إتزان جسم تحت تأثير مجموعة من القوى المستوية المتلاقية فى نقطة

إتزان جسم تحت تأثير مجموعة من القوى المستوية المتلاقية فى نقطة

إتزان نقطة مادية ( جسيم متناه فى الصغر ) تحت تأثير قوتين :

قاعدة : إذا أتزن جسم تحت تأثير قوتين فقط كانت القوتان :-

(1)    متساويتان فى المقدار

(2)    متضادتان فى الاتجاه

خط عملهما على أستقامة واحدة

من أمثلة توازن جسم تحت تأثير قوتين

(1) إذا علق ثقل (و) بحبل خفيف من نقطة فإنه يتزن

      تحت تأثير قوتين هما وزن الجسم والشد فى الحبل

(2) إذا وضع جسم على نضد أفقى أملس فإنه يتزن

      تحت تأثير قوتين هما الوزن ورد فعل النضد على الجسم 

قاعدتان هامتان

(1) إذا أثر على جسم متماسك قوتان متساويتان فى المقدار وفى إتجاهين متضادين وفى نفس الخط

       المستقيم فإنه لا يكون لهما أى تأثير على الجسم من ناحية السكون أو الحركة

(2) القوى المتبادلة الناتجة عن تأثير جسم على أخر تكون دائما متساوية فى المقدار ومتضادة فى

      الاتجاه وهذا هو القانون الثالث لنيوتن والذى ينص على أنه

لكل فعل رد فعل مساو له فى المقدار ومضاد له فى الاتجاه

تنبيه

1- إذا مر خيط خفيف على بكرة ملساء فان مقدار

     الشد فى الخيط لا يتغير بمروره على البكرة

2- إذا مر خيط خفيف فى حلقة ملساء فإن مقدار

      الشد فى الخيط لا يتغير بمروره داخل الحلقة

إتزان جسم تحت تأثير ثلاث قوى

قاعدة مثلث القوى

      إذا أتزن جسم تحت تأثير ثلاث قوى متلاقية فى نقطة ورسم مثلث أضلاعه توازى خطوط عمل القوى وفى أتجاه دورى واحد فإن أطوال أضلاع المثلث تكون متناسبة مع مقادير القوى المناظرة

ــــــــــــ = ـــــــــــــ = ــــــــــ

إذا أتزن جسم تحت تأثير ثلاث قوى متلاقية فى نقطة فان مقدار كل قوة يتناسب مع جيب الزاوية المحصورة بين القوتين الاخريين

***************************************************************

قاعدة لامى:-

ـــــــــــ = ـــــــــــ = ــــــــــــ

***********************************************

قاعدة هامة:-

إذا إتزن جسم تحت تأثير ثلاث قوى مستوية بحيث التقى خط عمل قوتين منهما فى نقطة فإن خط عمل القوة الثالثة لابد وأن يمر بنفس النقطة .

            علق ثقل مقداره 100 ث جم بخيطين طوليهما 30سم ، 40 سم من نقطتين فى خط أفقى

             واحد البعد بينهما 50 سم . أوجد مقدار الشد فى كلا من الخيطين

من فيثاغورث

(أب)2 = (30)2 + (40)2 = 2500

أ ب =   2500 = 50 سم

ـــــــــ = ـــــــــــ = ـــــــــــــ

ش1 = 100 جاهـ1 = 100 ×        = 60 ث جم

ش2 = 100 جاهـ2 = 100 ×         = 80 ث جم

            خيط خفيف طوله 24سم ثبت طرفه أ فى نقطة ثابتة وعلق وزن مقداره 100 ث جم من

            طرفه الاخر ب أوجد مقدار القوة اللازمة لحفظ الوزن على بعد 12سم من الخط الافقى المار

             بنقطة أ فى الحالتين

(1) إذا كانت القوة المؤثرة أفقية                      (2) إذا كانت القوة المؤثرة عمودية على أ ب

                  

(1) إذا كانت القوة أفقية

   أ ب جـ هو مثلث القوى

(أ ب)2 = (24)2 – (12)2 = 12 × 36

أ ب = 12  3

ـــــــــــ = ـــــــــــ = ــــــــــــــ

ش2 =                    = 200 ث جم

ق =                         = 100   3

(2) إذا كانت القوة عمودية على الخيط

ـــــــــ = ــــــــــــــ = ــــــــــــ

ق = 100 جا120 = 100 ×        = 50  3

ش = 100 جا150 = 100 ×        = 50

              وضع جسم وزنه 6 ث كجم على مستوى مائل أملس يميل على الافقى بزاوية قياسها 30 ْ

             وحفظ توازنه بواسطة قوة أوجد هذه القوة ورد فعل المستوى فى الحالتين الاتيتين

(أولا) القوة أفقية                                     (ثانيا) القوة تميل على المستوى بزاوية قياسها 30 ْ

