انتقال الحرارة خلال جدار الكرة (Sphere) المجوفة:

انتقال الحرارة خلال جدار الكرة (Sphere) المجوفة:

سوف نستخدم الطريقة البديلة التي ناقشناها مسبقا والتي عاملنا فيها انتقال الحرارة مع تغير في مساحة السطح وذلك لإيجاد معادلة تصف انتقال الحرارة في الكرة المجوفة الموضحة في شكل (2-11). بتطبيق قانون بقاء الطاقة على الجزء الصغير في الشكل نجد أن:

وذلك بطبيعة الحال صحيح في حالة انتقال الحرارة في اتجاه واحد وبمعدل ثابت وبدون توليد للحرارة. في هذه الحالة فإن الصورة المناسبة لقانون فورير هي:

حيث:

A: المساحة المتعامدة على اتجاه انتقال الحرارة ( ).

أما إذا اعتبرنا أن معدل انتقال الحرارة (qr) ثابت ولا تتغير إلا بتغير r فإن المعادلة السابقة يمكن كتابتها على الصورة التكاملية الآتية:

وبفرض أن معامل التوصيل الحراري (k) ثابت فإن:

ولكن كما سبق فقد عرفنا أن المقاومة الحرارية هي عبارة عن فرق درجات الحرارة مقسوما على معدل انتقال الحرارة وعلى ذلك يكون:

ويجب أن نشير هنا إلى أن نفس التحليل والمعادلات السابقة يمكن الحصول عليها باستخدام الطريقة القياسية وطبعا نبدأ باختيار الصورة المناسبة لمعادلة انتقال الحرارة. كما أن انتقال الحرارة في الأشكال الكروية المركبة يمكن أن تعامل بنفس الطريقة التي عاملنا بها انتقال الحرارة في الأشكال الأسطوانية المركبة. وهذا بطبيعة الحال يستلزم إيجاد قيمة المقاومة الكلية لانتقال الحرارة أو المعامل الكلي لانتقال الحرارة.

شكل (2-11): انتقال الحرارة بالتوصيل خلال الكرة المجوفة.

مثال (2-4):

يستجدم وعاء معدني كروي ذو جدران رقيقة لتخزين النيتروجين السائل على درجة حرارة   قطر الوعاء 0.5m والوعاء مغلف بعزل حراري عاكس سمكة 25 mm ومعامل التوصيل الحراري لمادته K = 0.0017 W/m.K فإذا كان الهواء الخارجي الملامس للإناء درجة حرارته   ومعامل انتقال الحرارة بالحمل المصاحب له h = 20 W/m2.K أحسب معدل انتقال الحرارة إلى النيتروجين السائل.

تتألف الدائرة الحرارية (كما هو واضح في الشكل السابق) من مقاومة للتوصيل ومقاومة للحمل متصلين على التوالي وتكون مقاومة التوصيل كما يلي:

أما مقاومة الحمل كما يلي:

وبالتالي فإن:

ومعدل انتقال الحرارة من الهواء الخارجي إلى النيتروجين السائل هي:

وبالتالي:

مثال (2-5):

احسب السمك الحرج (القطر الحرج) لعازل من الأسبستوس (K=0.17 w/m.°C) يغطي اسطوانة ومعرض لهواء غرفة درجة حرارتها 20°C وأن معامل انتقال الحرارة بالحمل له (h = 3.0 w/m2.C). أحسب الفقد الحراري من الأنبوبة إذا كانت درجة حرارة السطح الداخلي 200°C وقطر الأنبوبة 5cm. عندما تغطى بطبقة من العازل وعندما تكون بغير عازل.

الحــل

وعلى هذا فإن نصف القطر الداخلي للعازل = 2.5cm =   

وعلى هذا فإن معدل انتقال الحرارة q تحسب كما يلي:

أما بدون عازل فإن:

ونتيجة لهذا فإن إضافة طبقة من العازل سمكها   في الحقيقة أدى إلى زيادة كمية الحرارة المفقودة إلى الوسط المحيط بمقدار 25%.

مثال (2-6):

حائط من الفلين سمكة 10cm ومعامل التوصيل الحراري له 0.042 w/m.°C ودرجة الحرارة لأحد سطحيه 12°C وللسطح الآخر 21°C أحسب معدل انتقال الحرارة خلال 1m2 من الحائط.

