خطوط المجال التناقلي

1/ تعريف كثافة الخطوط :

هو عدد خطوط القوى التثاقلية التي تمر عمودياً في وحدة المساحة .

2/ خطوط المجال التثاقلي تمثل أيضاً القوة من حيث :

أ‌-      الاتجاه .

ب‌-    المقدار ( حيث تقل مع البعد عن الأرض ) .

3/ و لذلك تسمى خطوط المجال التثاقلي أيضاً بخطوط قوة التثاقل .

4/ ولكن قوة التثاقل تكون بين جسمين بينما المجال التثاقلي حول الجسم حتى لو لم يكن هناك جسم آخر قريب منه .

شدة المجال التثاقلي للأرض :

1/ تعريف شدة المجال التثاقلي للأرض في نقطة ما :

هي قوة التثاقل بين كتلة الأرض و بين ما مقداره وحدة الكتلة في نفس النقطة .

2/ قانون شدة المجال التثاقلي :

نعوض عن قيمة ف من المعادلة أعلاه :

و هي تمثل الصيغة الرياضية لإيجاد شدة المجال التثاقلي .

3/ وحدة قياس ( شد ) شدة المجال التثاقلي هي نيوتن / كجم .

4/ و من القانون أعلاه نجد أن شدة المجال التثاقلي للأرض تتناسب طردياً مع كتلة الأرض فقط و عكسياً مع مربع المسافة من مركز الأرض إلى النقطة التي نحدد عندها شدة المجال .

لذا تصبح قوة التثاقل بين الأرض و أي جسم كتلته  ك هي :

شد =                    بالقرب ( وسطين في طرفين )

ق = شد × ك

* أي أن :

قوة التثاقل = قوة التثاقل على وحدة الكتلة ( شدة المجال التثاقلي ) × الكتلة .

 5 / و عموماً تصبح شدة المجال التثاقلي لأي جسم مادة ( بما في ذلك الأرض ) كتلة ك هي :

6/ العوامل التي تتوقف عليها شدة المجال التثاقلي للأرض هي :

1-     كتلة الأرض ( ك أ ) .

2-     بعد الجسم عن مركز ( الأرض ( ف )) .

6/ ملاحظة : ان شدة المجال التثاقلي للأرض في أي موقع فوق سطح الأرض تساوي عجلة أي الجاذبية الأرضية ( عجلة السقوط الحر ) في ذلك الموقع .

أي أن :

و لذلك نجد أن شدة المجال التثاقلي للأرض تتغير مع المسافة ( ف ) تماماً كما تتغير ( د ) .

8/ مثال : كتلة قدرها 100 كجم القوة المؤثرة عليها 400 نيوتن احسب شدة المجال التثاقلي .

الحل : 

شد =

حيث شد = شدة المجال التثاقلي

حيث ق = القوة    

حيث ك = الكتلة

شد = 400 ÷ 100 = 4 نيوتن / كجم

الطاقة التثاقلية ( طاقة الوضع ) :

1/ تعريف الطاقة :

هي المقدرة على إنجاز الشغل

2/ تعريف الطاقة التثاقلية ( طاقة الوضع ) :

هي الشغل المبذول لرفع الجسم عكس اتجاه جذب الأرض إلى ذلك الارتفاع .

3/ وحدة قياس الطاقة التثاقلية :

( طاقة الوضع ) هي الجول و تعادل نيوتن . م .

4/ العوامل التي تتوقف عليها الطاقة التثاقلية ( طاقة الوضع ) هي  :

أ‌-      كتلة الجسم ك .

ب‌-    كتلة الأرض ك أ .

ت‌-    بعد الجسم عن مركز الأرض ( ف ) .

5/ استنتج قانون طاقة الوضع :

شغ =  ق × ف

طاقة الوضع = الشغل المبذول لرفع الجسم عكس اتجاه جذب الأرض إلى ذلك الارتفاع .

ط و = شغ

ط و = ف × ق

* (ق) فهي قوة التثاقل الكوني و لكن هنا عكس اتجاهها المعروف ، أي إلى أعلى لأن الشغل مبذول لرفع الجسم و لذلك :

ق = - قوة التثاقل الكوني

ق = -

حيث أن :

ك أ = كتلة الأرض

ك = كتلة الجسم .

ج = ثابت التثاقل الكوني .

ف = بعد الجسم عن مركز الأرض .

* و عليه لكي نرفع جسماً ما من مركز الأرض إلى سطحها فإننا يجب أن تبذل شغلاً و هذا الشغل المبذول يمده بطاقة الوضع

ط و = ق × ف

ط و = -                      × ف

ط و = -                               

* القانون أعلاه يستخدم لإيجاد طاقة الوضع ( الطاقة التثاقلية ) .

