التقدير

 

التقدير Estimation

مقدمة: الاستنتاجات الاحصائية هي التعميمات والتوازن التي يمكن اتخاذها بناءً على معلومات او بيانات قمت بجمعها أو كانت متوفرة لديك.

فمثلاً إذا ارادت شركة أدوية أن تسوق دواء ما ، فإنه يجب عليها أن تحصل على تصريح أولاً ويتم ذلك من خلال اثبات أن الدواء المنتج قد جُرِب واثبت جدوى استعماله، وهذا يعني ان عينة من المرضى قد استعملوا ذلك الدواء وحصلوا على نتائج ايجابية، وبذلك فإن الشركة بنت قرارها من خلال دراسة تلك العينة.

المثال السابق يوضح أنه من أهم فروح الاحصاء الاستنتاجي هو عمليتي التقدير واختبار الفرضيات. حيث نقوم في الفصل الخامس بدراسة مفهوم التقدير على أن يتم دراسة اختبار الفرضيات في الفصل السادس لاحقاً إن شاء الله.

أولاً: مفهوم التقدير:تتم عملية التقدير من خلال اختبار عينة عشوائية من مجتمع ما ومشاهدة مقررات تلك العينة ومن ثم حساب المقاييس المراد اجراءها وتعميم ذلك على المجتمع.

إن أي توزيع احتمالي يحتوى على معالم تحدد شكله على P (نسبة النجاح) ، n (عدد مرات اجراء التجربة)

أما في توزيع بواسون فيعتمد شكله على معلمة λ (معدل النجاحات في فترة زمنية معينة)

أما في التوزيع الطبيعي فيعتمد شكل ذلك التوزيع على M (المعدل) ، س ( الانحراف المعياري – التباين س2)

وعادة ما تكون هذه المعالم مجهولة، وفي هذه الحالة لا بد من تقدير هذه المعالم.

هناك طريقتان اساسيتان لتقدير معالم المجتمع المجهولة هما:

1- التقدير بنقطة.     2- التقدير بفترة.

أولاً: التقدير بنقطة.

يمكن ايجاد تقديرات للمعالم الخاصة بالمجتمع من خلال البيانات المأخوذة من عينة عشوائية وذلك بحساب ما يسمى بالإحصاءات، فمثلاً في المجتمع الطبيعي يستخدم متوسط العينة العشوائية ¯X كتقدير لمتوسط المجتمع M وكذلك الانحراف المعياري للعينة S يستخدم كتقدير للانحراف المعياري للمجتمع س.

في توزيع بواسون يستخدم الوسط الحسابي للعينة ¯X كتقدير لمعدل عدد النجاحات في تجربة بواسون λ، (¯X = λ)

أما في توزيع ذات الحدين فيستخدم الوسط الحسابي للعينة ¯ كتقدير لنسبة النجاح (P = ¯X) P ... وهكذا

وتسمى هذه التقديرات بالتقدير النقطي حيث أنها قيمة وحيدة محسوبة من العينة.

مثال: اخذت عينة عشوائية من مجتمع طبيعي (س 2N(M, فكانت قيمها 5، 3، 7، 4، 6، أوجد تقديراً معدل المجتمع Mوتقديرراًتباسن المجتمع س2 ؟

الحل: 1- M=¯X (الوسط الحسابي للمجتمع تقديراً ويساوي الوسط الحسابي للعينة).

¯X=(∑_(i=1)^n▒〖6+4+7+3+5〗)/5=25/5=5

الوسط الحسابي للمجتمع تقديراً M=5

2-س_¯^2 = س2 (تباين المجتمع تقديراً يساوي تباين العينة).

س_¯X^2=(∑_(i=1)^n▒〖(X_1-¯X )^2 〗)/(n-1)

= (〖(6-5)〗^2+〖(4-5)〗^2+〖(7-5)〗^2 (〖3-5)〗^2+〖(5-5)〗^2)/4

= (1+1+4+4)/4=10/4=2.5

س2= 2.5 (تباين المجتمع تقديراً يساوي 2.5)

س = √2.5 (الانحراف المعياري للمجتمع تقديراً يساوي 2.5)

مثال: في توزيع بواسون، قدِّر عدد النجاحات في فترة زمنية معينة (λ) بناءً على عينة عشوائية اعطت القيم التالية 7, 7, 7, 7 ؟

الحل: عدد النجاحات في فترة زمنية معينة (λ) تقديراً = الوسط الحسابي للعينة.

¯X=7→λ=7

تمرين: إذا اخذت عينة عشوائية حجمها n=5 ، ∑_(i=1)^5▒〖xi=30〗 مجتمع برنولي (أي ذات احدين (b(I,P) ، أوجد التقدير النقطي للمعلمة P ؟

 

المحاضرة الخامسة عشر - الفصل الخامس: التقدير

ثانياً: التقدير بفترة (Interred Estimation):من الصعب جداً الحصول على تقدير لمعلمة مجتمع ما دون الوقوع في الخطأ مهما كان هذا التقدير جيداً، ولذلك فإنه من المرغوب فيه إعطاء فترة معينة نتوقع أن تقع معلمة المجتمع بداخلها. إن مثل هذا النوع من التقديرات يسمى تقدير بفترة أو فترة ثقة ومع أنّ دقة التقدير تزداد بزيادة حجم العينة فأنه ليس هناك سبب يبرر إمكانية الحصول على تقدير يحدد معلمة المجتمع بدون خطأ. وسنتعرف في هذا البنت على ايجاد فترات الثقة للمعدل (الوسط الحسابي) µ، وفترات الثقة للنسبة P، وفترات الثقة للتباين س2.

1- إيجاد فترات الوسط الحسابي µ:

نظرية (1): إذا أخذت عينة عشوائية حجمها n من مجتمع طبيعي (س2N(µ, بحيث كانت س2 معلومة فإن فترة % 100(1-x) للمعلمة µ هي: (¯X-Z_(1-∝/2)  س/√n  ,¯x+Z_(1-∝/2)  s/√n)

حيث ¯: الوسط الحسابي للعينة،Z1-∝/2: هي القيمة على محور Z والتي تقع على يسارها مساحة 1-∝/2

فترات تفسير الثقة:تعتبر فترة الثقة من الأدوات  القوية التي تعطي معلومات عن المعلمة المجهولة مثل (µ) باستعمال أسلوب العينة. وسيكون لدينا عدة أنواع دقة فترات الثقة منها 90% ، 95% ، 98% وهذا ما نقصده بالرمز 100(1-x)% وسنكتفي بشرح فترة 95% حيث أن البقية لها نفس السلوك.

1- مثل دراسة العينة وتسجيل المشاهدات وإيجاد قيمة الوسط الحسابي فإن(¯X-Z_0.975  س/√n  ,¯X+ Z_0.975  س/√n)

هي فترة نهايتها متغيران عشوائيان تحاول احتواء المجهولة µ.

2- أن تفسير الاحتمال (¯X-Z_0.975  س/√n  ,¯X+ Z_0.975  س/√n) = 95%

أن التكرار النسبي لمحاولات المعاينة الكثيرة المتكررة يحدد أن 95% من فترات الثقة ستحتوي المعلمة µ وأن 5% منها لا تحويها.

(بمعنى إذا أخذنا 100 عينة عشوائية ذات الحجم n وفي كل مرة نحسب ¯ ونحسب فترة الثقة لها ، فإننا نتوقع بنسبة 95% (95 فترة) للوسط الحسابي µ.

مثال: عينة عشوائية حجمها n=25 ، أخذت من مجتمع طبيعي انحرافه المعياري س = 4 فأعطت المعدل ¯X=60 . أوجد فترة 98% ثقة الوسط المجتمع µ ؟

الحل: قبل البدء بتطبيق نص النظرية يجب أن نقوم بعملية التحويل

1- ∝ = 98% → 1- ∝/2 = ??