الحــل

سوف نحل هذه المسألة بطريقتين الأولى بطريقة قانون فورير والثانية بطريقة مفهوم المقاومة الحرارية كما يلي:

أولاً: باستخدام قانون فورير كما يلي:

ثانياً: الحل بطريقة مفهوم المقاومات كما يلي:

مثال (2-7):

جدار ثلاجة تبريد يتكون من ثلاث طبقات كما يلي:

طبقة خاجية من الطوب بسمك 11cm وبمعامل توصيل حراري 0.69 W/m. °C يليها طبقة من الخرسانة بسمك 7.5 cm وبمعامل توصيل حراري 0.76 W/m.°C ثم طبقة من الفلين العازل بسمك 10 cm وبمعامل توصيل حراري 0.043 W/m. °C.

إذا حفظت درجة حرارة السطح الداخلي للثلاجة على درجة حرارة 18°C احسب معدل انتقال الحرارة خلال الجدار ثم احسب درجة الحرارة عند السطح الفاصل بين الفلين والخرسانة وبين الخرسانة والطوب.

الحــل

رسم تخطيطي لجدار الثلاجة في المثال

في هذا المثال نجد أن جدار الثلاجة يتكون من ثلاثة حوائط متتالية وبذلك يكون معدل انتقال الحرارة لكل 1m2 من مساحة الحائط كما يلي:

ولإيجاد درجة حرارة السطح الفاصل بين الطوب والخرسانة فسيكون معلوم لدينا معدل انتقال الحرارة (q) خلال الجدار ككل وهو نفس المعدل لانتقال الحرارة خلال أي من الطبقات الثلاث بالنسبة لطبقة الطوب فإن:

وكذلك بالنسبة لدرجة حرارة السطح الفاصل بين الفلين والخرسانة سيتم بحساب معدل انتقال الحرارة(q) خلال جدار الفلين كما يلي:

مثال (2-8):

جدار فرن لصناعة المخبوزات والبيتزا مصنوع من طبقة من الطوب العازل سمكها 10 cm ومعامل التوصيل الحراري لها 0.22 W/m.°C تخترق جدار الفرن حديد تسليح لعمل الدعامات اللازمة للجدار. وبحيث أن المساحة الكلية لحديد التسليح تعادل 1% من المساحة السطحية لجدار الفرن. إذا كان معامل التوصيل الحراري لحديد التسليح تعادل 45 W/m.°C أحسب:

أ- النسبة بين الحرارة المنتقلة خلال الطوب وحديد التسليح وكذلك الحرارة الكلية المفقودة لكل متر مربع من سطح جدار الفرن إذا كان درجة حرارة السطح الداخلي للفرن تعادل 300°C والخارجي 25°C.

حديد التسليح يمثل مقاومة على التوازي مع الطوب المصنوع منه جدار الفرن بحيث أن فرق درجات الحرارة   لكلا من الطبقتين تكون واحدة وكذلك السمك x الذي سوف تنتقل إليه الحرارة واحد ويكون معدل انتقال الحرارة خلال المتر المربع من جدار الفرن بالنسبة لطبقة الطوب العازل كما يلي:

وللحديد كما يلي:

ونسبة الحرارة المنقولة بواسطة حديد التسليح

ومعدل انتقال الحرارة خلال الجدار q تساوي مجموع معدل انتقال الحرارة خلال الطوب وحديد التسليح كما يلي:

مثال (2-9):

حائط داخلي لمنزل سمكه 4 بوصة مصنوع من الطوب (K=0. 7 w/m.°C) ثم طبقة أخرى من المحارة بسمك 1.5 بوصة (K=0.48 w/m.°C) احسب سمك طبقة العازل (K=0.065 w/m.°C) التي يجب إضافتها لتخفيض الفقد الحراري نت أو إلى الحائط بحوالي 80% (1 بوصة = 0.0254 متر)

الحــل

المعدل الكلي لفقد الحرارة q تحسب كما يلي:

ولأن الفقد في حالة إضافة العازل سوف تكون 20% لأن هناك 80% تخفيض

ولكل وحدة مساحة نجد أن:

ولهذا فإن المقاومة الحرارية في حالة عدم وجود العازل تصبح:

وعلى ذلك تمثل تلك المقاومة الكلية القيم التالية:

مثال (2-10):

أنبوبة من الصلب قطرها الداخلي 5 cm وسمكه 1 cm يستخدم في نقل بخار. درجة حارة السطح الداخلي داخل الأنبوبة 120°C. يغطي الأنبوبة بطبقة من العازل سمكها 3 cm إذا كان معدل فقد الحرارة من الأنبوبة المعزولة لكل متر من دخول الأنبوبة يعادل 133 W  إذا كان معامل التوصيل الحراري للصلب 16.3w/m.°C وللعازل 0.038 w/m.°C أحسب درجة حرارة السطح الخارجي للعازل.