(أولا ) بتطبيق قاعدة لامى

ـــــــــــ = ــــــــــــ = ـــــــــــــ

ق =                 = ـــــــــــــــــــ = ـــــ × ـــــ  = 2  3

ر =                = ـــــــــــــــــ  = ــــــــ × ــــــ =             = 4  3

(ثانيا) بتطبيق قاعدة لامى

ـــــــــــ = ــــــــــــ = ــــــــــــ

ق =                 = ـــــــــــــــــــــ = ــــــ × ــــــ = 2  3

ر = ـــــــــــــــــــ =   ــــــــــــــــ = ـــــــ × ــــــ = 2  3

          علق جسم وزنه 6.5 نيوتن بواسطة خيطين طول أحدهما 0.5 متر ،1.2 متر وربط الخيطين        فى نقطتين من مستقيم أفقى بحيث كانا متعامدين . أوجد مقدار الشد فى كلا من الخيطين.                                                                                                                       

( أ ب)2 = (50)2 + (120)2 = 16900

أ ب =   130 سم                          

ــــــــــــــــــــــــــــــ = ــــــــــــــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــ

ــــــــــــ = ـــــــــــــ = 6.5         

ش1 = 6.5 جاهـ2 = 6.5 ×          = 6 نيوتن

ش2 = 6.5 جاهـ1 = 6.5 ×        = 2.5 نيوتن

             وضع جسم وزنه 60 نيوتن على مستوى أملس يميل على الافقى بزاوية قياسها 30 ْ وشد

             الى أعلى المستوى بخيط فى أتجاه خط أكبر ميل للمستوى لاعلى أوجد مقدار الشد فى الخيط

             ورد فعل المستوى

   بتطبيق قاعدة لامى

ـــــــــــــ = ـــــــــــــــ = ـــــــــــ

ش = 60 جا150 = 60 ×        = 30 ث جم

ق = 60 جا120 = 60 ×       = 30   3       

               أزيحت كرة بندول وزنها 1 نيوتن حتى صار الخيط يصنع 30 ْ مع الرأسى تحت تأثير قوة

               على الكرة فى أتجاه عمودى على الخيط …. أوجد القوة والشد فى الخيط

بتطبيق قاعدة لامى

ـــــــــــــ = ـــــــــــــ = ـــــــــــــ

ق = 1 × جا150 = 1 ×      =

ش = 1 × جا120 = 1 ×        =

             علق وزن(و) نيوتن بواسطة خيطين يميل أولهما على الرأسى بزاوية قياسها هـ ويمر على

              بكرة صغيرة ملساء ويحمل فى نهايته الاخرى وزنا مقداره 12 نيوتن ويميل الثانى على

               الرأسى بزاوية قياسها 30 ْ ويمر على بكرة صغيرة ملساء ويحمل فى نهايته الاخرى وزنا

              مقداره 8 نيوتن أوجد مقدار الوزن و وقياس هـ  

بتطبيق قاعدة لامى

ــــــــــــــــــــــــ = ــــــــــــــــــــ = ــــــــــــــــــــ

ــــــــــــ = ــــــــــــــــ = ــــــــــــــــــــــ

جاهـ = ـــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــ =       =        ق(هـ) = 28 / 19 ْ

30  + هـ = 30+ 28 / 19 ْ =   28/ 49 ْ

و = ـــــــــــــــــــــــــــــ =  ــــــــــــــــــــــــ = 18.4 نيوتن

             جسم وزنه 400 ث جم معلق من نقطة أ بواسطة خيط . ربط خيط فى نقطة ب من الخيط

            وشد أفقيا بخيط ثان ب جـ يمر على بكرة صغيرة ملساء مثبتة ويتدلى فى نهايته ثقل مقداره

             300 ث جم . أوجد ميل أ ب على الراسى والشد فى كل من الخيطين أ ، ب

نظرا لان البكرة ملساء فان الشد فى طرفى الخيط متساو(قبل وبعد البكرة)

ش1 = 300

ـــــــــــــ = ــــــــــــــــــــــ = ــــــــــــ

ـــــــــــ = ـــــــــــ = ش2

من النسبتين الاولى والثانية نجد أن

         =               ظاهـ =

ش2 = ــــــــــ = 300  ×      = 500

             علق وزن مقداره 72 ث جم فى أحد طرفى خيط وثبت الطرف الثانى للخيط فى نقطة أ على

             حائط رأسى . ربط خيط ثان عند نقطة ب من الخيط الاول تبعد عن أ 25سم  وشد فى أتجاه

            أفقى حتى صارت النقطة ب تبعد عن الحائط 7سم . أوجد قوة الشد فى الخيط الافقى وكلا من 

             جزئى الخيط الثانى . 