1 – ∝ = 2%

∝/2 = 1%

1 – ∝/2 = 99%

وبتعويض القيم المعطاه في السؤال نحصل على

(¯X-Z_(1-∝/2)  س/√n  ,¯X+ Z_(1-∝/2)  س/√n)

(60-Z_0.99  4/√25  ,60+ Z_0.99  4/√25)

60-2.33 × 4/5  ,60+ 2.33 × 4/5

(58.14 , 61.86)

ملاحظة: يمكن تطبيق النظرية السابقة من حال كان السحب من مجتمع غير طبيعي وذلك من خلال استخدام نظرية التقارب بشرط ان حجم العينة (n) سيكون كبيراً (n≥30) وبذلك سنتعرف على النظرية رقم (2).

نظرية (2):  إذا أخذت عينة عشوائية حجمها n من مجتمع وسطه µ وتباينه س2 بحيث كانت س2 معلومة ، فإن فترة 100(1-∝)%

ثقة للمعلمة µهي تقريباً: (¯X-Z_(1-∝/2)  س/√n  ,¯X+ Z_(1-∝/2)  س/√n)

بشرط أن n ≥30

مثال: عينة عشوائية حجمها 100 من مجتمع تباينه 25 ، أعطيت الوسط الحسابي 52 ، اوجد فترة 98% ثقة الوسط الحسابي µ ؟

الحل:  المعطيات n=100 ، س2=25 ، ¯X=52

1-∝ = 98% →1-∝/2 = 99%

وبتطبيق النظرية (2) نحصل تقريباً على:

(52 – Z0.99 × 5/10 , 52 + Z0.99 × 5/10

(52 – 2.33× 1/2 , 52 + 2.33 × 1/2)

(50.84 , 53.16)

تمرين: اعتماد على المثال الأخير، أوجد فترة 95% نقطة الوسط الحسابي µ ؟ثم أوجد فترة 90% ثقة الوسط الحسابي µ؟

 

المحاضرة السادس عشر

الفصل الخامس: التقدير

نظرية (3): إذا أخذت عينة عشوائية حجمها n من مجتمع طبيعي تباين غير معلوم فإن فترة 100(1-x)% ثقة  للوسط µ هي:

(¯X-t[1-∝/2,n-1]  s/√n  ,¯X+t[a-∝/2,n-1] s/√n

حيث S: الانحراف المعياري للعينة.

مثال: أخذت عينة عشوائية حجمها 15 من مجتمع طبيعي فأعطت S = 2.1 , ¯X = 17.4 . أوجد فترة 95% ثقة للوسط الحسابي µ ؟

الحل: نقوم بعملية التحويل 1 – ∝ = 95%

∝ = 5%                                   

∝/2 = 2.5%                                

1 – ∝/2 = 97.5% = 0.965

(17.4 – 2.145 × 2.1/√15 , 17.4 + 2.145 × 2.1/√15)

(16.24 , 18.56)← فترة ثقة للوسط الحسابي للمجتمع 95%

بإمكاننا استخدام الأسلوب السابق في بناء فترات الثقة للوسط الحسابي لأكثر من مجتمع وذلك بالاستعانة بالنظرية التالية:

نظرية (4): (فترات الثقة للفرق بين وسطين)

إذا كانت X1  , X2 , … Xn عينة عشوائية من مجتمع طبيعي (N(µ1 , س_1^2 ، وكانت Y1  , Y2 , … Ynعينة عشوائية أخرى من مجتمع طبيعي N(µ2 , س_2^2) مستقل عن الأول ، بحيث كانت س_1^2 ، س_2^2 معلومتين فإن هذه الثقة 100(1 – ∝)% للفرق بين الوسطين (M1 , M2) هي:

[(¯X-¯Y) Z1-∝/2 √((س_1^2)/n_1 +(س_1^2)/n_2 ), (¯X-¯Y) Z1-∝/2 √((س_1^2)/n_1 +(س_1^2)/n_2 )

مثال: أخذت عينة عشوائية حجمها 9 من مجتمع طبيعي N(M1 , 25) ثم أخذت عينة عشوائية حجمها 10 من مجتمع طبيعي N(M2 , 40) مستقل عن الأول، فإذا أعطيت العينة الأولى وسطاً حسابياً = 32 ، بينما أعطيت العينة الثانية وسطاً حسابياً = 47 أوجد:

أ- فترة ثقة 95% للفرق  بين الوسطين (M1 – M2) ؟

ب- فترة ثقة 90% للفرق بين الوسطين (M2 – M1)؟

الحل: المعطيات:   المجتمع الأول      المجتمع الثاني

            س_1^2= 25

n1 = 9

¯X = 32 س_2^2= 40

n2 = 10

¯Y = 74

المطلوب: أ- فترة 95% ثقة للفرق M1 – M2؟

1 – ∝ = 95% → 1 – ∝/2 = 97%

وبتطبيق نص النظرية نجد أن:

[(32 – 47) – Z0.975×√(25/9+40/10) , (32 – 47) + Z¬0.975 √(25/9+40/10)]

( -15 – 1.96 ×√(25/9+4) , -15 – 1.96 ×√(25/9+4))

( -20.1 , -9.9 )

¯X - ¯Y = 32 – 47

= -15

ب- فترة ثقة 90% للفرق بين M1 – M2؟

1 – ∝ = 90% → 1 – ∝/2 = 95%

وبتطبيق نص النظرية نجد أن:

[(47 – 32) – Z0.95×√(25/9+40/10) , (47 – 32) + Z¬0.95 √(25/9+40/10)]

( 15 – 1.64 ×√(25/9+4) , 15 + 1.64 ×√(25/9+4))

( 10.73 , 19.27 )

¯X - ¯Y = 15

نظرية (5): إذا كان ¯P = X/n نسبة النجاح في عينة عشوائية حجمها n وكان n كبيراً ، فإن فترة 100( 1- ∝)% ثقة التقريبية لنسبة النجاح P هي:

( ¯P - Z1-∝/2 √((¯P(1-¯P))/n) , ( ¯P - Z1-∝/2 √((¯P(1-¯P))/n))

مثال: لإيجاد فترة 95% ثقة لنسبة عدد طلاب أحد المدارس الأساسية الذين لديهم ضعف في البصر، أخذت عينة عشوائية حجمها 100 طالب ووجد أن من لديهم ضعف في البصر كان 15 طالب. أوجد فترة الثقة المطلوبة ؟

الحل: 1 – X = 95% → 1 – X/2 = 975%

وأيضاً يجب إيجاد ¯P: (التقطير النقطي لنسبة النجاح)

¯P = 15/100 = 0.15

وبتطبيق نص النظرية نجد أن:

( 0.15 – Z 0.975×√((0.15(0.85))/100) , 0.15 + 1.96 ×√((0.15(0.85))/100) )

( 0.08 , 0.22 )

¯P = 0.15

نظرية (6): إذا كانت X1  , X2 , … Xn عينة عشوائية من مجتمع برنولي b( 1 . P2) وكانت Y1  , Y2 , … Ynعينة عشوائية أخرى مستقلة عن الأولى من مجتمع برنولي b( 1 . P2) ، فإن فترة 100(1 – X)% ثقة للفرق بين النسبتين (P1 – P2) هي:

[(¯P1 - ¯P2) – Z1-X/2 √((¯P_1 (1-¯P_1))/n_1 +(¯P_2 (1-¯P_2))/n_2 ) , ¯P1 - ¯P2) – Z1-X/2 √((¯P_1 (1-¯P_1))/n_1 +(¯P_2 (1-¯P_2))/n_2 )]

2- تقدير النسبة:

إن تقدير النسبة بفترة هو عبارة عن إيجاد تقدير نقطي لنسبة النجاح في المجتمع P ثم إيجاد توزيع المعاينة لذلك المقدر واستعمال هذه المعلومات لإيجاد فترة ثقة ذات معامل ثقة معينة تحصر نسبة النجاح P بداخلها والنظرية التالية توضح ذلك.