الحــل

نفرض عدم وجود انتقال حرارة بالحمل

مثال (2-11):

ماسورة من الصلب قطرها الخارجي 6.033 cm تحمل بخار درجة حرارته 120°C تغطى الماسورة بطبقة من العازل سمكها 2.5 cm ومعامل التوصيل الحراري لها (k=0.087 W/m.°C) إذا كانت درجة الحرارة الخارجية للعزل 46°C فكم يكون الفقد الحراري لكل متر طولي.

الحــل

نصف القطر الداخلي للعازل نفسه نصف القطر الخارجي للأنبوب الصلب أي أن:

حيث أن المساحة متغيرة فيلزمنا تقدير المتوسط اللوغاريتمي لنصف القطر كما يلي:

والمساحة لكل متر طولي تكون:

وبالتالي يكون معدل انتقال الحرارة:

مثال (2-12):

يصنع جدار ثلاجة للأغذية المجمدة من حائط الخرسانة سمكة 10 cm يبطن من الداخل بطبقة العازل سمكها 7.6 cm إذا كان معامل التوصيل الحراري للخرسانة (K=6.87 w/m.°C) والبلاستيك (K=0.05 w/m.°C) ودرجة حرارة السطح الداخلي للعازل -20°C والسطح الخارجي للخرسانة 25°C أحسب معدل فقد الحرارة من الحائط لكل متر مربع من السطح وكذلك درجة حرارة السطح الفاصل بين الخرسانة والعازل.

الحــل

إذا رمزنا لمقاومة طبقة الخرسانة Rc ولمقاومة العازل Ri.

وبذلك تحسب المقاومة الكلية Rtot كما يلي:

ولكن:

ولكن:

وبحل المعادلة السابقة للحصول على   كما يلي:

انتقال الحرارة بالتوصيل مع وجود توليد حراري:

Heat Conduction With Thermal Energy Generation:

في بداية هذا الجزء من الكتاب حللنا مسائل انتقال الحرارة (بدون توليد تيار حراري) والتي فيها يتم إيجاد معادلات توزيع درجات الحرارة باستخدام حالات الإطار (Boundary Conditions). أما الآن فإننا سوف نعتبر تأثير إضافي على توزيع درجات الحرارة ألا وهو وجود منبع حراري أو توليد حراري كنتيجة للتحويل من نوع آخر من أنواع الطاقة كالطاقة الكهربائية مثلا. في حالة الطاقة الكهربائية فإن معدل توليد الحرارة يمكن حسابها بمعرفة التيار المار (I) والمقاومة الكهربية (Re) وعلى ذلك يكون:

وعلى فرض أن هذه القدرة المتولدة (w) تحدث بانتظام خلال المائع الذي حجمه (v) فإن القدرة المتولدة لكل وحدة حجم   وتكون كما يلي:

وهناك صورة أخرى للطاقة يمكن أن تتحول إلى طاقة حرارية كالطاقة المتولدة نتيجة للتفاعل الكيماوي أو التحويل من الموجات الكهرومغناطيسية إلى طاقة كهربائية، أو كنتيجة لامتصاص بعض الإشعاعات كإشعاعات جاما. ويجب على القارئ أن يفرق جيداً بين الطاقة المتولدة والطاقة المخزونة وفيما يلي سوف نعالج بعض المشاكل الخاصة بانتقال الحرارة في الأشكال المختلفة عند وجود مصدر لتوليد الحرارة في داخل الجسم.

انتقال الحرارة خلال الحائط مع توليد حراري:

إذا اعتبرنا الحائط الموضح بشكل (2-15) والذي يكون فيه توليد الحرارة منتظم للحرارة لكل وحدة حجم أي أن   تكون ثابتة وأن درجة حرارة سطحي الحائط كما   فإن المعادلة العامة لانتقال الحرارة بفرض أن معامل التوصيل الحراري (k) ثابت تبسط لتكون على الصورة:

والحل العام يمكن الحصول عليه بتكامل المعادلة السابقة مرتين ويكون على الصورة:

حيث C1,C2 هما ثابتي التكامل، وكما سبق لإيجاد ثوابت التكامل نلجأ إلى استخدام الحالات الحدودية للإطار (Boundary conditions) الموضحة في شكل (2-12)كما يلي:

وعلى ذلك تكون قيمة C1,C2 هما:

وتكون معادلة توزيع درجات الحرارة على الصورة التالية:

انتقال الحرارة خلال جدار مع توليد منتظم للحرارة.

أما إذا كانت درجة حرارة سطحي الحائط واحدة كما في شكل (2-12ب) بمعنى أن  وهذا بالطبع يعني أن توزيع درجات الحرارة متماثل بالنسبة لمحور الحائط وبذلك تبسيط معادلة توزيع درجات الحرارة في داخل الحائط لتصبح على الصورة:

كما أن أقصى درجة حرارة تكون عند نقطة المنتصف أو عند محور الحائط (x=0):

و علي هذا يكون معادلة توزيع درجات الحرارة كما يلي :

وانه من المهم أن نشير هنا إلي انه في حالة التماثل المشار إليها سابقا (شكل 2-12ب) لا يوجد انحدار حراري عند خط التماثل بمعني أن ((dT/dx)x=0=0). 