* وحدة قياس طاقة الوضع هي الجول و هي تعادل نيوتن . م .

* طاقة الوضع لجسم رفع من سطح الأرض إلى ارتفاع (ل) هي :

الشغل اللازم لرفعه إلى هذا الارتفاع = القوة ( في هذه الحالة الوزن ) × الارتفاع

أي أن :

ط و = ك × د × ت

حيث أن :

ك = كتلة الجسم .

د = عجلة الجاذبية الأرضية .

ل = الارتفاع عن سطح الأرض .

 طاقة الوضع على ارتفاع ل  = - ك د ( نق + ل )

 طاقة الوضع على سطح الأرض = - ك د نق

 الفرق في طاقة الوضع = - ك د ( نق +ل ) – ك د نق ) = - ك د ل

طاقة الوضع = - ك د ل

* و عليه إذا رفعنا جسماً كتلته (ك) من سطح الأرض إلى ارتفاع (ل) فإن طاقة وضعه مقارنة مع سطح الأرض هي :

ط و  = ك د ل

و قد اعتبرت موجبة لتسهيل التعامل مع القانون . رغم أنها ناتجة عن شغل سالب ضد جذب الأرض و لكن إذا ترك الجسم ليسقط فسيقوم بشغل موجب في اتجاه عجلة الجاذبية .

الرسم الآتي يوضح الفرق في طاقة الوضع :

ملحوظة :

طاقة الوضع تساوي صفر ( أي تكون معدومة ) في حالتين هما :

أ‌-      عندما يكون الجسم في مركز الأرض .

ب‌-    عندما يكون الجسم في مالا نهاية .

الجهد التثاقلي :

1/ تعريف الجهد التثاقلي لجسم ما :

هو طاقة وضع وحدة الكتلة في تلك النقطة .

2/ يرمز للجهد التثاقلي برمز ( جـ ) .

3/ وحدة قياس الجهد التثاقلي هي جول / كجم  و تعادل نيوتن.متر / كجم  .

4/ الصيغة الرياضية لقانون الجهد التثاقلي هي :

الجهد التثاقلي =           = -

حيث أن :                                         ج = ثابت التثاقل الكوني

ط و = طاقة الوضع                              ك أ = كتلة الأرض

ك = كتلة الجسم                                  ف = المسافة من مركز الأرض 

   جـ = -

العلاقة بين طاقة الوضع ( ط و ) و الجهد التثاقلي ( جـ ) :

   ط و = -                                           (1)

   جـ = -                                             (2)

بقسمة (1) على (2) نحصل على الآتي :

         =                         ÷ 

         =                         × 

     = ك                بالضرب ( وسطين في طرفين )

ط و = جـ × ك

* يمكن استعمال هذا القانون لإيجاد طاقة الوضع بدلالة الجهد التثاقلي وكتلة الجسم

* العلاقة بين الجهد التثاقلي ( جـ ) و شدة المجال التثاقلي ( شد ) :

   ط و = جـ × ك

لكن ط و = - شغ

-       شغ = جـ × ك                 بضرب الطرفين × ( - )

   شغ = - جـ × ك                                          (1)

لكن شغ = ق × ف                                          (2)

(1)    = (2)

-       جـ × ك = ق × ف

بضرب الطرفين × ( - )

   جـ × ك = - ق × ف                                     (3)

لكن ق = شد × ك                                           و (4)

نعوض عن قيمة ق من المعادلة (4) في (3)

ج × ك = - شد × ك × ف

بقسمة الطرفين على ك نحصل على

                = 

   جـ = - شد × ف

و يمكن استخدام القانون أعلاه لإيجاد الجهد التثاقلي ( جـ ) بدلالة شدة المجال التثاقلي ( شد ) و المسافة .

مثال :

جد طاقة وضع جسم كتلته ( 1 طن ) يدور على ارتفاع 100 كم من سطح الأرض علماً بأن كتلة الأرض = 6 × 10  كجم و ثابت التثاقل ( ج ) = 67¸6 × 10    كجم و نصف قطر الأرض يساوي 6400 كيلو متر ، ثم جد الجهد التثاقلي لهذا الجسم على ذلك الارتفاع .

الحل :

ط و =

لكن ف = ( نق + ل )

حيث أن :

ط و = طاقة الوضع

ج = ثابت التثاقل الكوني

ك = كتلة الجسم

ك أ كتلة الأرض

نق = نصف قطر الأرض

ل = الارتفاع ( ارتفاع الجسم عن مركز الأرض )

ف = المسافة

ك = 1 طن = 1000 كجم

ف = 4¸7 × 10  م

ط و =   41¸5 × 10   جول

الجهد التثاقلي =

= - 14¸5 × 10    جول / كجم