مثال: أخذت عينة عشوائية حجمها 100 طالبة من المدرسة (أ) ، ووجد أن 27 طالبة لديهم تسوس في الأسنان ، ثم أخذت عينة عشوائية أخرى من المدرسة (ب) ووجد أن 21 طالباً لديهم تسوس في الأسنان. أجد فترة 95% ثقة للفرق بين (P2 , P1) ؟

الحل: (P1 , P2) 1- X = 95% → 1 – X/2 = 97.5%

¯P_2= 12/80

= 0.15  ¯P_1= 27/100

= 0.27

حسب النظرية السابقة نجد أن:

[(0.27 – 0.15) – Z¬0.975×√((0.27(0.83))/100+(0.15(0085))/80) , (0.27 – 0.15) – Z-0.975×√((0.27(0.83))/100+(0.15(085))/80)]

(0.003 , 0.237)

¯P_1- ¯P_2 = 0.27 – 0.15 = 0.12

التقدير

فترات الثقة للتباين.

نظرية (7): إذا كانت X1 , X2 , … , Xn عينة عشوائية من توزيع طبيعي (س 2N(M ,  فإن فترة 100(1 - ∝)% ثقة للتباين س 2 هي:

(((n-1)S^2)/(X^2  [1-∝/2 ;n-1)  ,((n-1)S^2)/(X^2  [∝/2 ;n-1))

حيث S2: هو تباين العينة  ..  n: حجم العينة

ولإيجاد فترة الثقة للانحراف المعياري ، نأخذ الجذر التربيعي لطرفي فترة الثقة للتباين.

مثال: عينة عشوائية حجمها 20 أخذت من مجتمع طبيعي (س 2N(M ,  فأعطت التباين S2 = 15 ، أوجد فترة 90% ثقة للتباين س 2 ؟

الحل1 - ∝ = 90%

∝ = 10%

∝/ 2 = 5% = 0.05

1 - ∝/ 2= 1 – 0.05 = 0.95

من جدول توزيع كاي تربيع نجد أن:

x2 [ 0.05 , 19] =     

x2 [ 0.05 , 19] =     

وحسب النظرية السابقة ، فإن فترة الثقة هي:

[ (19 ×15)/30.144 , (19 ×15)/10.117]

أما فترة 90% ثقة الانحراف المعياري فهي

[ √9.45  ,√28.17 ]

= [3.07 , 5.31]

فترات الثقة للنسبة بين تباينين.

نظرية (8): إذا كانت X1 , X2 , … , Xn عينة عشوائية من (س 2 1N(M ,  وكانت Y1 , Y2 , … , Ynعينة عشوائية من (س 2 2N(M ,

مستقل عن المجتمع الأول ، فإن فترة 100( 1 - ∝ )% ثقة النسبة (س_2^2)/(س_1^2 ) هي:

((S_2^2)/(S_1^2 ) F [∝/2 ; n1 – 1 , n2 – 1] , (S_2^2)/(S_1^2 ) F [1 - ∝/2 ; n1 – 1 , n2 – 1]

مثال: أخذت عينة عشوائية حجمها n1 = 9 من مجتمع N( _1  ,(_1^2)س) فأعطت التباين S_1^2 = 65.4 وأخذت عينة عشوائية أخرى حجمها n2 = 11  من مجتمع طبيعي N(M_1  ,(_1^2)س) مستقل عن الأول فأعطت التباين S_2^2 = 127.3 . أوجد قيمة الفترة 90% ثقة للنسبة (_2^2)س/(_1^2)س  ؟

الحل: 1 - ∝ = 90%

∝ = 10%

∝/ 2 = 5% = 0.05

1 - ∝/ 2= 1 – 0.05 = 0.95

من جدول توزيع F نجد أن:

F[ 0.05 ; 8 , 10 ] = 1/(F [ 0.95 ;10 ,8])

= 1/3.35 = 0.3

F [ 0.95 ; 8 , 10 ] = 3.07

ومن صيغة القانون للنظرية السابقة نجد أن:

[ 127.3/65.4 × 0.3 , 127.3/65.4 × 3.07 ]

[ 0.583 , 5.98 ]

أمثلة:

1- أخذت عينة عشوائية حجمها 400 من معلمي المرحلة الإعدادية فوجد أن 80 منهم حاصلون على شهادة البكالوريوس:

أ- قدر نسبة المعلمين في المرحلة الإعدادية الحاصلين على شهادة البكالوريوس.

ب- أوجد فترة 99% ثقة للنسبة الحقيقية للمعلمين في هذه المرحلة الحاصلين على شهادة البكالوريوس؟

الحل: نقدر نسبة المعلمين لهذه المرحلة كما يلي:

النسبة = 80/400 = 0.2

( لاحظ أم ¯P=X/n ) . التقدير النقطي لنسبة النجاح P هي ¯P

ب- من خلال استخدام النظرية رقم (5) نجد أن:

( 0.2 – Z0.995 √((0.2 (1-0.2))/400) , 0.2 + Z0.995 √((0.2 (1-0.2))/400))

( 0.2 – 2.58 × 0.02 , 0.2 + 2.58 × 0.02 )

( 0.148 , 0.252 )

2 - نتج احد المصانع مصابيح كهربائية تخضع أعمارها تقريبا لتوزيع طبيعي انحرافه المعياري 35 ساعة .

أخذت عينه عشوائية حجمها 25 مصباحا فكان الوسط الحسابي لأعمار هذه المصابيح 890 ساعة .

أوجد فترة 98%  ثقة لمعدل أعمار المصابيح !

الحل : لاحظ ان :

س=35 , n=25  , ×= 890

من نظرية رقم 1 , نلاحظ أن :

 ( س/√nZ  1-∝ + ¯X  ,  س/√n Z  1- ∝/2+ ¯X  )

 ( 35/√25× 0.99Z + 890 ,  35/√25× 0.99Z – 890   )

( 7  × 2.33  + 890  ,7  × 2.33  - 890  )

(  890 + 16.31 ,  890  -  16.31 )

( 956.31  , 873.69   )

3- اعتمادا على السؤال السابق , اذا كان تباين المجتمع غير  وكان الانحراف المعياري يساوي 17  للعينة .

أوجد فترة 98% ثقه لمعدل أعمار المصابيح !

الحل: نلاحظ ان جميع المعطيات شبيهه بالمثال السابق باستثناء ان الانحراف المعياري قد اصبح معطى للعينة وليس لمجتمع حجم العينة وفي هذه الحاله فإننا بدلا من ان نستخدم جداول التوزيع الطبيعي المعياري  , فإننا في هذه الحاله نستخدم جداول توزيع t  وبالتالي يصبح الحل على الصورة :

من نظرية رقم ( 3 ) :

t [ 1- ∝/2 , n-1 ] s/√n  )  + ¯X ,  t [ 1- ∝/2 , n-1 ] s/√n- ¯X )

( 35/√16  × ] 16 , 0.99[t + 890   , 35/√16× ] 16 , 0.99[t -  890  )

( 35/4 × 2.602  +890  , 35/4 × 2.602  -  890  )

( 22.77  + 890  , 22.77 -890  )

ملاحظات :

عند ايجاد فترات التقدير للوسط الحسابي للمجتمع M  نلاحظ أن :

            اذا كان السحب من مجتمع طبيعي تباينه معلوم فإننا نستخدم جداول التوزيع الطبيعي المعياري .

