الحركة على خط مستقيم

الحركة على خط مستقيم

السرعة

تعتبر السرعة التي يتحرك بها جسم (أو نقطة مادية معينة) إحدى المكونات الأساسية في وصف حركة الجس أو النقطة المادية. وتوجد عدة أنواع من السرعة تشمل ما يلي: سرعة الانطلاق، السرعة المتجهة، السرعة المنتظمة، السرعة المتوسطة، السرعة الحظية.

سرعة الانطلاق والسرعة المتجهة

عندما توصف الحركة بمقدار التغير في المسافة التي يقطعها جسم ما بالنسبة للزمن دون اعتبار لاتجاه هذه الحركة، فإن وصف الحركة هنا يقتصر على سرعة انطلاق الجسم (speed).وهذه السرعة هي كمية قياسية (scalar quantity) تعتمد على المقدار فقط وتحسب قيمتها كما يلي:

سرعة الانطلاق=

أما عندما توصف حركة جسم بمقدار التغير في المسافة بالنسبة للزمن وفي اتجاه ومنحى معنيين، فإن وصف الحركة هنا يشتمل على مقدار سرعة الجسم واتجاه هذه السرعة ومنحاها ويكون هذا وصفاً لسرعة الجسم المتجهة (vector)، وهذه السرعة هي كمية متجهة (vector quantity) تمثل بالمقدار والاتجاه والمنحى. وتحسب قيمة هذه السرعة كما يلي:

فإذا وصفت حركة سيارة بأنها تسير بسرعة 30كم/ساعة، فهذا الوصف يشير إلى سرعة انطلاق السيارة ولا يهم هنا إذا كانت السيارة تسير نحو الشرق أو الغرب أو الشمال و الجنوب. أما إذا وصفت حركة نفس السيارة بأنها تسير بسرعة متجهة قيمتها 30كم/ساعة نحو الغرب، فهذا يعطي وصفاً أكثر دقة لحركة السيارة. وتأثير هذه السرعة المتجهة يختلف عما إذا كانت السيارة المذكورة تسير بسرعة متجهة قيمتها 30كم/ساعة نحو الشرق أو الشمال مثلاً.

فإن تأثيرها في نقطة أ مثلاً يكون 60كم/ ساعة في اتجاه أ هـ، وفي نقطة ب مثلاً يكون تأثير السرعة المتجهة للسيارة نفسها 60كم/ساعة ولكن في اتجاه ب و… الخ.

وواضح من هذا أن التغير في الاتجاه يعني تغيراً في تأثير السرعة وفي حركة الجسم (السيارة في هذه الحالة).

السرعة المنتظمة والسرعة المتوسطة

إذا تحركت نقطة مادية أو جسم بحيث تقطع المسافة نفسها في الوحدة الزمنية نفسها –مهما صغرت كل من المسافة والوحدة الزمنية – وكان اتجاه الحركة ومنحاها ثابتين فإن الجسم يوصف بأنه يسير بسرعة منتظمة أو ثابتة. أما إذا تحرك الجسم أو النقطة المادية بحيث يقطع مسافات مختلفة في الوحدات الزمنية نفسها فإن سرعة الجسم توصف بأنها غير منتظمة أو متغيرة. وفي هذه الحالة يستحسن لوصف الحركة حساب السرعة المتوسطة لحركة هذا الجسم أو النقطة المادية كما يلي: إذا قطع جسم ما 20م في الثانية الأولى من

حركته ثم قطع 30م في الثانية التالية، ثم قطع 10 في الثانية الثالثة، ثم 4م في الثانية الرابعة من بدء حركته والمطلوب هو إيجاد السرعة المتوسطة لحركة هذا الجسم، فإن:

وهذه القيمة هي عبارة عن متوسط سرعة الجسم أثناء حركته ولا يتحتم أن يكون الجسم قد سار بهذه السرعة في أي وقت أثناء حركته.

قومي بالنشاط 3-1 والنشاط 3-2 في كتاب دليل النشاطات العملي

منحنيات السرعة – الزمن

إذا تحرك جسم بسرعة ثابتة فإن المسافة التي يقطعها تتناسب طردياً مع الزمن. فإذا رمزنا للمسافة بالحرف ف وللسرعة بالحرف ع وللزمن بالحرف ن فغن:

وفي كثير من الحالات نجد أنه من الأفضل استخدام الرسومات البيانية لتمثيل العلاقة بين السرعة والزمن أو المسافة والزمن فالشكل 3-9 يمثل رسماً بيانياً لحركة سيارة تسير بسرعة ثابتة مقدارها 35م/ث. وإذا أخذنا أي نقطة من محور الزمن ، كالثانية الثالثة مثلاً، فإن الإحداثية المقابلة لها على محور السرعة تكون 35م/ث وهي ثابتة باستمرار. أما من الناحية العملية فسرعة السارة أثناء حركتها هي سرعة متغيرة. فهي تبدأ من الصفر (حالة السكون)

