حركة الأجسام الساقطة في مجال الجاذبية الأرضية

حركة الأجسام الساقطة في مجال الجاذبية الأرضية

مقدمة

من أهم الأسئلة التي شغل بها الدارسون لموضوع الحركة هي كيفية سقوط الأجسام نحو الأرض. ومن أول المفكرين الذين حاولو شرح هذه الظاهرة الفيلسوف اليوناني القديم ارسطوطاليس. فقد اعتقد ارسطوطاليس أن سرعة الأجسام الساقطة تعتمد على كتلتها. أي أنه كلما ازدادت كتلة الجسم كلما سقط بسرعة أكبر، وكلما قلت كتلة الجسم كلما سقط نحو الأرض بسرعة أصغر. أي أن هناك اختلافاً في قيمة التسارع بين الأجسام الساقطة، وإن هذا التسارع يتوقف على كتلة الجسم. وقد ظل أغلب العلماء يؤمنون بهذا الاعتقاد حتى نهاية القرن السادس عشر حين أجرى العالم الإيطالي غاليلو غاليلي عدة تجارب أثبتت خطأ هذا الاعتقاد. ومن هذه التجارب ما يعرف بتجربة برج بيزا (شكل 4-1).وتذكر بعض المصادر أن غاليلو تسلق برج بيزا ومعه ثلاث كرات معدنية متماثلة في الحجم في الكتلة وأنه أسقط هذه الكرات فية نفس اللحظة من قمة البرج وطلب من مساعديه تسجسل وقت وصول كل من هذه الكرات إلى سطح الأرض. وتقول هذه المصادر إن مساعدي غاليلو سجلو أن الكرات الثلاث وصلت إلى سطح الأرض في اللحظة نفسها. استنتج غاليلو من هذه التجربة وأمثالها أن سقوط الجسم سقوطاً حراً (free fall) إلى سطح الأرض وتحت تأثير قوة جاذبيتها لا يتأثر بكتلة الجسم بل يتأثر بقيمة ثابتة تنتج عن قوة جذب الأرض لهذا الجسم.

وقد أجريت دراسات كثيرة وتجارب متعددة متعددة لقياس قيمة هذا التسارع ومعرفة مدى تأثيره.ومن أشهر العلماء الذين درسوا موضوع الجاذبية الأرضية والتسارع بالتفصيل العالم إسحق نيوتن (newtonm) الذي اكتشف عدداً من القوانين الطبيعية المتعلقة بهذه الظاهرة والتي ستدرس مستقبلاً.

قياس تسارع الجاذبية الأرضية

هناك تجارب متعددة لقياس تسارع الجاذبية الأرضية. إلا أن أبسط التجارب العلمية تجربة استخدام جرس التوقيت وتجربة البندول المهتز. وقد وجد من التجارب المتعددة أن قيمة هذا التسارع تبلغ حوالي ويرمز لهذا التسارع بالحرف ج.

قومي بالنشاط 4-1 والنشاط 4-2 في كتاب دليل النشاطات العملي

تختلف قيمة تسارع الجاذبية الأرضية من نقطة إلى أخرى على سطح الأرض –تبعاً لخط العرض وللارتفاع عن سطح البحر- اختلافاً طفيفاً. وقد تبنت اللجنة العالمية للأوزان والمقادير القيم التالية لتسارع الجاذبية الأرضية.

معادلات الحركة تسارع الجاذبية الأرضية

تطبق معادلات الحركة ذات التسارع المنتظم على تسارع الجاذبية الأرضية لأنه تسارع منتظم ويستبدل الحرف ت بالحف جـ فقط وتصبح معادلات الحركة بالشكل التالي:

حيث ع، ع1 السرعة الابتدائية والسرعة بعد زمن ن، ف المسافة المقطةعة، ن الزمن، جـ تسارع الجاذبية الأرضية.