            اذا كان السحب من مجتمع ما تباينه معلوم فإننا نستخدم ايضا جداول التوزيع المعياري بشرط n >-30

            اذا كان السحب من مجتمع تباينه غير معلوم فإننا نستخدم جداول توزيع t

            في حال السؤال عن التقدير للنسبة سواء لمجتمع واحد او مجتمعين فإننا نستخدم جداول التوزيع الطبيعي

            في حال السؤال عن التقدير للتباين :

            اذا كان السؤال عن مجتمع واحد , فإننا نستخدم توزيع كاي تربيع

            اذا كان السؤال عن النسبه بين تباين مجتمعين فإننا نستخدم توزيع F

 

المحاضرة الثامنة عشر

الفصل السادس : اختبار الفرضيات

مقدمة :

تصادفنا العديد من المشاكل في حياتنا اليومية و يجب اخذ قرار ملائم بشأن تلك المشاكل , وبما ان اغلب الدراسات هي مستمدة من العينة المسحوبة من المجتمع , نبعد التقدير للمعالم المختلفة لذالك المجتمع فانه علينا ان نعطيها المزيد من الثقة , لذا لابد من اتخاذ قرار حول صحة فرضية معينة او عدم صحتها . وتسمى هذه الطريقة باختبار الفرضيات ولاتخاذ القرار الاحصائي يجب النظر الى الفروض الاحصائية اولاً وبناءً عليه لابد من توضيح بعض المفاهيم المتعلقة بها كالأتي :

            الفرضية الاحصائية :

تعريف : الفرضية الاحصائية هي كل عبارة عن احدى معالم المجتمع او عدة معالم تكون قابلة للاختبار و بالتالي تكون صحتها او عدم صحتها بحاجة الى قرار . وبصورة عامة تتعلق الفرضيات الاحصائية بعبارة عن احدى معالم المجتمع مثل الوسط الحسابي او نسبة النجاح او التباين او غيرها , او عدة معالم مثل المقارنة بين معلمين او اكثر .

في الغالب هناك عنوان من الفرضيات الاحصائية في المسألة الواحدة :

            الفرضية الصفرية ( الابتدائية ) : وهي الفرضية التي تبنى على امل ان يتخذ قرار بعدم صحتها , ونصطلح من الآن على اعتبار أي فرضية نود اختبارها بالفرضية الصفرية ويتم التعبير عنها بالرمز H_0 .

            الفرضية البدليه : وهي الفرضية البدليه للفرضية الصفرية في حال عملية الرفض للفرضية الصفرية يتم قبول الفرضية البدليه و يرمز لها بالرمز H_1 .

مثال : يدعي احد المصانع في فترة المواصفات للمصابيح الكهربائية التي ينتجها ان معدل عمر المصابيح هو 500 ساعة للمصباح الواحد . اردت اختبار هذا الادعاء , اكتب الفرضية الصفرية و الفرضية البدليه ؟

الحل : نفرض ان معدل عمر المصابيح التي ينتجها ذالك المصنع بالرمز µ

اذن تصبح الفرضية الصفرية على الصورة :

H_0:M=500

اما الفرضية البدليه فتعتمد على الحالة المتوقعة التي تريد اجراء الاختبار من اجلها . فمثلاً اذا كنت تريد اختبار H0 بغرض الشراء من ذلك المصنع فأننا نصوغ الفرضية البدليه على الشكل :

H_1:M>500

( لاحظ ان الفرضية البدليه لم يعين قيمة محددة للوسط الحسابي M , بل سمحت بفترة من القيم جميعها اكبر من العدد500) .

الاخطاء الناتجة عن عملية صياغة الفرضيات :

كل قرار يبني على ناتج عينة ما يكون معرضاً للخطأ , نعتمد صياغة الفرضية فان طريقة اتخاذ القرار قد تؤدي الى الوقوع في نوعين من الأخطاء هي :

            الخطأ من النوع الاول : حيث يحدث هذا النوع في حال تم رفض الفرضية الصفرية وهي في الواقع صحيحة , ويعبر عنه بالرمز ∝

            الخطأ من النوع الثاني : ويحدث هذا النوع في حال عدم رفض الفرضية الصفرية وهي في الواقع خاطئة , ويعبر عن هذا الخطأ بالرمز β

و الجدول التالي يوضح ذالك :

الحالة الحقيقية

H_1

صحيحة H_0

صحيحة

خطأ من النوع الثاني β       قرار صائب         عدم رفض _0

قرار صائب         خطأ من النوع الاول ∝      رفض H_0

وفي هذا الباب , سيتم التعامل مع النوع الأول فقط من الاخطاء ( ∝ ) حيث سيتم تسميته بمستوى الدلاله .

خطوات اختبار الفرضيات :

الخطوى الأولى : تحديد توزيع المجتمع .

يجب اولاً معرفة فيما اذا كان المتغير العشوائي يتوزع توزيعاً طبيعياً , او يتبع توزيع ذو الحدين او غيره من التوزيعات الاخرى حيث تعتبر هذه نقطة مهمة في عملية اتخاذ القرار الملائم . وبما ان معظم التوزيعات تقترب من التوزيع الطبيعي و خاصة اذا كانت العينات كبيرة فلذالك سنستند في اختبار الفرضيات على التوزيعات الطبيعية في الغالب .

الخطوة الثانية : صياغة الفرضيات .

يتم صياغة الفرضيات الصفرية H0 و المراد اختبارها والتي تعتمد على تحديد قيمة المعلمة للمجتمع بحيث تكون على الشكل التالي :

H_0:M=M_0

حيث M_0 تمثل قيمة معينه لهذا المتوسط

اما الفرضية البدليه , فتأتي على احد الاشكال التالية :

            H_1:M≠M_0

حيث يسمى هذا الاختبار بالاختبار من طرفين .

            H_1:M>M_0

ويسمى اختبار من جهة اليمين .

            H_1:M<M_0

ويسمى اختبار من جهة اليسار .

الخطوة الثالثة : اختبار مستوى الدلاله ∝ .

يتم من خلال هذه الخطوة تحديد قيمة ∝ والتي من خلال سيتم تحديد منطقة القبول ومنطقة الرفض للحالات الثلاث التي تم ذكرها ( الفرضية البدليه ) والإشكال التالية توضح ذالك :

اولاً : اختبار الفرضيات من جهتين .

ثانياً : اختبار الفرضيات من الطرف الأيمن :

ثالثاً : اختبار الفرضيات من الطرف الايسر :

الخطوة الرابعة : احصاء الاختبار ( دالة الاختبار ) .

وهي الاحصاء المحسوب قيمته من العينة حيث يتم مقارنة هذا الاحصاء الذي تم جمعه من عينه مسحوب من مجتمع ما مع القيمة الجدوليه على مستوى دلالة ∝ معين لتحديد منطقة القبول او منطقة الرفض .

الخطوة الخامسة : اتخاذ القرار .

