عزم قوة بالنسبة لنقطة

عزم قوة بالنسبة لنقطة

يعرف عزم القوة ق بالنسبة للنقطة و بأنه حاصل

الضرب الاتجاهى ر × ق ويرمز له بالرمز ح

ح  = ر × ق

[ ر = و أ = أ – و  ]

وكذلك  ح = ق ل [ حيث ق هو معيار القوة ، ل طول العمود الساقط من و على ق ]

ومنه نجد أن ل = ــــــــــ

البرهان

ح = ر × ق

  ح   =   ر × ق = ر ق  جاهـ

ح = ق ( ر جاهـ ) = ق ل 

             إذا كانت ق = 2س -3ص تؤثر عند النقطة أ ( 1 ، 2 ) أحسب عزم هذه القوة بالنسبة الى

             نقطة الاصل و ثم أوجد طول العمود الساقط من و على خط عمل ق

ر = و أ = أ – و = (1 ، 2 ) – (0 ، 0 ) = (1 ، 2 )

 ح = ر × ق = ( 1 ، 2 ) × ( 2 ، -3 ) =( -3 – 4  ) ع = -7 ع

ل = ـــــــــ = ـــــــــــــ = ــــــــ × ــــــــ = ـــــــــــــ

             تؤثر القوة ق = 3س +2 ص فى النقطة أ = (2 ، -1 ) أوجد متجه عزم هذه القوة بالنسبة

             للنقطة ب = ( 1 ، 2 ) ثم أوجد طول العمود الساقط من النقطة ب على خط عمل ق

ر = ب أ = أ – ب = (2 ، -1 ) – (1 ، 2 ) = ( 1 ، -3)

جب = ر × ق = (1 ، -3 ) × (3 ، 2 ) = 2 +9 = 11 ع

ل = ـــــــــــ = ــــــــــــ = ـــــــ × ــــــــ = ــــــــــــــــــ

              تؤثر القوة ق = س +ص عند النقطة (-3 ، -3 ) أحسب عزم ق بالنسبة للنقة و ثم فسر

               النتيجة التى حصلت عليها

ر = و أ = أ – و = ( -3 ، -3 )

جو = ر × ق = (-3 ، -3 ) × ( 1 ، 1 ) = ( -3 +3 ) ع = 0

التفسير هو أن خط عمل ق يمر بالنقطة و لان عزم قوة بالنسبة لاى نقطة تقع على خط عملها = صفر

              تؤثر القوتان ق1 = س + ص  ، ق2 = م س – 2 ص فى النقطتين أ1 = (2 ، 0 )

            أ2 = (0 ، 2 ) على الترتيب عين قيمة الثابت م بحيث ينعدم مجموع عزمى هاتين القوتين

          بالنسبة لنقطة الاصل

ر1 = (2 ، 0 )    ، ر2 = ( 0 ، 2 )                   ( 2 – 0 ) ع +  ( 0 -2 م ) ع = 0

ج1 + ج2 = 0                                                   ( 2 – 2 م ) ع = 0

ر1 × ق1 + ر2 × ق2 = 0                                  2 – 2 م = 0                  2م = 2

(2 ، 0 ) × (1 ، 1 ) + (0 ، 2) × (م ، -2) = 0                      م = 1

              تؤثر القوتان ق1 = م س +2 ص ، ق2 = ل س – ص عند النقطتين أ1 = (1 ، 1 )

               ، أ2 = (-1 ، -2) على الترتيب عين قيمتى الثابتين م ، ل بحيث ينعدم مجموع عزمى

                 هاتين القوتين بالنسبة لنقطة الاصل وبالنسبة للنقطة (2، 3)

ر1 = ( 1 ، 1 )                 ر2 = (-1 ، -2)              (-2+2م ) ع + (3+5ل) ع = 0

ج1 + ج2 = 0                                                    ( 5 ل +2م +1 ) ع = 0

ر1 × ق1 + ر2 × ق2 = 0                                        5 ل +2م +1 = 0

(1 ، 1 ) × (م ، 2) + ( -1 ، -2) × ( ل ، -1) = 0        5ل +2 م = -1  (2)

(2 – م ) ع + (1+2ل) ع = 0                               بحل المعادلتين معا بضرب الاولى ×2