وتتزايد تدريجياً وأحياناً تسرع حسب حالة الطريق من الإزدحام والتعرج...الخ. فإذا افترضنا أن البيانات المختلفة في الجدول التالي تمثل حركة سيارة تسير بسرعة متغيرة، وأردنا استخدام هذه البيانات لتمثيل حركة السيارة في صورة رسم بياني يوضح العلاقة بين السرعة والزمن، نمثل الزمن (بالثواني) على محور السينات ونمثل السرعة (بالأمتار/ ثانية) على محور الصادات، ونضع مقياس رسم معين لكل محور.

يعطينا الرسم البياني هنا فكرة سرعة السيارة وخصاص هذه من مجرد النظر فمن الرسم البياني (شكل 2-10) يتضح أن أكبر سرعة كانت في الفترة جـ وأقلها في الفترة هـ. كما أنه يمكن الاستفادة من الرسم الباني في حساب التي قطعتها السيارة في كل فترة من الفترات. كما يمكننا أن نحسب المسافة من منحى السرعة – الزمن هذا كما يلي:

نلاحظ: من الرسم أن سرعة السيارة كانت ثابتة في كل من الفترات الزمنية على حدة، كما نلاحظ أن ارتفاع الرسم خلال أي فترة من الفترات يعطينا مقدار السرعة في تلك الفترة.

لنأخذ المستطيل أ. فإن طوله يعطي مقدار السرعة 30م/ث في الفترة أ، وعرضه يعطي مقدار الفترة الزمنية 1 ثانية. وإذا قارنا

المعادلة ف=ع×ن، فإن طول المستطيل في الفترة أ عبارة عن ع وعرضه عبارة عن ن.

إذن لحساب المسافة المقطوعة في الفترة أ يكفي أن نضرب طول المستطيل في عرضه أي يكفي أن نجد مساحة المستطيل أ. لكن في هذه الحالة الخاصة فإن وحدات الطول هي وحدة السرعة (م/ث) أما وحدات العرض فهي وحدة الزمن (الثانية).لذلك فإن حاصل الضرب يعطي قيمة المسافة التي تمثلها مساحة كل مستطيل في هذه الحالة. فالمساحة المحصورة مع محور الزمن تحت أي فترة من الفترات تساوي عددياً المسافة المقطوعة في تلك الفترة. وبذلك يكون من السهل أن نقرر في أي الفترات كانت المسافة المقطوعة أكبر أو أصغر

ما يمكن من خلال النظر إلى الرسم. كما يمكن بالمقارنة بين المساحات أن نقارن بين المسافات المقطوعة في الفترات المختلفة. ويمكن أيضاً بإضافة المساحات أن نحسب المسافة الكلية التي قطعتها السيارة في رحلتها.

سؤال:

أوجدي مقدار المسافة الكلية التي قطعتها السيارة بالاستفادة من الرسم في شكل 3-10

منحنيات المسافة-الزمن

رأينا في ما سبق أنه إذا تحرك جسم بسرعة ثابتة فإن المسافة التي يقطعها الجسم تتناسب طردياً من الزمن (حسب المعادلة ف=ع×ن)، أو بعبارة أخرى فإن المساحة الواقعة تحت منحى السرعة – الزمن تكون على شكل مستطيل. فإذا افترضنا وجود سيارة تتحرك بسرعة ثابتة واصطلحنا على لحظة معينة لتكون لحظة الصفر، المسافة التي تقطعها السيارة بعد مرور 5 ثوان من لحظة الصفر ثم المسافة التي تقطعها السيارة بعد مرور 10 ثوان من لحظة الصفر، وهكذا، وسجلنا النتائج في جدول ثم رسمنا منحنى المسافة – الزمن، نجد أنه على شكل خط مستقيم يمر بنقطة الأصل، وذلك لأن السرعة ثابتة، فتكون العلاقة ف=ع ن علاقة خطية (شكل 3-11).ونستطيع بالاستفادة من منحنى المسافة –الزمن أن نعرف المسافة التي قطعتها السيارة في أي لحظة من الزمن بعد لحظة الصفر.

سؤال

من شكل 3-11 أوجدي المسافة التي قطعتها السيارة بعد مرور 17,5 ثانية من بدء الحركة.

