة الدافعة عن التأثير عليها، نجد أن الكرة في توازن حسب ما يقتضيه القانون العام للتوازن: (الشرط الأول)، أي إن مجموع القوى المؤثرة عليها يساوي صفراً، أما الشرط الثاني للقانون فلا يطبق لعدم وجود قوى لها عزوم تحاول أن تدير الكرة.
مثال ثاني:
اذا أخذنا بكرة ملساء وأمررنا فوقها خيطاً رفيعاً أملس يحمل في طرفيه جسمين صغيرين
الشكل (1-20)، ثم دفعنا أحد الجسمين بقوة صغيرة تستمر لحظة، نرى أن الجسمين يبدآن بالحركة (أحدهما يصعد، وثانيهما يهبط)، ويستمران هكذا حتى يصل الجسم الصاعد إلى البكرة.
لقد كان كل شيء في حالة توازن ساكن قبل تحريك الجسمين، فكل جسم كان بحالة توازن ساكن تحت تأثير يقله ق وقوة الشد ق ش التي يبذلها الخيط. وكذلك بالنسبة للعزوم لهي متوازنة، أما أثناء الحركة فكل من الجسمين يصبح بحالة توازن متحرك تحت تأثير القوى والعزوم نفسها.
(1-9) أنواع التوازن الساكن
لنأخذ جسماً في حالة توازن ساكن، ولندفعه دفعة صغيرة لإبعاده عن حالته. فهل يعود هذا الجسم إلى حالته، أم يبتعد عنها نهائياً، أم ينتقل إلى حالة توازن جديدة؟ وبعبارة أخرى: ما هي درجة ثبوت توازن الأجسام؟
يمكن تصنيف الأجسام المتوازنة في ثلاث مجموعات:
الأولى: الأجسام المستقرة في توازنها، وهي التي إذا ما دفعت لإبعادها عن حالتها المتوازنة فإنها ترجع إليها ثانية. وهذا ما نسميه التوازن المستقر: ككتاب موضوع على طاولة يلتصق غلافه بسطحها، فإذا رفع أحد أطرفاه ثم ترك عاد إلى حالته الأولى. هذا إذا كان مركز ثقل الكتاب قريباً من الطاولة. ولمعرفة ما إذا كان التوازن مستقراً أم لا، يمكن اعتماد الطريقة التالية:
خذي المسقط العمودي للجسم المتوازن على الطاولة تحصلين على مضلع (Polygon)، فإذا جاء


مسقط مركز ثقل الجسم على الطاولة داخل هذا المضلع حل التوازن. ويكون التوازن مستقراً إذا بقي مسقط مركز الثقل داخل المضلّع عند دفع الجسم.
الثانية: الأجسام ذوات التوازن القلق (غير المستقر)، وهي التي إذا ما دفعة لإبعادها عن حالتها المتوازنة تبتعد عنها نهائياً. وهذا ما يحدث مثلاً لكرسي يعتمد على رجلين فقط؛ فهو ينقلب إذا ما دفع.
الثالثة: الأجسام ذوات التوازن المتعادل، وهي التي إذا ما دفعت لإبعادها عن حالتها المتوازنة تنتقل إلى حالة متوازن جديدة، فلا ترجع إلى الحالة الأولى. مثال ذلك الأسطوانة الممدة على طاولة.
أسئلة ومسائل:
1) اذكري خمس كميات قياسية وخمس كميات متجهة.
2) برهني على أن مقدار محصلة المتجهين م1، م2 أقل من حاصل جمع مقداري المتجهين وأكر من الفرق بينهما.
3) برهني على أن مقدار الضرب المتجه لمتجهين يساوي مثلي مساحة المثلث الذي يكون المتجهان ضلعين فيه.
4) برهني على أن الكمية م1 0 (م2×م3) تساوي حجم متوازي السطوح الذي تكون مقادير المتجهات الثلاثة أبعاداً له.
5) أعطي أمثلة عن أجسام ليست في حالة توازن رغم كون محصلة القوى المؤثرة عليها تساوي صفراً.
6) برهني على أنه إذا وُجد جسم في حالة توازن تحت تأثير قوتين فقط، فإذا هاتين القوتين تعملان على المحور (خط العمل) نفسه.
7) برهني على أنه إذا وجد جسم في حالة توازن تحت تأثير ثلاث قوى متعادلة، فإن هذه القوى تعمل على السطح المستوي ذاته. ما هي الزوايا بين هذه القوى إذا كانت متساوية المقادير؟
8) يرتكز طرفا جسر طوله 50 متراً، على دعامتين، إذا كان ثقل الجسر 100000 نيوتن، فما هو مقدار القوة التي تتحملها كل دعامة؟ وإذا توقفت سيارة ثقلها 10000 نيوتن في نقطة تبعد 10 أمتار من أحد طرفي الجسر، فما هي القوة التي تتحملها كل دعامة؟
9) ربط طرفا خشبة ب ت بطرفي حبل طوله يساوي مثلي المسافة ب ت. إذا شددت وسط الحبل بقوة مقدارها 200 نيوتن، فما مقدار القوى ق1 وق2 التي تؤثر على كل من ب، ت؟
(الشكل 1-21) ملاحظة افتر ضأن الحبل لا ثقل له.
10) إذا ثبتنا اللوح الخشبي ت ج وربطنا جسماً وزنه 200 نيوتن بطرف خيط طرفه الثاني مثبت في النقطة ب على الأرض (لشكل 1-22)، فما هي قوة الشد في الخيط؟ (نفترض أن ثقل الخيط يمكن إهماله وأن الزاوية ب = 30°، والزاوية ج! ت د = 60° وما هي القوة التي يدفع بها اللوح الحبل في النقطة ج؟
11) لنأخذ جسماً متوازناً تحت تأثير مجموعة من القوى بحيث يتحقق شرطا التوازن.
برهني على أنك إذا أخذت العزوم بالنسبة لنقطة جديدة خارج الجسم أو داخله، فإن شرط توازن العزوم يبقى قائماً.

ليست هناك تعليقات:

إرسال تعليق