( 3 +2ل – م ) ع = 0                                         4 ل – 2م = -6

3 + 2ل – م = 0                                                5ل  + 2م =-1

2ل – م = -3                                                      ـــــــــــــــــــــــــ بالجمع

بالنسبة للنقطة (2 ، 3)                                            9ل = -7           ل =

ر1 = (1 ، 1 ) – (2 ، 3 ) = (-1 ، -2)                   بالتعويض فى المعادلة الاولى نجد أن

ر2 = (-1 ، -2) – (2 ، 3) = (-3 ، -5)                   

ج1 + ج2 = 0                                                        م =

ر1 × ق1 + ر2 × ق2 = 0

(-1 ، -2 ) × (م ، 2) + (-3 ، -5) × (ل ، -1) = 0

               إثبت أن مجموع عزوم عدة قوى متلاقية فى نقطة يساوى عزم المحصلة بالنسبة لهذه

               النقطة

البرهان

مجموع عزوم القوى حول و = ر× ق1 + ر × ق2 + ر× ق3 + ...... + ر × قن

           = ر × ( ق1 + ق2 + ق3 + ........... + قن ) = ر × ح

      

            القوى ق1 = 2س – ص ، ق2 = 5س +2 ص ، ق3 = -3س +2 ص تؤثر فى النقطة

            أ = (1 ، 1 ) برهن بإستخدام العزوم أن خط عمل المحصلة يوازى المستقيم المار بالنقطتين

           ب = ( 2 ، 1 )  ، ء = ( 6 ، 4 )

ح = (2 ، -1) + (5 ، 2 ) + (-3 ، 2 ) = ( 4 ، 3 )

نوجد عزم المحصلة عند ب ، ء

ر1 = ب أ = أ – ب = (1 ، 1 ) – (2 ، 1 ) = (-1 ، 0 )

جب = ر1 × ح = (-1 ، 0 ) × (4 ، 3 ) = ( -3 – 0 ) ع = -3 ع

ر2 = ء أ = أ – ء = (1 ، 1 ) – (6 ، 4 ) = ( -5 ، -3 )

جء = ر2 × ح = (-5 ، -3) × ( 4 ، 3 ) = ( -15 +12) ع = -3 ع

   جب = جء                     خط عمل المحصلة // ب ء

               القوى ق1 = 2س – ص ، ق2 = م س +2 ص ، ق3 = -3س +2ص تؤثر فى النقطة

               أ = (3 ، -2) فإذا كان خط عمل محصلة هذه القوى يوازى ب جـ حيث ب=(2 ، 7)

              جـ = (3 ، -4 ) فأوجد بأستخدام العزوم قيمة الثابت م

ح = (م – 1 ، 3 )                                                     9 م – 6 = -2م +2      

المحصلة // ب جـ                                                            9م +2م = 2 +6

جب = ججـ                                                                                                               11م = 8

رب × ح = رج × ح                                                                 م =

( 1 ، -9) × (م – 1 ، 3 ) = ( 0 ، 2 ) × ( م – 1 ، 3 )

3+9م -9 = -2م +2

              خط عمل القوة ق = م س +2ص يمر بالنقطتين أ = (2 ، -1 ) ، ب = (5 ، -3 ) أوجد

             (1) قيمة م           (2) المركبة الجبرية لـ ق فى أتجاه و أ

خط عمل ق يمر بالنقطتين أ ، ب    و أ = أ – و = (2 ، -1 ) – ( 0 ، 0 ) = ( 2 ، -1 )

ميل ق = ميل أ ب                       المركبة الجبرية لـ ق فى إتجاه و أ =

       = 

        =                                 = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ =            =

    -2 م = 6

        م = -3

               تؤثر القوة ق = س – ص  فى النقطة أ = (0 ، 3 ) وكانت النقط ب ، جـ ، ء هى (3 ، 0)

           (4 ، 3 ) ، ( -2 ، 1 ) على الترتيب . إثبت أن خط عمل ق يمر بنقطة ب وينصف جـ ء

جب = رب × ق  = (3 ، -3 ) × ( 1 ، -1 ) = -3 +3 = 0     ق يمر بنقطة ب

ججـ = رجـ × ق = (4 ، 0 ) × ( 1 ، -1)= -4 -0 = -4 ع

جء = رء × ق = (-2 ، -2 ) × ( 1 ، -1 ) = 2+2 = 4 ع

ججـ = - جء    [ خط عمل ق تنصف جـ ء ] 