وهي عملية رفض الفرضية الصفرية او قبولها بناءً على عملية مقارنة بين احصاء الاختبار مع منقطة الرفض , فإذا وقعت دالة الاختبار في منطقة الرفض فأننا نرفض H0 وندعم H1 اما في حال وقوع دالة الاختبار في منطقة القبول فأننا ندعم H0 ونهمل H1

 

المحاضرة التاسعة عشر

اختبار الفرضيات

اختبار الفرضيات المنطقة بالوسط الحسابي :

نظرية (1) : اذا اخذت عينة عشوائية حجمها n من مجتمع طبيعي ( س^2 , H ) N بحيث كان التباين ( س^2 ) معلوم , فان احصاء الاختبار ( دالة الاختبار ) للفرضية المبدئية H_0:M=M_0 هو (¯X-M_0)/(س\√h)= Z يخضع للتوزيع الطبيعي المعياري حيث ¯X هو الوسط الحسابي للعينة , بحيث تتم خطوات الاختبار على النحو الآتي :

            اختبر الفرضية H_0:M=M_0

            مقابل الفرضية البدليه

            H_0:M≠M_0

            H_0:M>M_0

            H_0:M<M_0

            مستوى الدلالة ∝

            دالة الاختبار : تحت فرض ان H0 صحيحة فان احصاء الاختبار هو (¯X-M_0)/(σ\√h)= Zيخضع لتوزيع طبيعي معياري

            القيم الحرجة ومنطقة الرفض :

            ارفض الفرضية المبدئية H_0اذا كان

Z>Z_(〖1-〗_(∝/2) )    أو            Z<Z_(∝/2)

            ارفضH_0اذا كان

Z>Z_(1-∝) الاحصائية من الجداولدالة الاختبار من رقم 4

            ارفض H_0اذا كان

Z<Z_∝ الاحصائية من الجداولدالة الاختبار من رقم 4

مثال : تخضع اوزان عبوات احد مساحيق الغسيل لتوزيع طبيعي انحرافه المعياري 7 غم و معدلة M غم , على مستوى الدلاله ∝=0.05 اختبر الفرضية :

H_0:M=50

مقابل الفرضية البدليه

H_1:M≠50

اذا علمت ان الوسط الحسابي لعينه حجمها 12 علبة هو 56=¯X غم .

الحل : اولاً يجب ايجاد قيمة دالة الاختبار

Z=(¯X-M_0)/(σ\√h)=(56-50)/(7\√12)=2.97

عملية المقارنة وتحديد المنطقة الحرجة :

Z_(〖1-〗_(∝/2) )     ,    Z_∝؟؟

Z_(1-∝)=Z_(1-0.05)=Z_0.95 لن يتم الاستفادة منها في هذا المثال

Z_(〖1-〗_(∝/2) )=Z_(〖1-〗_(0.05/2) )=Z_0.975

Z_(∝/2)=Z_0.025

من الجداول الاحصائية نجد ان :

Z_0.975=1.96     ,Z_0.025= -1.96

ارفض H_0 اذا كان :

Z=2.97>Z_0.975=1.96

                       

القرار : نرفض H_0 وندعم H_1

نظرية (2) : ( اختبار الفرضيات المتعقلة بالوسط الحسابي لمجتمع طبيعي تباينه غير معلوم وحجم العينه صغير )

اذا اخذت عينة عشوائية حجمها n من مجتمع طبيعي N(M , س^2) بحيث كان التباين غير معلوم , فان حالة الاختبار هي T=(¯X-M_0)/(S\√n) .

تخضع توزيع t بدرجات حرية n-1 , وتتم خطوات الاختبار على النحو الآتي :

            H_0:M=M_0

            مقابل البدليه

            H_1:M≠M_0

            H_1:M>M_0

            H_1:M<M_0

            مستوى الدلالة ∝

            احصاء الاختبار

T=(¯X-M_0)/(S\√n) .

اتخاذ القرار ومناطق الرفض :

            ارفض H_0 اذا كان

T<-t [1-∝/2,n-1]او T>t[1-∝/2,n-1]

            ارفضH_0 اذا كان

T>t[1-∝ ,n-1]

            ارفض H_0 اذا كان

T<-t[1-∝ ,n-1]

مثال : اظهرت سجلات احدى المدارس ان معدل تحصيل الطلبة في امتحان الغة الانجليزية الذي يتقدمون له عند الالتحاق بالجامعات الامريكية هو 410 . بدأت المدرسة بإعطاء دورات تقوية للطلبة . اختبر فرضية ان هذا المعدل قد تحسن اذا اعطت نتائج 14 طالباً وسطاً حسابياً مقداره  ¯X=418 بانحراف معياري S= 21 ؟

( اعتبر مستوى الدلاله ∝=1% ) .

الحل : 1) H_0:M=410

2) H_1:M>410

3) T=(¯X-M_0)/(S\√n) .

=(418-410)/(21√14)=1.42

4) عملية المقارنة واتخاذ القرار :

T<-t[1-∝ ,n-1]

1.42>t[0.99,13]

1.42>2.65

نلاحظ ان المتباينة غير صحيحة ( بمعنى ان دالة الاختبار لم تقع في منطقة الرفض )

وبذلك فأننا ندعم H_0 ونهمل H_1 ( لانستطيع ان نستنتج ان معدل تحصيل الطلبة قد تحسن بعد اعطاء الدورات )

 

المحاضرة العشرون

الفصل السادس : اختبار الفرضيات

اختبار الفرضيات المتعلق بالفرق وسطين:

نظرية (3): إذا أخذت عينة عشوائية حجمها n1 من مجتمع ((_1^2)س , M1)N وأخذت عينة عشوائية أخرى حجمها n2 من مجتمع طبيعي

((_2^2)س , M2)N بحيث كانت مستقلة عن الأولى ، وكان (_1^2)س ، (_2^2)س معلومتين ‘ فإن احصاء الاختبار للفرضية M1 = M2H0 : هي :

Z = (¯X- ¯Y)/√((_1^2)س/n_1 +(_2^2)س/n_2 )

تخضع للتوزيع الطبيعي المعياري ، حيث ¯X ، ¯Y هما وسطا العينتين على التوالي.

(نلاحظ أن خطوات الاختبار في هذه الحالة هي نفس خطوات الاختبار التي تم عرضها في نظرية (1) ).

خطوات الاختبار:

1- H0 : M1 = M2

2- أ- H1 : M1≠ M2

ب- H1 : M1> M2

ج- H1 : M1< M2

3- دالة الاختبار: Z = (¯X- ¯)/√((_1^2)س/n_1 +(_2^2)س/n_2 )

4- على مستوى الدلالة ∝

5- أرفض H0 إذا كان:

أ- Z > Z1-∝/2

Z < Z∝/2

ب- Z > Z1-∝

ج- Z < Z∝

مثال: أخذت عينتان مستقلتان حجمهما 72 ، 27 على التوالي من المجتمعين N(M1¬ , 144) ، N(M2 , 81) فاعطتا الوسطين ¯X = 73 ، ¯Y = 69 ، اختبر الفرضية H0 : M1 = M2 على مستوى الدلالة ∝ = 0.05

الحل:Z = (73-69)/√(144/72+81/27)= 4/2.236=1.79

قيمة اختبار الدلالة

Z1-∝ = Z1-0.05 = Z0.95

من جدول التوزيع الطبيعي ، نجد أن:

Z0.95 = 1.645

Z > Z0.95

1.79 > 1.645

نرفض H0 وندعم H1

***

اختبار الفرضيات المتعلقة بالنسبة:

إن اختبار الفرضيات المتعلقة بالنسبة يشبه اختبار الفرضيات المتعلق بالوسط الحسابي لمجتمع حيث يتغير فقط طريقة إيجاد دالة الاختبار في هذه الحالة

نظرية (4): إذا أخذت عينة عشوائية حجمها n من توزيع  ذات الحدين (مجتمع برنولي) b: (I , P) بحيث كان ¯P هي نسبة النحاج في العينة فإن دالة الاختبار: Z = (¯P- P_0)/√((P_0 (1-P_0))/n)

تخضع لتوزيع طبيعي معياري بشرط أن تكون n كبيرة (n ≥ 30) ، حيث p0¬ : هي نسبة النجاح للمجتمع، ¯P: هي نسبة النجاح للعينة.