حساب السرعة من منحنى المسافة – الزمن

هل يمكن حساب السرعة المنتظمة من منحنى المسافة – الزمن كما حسبنا المسافة من منحنى السرعة-الزمن؟

للإجابة على هذا التساؤل لنأخذ نقطتين مثل أ، ب على الرسم، ولنفرض أن إحداثياتها، على الترتيب. من التمعن في منحنى المسافة – الزمن (شكل 3-11) يظهر لنا أن السيارة قطعت المسافة .

(ف2 - ف1)، في الفترة الزمنية (ن2 - ن1). إذن من تعريف السرعة المنتظمة نجد أن:

حيث أن ع ترمز للسرعة المنتظمة.

وقد اصطلح على تسمية ظل الزاوية التي يصنعها منحنى المسافة –الزمن مع محور الزمن ميل المستقيم.

إذن: ميل المستقيم=

أي أن السرعة المنتظمة تساوي ميل منحنى المسافة –الزمن على محور الزمن. ويتضح من هذا أنه كلما كان ميل المستقيم أكثر كلنا كانت السرعة المنتظمة أكبر.

التسارع

عندما تبدأ سيارة بالحركة من حالة السكون (سرعتها = صفر) حتى تصل سرعتها إلى مقدار معين (60 كم/ ساعة مثلاً)، يقال إن السيارة أخذت تتسارع أي تزداد سرعتها تدريجياً. فإذا كانت الزيادة في سرعة السيارة منتظمة أي أن السرعة تزداد بمقادير متساوية في أزمنة متساوية فإن تسارع السيارة يعتبر تسارعاً منتظماً.

ويعرف التسارع بأنه معدل التغير في السرعة بالنسبة للزمن، ويعبر عن ذلك رياضياً كما يلي:

وعندما نحاول إيقاف السيارة فإن سرعتها لا تصل إلى الصفر فوراً وإنما تصل إلى الصفر وعندئذ تتوقف السيارة. وقد اصطلح أن يسمى التناقص التدريجي في السرعة تباطؤ (deceler- ation) ويمكن تعريف التباطؤ على أنه تسارع سلبي بإشارة سالبة. وأحياناً يمكن استخدام اصطلاح التسارع في حالة ازدياد السرعة أو تناقصها، بفارق أساسي هو أن إشارة التسارع تكون موجبة في حالة ازدياد السرعة وسالبة في حالة تناقص السرعة.

حساب التسارع

يمثل الرسم البياني (شكل 3-12أ) حركة سيارة بدأت من سرعة الصفر في لحظة الصفر، وفي فترة 30 ثانية وصلت سرعتها إلى 40 كم/ساعة. إذن معدل التغير في سرعتها يساوي 40/ساعة في مدة 30 ثانية. أي أن:

تسارع السيارة =

وإذا حولنا سرعة السيارة من وحدة كم/ساعة إلى م/ فإن:

إذن ازدادت سرعة السيارة 11,1م/ث في مدة 3- ث، وبذلك يكون:

وتكون وحدة التسارع وتكون إشارة التسارع في هذا المثال موجبة لأن السرعة كانت تتزايد.

ويتضح من الرسم البياني (شكل 3-12ب) أن سرعة السيارة أخذت تتناقص من 40 كم/ ساعة حتى وصلت إلى الصفر في فترة 50 ثانية. لذلك فإن إشارة التسارع في هذه الحالة تكون سالبة ويكون:

سؤال

إحسبي تسارع السيارة بوحدة م/ ث2 في هذه الحالة.

قومي بالنشاط 3-3 في كتاب دليل النشاطات العملي

معادلات الحركة

المعادلة الأولى للحركة

إذا ابتدأ جسم حركته بسرعة ثابتة ثم أخذت سرعته تتزايد بتسارع منتظم مقداره  مثلاً، فإن سرعته تزداد بمعدل ت متراً في كل ثانية يستمر فيها متحركاً. فإذا استمرت حركة الجسم لمدة ن ثانية فإن الزيادة في سرعته تساوي ت×ن. فإذا رمزنا لسرعة الجسم بعد زمن ن بالحرف ع ولسرعته الابتدائية بالحرف ع فإن:

وتسمى هذه المعادلة (المعادلة الأولى للحركة).

المعادلة الثانية للحركة

في حالة الحركة ذات التسارع المنتظم فإن السرعة المتوسطة لجسم متحرك تساوي معدل السرعتين الابتدائية والنهائية للجسم، أي أن:

حيث ع م تمثل السرعة المتوسطة.

وبالتعويض عن قيمة ع1 من المعادلة الأولى للحركة فإن:

وحيث أن المسافة المقطوعة= السرعة المتوسطة×الزمن أي:

حيث ف تعني هنا المسافة وتسمى هذه المعادلة (المعادلة الثانية للحركة).

(المعادلة الثانية للحركة).