               تؤثر القوة ق = م س + ن ص فى النقطة أ = (4 ، 2 ) فإذا كان عزمها بالنسبة للنقطة

              الاصل يساوى -15 ع ، وعزمها بالنسبة للنقطة ب = (0 ، 5 ) يساوى 15 ع فإوجد

               قيمتى م ، ن

جو = -15 ع                                     بحل المعادلتين معا

رو × ق = -15 ع                                4 ن – 2 م = -15

(4 ، 2 ) × ( م ، ن ) = -15 ع               4ن +3 م = 15

(4ن – 2 م ) ع = -15 ع                    ـــــــــــــــــــــــــــــــــ بالطرح

4 ن – 2 م = -15    (1)                          -5 م = -30 

جب = 15 ع                                                م = 6

رب × ق = 15 ع                                بالتعويض فى المعادلة الثانية

(4 ، -3 ) × ( م ، ن ) = 15 ع               4 ن + 3 × 6 = 15

( 4ن + 3 م ) ع = 15 ع                         4ن = 15 – 18 = -3

4ن +3 م = 15  (2)                                    ن =

             إذا كانت ق1 = 14 س +4 ص ، ق2 = ل س +6 ص قوتان مجموع عزميهما حول النقطة

             و يساوى -40 ع ، ومجموع عزميهما حول النقطة ب = ( 0 ، 9 ) يساوى 176 ع  أوجد

             قيمة الثابت ل 0

ح = ( 14 + ل ، 10 ) وتؤثر فى ( س ، ص )       بطرح 2 من 1 نجد أن

جو = -40 ع                                                 10 س – 14 ص – ص ل = -40

رو × ح = -40 ع                                            10س – 14 ص – ص ل +9 ل = 50

( س ، ص ) × ( 14 + ل ، 10 ) = -40 ع           ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

10 س – 14 ص – ص ل = -40  (1)                                                  9ل = 90

جب = 176 ع                                                                                    ل = 10

رب × ح = 176 ع

( س ، ص – 9 ) × (14+ل ، 10 ) = 176

10س – (ص – 9 )(14+ل) = 176

10س – 14ص – ص ل +126 +9 ل = 176

10س – 14 ص – ص ل +9ل = 50

             القوة ق = ل س + م ص ، تؤثر فى النقطة أ = (1 ، -4 ) ومتجه عزمها بالنسبة للنقطة

            ب = (-1 ، 3 ) يساوى 13 ع ، وبالنسبة للنقطة ( 2 ، -1 ) هو المتجه الصفرى عين

            معيار ق وأتجاهها 

جب = 13 ع                                  ل = 1

رب × ق = 13 ع                          بالتعويض فى المعادلة الاولى نجد أن م = 3

(2 ، -7) × ( ل ، م ) = 13 ع           ق = ( 1 ، 3 )

2م + 7 ل = 13   (1)                    ق    =    1 + 9 =   10

ججـ  = 0            

رجـ  × ق = 0                                 ظاهـ =      = 3

(-1 ، -3 ) × ( ل ، م ) = 0

- م +3 ل = 0     ×2                        ق( هـ ) =

-2م + 6 ل = 13  (2)

بالجمع نجد أن 13 ل = 13

               إذا كان عزم القوة ق حول كلا من النقط و (0 ، 0 ) ، ب = (1 ، 0 ) ، جـ =(0 ، 3)

               يساوى على الترتيب 18 ، 12 ، 27 وحدة عزم أوجد ق ومعادلة خط عملها .