أما خطوات الاختبار هي كالآتي:

1- الفرضية الصغيرة H0 : P = P0

2- الفرضية الطويلة: أ- H1 : P ≠ P0

ب- H1 : P > P0

ج- H1 : P < P0

3- مستوى الدالة ∝

4- إحصاء الاختبار: Z = (¯P- _0)/√((P_0 (1-P_0))/n)

5- نرفض H0 إذا كان: أ- Z > Z1-∝/2

Z < Z∝/2

ب- Z > Z1-∝

ج- Z < Z∝

مثال: من المعلوم أن نسبة مستخدمي حزام الأمان في السيارات (قبل تشريع التزام الاستعمال) هي 0.8 درست عينة عشوائية حجمها 200 سائق بعد صدور التشريع الإلزامي، فوجد أن 170 سائق يستعملون الحزام. اختبر الفرضية ما إذا كان التشريع قد زاد نسبة المستخدمين لحزام الأمان على مستوى الدلالة ∝ =0.10 ؟

الحل: H0 : P = 0.8

H1 : P > 0.8

على مستوى الدلالة ∝ =0.10 ؟

نلاحظ أن ¯=170/200=17/20=0.85

ثم نجد دالة الاختبار: Z = (¯P- P_0)/√((P_0 (1-P_0)/n)

= (0.85- 0.8)/√((0.8(1-0.8))/200)

Z > Z1-∝

1.8 > Z0.90→ 1.8 > 1.28

النتيجة: المتباينة صحيحة ، نرفض H0 وندعم H1¬ (القرار التزام السائقين باستخدام حزام الأمان قد رفع من نسبة السائقين الذين يلتزمون باستخدامه).

 

المحاضرة الواحد والعشرون

الفصل السادس : اختبار الفرضيات

اختبار الفرضيات المتعلق بالفرق وسطين:

نظرية (5): إذا أخذت عينة عشوائية حجمها n1 من مجتمع برنولي b: (I , P) وأخذت عينة عشوائية أخرى حجمها n2 مستقلة عن الأولى من مجتمع برنولي b: (I , P) فإن إحصاء الفرضية H0 : P1 = P2 هو: Z = (¯P_1- ¯P_2)/√((¯P(1- ¯P))/n_1 +(¯P(1- ¯P))/n_2 )

تخضع للتوزيع الطبيعي المعياري تقريباً بشرط أن تكون n1 , n2كبيرتين.

حيث... ¯P_1: نسبة النجاح للعينة الأولى.

¯P_2: نسبة النجاح للعينة الثانية.

ولحساب ¯P (النسبة المشتركة بين العينتين) ، يمكن استخدام الصيغة: ¯P=(n_1 ¯P_1+n_2 ¯P_2)/(n_1+n_2 )

ولإجراء الاختبار للفرضية المبدئية، فإننا نتبع الخطوات السابقة من النظرية (4) مع أخذ بعين الاعتبار إحصاء الاختبار من نظرية (5).

مثال: للمقارنة بين نسبة المدخنين في الفئة العمرية (25 – 18) سنة مع الفئة العمرية (30 – 26) سنة، أخذت عينة عشوائية حجمها 200 شخص من الفئة الأولى ووجد أن 80 شخص منهم يدخنون، أخذت عينة عشوائية حجمها 100 شخص ووجد أن 52 شخص منهم يدخنون. أختبر الفرضية H¬0 : P1 = P2

مقابل H1 : P1< P2 على مستوى الدلالة ∝=0.05

الحل: 1- H¬0 : P1 = P2

2- H1 : P1< P2

3- مستوى الدلالة ∝=0.05

4- إحصاء الاختبار: Z = (¯P_1- ¯P_2)/√((¯P(1- ¯P))/n_1 +(¯P(1- ¯P))/n_2 )

Z < Z∝

.. ¯P=(n_1 ¯P_1+n_2 ¯P_2)/(n_1+n_2 )

= (200(80/200)+100(52/100))/(200+100) = 132/300 = 0.44

Z = (80/200- 52/100)/√((0.44(1-0.44))/200+ (0.44(1-0.44)/100) = -1967

ولإيجاد قيمة Z∝←-1.645 = Z0.05

¬-1.967 < -1.645

صحيحة وبذلك نهمل H0 وندعم H1¬

 

الواجبات والاختبارات

الواجب الاول

سؤال 1 : إذا كان P(A)= 0.5, P(B)=0.4 وكان A,B حادثين منفصلين فإن احتمال (P(AUB=

 0.9

 0.4

 0.5

 0.7

سؤال 2 : إذا كان التباين للمتغير العشوائي X يساوي 3 وكان لدينا الخطي Y= -x +5 فإن تباين المتغير العشوائي Y يساوي

سؤال 3 : ما عدد تباديل احرف كلمة " SUCCESS"؟

سؤال 4: إذا كان احتمال نجاح طالب في مقرر الاحصاء هو 0.8 واحتمال نجاحه في مقرر المحاسبة هو 0.7 واحتمال نجاحة في كلا المقررين هو 0.6 فإن احتمال نجاحه في الاحصاء ورسوبه في المحاسبه هو :

سؤال 5: إذا كان احتمال نجاح طالب في مقرر الاحصاء هو 0.8 واحتمال نجاحه في مقرر المحاسبة هو 0.7 واحتمال نجاحة في كلا المقررين هو 0.6 فإن احتمال نجاحه في المحاسبة ورسوبه في الاحصاء هو :

سؤال 6 : إذا كان المتغير العشوائي X برمز لظهور أوجه متشابهة في تجربة القاء قطعة نقد متزنة ثلاث مرات, فإن احتمال X يساوي

سؤال 7 :إذا كان المتغير العشوائي x ويرمز لظهور اوجه متشابهة في تجربة إلقاء قطعة نقد منتظمة مرتين، فإن احتمال ذلك المتغير يساوي

سؤال 8: إذا كان التوقع الرياضي للمتغير العشوائي x يساوي 3 وكان لدينا التحويل الخطي y= -2 x + 3 فإن التوقع الرياضي للمتغير العشوائي y يساوي

سؤال 9 : إذا كان P(A) = P(A/B)= 0.5, P(B) =0.2 فإن (P(B/A يساوي :

سؤال 10 : إذا كان P(A)=0.4, P(b)=0.6, P(AUB)=1 فإن احتمال التقاطع للحادثين A,B يساوي

 1

0.6

 0

 0.4

سؤال 11 : ان عدد طرق اختيار طالبين من بين خمسة طلاب للذهاب في رحلة مدرسية يساوي :

 30

10

5

20

سؤال 12 : ان عدد طرق اختيار 3 طلاب من بين خمسة طلاب للذهاب في رحلة مدرسية يساوي :

 30

10

5

 20

سؤال 13 : اإذا كان p(a) = 0.5, p(b) =p(b/a) = 0.4 فإن (p(a/b = :

0

0.2

0.4

0.5

الواجب الثاني

سؤال 1: إذا كان معدل المواليد في احد المستشفيات هو 5 اطفال في اليوم الواحد, فإن احتمال ولادة 3 اطفال في احد الأيام هو

0

0.28

0.14

0.84

سؤال 2 :إن القيمة المعيارية المقابلة للمتغير العشوائي X=10 والذي ينتمي للتوزيع الطبيعي(X:N(5;100 تساوي

10

0.5

2

1

سؤال 3 : إن قيمة التباين في التوزريع الطبيعي المعياري يساوي

1

0

10

0.5

سؤال 4 : إن قيمة المساحة λ في التوزيعt[λ; 5] = 2.015 يساوي

0.10

0.90

0.05

0.95

سؤال 5 :إذا كان X متغير عشوائي يتبع توزيع ذات الحدين بحيث كان P=0.6, n= 10 فإن التوقع الرياضي للمتغير Xيساوي

0.6

6

0.24

2.4

سؤال 6 : إن قيمة F في المقدار [F[0.05;5,6 تساوي

4.95

0.20

4.39

0.23

سؤال 7 : إذا كان X متغير عشوائي يتبع توزيع ذات الحدين بحيث كان P=0.6, n= 10 فإن تباين X يساوي