وبالتالي فان هذا الحائط يمكن تمثيله بالسطح الاديباتيكي(Adiabatic surface) أو المعزول الموضح في شكل (2-12 ج) و احدي تطبيقات المعادلة(2-46) هو في حالة وجود حائط معزول تماما عن احد سطحيه (x=0) وان السطح الآخر(x=l) محفوظ عند درجة حرارة ثابتة(Ts) في أي من المعادلات السابقة يلزم أن تكون درجة حرارة السطح(Ts) معلومة لنا مسبقة لا مكان لاستخدام أي من هذه المعادلات ولكن في معظم الحالات فان درجة حرارة السطح (Ts) تكون غير معلومة في حين أن المعلوم لدينا هو درجة حرارة الوسط المحيط بهذا السطح (T∞) وعلي هذا يجب أن تقدر  Ts بمعلومية T∞  وهذا بطبيعة الحال يمكن أن يتم إذا طبقنا معادلة الاتزان الحراري عند السطح بفرض إهمال الإشعاع يكون معدل انتقال الحرارة بالتوصيل إلي السطح مساوي لمعدل انتقال الحرارة بالحمل من السطح إلي الوسط المحيط وعلي ذلك يكون:

 

من الملاحظ أن التفاضل  يمكن الحصول علية بتفاضل المعادلة (2-46) السابقة عند x = L ثم بالتعويض بقيمة  المتحصل عليها في المعادلة (2-49) فإننا نحصل علي معادلة توزيع درجات الحرارة عند السطح كما يلي :

مثال(2-13) :

حائط مكون من طبقتين A,B ويوجد توليد حراري في الجزء A بمعدل q=1.5×106w/m3 سمك الحائط A يكون 50mm ومعامل التوصيل الحراري له W/m.K  أما الحائط B سمكه 20mm ومعامل التوصيل الحراري له يكون kB=150 W/m.K  ويوجد به توليد حراري السطح الخارجي للطبقة A معزول تماما بينما السطح الخارجي للطبقة B تبرد بواسطة تيار مائي درجة حرارته 30°C و معامل انتقال الحرارة بين الماء و السطح الخارجي للحائطB يعادل 1000 W/m 2.K  احسب درجة حرارة السطحين الخارجيين للحائطين .

                                           الحل

سنبدأ الحل بعمل رسم تخطيطي للمسألة كما يلي :

 

سنقوم بعمل اتزان حراري عند السطح الخارجي للحائط B حيث أن الحرارة المنتقلة خلال هذا الحائط تنتقل بالحمل عند سطحه الخارجي و بالتالي فان :

وبعمل اتزان حراري آخر للحائط A وحيث انه معزول من احد جانبيه فان كل الحرارة المتولدة به تنتقل إلي السطح الآخر ومنها إلي الحائط B فان :

ومن المعادلتين نجد أن:

ومنها يكون :

ومن المعادلة (2-47) نجد أن :

ويمكن الحصول علي قيمة  T1 من المقاومة الحرارية الموضحة في الشكل التوضيحي السابق كما يلي :

 

و المقاومات لكل وحدة مساحة تحسب كالآتي :

                    

و بالتالي فان :

 

وبالتعويض في معادلة To السابقة يكون :

انتقال الحرارة خلال الأنظمة المحورية مع توليد حراري :

توليد الحرارة يمكن أن يحدث قي عديد من الأشكال المحورية اعتبر الاسطوانة الطويلة المصمتة الموضحة في شكل (2-13) و التي تمثل سلك يحمل تيار كهربي أو وحدة وقود في مفاعل نووي فان معدل توليد الحرارة في داخل الاسطوانة يجب أن يتساوى مع المعدل الذي تفقد فيه الحرارة من السطح إلي الوسط المحيط وذلك في حالة المعدلات الثابتة لانتقال الحرارة وفي هذه الحالة تكون درجة حرارة السطح محفوظة عند درجة حرارة (Ts).

شكل (2-13) انتقال الحرارة بالتوصيل خلال اسطوانة مصمتة مع وجود توليد حراري منتظم .