نفرض أن ق = ( أ ، ب ) وتؤثر فى ( س ، 0)     3 أ = 27 – 18 = 9

جو = 18 ع                                                    أ = 3

رو × ق = 18 ع                                         ق = (3 ، 6 ) وتؤثر فى النقطة ( 3 ، 0 )

( س ، 0 ) × ( أ ، ب ) = 18 ع                     معادلة خط عملها

س ب = 18   (1)

جب = 12ع                                                                 =    = 2

رب × ق = 12ع

( س -1 ، 0) × ( أ ، ب ) = 12                     2س – 6 = ص

س ب – ب = 12                                        2س – ص = 6

بالتعويض من 1

18 – ب = 12

   ب = 6

بالتعويض فى 1

س × 6 = 18

س = 3

ججـ = 27

رجـ × ق = 27 ع

( س ، -3 ) × ( أ ، ب ) = 27

س ب+ 3 أ = 27

18 + 3 أ = 27

              أوجد القياس الجبرى لعزم قوة مقدارها 10  5 ث جم وتعمل فى أ ب حيث أ = ( 1 ، 2)

               ب = ( 3 ، 3 ) بالنسبة لنقطة الاصل

أ ب = ب – أ = (3 ، 3) – (1 ، 2) = (2 ، 1)        جو = ر × ق

ق // أ ب         

ق = ك أ ب = ك (2 ، 1 ) = (2ك ، ك )                     = (1 ، 2 ) × ( 20 ، 10) 

10  5 =    4ك2 + ك2                                             = 10 – 40 = -30 ع

10  5 =    5 ك2

10  5 =  5  ك

   10 = ك

ق = (20 ، 10)

              إذا كانت و هى نقطة الاصل ، أ = ( 7 ، -2 ) ، ب = ( 1 ، 8) نقطتان فى مستوى

               الاحداثيات والقوة ق فى المستوى ووجد أن جو = 9 ع   ، جأ = - جب = -14 ع أوجد

             (1) معيار ق                        (2) معادلة خط عمل هذه القوة

      جأ = - جب                                               12م – 9 ل = 27

ق تمر بمنتصف أ ب                                         -12م -20 ل = -56

منتصف أ ب = (        ،          ) =(4، 3)            ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

ق = ( ل ، م ) وتؤثر فى (4 ، 3 )                              -29 ل = -29

جو = 9 ع                                                              ل = 1

رو × ق = 9 ع                                              بالتعويض فى المعادلة الاولى

( 4 ، 3 ) × ( ل ، م ) = 9 ع                          12 م – 9 (1) = 27         

4 م – 3 ل = 9    (1)                                   12م = 27+9=36                م = 3

جأ = -14 ع                                                 معادلة ق

رأ × ق = -14 ع                                                             =

(-3 ، 5 ) × ( ل ، م ) = -14 ع                         3س – 12 = ص – 3

-3م – 5 ل = -14                                           3س – ص = -3+12

بضرب الاولى × 3 والثانية × 4                            3س – ص = 9

(أجـ)2 = ( أ ب)2 + (ب جـ)2                            أ ء =       ل

                                                                أ م =        ل      لان أ م =        أ ء

                                                                م ء =       ل        لان   م ء =     أ ء

                                                               

أ ء =                                                         أ جـ =  2  ل

الضلع المقابل لـ 30 =      طول الوتر

الضلع المقابل لـ 60 =       طول الوتر

                                                                ب س = ء ص =

                                                               طول العمود الساقط من ء على ق = 2 ب س              

الضلع المقابل لـ 45 =      الوتر

الوتر = الضلع ×   2

                                                             جو = ق ل

                                                             (أتجاه الدوران ضد عقارب الساعة)

أ جـ = ب ء = ء و = و ب = أ هـ =  3  ل

العمود الساقط من المركز على أى ضلع            جو = - ق ل

     =         ل

العمود الساقط من أ على ب جـ =       ل           أتجاه الدوران مع عقارب الساعة

         

                                                             ملحوظة :-

                                                              إذا كانت القوة تمر بنقطة ينعدم عزمها عند هذه

                     

                                                              النقطة

 ع1 × أ ب = ع2 × ب جـ = م

النظرية العامة للعزوم

  

إذا كانت لمجموعة من القوى المستوية المؤثرة على جسم متماسك محصلة فإن المجموع الجبرى لعزوم القوى حول نقطة يساوى عزم المحصلة حول نفس النقطة

نتائج

(1) المجموع الجبرى لعزوم مجموعة من القوى حول أى نقطة على خط عمل المحصلة = صفر

(2) إذا كان المجموع الجبرى لعزوم مجموعة من القوى حول نقطة يساوى صفرا فان هناك أحتمالان

الاول : أن يكون مقدار المحصلة = صفر

الثانى : أن يكون خط عمل المحصلة يمر بهذه النقطة .