السقوط الحر free fall

عندما يسقط أي جسم في مجال الجاذبية الأرضية الأرضية سقوطاً حراً (أي أن ندفعه أو نعطيه سرعة ابتدائية)، فإن سرعته الابتدائية تساوي صفراً. ثم تزداد سرعته في كل ثانية بمقدار تسارع الجاذبية الأرضية. لذلك فإن معادلات الحركة بالنسبة للجسم الساقط سقوطاً حراً تصبح كما يلي:

حيث ع سرعة الجسم الساقط، جـ تسارع الجاذبية الأرضية ، ن زمن السقوط، ف المسافة التي يسقطها الجسم.

المقذوفات الرأسية

عندما يقذف جسم إلى أعلى بسرعة ابتدائية معينة فإن الجسم المقذوف إلى أعلى يتباطأ تدريجياً بسبب التأثير السالب لتسارع الجاذبية الأرضية، حتى يصل إلى ارتفاع معين، ويتوقف عندما تصبح سرعته صفراً. ثم يبدأ الجسم في الحركة إلى أسفل ويسقط سقوطاً حراً. وتأخذ سرعته في التزايد حتى يصل إلى سطح الأرض بنفس مقدار السرعة التي قذف بها إلى أعلى.

وتكون سرعة الجسم عند أي نقطة في مساره ثابتة من حيث المقدار سواء في أثناء الصعود أو الهبوط، ويكون زمن صعود الجسم إلى أعلى نقطة مساوياً لزمن سقوطه إلى المستوى الذي قذف منه (لماذا؟)، ومعنى هذا أن حركة المقذوفات إلى أعلى تشبه حركة الأجسام الساقطة مع عكس إشارة التسارع وتبادل قيمة السرعة الابتدائية والنهائية.

فإذا لاحظنا حركة كرة قذفت إلى أعلى بسرعة ابتدائية ع، فحين تصل إلى أعلى نقطة في مسارها (شكل 4-2) في نهاية الثانية الرابعة تكون سرعتها حينئذ ع4=صفر. وعندما تبدأ الكرة عودتها للأرض تكون ع4=صفر هي

سرعتها الابتدائية عند السقوط، وفي نهاية الثانية الخامسة تصل إلى الارتفاع الذي وصلت إليه في الثانية الثالثة وبمقدار السرعة نفسه، ولكن منحى السرعة إلى أسفل، وهكذا تعود في نهاية الثانية الثامنة إلى الأرض بالمقدار نفسه للسرعة التي قذفت بها (ع)، ولكن بلمنحى معاكس.

يتضح مما سبق أنه يمكن الحصول على الزمن والسرعة في أي نقطة على مسار مقذوف رأسي من معادلات السقوط الحر، مع مراعاة إشارة التسارع في كل حالة.

مثال

قذفت حجر رأسياً إلى أعلى بسرعة 16م/ث

أوجدي:

أ) الحد الأعلى للارتفاع الذي يصل إليه.

ب) الزمن الذي يستغرقه الحجر في الجو قبل عودته إلى الأرض.

جـ=9,80م/ث2. أهملي مقاومة الهواء في هذه الحالة).

الحل

أ) باستخدام المعادلة الثالثة للحركة، وبالتعويض عن المقادير المعروفة، نحصل على:

فالحد الأعلى للارتفاع الذي يصل إليه الجسم=13,06م.

ب) لإيجاد زمن الصعود نسيفيد من المعادلة الأولى للحركة:

أي أن الزمن الذي استغرقه الجسم في الهواء ثانية، وهو ضعف زمن الصعود.

رسم منحنيات المسافة –الزمن، السرعة- الزمن
للجسم الساقط

لرسم منحنيات المسافة –الزمن، السرعة- الزمن للجسم الساقط سقوطاً حراً، تؤخذ المسافة التي يقطعها الجسم من المعادلة: وحيث أن تسارع الجاذبية الأرضية في مكان ما يعد مقداراً ثابتاً:

فإذا كانت جـ=980سم/ث2 فإن المسافة التي يسقطها الجسم في الثانية الأولى والثانية…الخ مبينة في الجدول التالي:

وإذا مثلنا هذه المعلومات برسم بياني نحصل على منحنى المسافة –الزمن (شكل 4-3) ويمكن عندئذ تحديد ارتفاع الجسم في لحظة من اللحظات بالاستفادة من هذا المنحنى.