0.6

0.24

6

2.4

الواجب الثالث

السؤال 1 : عينة عشوائية حجمها 16 اخذت من مجتمع طبيعي انحرافه المعياري 12 بحيث اعطت معدل 30, فإن فترة 90% ثقة للوسط الحسابي للمجتمع هي:

(24.24, 35.76)

(24.08, 31.92)

(25.24, 30.76)

(25.08, 34.92)

طريقة الحل: نلاحظ أن الانحراف المعياري المعطى يعود للعينة، وبذلك فإن التوزيع المستخدم هو توزيع t ومن نظرية (3) نجد أن:

(¯X-t[1-∝/2,n-1]  s/√n  ,¯X+t[a-∝/2,n-1] s/√n

(30-t[0.95,15]  12/√16n  ,30+t[0.95,15]  12/√16n

(30 – 1.753 ×12/4 , 30 + 1.753 ×12/4)

(24.74 , 35.26)

السؤال 2 : اخذت عينة عشوائية قيمها 3, 5, 5, 7 من مجتمع طبيعي, فإن معدل المجتمع تقديرا يساوي

5

4

7

3

طريقة الحل: من خلال التقدير النقطي، نلاحظ أن معدل المجتمع = معدل العينة

وبذلك نجد معدل العينة للقيم المعطاه: ¯X=(7+5+5+3)/4=20/4=5 وبذلك M = 5

السؤال 3 : إذا علمت أن عينة حجمها 10 مسحوبة من مجتمع لانهائي معدله 9 وتباينها 2, فإن الوسط الحسابي للعينة (التوقع الرياضي) يساوي

10

2

3

9

( لاحظ أن الوسط الحسابي للمجتمع = الوسط الحسابي للعينة )

السؤال 4 : عينة عشوائية حجمها 25 تخضع لتوزيع طبيعي وسطه 15 وانحراف معياري يساوي5, فإن احتمال ان يقل الوسط الحسابي للعينة عن 17 هو

0.0225

0.0183

0.9772

0.9817

طريقة الحل: لاحظ أن تباين (الانحراف المعياري) للمجتمع معطى، والمطلوب ايجاد P(¯X< 17)← من توزيعات المعاينة

يجب تحويل قيمة ¯X إلى Z من خلال صيغة القانون: Z = (¯X-M)/(س/√n)=(17-15)/(5/√25)=2/1=1

من جدول التوزيع الطبيعي المعياري P(¯X< 17) = P(Z < 2) = 0.9772 →

السؤال 5 : سحبت عينة عشوائية من مجتمع لا نهائي معدله 100 وتباينه 40, اذا كان حجم العينة يساوي 10 فإن الانحراف المعياري للعينة يساوي

10

2

4

0

طريقة الحل: س_¯X=س^2/n=40/10=4

(الانحراف المعياري = الجذر التربيعي للتباين)

س_¯X=√4=2

(النظرية الاولى من توزيعات المعاينة)

الواجب الرابع

السؤال 1 : عينة عشوائية حجمها 15 اخذت من مجتمع طبيعي بحيث اعطت تباين = 10, فإن فترة 98% ثقة لتباين المجتمع هي:

(5.13, 21.56)

(5.80, 31.04)

(4.80, 30,04)

(3.80, 29.04)

طريقة الحل: بتطبيق صيغة القانون من النظرية (7) والخاصة بفترات ثقة لتباين مجتمع واحد:

(((n-1)S^2)/(X^2  [1-∝/2 ;n-1)  ,((n-1)S^2)/(X^2  [∝/2 ;n-1))

((14×10)/(X^2  [0.99  ؛ 14)  ,(14×10)/(X^2  [0.01 ؛ 14))

(140/(29.141)  ,140/(4.88))

(4.80 , 30.04)

السؤال 2 : إذا كان لدينا عينة عشوائية حجمها 9 من مجتمع طبيعي تباينها = 5, وعينة عشوائية اخرى مستقلة عن الاولى حجمها = 11 وتباينها = 4. فإن فترة 90% ثقة للنسبة (تباين المجتمع الثاني)/ (تباين المجتمع الاول) تساوي

(0.25, 2.75)

(0.21, 2.55)

(0.24, 2.61)

(0.24, 2.46)

طريقة الحل: لاحظ انه في حال السؤال عن النسبة بين تباين مجموعتين فإن هذا التوزيع يتبع توزيه F ، وبتطبيق صيغة القانون:

((S_2^2)/(S_1^2 ) F [∝/2 ; n1 – 1 , n2 – 1] , (S_2^2)/(S_1^2 ) F [1 - ∝/2 ; n1 – 1 , n2 – 1]

ينتج أن: (4/5 F [0.05 ; 8 , 10] , 4/5 F [0.95 ; 8 , 10]]

(4/5×1/3.35  ,4/5×1/3.35)

(0.24 , 2.456)

السؤال 3 : إذا اخذت عينة عشوائية حجمها 40 طالب من احد المدارس الابتدائية, ووجد أن 10 طلاب يلبسون نظارات طبية, فإن نسبة النجاح هي:

0.2

0.75

0.5

0.25

طريقة الحل: لاحظ أن نسبة النجاح ¯P تساوي: P = X/n= (النجاحات عدد)/(العينة حجم)=10/40=1/4=0.25

السؤال 4 : إذا اخذت عينة عشوائية حجمها 9 من توزيع طبيعي بحيث اعطت وسط حسابي = 8 وانحراف معياري =2. فإن فترة 90% ثقة للوسط الحسابي للمجتمع هي

(6.75, 9.34)

(6.91, 9.09)

(6.57, 9.43)

(6.76, 9.24)

طريقة الحل: لاحظ أن تباين المجتمع أو النحراف المعياري له غير معلوم وبذلك فإننا نستخدم توزيع t لإيجاد فترة الثقة وبتطبيق صيغة القانون من نظرية (3) نحصل على: (¯X-t[1-∝/2,n-1]  s/√n  ,¯X+t[a-∝/2,n-1] s/√n

(8-t[0.95,8]  2/√9  ,8+t[0.95,8]  2/√9

(8 – 1.86 ×2/3  ; 8+1.86 ×2/3)

(6.76 , 9.24)

السؤال 5 :إذا كان عدد الطلاب الذين يلبسون نظارات طبية من بين 40 طالبا هو 10 , فإن فترة 90% ثقة لنسبة نجاح الطلاب الذين يلبسون نظارات هي:

(0.14, 0.36)

(0.20, 0.30)

(0.17, 0.28)

(0.11, 0.38)

طريقة الحل: لاحظ ان التقدير هنا هو التقدير بنسبة النجاح ، ويجب أولا إيجاد نسبة النجاح للعينة حيث P = X/n=10/40=1/4=0.25

وبتطبيق قانون النظرية الخامسة من وحدة التقدير: ( ¯P - Z1-∝/2 √((¯P(1-¯P))/n) , ( ¯P - Z1-∝/2 √((¯P(1-¯P))/n))

( 0.25 – Z0.95 √((0.25(0.75))/40) , 0.25 + Z0.95 √((0.25(0.75))/40))

(0.14 , 0.36)

 

الاختبار الفصلي

السؤال 1 : إذا كان X متغير عشوائي يتبع توزيع ذات الحدين بحيث كان P=0.6, n= 10 فإن احتمال الفشل يساوي

0.5

0.4

0,24

0.04

طريقة الحل: لاحظ أن P=0.6 هو احتمال النجاح وبذلك فإن احتمال الفشل q = 1 – p = 1 – 0.6 = 0.4

السؤال 2 : إذا كان معدل النجاحات في تجارب بواسون هو 10, فإن التوقع الرياضي للمتغير العشوائي X الذي يتبع هذا التوزيع يساوي