             أ ب جـ مثلث فيه أ ب = 3سم ، ب جـ = 4سم ، أ جـ = 5سم أثرت قوى مقاديرها 5 ، 10

            ، 15 فى أ ب ، ب جـ ، جـ أ على الترتيب أوجد المجموع الجبرى لعزوم هذه القوى حول

            كلا من أ ، ب ، جـ

( أ جـ )2 = ( أ ب )2 + ( ب جـ )2

ق ( ب ) = 90 ْ

جأ = -10 × 3 = - 30

ب ء =            = 2.4

جب = -15 × 2.4 = - 36

ججـ  = -5 × 4 = -20

             أ ب جـ ء شبه منحرف قائم الزاوية فى ب ، أ ء // ب جـ ، أ ب = 8سم ، ب جـ = 15 سم

            ، أ ء = 9 سم أثرت قوى مقاديرها ق ، 44 ، 68 ث جم فى ء أ ، ء جـ ، أ جـ على الترتيب

              إذا كان خط عمل محصلة هذه القوى يمر بنقطة ب فأوجد قيمة ق

(أ جـ)2 = 64 + 225 = 289

 أ جـ = 17سم

ب س =              =

ب م = ب جـ جاى = 15 ×      = 12 سم

المحصلة تمر بنقطة ب                                  

جب = 0                                                       - 8 ق +1008 = 0

- ق × 8 + 68 ×           + 44 × 12 = 0         - 8 ق = - 1008

- 8 ق + 480 + 528 = 0                                 ق = 126

               أثرت القوى الاربع 200 ، 200 ، 300 ، 100 نيوتن فى قضيب أ ب طوله 120سم

              كما بالشكل المقابل أوجد المجموع الجبرى لعزوم القوى حول أ ، ب ، منتصف القضيب

    

جأ = 200 × 40 – 300 × 80 – 100 × 120 = -28000

جب = -200 × 40 -200 × 40 – 100 × 120 = - 28000

جم = -200 × 20 – 200 × 60 – 300 × 20

     - 100 × 60 = -28000

             أثرت القوى 6 ، 8 ، 2  2 ، 12 ث كجم فى قضيب طوله أ ب طوله 60سم كما هو مبين

              بالشكل حيث م منتصف القضيب أوجد المجموع الجبرى لعزوم هذه القوى حول جـ التى  

                تبعد 15 سم عن الطرف ب 

جـ ء = 15 جا45 = ـــــــ

ججـ = 12 × 15 + 2  2 × ـــــــ + 8 × 45 = 180 +30 + 360 = 570 ث كجم . سم

                أ ب جـ ء هـ و مسدس منتظم طول ضلعه 10سم أثرت القوى التى مقاديرها 3 ، 4 ، 5

                ، 6 ، 7 ، 8 فى أ ب  ، جـ ب ، ء جـ ، ء هـ ، هـ و ، و أ على الترتيب أوجد المجموع

                الجبرى لعزوم هذه القوى حول  أ ، مركز المسدس

أ س = أ ص = ل جا60 = 10 ×     = 5  3

أ جـ = أ هـ = 10  3

جأ = -4 × 5  3 -5 × 10  3 +6 × 10  3 +7 × 5  3

    = - 20  3 -50  3 +60  3 +35  3 = 25  3

جم = 3× 5 3 -4 × 5 3 - 5 × 5 3 +6 × 5 3 +7 × 5 3 +8 × 5 3

     = 15 3 – 20 3 – 25 3 +30 3 +35  3 +40 3 = 75  3

              أ ب جـ ء معين طول ضلعه 12 سم ، ق( أ ) = 60 ْ أثرت القوى 11 ، 6 ، 5 ، 7 نيوتن

              فى ب أ ، ب جـ ، ء جـ ، ء ب على الترتيب . أوجد المجموع الجبرى لعزوم هذه القوى

             (1) حول أ                           (2) حول نقطة تقاطع قطرى المعين

      