لإيجاد توزيع درجات الحرارة في داخل الاسطوانة في وجود حراري فإننا سوف نبدأ بالمعادلة العامة لانتقال الحرارة وعلي فرض أن معامل التوصيل الحراري (k) ثابت فان المعادلة العامة لانتقال الحرارة في الأشكال الاسطوانية تبسط إلي الصورة:

وبفرض أن توليد الحرارة منتظم و بفصل المتغيرات وتكامل المعادلة السابقة نحصل علي المعادلة :

و بفصل المتغيرات و إجراء التكامل مرة أخري نحصل علي المعادلة العامة لتوزيع درجات الحرارة:

ولإيجاد الثوابت C1,C2  فإننا سوف نطبق حالات الشروط الحدية (BC) الآتية :

B.C.1:

at        r = 0    

B.C.2:

At    r =0            

الحالة الأولي تحدث كنتيجة لحالة التماثل (symmetry) هذا يعني أن توزيع درجات الحرارة متساوي ومنتظم علي جانبي المحور ويكون الانحدار الحراري عند المحور يساوي صفر وعلي ذلك فان الثابتC1 يساوي صفر (C1=0) و بتطبيق الحالة الثانية فان :

وعلي ذلك تكون معادلة توزيع درجات لحرارة في حالة الاسطوانة هي:

وبالتعويض في المعادلة السابقة بدرجة الحرارة عند منتصف الاسطوانة المصمتة فإننا نحصل علي المعادلة التالية :

ثم بقسمة المعادلتين فإننا نحصل علي :

حيث أن  Toهي درجة الحرارة عند المحور .

ويمكن باستخدام المعادلة(2-53) إيجاد معادلة انتقال الحرارة و لوصف درجة الحرارة عند السطح  Ts بمعلومية درجة حرارة الوسط المحيط (T∞) فانه يلزم إجراء الاتزان الحراري عند السطح كما يلي :

و منها :

بنفس الطرق السابق يمكننا إيجاد توزيع درجات الحرارة في الاسطوانة المجوفة والكرة المجوفة و المصمتة وذلك باختيار المعادلة المناسبة لانتقال الحرارة و تطبيق حالات الإطار المناسبة (BC) وكنوع من التدريب علي مثل تلك الأنواع فان المثال التالي يبين كيفية استنتاج الحل العام لتوزيع الحرارة في اسطوانة مجوفة وما يطبق علي هذه الحالة سيطبق علي باقي الحالات .

مثال(2-14)

اسطوانة مجوفة طويلة سطحها الخارجي(عندro ) معزول تماما وسطحها الداخلي (عندr1 ) يبرد باستمرار كما يوجد توليد حراري في جسم الاسطوانة بمعدل q(W/m3) . استنج معادلة تصف توزيع درجات الحرارة لهذه الحالة .

                                        الحل

سنبدأ الحل كالعادة بعمل رسم تخطيطي للمسألة كما يلي :

كما هي العادة فانه لإيجاد معادلة توزيع درجات الحرارة فإننا سوف نبدأ بالمعادلة العامة لانتقال الحرارة و التي يتصف حالة الاسطوانة المجوفة إلي الصورة :

و بفصل المتغيرات و عمل التكامل يكون :

و بفصل المتغيرات :

ثم بعمل التكامل الثاني نحصل علي :

و يلزمنا شرطين من الشروط الحدية (BC) لنحصل علي قيمة المتغيرات C1,C2 و يمكن تطبيق تلك الحالتين عند السطح الخارجي (أي عند (r = ro حيث انه :

و حيث أن السطح الخارجي معزول فانه :

و بالتعويض بتلك الحالتين نحصل علي :

وكذلك :

 

ومنها :

وكذلك:

وعلي هذا فان معادلة توزيع درجات الحرارة تكون :

مثال(2-15):

         تيار شدته 200 أمبير يمر خلال سلك من الاستانلس ستيل معامل التوصيل الحراري له (k=19W/m.oC) و قطره 3mm و المقاومة النوعية للسلك    ميكروأوم.سم وطول السلك 1م ,غمس السلك في سائل علي درجة حرارة 110°C وتم انتقال الحرارة بالحمل مقداره 4kW/m2°C احسب درجة حرارة مركز السلك .

                                   الحل 

الحرارة المتولدة في السلك انتقلت بالحمل إلي السائل أي أن :

حيث R هي المقاومة الكهربية ومقاومة السلك يمكن أن تحسب كما يلي :

معدل التوليد الحراري Q يمكن إيجاده من P حيث P=l2R كما يلي :

وعلي ذلك فان درجة حرارة مركز السلك تصبح علي الصورة :

انتقال الحرارة في الأجسام الممتدة (الريش):

 Heat Transfer from Extended Surfaces (Fins)

للأجسام المتمددة تطبيقات عديدة في عمليات التبريد ونقل الحرارة و الأجسام المتمددة (الريش) عادة يشار إليها في حالة المواد الصلبة التي يحدث فيها انتقال للحرارة بالتوصيل في داخل الجسم بالإضافة إلي انتقال للحرارة بالحمل أو الإشعاع عند السطح الخارجي بين الجسم و الوسط  المحيط شكل(2-14) عبارة عن مثال للأجسام الممتدة و لتوضيح أهمية الأجسام الممتدة في الحياة العملية دعنا نفحص الحائط الموضح في شكل (2-15) والذي درجة حرارة سطحه (Ts)  ثابتة .