10

1

0

5

طريقة الحل: E(X) = λ = 10

السؤال 3 : إذا كان Z ينتمي الى التوزيع الطبيعي المعياري فإن (P(Z>2 يساوي

0.9817

0.0183

0.9772

0.0228

طريقة الحل: P(Z > 2) = 1 – P(Z < 2)

= 1 – 0.9772 = 0.0228

السؤال 4 : إن القيمة المعيارية المقابلة للمتغير العشوائي X=5 والذي ينتمي للتوزيع الطبيعي(X:N(5;100 تساوي

10

2

0

1

طريقة الحل: نحول X إلى Z حسب الصيغة Z = (X=M)/س=(5-5)/10= 0/10=0

السؤال 5 : من خصائص منحنى التوزيع الطبيعي

شكله يشبه الجرس

المساحة اسفل المنحنى تساوي 1

يتقارب طرفيه من الصفر عندما تقترب X من موجب وسالب مالانهاية

جميع ما ذكر صحيح

السؤال 6 : إذا كان P(A)= 0.5, P(B)=0.4 وكان A,B حادثين مستقلين فإن احتمال (P(AUB=

0.5

0.7

0.9

0.4

طريقة الحل: P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B)

= P(A) + P(B) – P(A) × P(B)

= 0.5 + 0.4 – (0.5 × 0.4) = 0.7

السؤال 7 : إذا كان احتمال نجاح طالب في مقرر الاحصاء هو 0.8 واحتمال نجاحه في مقرر المحاسبة هو 0.7 واحتمال نجاحة في كلا المقررين هو 0.6 فإن احتمال رسوبه في مقرر الاحصاء هو

0.1

0.4

0.2

0.3

طريقة الحل: نرمز لنجاح الطالب في مقرر الإحصاء بالرمز P(¯A) = 0.8 .. P(¯A) = 1 – P(A) = 1 – 0.8 = 0.2

السؤال 8 : إذا كان X متغير عشوائي يتبع توزيع ذات الحدين بحيث كان P=0.8, n= 3 فإن احتمال X=0 يساوي

0.8

0.08

0.512

0.008

طريقة الحل: من خلال استخدام صيغة القانون لتوزيع ذات الحدين نجد أن:

P(X = 0) = nCx * Px * (1 – P)n-x

3C0 * (0.8)0 * (0.2)3

= 1 * 1 * 0.008 0.008

السؤال 9 : إن قيمة الوسط الحسابي في التوزيع الطبيعي المعياري يساوي

0.5

0

1

0.1

( دائماً = 0 ، أما التباين = 1 = الانحراف المعياري)

السؤال 10 : في التوزيع الاحتمالي المنفصل, إن مجموع الاحتمالات لجميع المتغيرات العشوائية التي تنتمي لذلك التوزيع تساوي

0

اكبر من صفر

اقل من واحد

1

(وهذا يعتبر من شروط التوزيع الاحتمالي المنفصل – مجموع الاحتمالات = 1)

السؤال 11 : إذا كان P=0.2, n=5, في توزيع ذات الحدين, فإن تباين X الذي يتبع هذا التوزيع يساوي

1

5

0.8

0.5

طريقة الحل: س_x^2=npq=5(0.2)(0.8)=0.8

سؤال 12 : إذا كان P(A)=0.1, P(B)= 0.4, وكان A, B حادثين مستقلبن فإن احتمال تقاطعهما يساوي

0.04

0.1

0

0.4

طريقة الحل: P(A∩B) = P(A) × P(B)    |    = 0.1 × 0.4 = 0.04

السؤال 13 : ان عدد طرق اختيار خمسة طلاب من بين خمسة طلاب للذهاب في رحلة مدرسية يساوي

2

10

1

5

طريقة الحل: 5C5 = 5!/((5-5)!*5!) = 1

السؤال 14 : إن تباديل حرفين من كلمة "نجاح" هو

1

12

6

24

طريقة الحل: 4P2 = 4!/(4-2)!= (4×3×2)/2=12

السؤال 15 : من مسلمات الاحتمال

احتمال أي حادث اكبر من صفر

احتمال أي حادث اقل من 1

احتمال اي حادث اكبر من أو يساوي صفر واقل من أو يساوي 1

احتمال أي حادث = 1

السؤال 16 : إذا كان المتغير العشوائي X برمز لظهور عددين مختلفين في تجربة القاء جحري نرد, فإن احتمال X يساوي

1/6

1/3

1/4

5/6

السؤال 17 : إن قيمة كاي تربيع التي تقع على يسارها المساحة 0,99 بدرجات حرية 2 تساوي

9.210

7.824

6.635

13.815

( من جدول توزيع كاي تربيع نجد أن قيمة كاي = 9.210 )

السؤال 18 : إذا كان P(A)=0.7, P(B)=0.6, P(AUB)=0.8 فإن احتمال حدوث A وعدم حدوث B يساوي

0.2

0.5

0.3

0.4

طريقة الحل: P(A∩¯B) = P(A) – P(A∩B)

= 0.7 – (P(A) + P(B) – P(A∪B)

= 0.7 – (0.7 + 0.6 – 0.8)

= 0.7 – 1.3 – 0.8

= 0.7 – 0.50.2

السؤال 19 : إن قيمة F في المقدار [F[0.95;5,6تساوي

0.23

0.20

4.39

4.95

(من جدول توزيع F نجد أن القيمة هي 4.39)

السؤال 20 : إذا كان P(A)=0.5, P(B) =0.2 وكان A وB حادثين منفصلين فإن احتمال تقاطعهما يساوي

0.5

صفر

1

0.2

السؤال 21 : إذا كان التباين للمتغير العشوائي X يساوي 4 وكان لدينا الخطي Y= -x +5 فإن الانحراف المعياري للمتغير العشوائي Y يساوي

4

2

4-

2-

طريقة الحل: لاحظ أن الانحراف المعياري للمتغير X = √4 = 2

ومن خصائص الانحراف المعياري تحت أي تحويل خطي هو: س_Y=|a| س_X=|-1|×2=2

السؤال 22 : إذا كان معدل المواليد في احد المستشفيات هو 5 اطفال في اليوم الواحد, فإن احتمال ولادة 3 اطفال في احد الأيام هو

0.28

0.14

0

0.84

طريقة الحل: توزيع بواسون P(X = 3) = (e^(-5)×5^3)/3!=0.14

السؤال 23 : إذا كان S هو الفضاء العيني لتجربة عشوائية, فإن احتمال S يساوي

صفر

اكبر من 0 واقل من واحد

0.5

1

(دائماً P(S) – 1 )

السؤال 24 : إن قيمة المساحة λ في التوزيعt[λ; 5] = - 2.015 يساوي

0.05

0.95

0.10

0.90

السؤال 25 : إن عدد عناصر الفضاء العيني في تجربة القاء قطعة نقد ثلاث مرات يساوي

8

6

4

9

طريقة الحل: هو عبارة عن 2 × 2 × 2 = 8 عناصر

تمارين على الفصل السادس:

سؤال: تخضع درجات الطلاب في مقرر الإحصاء لتوزيع طبيعي انحرافه المعياري 10 درجات ومعدله M. اختبر الفرضية H0:M = 70

مقابل الفرضية H1 : M < 70 على مستوى الدلالة ∝=0.05 إذا علمت أن الوسط الحسابي لعينة من الطلاب حجمها 16 اعطت وسطاً مقداره 65 درجة.

طريقة الحل: 1- نحدد دالة الاختبار: Z = (¯X-M_0)/(س/√n)=(65-70)/(10/4)=(-5)/2.5= -2

2- نجري عملية المقارنة من خلال الحالة الثالثة: Z <Z_∝= 〖-Z〗_(1-∝)

-2 < -Z0.95

-2 < -1.64  المتباينة صيحة، نرفض H0 وندعم H¬1