أ س = جـ ص = 12 جا60 = 6  3

العزم حول أ

جأ = 6 × 6  3 -5 × 6  3 -  7 × 6  3

    = 36  3 – 30  3 - 42   3 = -36  3

العزم حول م

البعد عن المركز = م ن =                = 3   3

جم = -11 × 3   3 +6 × 3   3 – 5 × 3   3 = -33   3 +18   3 – 15   3 = - 30  3

              أ ب جـ مثلث متساوى الاضلاع طول ضلعه 20 سم تؤثر القوى 100 ، 200 ، 300

              نيوتن فى أ ب  ، ب جـ ، أ جـ على الترتيب أوجد المجموع الجبرى لعزوم هذه القوى

               (1) حول نقطة تقاطع أرتفاعات المثلث          (2) منتصف ب جـ

م ء = م س = م ص = 10 جا30 = 5

العزوم حول م

جم = - 100 × 5 – 200 × 5 +300 × 5 = صفر

العزم حول منتصف ب جـ (س)

س و = س هـ = 10 جا60 = 5  3

جس = -100 × 5  3 +300 × 5   3 = 1000  3

               ثنى قضيب أ ب طوله 100سم عند نقطة منتصفه م بحيث أصبح أ م عموديا على م ب

               أثرت قوى مقاديرها 10 ، 20 ، 30  2 ث كجم عند الطرفين أ ، ب كما هو مبين بالشكل

               ماهو مقدار القوة ق التى يجب أن تؤثر عند منتصف م ب وفى الاتجاه الموضح بحيث

                ينعدم المجموع الجبرى لعزوم القوى حول نقطة م

م جـ = 50 جا45 = 25  2

جم = 0

- 10 × 50 +25 × ق – 20 × 50 – 30  2 × 25  2 = 0

25 ق = 3000

ق = 120 ث كجم

               أ ب جـ ء مربع طول ضلعه 6سم أثرت قوى مقاديرها 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، ق نيوتن فى أ ب

               ، ب جـ ، جـ ء ، ء أ ، أ جـ على الترتيب إذا كان خط عمل محصلة هذه القوى يمر بنقطة

               هـ  ب جـ حيث ب هـ = 1سم أوجد قيمة ق

هـ ن = 5جا45 =               سم

المحصلة تمر بنقطة هـ 

جهـ = 0

-1 × 1 -3 × 5 -4 × 6 + ق ×             = 0

                   ق = 40    

ق = ــــــــــ × ـــــ =             = 8   2

              أ ب جـ مثلث فيه ق(ب) = 90 ْ ، ق ( أ ) = 60 ْ ، ب جـ = 6سم . أثرت القوتان 6 ، 4

               نيوتن فى ب أ ، جـ أ على الترتيب أوجد نقطة ء  تنتمى ب جـ   وتجعل المجموع الجبرى

              لعزمى هاتين النقطتين عندها يساوى صفر  

جء = 0

6 × ب ء – 4 ×     ء جـ = 0

6 ب ء – 2 ء جـ = 0

3ب ء – ء جـ = 0

3ب ء = ء جـ

ب ء =        ء جـ

ب ء =      ب جـ =      × 6 = 1.5 سم

             أ ب جـ ء مستطيل فيه أ ب = 8سم ، ب جـ = 12 سم أثرت القوى التى مقاديرها 16 ، 14

               ، ق ، ك ث جم فى أ ب ، جـ ب ، جـ ء ، أ ء على الترتيب فإذا كان المجموع الجبرى لعزوم