المعادلة الثالثة للحركة

بتربيع المعادلة(1)

ويكون التسارع:

وتسمى هذه المعادلة (بالمعادلة الثالثة للحركة).

أمثلة محلولة

مثال 1

تتحرك سيارة بسرعة 15م /ث. أخذت تتسارع بشكل منتظم بمعدل 2م/ث2. إحسبي المسافة التي تقطعها السيارة من لحظة بدء التسارع حتى تصل سرعتها إلى 20م/ث ثم احسبي الزمن اللازم لذلك؟

الحل

في المسائل التي تحل على معادلات الحركة يستحسن أن نستعرض معادلات الحركة الثلاث لنجد أي منها تساعدنا في حل المسألة في هذا المثال نجد أن المعادلة الثالثة للحركة هي المعادلة المطلوبة حيث أن جميع الكميات فيها معلومة من معطيات المسألة ما عدا المسافة وبذلك نستطيع حسابها.

.. المسافة التي تقطعها السيارة= أما الزمن اللازم لقطع المسافة فيمكن حسابه مباشرة من المعادلة الأولى للحركة:

مثال 2

يتحرك قطار بسرعة 90 كم/ساعة، ضغط السائق على جهاز الإيقاف (الفرامل أو

البريكات) ليوقف القطار، فأخذ القطار يتباطأ بمعدل 2م/ث2. إحسبي ما يلي:

الزمن اللازم لتوقف القطار.

المسافة التي يقطعها القطار من لحظة الضغط على جهاز الإيقاف حتى يتوفق.

الحل

أ) بما أن القطار أخذ يتباطأ حتى توقف، إذن إشارة التسارع سالبة. سرعة القطار سالبة.

سرعة القطار الابتدائية =90كم/ساعة.

25= م/ث

سرعة القطار النهائية= صفر

وبتطبيق المعادلة الأولى للحركة

الزمن اللازم لتوقف القطار = 12,5 ث

ب) ولحساب المسافة تطبق المعادلة الثانية للحركة:

المسافة التي يقطعها القطار قبل توقفه.

أسئلة وتمارين

1)            ما الفرق بين السرعة المتوسطة والسرعة اللحظية.

2)            عرفي: التسارع، السرعة المتجهة، سرعة الانطلاق.

3)            تحرك جسم بسرعة ابتدائية مقدارها 4م/ث واستمر في الحركة بتسارع مقداره 1,5 م/ث2 لمدة 6 ث.

ارسمي منحنى السرعة-الزمن وجدي من هذا الرسم.

أ) السرعة المتوسطة.

ب) مسافة التي تحركها الجسم خلال 6ث.

4)ارسمي منحنى السرعة-الزمن لجسم يتحرك:

أ) بسرعة ثابتة.

ب) بتسارع ثابت.

بيني كيف يمكن الاستفادة من منحنى السرعة-الزمن لإيجاد:

أ) تسارع الجسم.

ب) المسافة التي يقطعها الجسم خلال فترة معينة من الزمن.

5)ابتدأ جسم حركته من حالة السكون بتسارع مقداره 3مث لفترة 4ث ثم توقفت سرعته عن الزيادة وسار بالسرعة التي وصلها لمدة 7ث. بدأ يتباطأ حتى توقف بعد 5ث.

جدي بطريقة الرسم ما يلي:

أ) المسافة التي قطعها الجسم خلال الفترات الثلاث لحركته.

ب) سرعته المتوسطة خلال مدة حركته كلها.

6)تحرك قطار من حالة السكون من المحطة ل بتسارع مقداره وصل إلى النهاية العظمى لسرعته خلال دقيقة ونصف. استمر متحركاً بهذه السرعة لمدة 4 دقائق. ثم أخذ يتبطأ لمدة 45 ثانية حتى توقف في المحطة هـ.

ارسمي بدقة منحنى السرعة – الزمن لهذا القطار ثم أوجدي بواسطته:

أ) المسافة بين المحطة ل والمحطة هـ بالكيلو مترات.

ب) النهاية العظمى لسرعته بالكيلو متر/ساعة.

جـ) السرعة المتوسط للقطار خلال رحلته من ل إلى هـ بالمتر في الثانية.

7)يتحرك قطار كهربائي بسرعة 30كم/ساعة أخذ يتسارع حتى وصلت سرعته إلى 40كم/ساعة خلال 20 ثانية. أوجدي.

أ )التسارع المتوسط بالمتر/ث.

ب) المسافة التي تحركها خلال فترة التسارع.

8)تحرك جسم من حالة السكون بتسارع منتظم فقطع خلال الثانية الثالثة 18 متراً أوجدي سرعته في نهاية الثانية الثامنة.