شكل (2-14): انتقال الحرارة بالتوصيل والحمل خلال سطح ممتد.

شكل (2-15): استخدام الاسطح الممتدة (اليش) لزيادة انتقال الحرارة من الحائط

هناك طريقتان يمكن استخدامها لزيادة معدل انتقال الحرارة من الحائط العدل في شكل (2-15أ) إلي الجو المحيط وذلك إما بزيادة معدل انتقال الحرارة بالحمل (h) وذلك بزيادة سرعة المائع الملامس أو خفض درجة حرارة المائع (T∞) أو كليهما ولكن زيادة التكاليف و الطاقة المستخدمة في إدارة المروحة في الطريقة الأولي تحدد أقصي سرعة للهواء و بالتالي تحدد المدى الذي يمكننا فيه زيادة معدل انتقال الحرارة أما الطريقة الثانية فهي غير عملية.

         ولكن بفحص الشكل (2-15 ب) فانه يظهر هناك احتمال ثالث أو طريقة ثالثة لزيادة معدل انتقال الحرارة وذلك بزيادة مساحة السطح الذي يتم فيه انتقال الحرارة بالحمل و يمكن أن يحدث هذا بعمل ريش ملامسة للسطح الناقل للحرارة و معامل التوصيل الحراري لهذه الريش يحدد توزيع درجات الحرارة خلال الريشة و بالتالي يحدد معدل انتقال الحرارة خلالها.

 و طبعا فان تطبيقات الريش في دورات تبريد الهواء في المحركات و الموتوسيكلات معروفة جيدا للقارئ .  هناك أشكال عديدة للريش بعضها موضح في شكل (3-16) الريش العدله (Straight fin) وهو عبارة عن سطح ممتد من حائط مساحة مقطعه قد تكون منتظمة أو متغيرة مع طول الريشة . مقطع الريشة يكون مستطيل مساحته تساوي سمك الريشة (T) في عرضها (w) . الريشة الدائرية (Annular fin) تكون متصلة عند محيطها باسطوانة و يختلف مساحة مقطعها باختلاف نصف القطر المقاس من مركز الاسطوانة وعموما في هذا النوع تحدد مساحة المقطع بحاصل ضرب المحيط (2πr) في سمك الريشة (T) . أما الريشة الدبوسية أو المدببة (pin fin) فهي عبارة عن سطح ممتط ذو مقطع دائري و مساحة المقطع أما أن تكون ثابتة أو متغيرة أيضا.

أشكال الريش.

التحليل العام لانتقال الحرارة بالتوصيل في الريش:     

 إن ما يهمنا كمهندسين في دراسة الأسطح الممتدة هو حساب كمية الحرارة التي يمكن لهذا السطح الممتد أن ينقلها لزيادة كمية الحرارة المنقولة من السطح إلي الجو المحيط . وكما سبق أن فعلنا في الأجزاء السابقة فإننا سوف نبدأ التحليل باختيار المعادلات المناسبة لانتقال الحرارة ثم بعد ذلك سوف نفرض بعض الفروض التي تسهل عملية الحل أو التحليل . فإذا اخترنا السطح الممتد الموضح في شكل (2-17) فإننا سوف نفرض أن انتقال الحرارة يكون في اتجاه واحد فقط هو اتجاه المحور (x) مع إهمال انتقال الحرارة في الاتجاهات الأخرى كما أننا سوف نفرض أن انتقال الحرارة بالحمل عند أي نقطة من سطح الريشة يتساوى أو يتزن مع كمية الحرارة التي تصل إلي تلك النقطة بالتوصيل وهذا الفرض طبعا يحتوي علي فرضين آخرين الأول هو أن انتقال الحرارة يكون بمعدل ثابت و الثاني انه لا يوجد انتقال للحرارة بالإشعاع عند السطح بالإضافة إلي أن معامل انتقال الحرارة بالحمل(h) يكون منتظم علي طول الريشة و بناء علي هذه الفروض و تطبيق معادلة الاتزان الحراري أو معادلة ثبات الطاقة علي الجزء الصغير الموضح بشكل (2-17) يتضح أن :

و لكن من قانون فورير فإننا نعلم أن:

حيث أن Ac هو مساحة مقطع الريشة و هو ممكن أن يكون متغير بتغير X , كما أننا نعلم أن معدل انتقال الحرارة عند السطح (x+dx) يمكن و صفه بواسطة المعادلة:

الاتزان الحرارى لسطح ممتد.