              هذه القوى حول كل من جـ ومركز المستطيل يساوى صفر أوجد ق ، ك

ججـ = 0

-16 × 12 +ك × 8 = 0

8 ك = 16 × 12

    ك = 24 ث جم

جم = 0

-16 × 6 +14 × 4 – ق × 6 + ك × 4 = 0

- 96 + 56 – 6 ق + 4 ك = 0

- 40 = 6 ق – 4 ك                                    56 = 6 ق

- 40 = 6 ق – 4 × 24                             

- 40 + 96 = 6 ق                                     ق =        =

               تؤثر خمس قوى مقاديرها 100 ، 200 ، 300 ،             ، 400  2  فى مربع

              أ ب جـ ء طول ضلعه متر كما هو مبين بالشكل

(1) عين المجموع الجبرى لعزوم هذه

      القوى حول جـ

(2) ما هى القوة التى يجب أن تؤثر عند

      منتصف جـ ء وفى أتجاه عمودى عليه

       حتى ينعدم هذ1 المجموع 

جـ س = 100 جا45 = 100 ×      = 50  2

جـ ص = 100 جا60 = 50  3

ججـ = - 100 × 50 + 400  2 × 50  2 – 300 × 100 +200 × 100 -        × 50  3

    = - 5000 + 40000 – 30000 + 20000 – 10000 = 15000 نيوتن . سم

   = 150 نيوتن . م

لايجاد القوة التى تؤثر فى جـ ء وفى أتجاه عمودى عليه حتى ينعدم هذا المجموع

ججـ = 0         - ق × 50 + 150000 = 0

- 50 ق = - 150000                 ق = 300 نيوتن وفى الاتجاه الموضح (لداخل المربع)

              أ ب جـ مثلث متساوى الاضلاع طول ضلعه 12 سم أثرت القوى التى مقاديرها 20 ، 30

                ، 40 فى أ ب ، ب جـ ، أ جـ على الترتيب أوجد المجموع الجبرى لعزوم هذه القوى حول

              (1) أ                   (2) منتصف ب جـ              (3) نقطة تلاقى متوسطات المثلث

جأ = 30 × 6  3 = 180  3 نيوتن . سم

أ م =      أ ء = 4  3

جء = - 40 × 3   3 +20 × 3  3

    = - 60   3   نيوتن . سم

جم = - 40 × 2  3 +30 × 2  3 +20 × 2  3

     = 20  3  نيوتن . سم

              أ ب جـ ء متوازى أضلاع فيه ق( أ ) = 45 ْ ، ق ( أ ء ب ) = 90 ْ ، أ ء = 6سم أثرت

              القوى 50  2 ، 30  2 ، 20 ، ق نيوتن فى أ ب ، جـ ء ، ء أ ، ء ب أوجد ق إذا علم أن

               المحصلة تمر بنقطة أ .

ع =            = ـــــ × ـــــ = ـــــــــــ = 3  2

المحصلة تمر بنقطة أ

جأ = 0

- ق × 6 + 30  2 × 3  2  = 0  

- 6 ق + 180 = 0

- 6 ق = - 180

      ق = 30 نيوتن

             أ ب جـ  مثلث متساوى الساقين فيه ق(ب) = 120 ْ ، أ جـ = 12  3 . أثرت قوى مقاديرها

             6 ، 7 ، 8  3 نيوتن فى أ جـ ، جـ ب ، أ ب على الترتيب أوجد مجموع عزوم هذه القوى

             حول منتصف ب جـ

جـ و = ب جـ جا60

6  3 = ب جـ ×

ب جـ = 12 سم

ء م = م ب جا60 = 6 جا60 = 3  3

جم = 8  3 × 3  3 – 6 × 3 = 72 – 18 = 54 نيوتن . سم

               أ ب جـ مثلث قائم الزاوية فى ب فيه أ ب = 6سم ، ب جـ = 8سم أثرت قوة ق فى مستوى

               المثلث بحيث جأ = جب = 60 نيوتن . سم ، ججـ = - 60 نيوتن . سم أوجد مقدار ق وخط

               عملها

جأ = - ججـ  المحصلة تمر بمنتصف أ جـ

جب = - ججـ    المحصلة تمر بمنتصف ب جـ

ججـ = - 60

- ح × 4 = - 60

- 4 ح = - 60                  ح = 15 نيوتن

            أ ب جـ ء مستطيل فيه أ ب = 9سم ، ب جـ = 12 سم أثرت مجموعة من القوى فى مستوى

             المستطيل فإذا كان المجموع الجبرى لعزوم القوى حول أ ، جـ تساوى 72 نيوتن . سم

             ومجموع عزوم القوى حول ب = - 72 نيوتن . سم أثبت أن خط عمل المحصلة يوازى أ جـ

             ويمر بمنتصف أ ب ، ب جـ ثم أوجد مقدار المحصلة .

ع =                = 3.6

جأ = جب    المحصلة // أ جـ

جأ = - جب  المحصلة تمر بمنتصف أ ب

جب = - ججـ    المحصلة تمر بمنتصف ب جـ

جب = - 72

- ح × 3.6 = - 72

          ح = 20 نيوتن