              

      أ ب جـ هو مثلث القوى

أجـ =   (25)2 – (7)2 = 24

ـــــــــــ = ــــــــــــ = ــــــــ

ق =               = 21 ث جم

ش =                = 75 ث جم

               ربط أحد طرفى خيط فى نقطة على سطح كرة متجانسة وربط الطرف الاخر فى نقطة من

             حائط رأسى أملس فإذا أتزنت الكرة بحيث يلامس سطحها الحائط . أوجد الشد فى الخيط ورد

               فعل الحائط  على الكرة إذا علم أن وزنها 30 ث جم ويؤثر فى مركزها وأن الخيط يميل

              على الرأسى بزاوية قياسها 30 ْ 

بتطبيق قاعدة لامى

ــــــــــــــ = ـــــــــــــــ = ــــــــــــــ

ر = ـــــــــــــــــــــ = ــــــــــــــــــ = ـــــــ × ــــ = ـــــــــــ = 30 3

ش = ـــــــــــــــــــ = ـــــــــــــ = ــــــ× ـــــــ = ــــــــــــ = 20  3

             علق قضيب منتظم طوله متر ووزنه 30 نيوتن من طرفيه بخيطين ثبت طرفاهما فى نقطة

             واحدة فى السقف فإذا كان الخيطين متعلمدين وكان طول أحدهما 60 سم فما هو مقدار الشد

              فى كلا من الخيطين عندما يكون القضيب معلقا تعليقا مطلقا وفى حالة أتزان .

بتطبيق قاعدة لامى

ـــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــــــــ = ــــــــــــ

    

ـــــــــــ = ـــــــــــ = 30

ش1 = 30 جتاهـ = 30 ×         = 24 ث جم

ش2 = 30 جاهـ = 30 × ـــــــــ = 18  ث جم

             كرة ملساء وزنها 15 نيوتن تستند على حائط رأسى أملس ومعلقة بخيط مثبت أحد طرفيه

            من نقطة على سطحها وطرفه الاخر مربوط فى الحائط فى نقطة أعلى نقطة تماس الكرة

            تماما فإذا كان طول الخيط يساوى طول نصف قطر الكرة . أوجد الضغط على الحائط والشد

             فى الخيط   

بتطبيق قاعدة لامى

ــــــــــــــ = ـــــــــــــــ = ــــــــــــــ

ر = ـــــــــــــــــــــ = ــــــــــــــــــ = ـــــــ × ــــ = ـــــــــــ = 5   3

ش = ـــــــــــــــــــ = ـــــــــــــ = ــــــ× ـــــــ = ــــــــــــ = 10  3

             كرة مصمتة ترتكز على قضيبين متوازيين يقعان فى مستوى أفقى واحد والبعد بينهما

              يساوى طول نصف قطر الكرة . أوجد الضغط على كلا من القضيبين إذا كان وزن الكرة

               يساوى 10 نيوتن 

بتطبيق قاعدة لامى

ــــــــــــــ = ـــــــــــــــ = ـــــــــــ

ر1 =ر2 =  ـــــــــــــــــ = ــــــــــــــــ = ـــــــ × ـــــ

    = ـــــــــــــ

               كرة ملساء من الحديد وزنها 30نيوتن مستقرة بين حائط رأسى أملس ومستوى أملس

              يميل على الافقى بزاوية قياسها 60 ْ أوجد الضغط على كلا من الحائط والمستوى

بتطبيق قاعدة لامى

ــــــــــــــ = ــــــــــــــ = ـــــــــــــ

ر1 =  ــــــــــــــــــ = ــــــــــــــــــ = 30  3 نيوتن

ر2 =                 = ـــــــــــــــ =  30 × 2 = 60 نيوتن

               ساق منتظمة  قابلة للحركة حول أحد طرفيها شدت جانبا بقوة أفقية تؤثر فى طرفها الاخر

               وتساوى نصف ثقل الساق أوجد قياس زاوية ميل الساق على الرأسى عندما تتزن وكذلك

                رد الفعل عند الطرف الاول

            أ م جـ هو مثلث القوى

   