ومعدل انتقال الحرارة بالحمل يمكن التعبير عنه كما يلي :

حيث :

(dAs) : هو مساحة سطح الجزء الصغير المختار ، و بالتعويض بالمعادلات السابقة في معادلة الاتزان الحراري السابقة نحصل  علي :

المعادلة السابقة هي الصورة العامة لانتقال الحرارة في اتجاه و احد في سطح ممتد أو ريشة . و بحل هذه المعادلة فإننا نحصل علي معادلة توزيع درجات الحرارة في داخل الريشة . وهذه الأخيرة يمكن أن نفاضلها مرة أخري و تستخدم نتيجة التفاضل للحصول علي كمية لحرارة المنتقلة بالتوصيل في الاتجاه (x) .

انتقال الحرارة خلال الريش ذات مساحة مقطع ثابت :

حل المعادلة العامة السابقة يحتاج لمعلومات معينة عن شكل الريشة ولهذا سوف نبدأ بأبسط الحالات وهي حالة الريشة العدله و المدببة (Straight and Pin Fins) و التي مساحة مقطعها ثابتة كما هو موضح من شكل (2-18) . كل رشة تكون متصلة من احد طرفيها (ويسمي قاعدة أو Base ) بسطح درجة حرارته (Tco=Tb ) و تمتد بعد ذلك في مائع (Fluid) درجة حرارته (T∞) .

الريش ذات مساحة المقطع الثابت.

للريش الموضحة بالشكل فان مساحة المقطع (Ac) ثابت و المساحة السطحية للريشة:

As = p.x

حيث As يكون السطح مقاس من القاعدة إلي x

P هو محيط الريشة و بالتالي و بالتالي فان:

و كذلك

و علي هذا نبسط المعادلة العامة إلي

و يمكن أن تكتب المعادلة السابقة بصورة أكثر تبسيطا و ذلك بتعريف الفرق في درجات الحرارة "θ" كما يلي :

و لكن حيث أن  T∞ ثابتة فان:

بالتعويض بالقيم السابقة في المعادلة (2-55) نجد أن:

حيث:

المعادلة(2-58)هي معادلة خطية متجانسة و تفاضلية من الدرجة الثانية والحل العام لهذه المعادلة يأخذ الصورة :

لتقدير الثوابت C1,C2 فانه لمن الضروري أن تحدد ما يسمي حالات الإطار(Boundary conditions)   و احد هذه الحالات هي :

                 At x = 0                

أما الحالة الثانية بأنها تحدد عند حافة الريشة (Fin tip) عندx = L و من الممكن وصفها بأربع حالات كما يلي:

الحالة الأولي و جود حمل حراري عند حافة الريشة :

بتطبيق معادلة الاتزان الحراري عند جزء من سطح الريشة نجد أن:

 

أو:

هذا معناه أن معدل انتقال من الريشة إلي المائع بالحمل عند حافة الريشة لابد و أن يتساوى مع معدل انتقال الحرارة بالتوصيل خلال الريشة و بالتعويض في معادلة انتقال الحرارة بالريش السابقة نجد أن :

و كذلك

و بالحل لإيجاد C1,C2 ثم بالتعويض مرة أخري نحصل علي :

و توزيع درجات الحرارة في داخل الريشة يكون موضح في شكل (2-19) ويجب آن نلاحظ أن قيمة الانحدار الحراري تتناقص بزيادة x و هذا بطبيعة الحال نتيجة لتناقص معدل انتقال الحرارة بزيادة x الناتج عن استمرار نقل الحرارة بالحمل في الريشة و يمكن حساب معدل انتقال الحرارة بواسطة الريشة باستخدام معادلة فورير كما يلي:

انتقال الحرارة بالحمل والتوصيل فى ريشة منتظمة المقطع

   

وحيث  أن توزيع درجات الحرارة(θF) معروف لدينا فان معدل انتقال الحرارة qF يكون علي الصورة :

الحالة الثانية ريشة معزولة عند طرفيها :

وفيها نفرض أن انتقال الجرارة بالحمل من الطرف الخارجي (Tip) يمكن إهماله و بالتالي يكون :

بالتعويض من معادلة (2-61) و بالقسمة علي m نحصل علي :

باستعمال المعادلة السابقة مع معادلة (2-62) للحصول علي C1,C2 و بالتعويض مرة أخري في المعادلة (2-61) نحصل علي :

و معدل انتقال الحرارة يمكن حسابه بواسطة المعادلة التالية:

الحالة الثالثة درجة حرارة الريشة معلومة :