ـــــــــ = ــــــــــ = ــــــــــ

أ جـ = 2 م جـ = 2 س

فى     أ م جـ

أ م =    (أ جـ)2 + ( م جـ)2 =     (2 س )2 + (س)2 =   4س2 + س2 =  5 س2 =  5 س 

ــــــــ = ـــــــــ                ر = ـــــــ و

هـ منتصف أ ب ، هـ م // أ جـ          م منتصف ب جـ       ب م = م جـ

 أ جـ = ب جـ          ق ( ب أ جـ ) = ق ( أ ب جـ ) = 45 ْ

             علق قضيب منتظم طوله 130 سم ووزنه 26 نيوتن من طرفيه تعليقا مطلقا فى خيطين

             مربوطين من نقطة واحدة وكان طول أحدهما 50سم ، طول الاخر 120سم ما هو الوضع

              الذى يكون فيه القضيب متزنا وما هو مقدار الشد فى كلا من الخيطين

( أ ب )2 = ( أ جـ)2 + ( ب جـ)2

ق ( أ جـ ب ) = 90 ْ

ـــــــــــ = ــــــــــــ = ـــــــــــــ

ش1 = 26 جاى = 26 × ــــــــــ =24 نيوتن

ش2 = 26 جاهـ = 26 × ــــــــ = 10 نيوتن

         قضيب منتظم أ ب  يمكنه الدوران بغير عائق فى مستوى رأسى حول مفصل فى أ ربط طرفه

         الاخر ب بخيط يمر على بكرة ملساء عند جـ أعلى أ تماما ويحمل ثقلا يساوى نصف ثقل

          القضيب أوجد قياس زاوية ميل القضيب على الافقى فى حالة التوازن إذا علم أن أ جـ = أ ب

ء منتصف أ ب ، م ء // أ جـ  م منتصف ب جـ

0 0 أ ب = أ جـ ، م منتصف ب جـ

 أ م      ب جـ 

     أ م جـ هو مثلث القوى

ــــــــــــ = ـــــــــــ = ـــــــــــــ

أ جـ = 2 م جـ        م جـ =     أ جـ           ق ( م أ جـ ) = 30 ْ = ق ( م أ ب )

 القضيب يصنع مع الافقى زاوية قياسها = 90 – 2 × 30 = 30 ْ

            وضع قضيب منتظم وزنه 4 نيوتن على مستويين أملسين متقابلين ويميلان على الافقى

             بالزاويتين 30 ْ ، 60 ْ بحيث يقع القضيب وخطا أكبر ميل للمستويين فى مستوى واحد

      أوجد مقدار الضغط على كلا من المستويين وكذا زاوية ميل القضيب على الافقى فى حالة التوازن

بتطبيق قاعدة لامى

ـــــــــــــــ = ـــــــــــــــ = ــــــــــــ

ر1 = 4 جا150 = 4 ×       = 2

ر2 = 4 جا120 = 4 ×        = 2  3

                 جسم فى حالة توازن على مستوى مائل أملس تحت تأثير قوة تعمل فى أتجاه المستوى

                  إلى أعلى ومقدارها يساوى نصف مقدار وزن الجسم أوجد زاوية ميل المستوى على

                   الافقى ورد فعل المستوى  

      

بتطبيق قاعدة لامى

ــــــــــــــــــــــــ = ـــــــــــ = ــــــــــــــــــــــــ

ـــــــــ = ــــــــــــ = ــــــــــ

2و جاهـ = و            2جاهـ = 1        جاهـ =         ق(هـ) = 30

ــــــــــ = ــــــــــــ                 ر =               = و ظتا30 =  3  و

حاصل الضرب القياسى

                          

إذا كان  أ  ، ب  متجهين غير صفريين

   أ   =  أ    ،      ب    =   ب  ،

هـ هى قياس الزاوية الصغرى التى يحصرها هذان

المتجهان عند رسمهما خارجين من نقطة واحدة فان

أ         ب  =  أ ب جتاهـ 

ملاحظات

(1) أ       ب  = ب         أ

(2) أ ب  = ب – أ   ( أى متجه = نقطة النهاية – نقطة البداية )

(3) إذا كان أ = 3  س – 4 ص    فان    أ  = ( 3 ، -4)

(4) إذا كان أ = ( 3 ، 4 ) فان 2 أ  = 2 ( 3 ، 4 ) = ( 6 ، 8 )

(5) إذا كان  أ = (س ، ص )      فان       أ    =     س2 + ص2

(6) إذا كان أ = ( أ1 ، أ2 )  ،  ب  = (ب1 ، ب2 ) فان أ       ب = أ1 ب1 + أ2 ب2

(7) شرط تعامد متجهين أ          ب = 0

(8) متجه الوحدة فى أتجاه محور السينات =  س = (1 ، 0 )

      متجه الوحدة فى أتجاه محور الصادات =  ص = ( 0 ، 1 )

(9) س       س = ص        ص = 1  ،،  س        ص = ص        س = 0

           إذا كان    أ    =  5 ،   ب  = 6، قياس الزاوية المحصورة بينهما = 60 أوجد  أ          ب

  أ         ب =     أ   0   ب   جتاهـ = 5 × 6 جتا60 = 30 ×       = 15

               إذا كان  أ = 3س – 2 ص    ، ب = 5 س + 4 ص أوجد أ           ب

أ         ب = ( 3 ، -2 )         (5 ، 4 ) = 3 × 5 + (-2) × 4 = 15 – 8 = 7

           إذا كان   أ    = 5    ،    ب    = 4  ،    أ       ب = 10 أوجد ق(هـ )

-                                          

   أ           ب = 10                            20 جتاهـ = 10

  أ ب جتاهـ = 10                                 جتاهـ =       =

5 × 4 جتاهـ = 10                              ق(هـ) = 60 ْ

            إذا كان أ = (1 ، -2) ، ب = ( 3 ، 1 ) ، جـ = (-1 ، 4 ) أوجد أ ب           أ جـ

أ ب = ب – أ = (3 ، 1 ) – ( 1 ، -2 ) = ( 2 ، 3 )

أ جـ = جـ - أ = (-1 ، 4 ) – ( 1 ، -2 ) = (-2 ، 6 )

أ ب        أ جـ = (2 ، 3 )         (-2 ، 6 ) = -4 +18 = 14

             أ ب جـ ء مربع طول ضلعه يساوى 10 سم أوجد

(1) أ ب         أ ء                   (2) أ ب        أ جـ                 (3) ب أ        جـ ء

(4) أ ء         جـ ب                (5) أ ب          جـ أ                (6) ب أ        ب ء   

أ ب        أ ء = أ ب . أ ء جتا(ب أ ء ) = 10 × 10 جتا90

              = 100 × صفر = صفر

أ ب        أ جـ = أ ب . أ جـ جتا(ب أ جـ) = 10 × 10   2 جتا45

                  = 100  2 ×        = 100

ب أ         جـ ء = ب أ . جـ ء جتا 0 = 10 × 10 × 1 = 100

أ ء         جـ ب = أ ء . جـ ب جتا 180 = 10 × 10 × -1 = - 100

أ ب        جـ أ = أ ب . جـ أ جتا135 = 10 × 10   2 ×

ب أ        ب ء = ب أ . ب ء جتا45 = 10 × 10   2 ×       = 100

               

المركبة الجبرية لـ أ فى أتجاه محور السينات = أ جتاهـ   مسقط أ فى أتجاه محور السينات = أ جتاهـ س

المركبة الجبرية لـ أ فى أتجاه محور الصادات = أ جاهـ   مسقط أ فى أتجاه محور الصادات = أ جاهـ ص

المركبة الجبرية لـ أ فى أتجاه ب = ـــــــــــــــــــ       مسقط أ فى أتجاه ب = ــــــــــــــــــــــ× ـــــــــ

المركبة الجبرية لـ  ب  فى أتجاه أ = ــــــــــــــــــ      مسقط ب فى أتجاه أ = ــــــــــــــــــــ × ــــــــ

             إذا كان أ = 4س +3ص ،  ب = 3س – 2 ص أوجد

(1) المركبة الجبرية لـ أ فى أتجاه ب                  (1) المركبة الجبرية لـ  ب فى أتجاه أ

(3) مسقط أ فى أتجاه ب                                   (4) مسقط ب فى أتجاه أ

المركبة الجبرية لـ أ فى أتجاه  ب = ـــــــــــــــــ =  ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ــــــــــــ = ـــــــ   

المركبة الجبرية لـ ب فى أتجاه  أ = ـــــــــــــــــ =  ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ــــــــــــ = ـــــــ   

مسقط أ فى أتجاه ب =                  ×  ـــــــ = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ × ـــــــــــــــــ