وهي الحالة التي يكون عندها درجة حرارة طرف الريشة الخارجي (Tip) معلومة و معني هذا أن  θ(L)= θL و بالتالي فان معادلة توزيع درجات الحرارة هي :

الحالة الرابعة ريشة لا نهائية :

و هي الحالة التي تسمي بحالة الريشة الطويلة (Very long fin) و عندها يكون

و بالتالي يكون

 

الجدول التالي هو ملخص للنتائج السابقة و يبين معادلات انتقال الحرارة و معادلات توزيع درجات الحرارة لكل من الحالات الأربع للريش :

جدول(2-3) : توزيع درجات الحرارة ومعدل انتقال الحرارة خلال الريش التي مساحة مقطعها ثابت.

معدل انتقال الحرارة    توزيع درجات الحرارة حالة الريشة(x=L)

                  حمل حراري :

ريشة معزولة

         درجة حرارتها معلومة

         e-mx   ريشة لا نهائية

بطبيعة الحال فان تحليل انتقال الحرارة بواسطة ريشة مساحة مقطعها متغير سوف يكون أكثر صعوبة. و لهذا السبب فإننا لن نتعرض لمثل هذه الحالات في هذا الكتاب.

مثال (2-16):

قضيب طويل جدا طوله 25mm احدي نهايتيه علي درجة حرارة 100°C و سطح القضيب معرض لهواء درجة حرارته 25°C و معامل انتقال الحرارة بالحمل بين الهواء و القضيب 10W/m2.K . احسب معدل الفقد الحراري من القضيب إذا كان مصنوعا من النحاس وكذلك إذا كان مصنوعا من الاستانلس ستيل ، إذا علمت أن معامل التوصيل الحراري للنحاس و الاستانلس ستل هما 398W/m.K و14W/m.K علي الترتيب.                                      

الحل

من معادلة الريشة اللانهائية الطول :

أ‌-       في حالة الريشة مصنوعة من النحاس

ب‌-     في حالة الريشة مصنوعة من الاستانلس ستيل :

أداء الريش Fin performance

كما ذكرنا مسبقا فان الغرض من استعمال الريش هو زيادة معدل نقل الحرارة من سطح معين وذلك بزيادة المساحة الفعالة الناقلة للحرارة. وعلي الرغم من ذلك فان الريشة نفسها تمثل مقاومة لانتقال الحرارة بالتوصيل من السطح الأصلي . ولهذا السبب فانه لا يوجد ضمان بان استخدام الريش سوف يزيد من انتقال الحرارة من سطح معين . ولهذا تقاس مقدرة الريشة علي زيادة معدل انتقال الحرارة بما يسمى بفاعلية الريشة (Fin effectiveness)εp وهي تعرف علي أنها النسبة بين معدل انتقال الحرارة بواسطة الريشة إلي نعدل انتقال الحرارة بدون الريشة بمعني أن:

حيث أن:

Ac :هي مساحة مقطع الريشة عند القاعدة.

و عموما فان قيمة εp يجب أن تكون اكبر ما يمكن و يعتبر استخدام الريش مفيد و مجزي إذا كانت εp اكبر من أو تساوي وبطبيعة الحال فان تعتمد برجة كبيرة علي نوع المادة المصنوع منها الريش . ويعتبر النحاس والألومونيوم أول ما يتبادر إلي الذهن عند التفكير في تصميم الريش . و لكن علي الرغم من أن النحاس يفوق الألومونيوم بالنسبة لمعامل التوصيل الحراري إلا أننا كمهندسين عادة نلج إلي الألومونيوم وذلك لاعتبارات اقتصادية . كما أن الألومونيوم اخف بكثير من النحاس و حيث أن فعالية الريشة تتأثر بالنسبة بين المحيط إلي مساحة مقطع الريشة لهذا السبب فإننا نفضل استخدام ريش رفيعة عديدة و الفراغات بينها صغيرة في كثير من التصميمات الهندسية .

هناك مقياس آخر لأداء الريشة هو كفاءة الريشة "Fin efficiency" ηf وهي تعرف كما يلي :

  

حيث :

Af : هي مساحة السطح الكلي للريشة .

ثم رسم كفاءة الريشة لثلاث أنواع من الريشة العدلة في شكل (2-20) في حين أن شكل (2-21)يمثل منحني كفاءة الريشة الدائرية و لاستخدام هذه المنحنيات مع معادلة كفاءة الريشة السابقة فانه يلزمنا حساب معدل انتقال الحرارة كما يلي :

للريشة العدلة:

للريشة الدائرية:

منحنى كفاءة الريشة المستقيمة (مستطيلة ، مثلثة ،منحنية).

منحنى كفاءة الريشة الدائرية.