       = ــــــــــــــ ( 3 ، -2 ) = ــــــ (3 ، -2 ) = (       ،       )

مسقط ب فى أتجاه أ =                  ×  ـــــــ = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ × ـــــــــــــــــ

       = ــــــــــــــ (4 ، 3 ) = ــــــ (4 ، 3) = (       ،       )

               متجه معياره 10 وحدات يحصر زاوية قياسها 60 مع الاتجاه الموجب لمحور السينات

               أوجد

(1) المركبة الجبرية لـ أ فى أتجاه محور السينات   (3) مسقط أ فى أتجاه محور السينات

(2) المركبة الجبرية لـ أ فى أتجاه محور الصادات  (4) مسقط أ فى أتجاه محور الصادات

المركبة الجبرية لـ أ فى أتجاه محور السينات = أ جتاهـ  = 10 جتا60 = 10 ×       = 5

المركبة الجبرية لـ أ فى أتجاه محور الصادات = أ جاهـ   = 10 جا60 = 10 ×        = 5   3

مسقط أ فى أتجاه محور السينات = أ جتاهـ س = 5 س

مسقط أ فى أتجاه محور الصادات = أ جاهـ ص = 5   3 ص

             إذا كان أ يصنع مع ب زاوية قياسها هـ فإن

المركبة الجبرية لـ أ فى أتجاه ب = أ جتاهـ

المركبة الجبرية لـ أ فى الاتجاه العمودى على ب = أ جاهـ

لاحظ أن

(1) أ       أ = أ2

(2) ( أ + ب )       جـ = أ         جـ +  ب         جـ

(3) أ       ب = أ ( ب جتاهـ ) = ب ( أ جتاهـ )

[أىأن الضرب القياسى لمتجهين غير صفريين يساوى معيار أحدهما فى المسقط الجبرى للاخر عليه]

           عين المركبة الجبرية للقوة ق = 7س +24 ص فى أتجاه أ ب حيث أ=(1 ، 2) ، ب=(4، 6)

أ ب = ب – أ = ( 4 ، 6 ) – (1 ، 2 ) = ( 3 ، 4 )

المركبة الجبرية لـ ق فى أتجاه أ ب = ــــــــــــــــــــ = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = 

=

حاصل الضرب الاتجاهى

           

إذا كان أ ، ب متجهين غير صفريين ، أ =   أ      ، ب =    ب  ، هـ قياس الزاوية الصغرى التى يحصرها هذان المتجهان عند رسمهما خارجين من نقطة واحدة فان

أ × ب =  ( أ ب جاهـ )  ى  [حيث ى متجه وحدة عمودى على المستوى الذى يحتوى أ ، ب  ]

لاحظ أن

(1)    أ  ×  ب = - ( ب × أ )

(2)    أ × أ =   0

(3)    ( أ  +  ب ) × جـ = أ  ×  جـ + ب × جـ

(4)    أ × ب   =  أ ب جاهـ [معنى هذا أن الضرب القياسى لمتجهين تساوى مساحة متوازى الاضلاع المقام على القطعتين المستقيمتين الموجهتين الممثلتين للمتجهين أ ، ب ] 

(5)    إذا كان أ = ( أ1 ، أ2 ) ، ب = (ب1 ، ب2 ) فان أ × ب =( أ1 ب2 – أ2 ب1 ) ع

(6)    المجموعة اليمينية

      س × ص = ع ، ص × ع = س ، ع × س = ص

       ص × س = - ع  ، ص × ع = - س ، س × ع = - ص

(7) شرط توازى متجهين أ  × ب =  0

         بفرض أن { س ، ص ، ع } مجموعة يمينية أوجد حاصل الضرب الاتجاهى للمتجه أ

         فى المتجه ب  ثم أوجد مساحة متوازى الاضلاع المقام عليهما حيث

(1) أ = 3 س + 4 ص    ، ب = 5 س + 12 ص

أ × ب = (3 ، 4 ) × (5 ، 12 ) = ( 3 × 12 – 4 × 5 ) ع = 16 ع

مساحة متوازى الاضلاع =    × 16 = 8 وحدات مربعة  

(2) أ = 4 س -  3ص   ، ب = 5س + 2 ص

أ × ب = (4 ، -3 ) × ( 5 ، 2) = ( 4 × 2 – (-3) ×5) ع = (8+15) ع = 23 ع

مساحة متوازى الاضلاع =      × 23 = 11.5 وحدة مربعة