ولرسم منحنى السرعة – الزمن الساقط، نستفيد من معادلة السرعة للجسم الساقط: ع1=جـ ن، ونحسب سرعة الجسم في نهاية الثانية الأولى، الثانية …الخ. كما يبينها الجدول التالي:

وإذا مثلنا هذه المعلومات برسم بياني نحصل على منحنى السرعة –الزمن (شكل 4-4) وهو عبارة عن خط مستقيم حيث أن علاقة السرعة بالزمن علاقة خطية. ويستفاد من منحنى السرعة –الزمن للجسم الساقط في تعيين سرعة الجسم في أي لحظة من اللحظات خلال سقوطه.

سؤال

لماذا يمر منحنى المسافة- الزمن ومنحنى السرعة- الزمن للجسم الساقط في نقطة الأصل؟

أسئلة وتمارين

أ) ما المقصود بتسارع الجاذبية الأرضية؟

ب) صفي طريقة تجريبية لحساب القيمة العددية لهذا التسارع؟

2) يشتغل عامل على سطح بناية عالية، وسقطت منه مطرقة عفوياً، فوصلن سطح الأرض بعد 8ثوان. أوجدي.

أ) ارتفاع البناية.

ب) مقدار سرعة المطرقة عند ارتطامها بسطح الأرض.

3) سقط حجر من نقطة سكونه عند فوهة بئر فارتطم بسطح الماء بعد ثانتين من سقوطه احسبي:

أ) سرعة ارتطام الحجر بسطح الماء.

ب) عمق سطح الماء في البئر.

3) سقط جسم من جسر يرتفع 75متراً عن سطح الماء. أوجدي:

أ) سرعة ارتطامه بسطح الماء.

ب) زمن السقوط.

5)  قذف جسم رأسياً إلى أعلى بسرعة احسبي:

أ) الارتفاع الذي سيصل إليه.

ب) الزمن الكلي الذي يبقاه الجسم في الهواء.

6) أطلق سهم إلى أعلى فوصل إلى ارتفاع 122,5م. احسبي:

أ) زمن التحليق الكلي للسهم.

ب) السرعة التي سقط بها الجسم.

7) أطلقت قذيفة مضادة للطائرات رأسياً إلى أعلى فوجد أنها قطعت مسافة 543,9م في خلال الثانية الثالثة. فإذا أهملنا أثر الاحتكاك في الهواء احسبي:

أ) زمن التحليق الكلي للقذيفة.

ب) السرعة الابتدائية للقذيفة.

جـ) الحد الأعلى لارتفاع القذيفة قبل بدئها في السقوط سقوطاً حراً.

8) قذف حجر رأسياً إلى أعلى من قمة برج ارتفاعه 34,4 متراً بسرعة 29,4م/ث احسبي:

أ) الزمن اللازم للحجر حتى يصل الحد الأعلى للارتفاع.

ب) الزمن اللازم للحجر حتى يعود إلى سطح الأرض.

الحركة الدائرية والحركة التوافقية البسيطة

في دراستنا المعادلات الحركة (السنة الثانوية الثانية والفصلين الثاني والثالث من هذا الكتاب) تطرقنا إلى نوع واحد من المسارات التي يمكن للأجسام أن تسلكها: الخط المستقيم. وفي هذا الفصل سندرس نوعين من الحركة لا يقلان عن أهمية في الطبيعة عن الحركة على خط مستقيم: الحركة الدائرية، والحركة التوافقية البسيطة (Simple harmonic motion). وهذه الأخيرة تمهّد لدراسة الحركة الموجية في الفصل الخامس.

الحركة الدائرية والحركة التوافقية البسيطة

(4-1) الحركة الدائرية المنتظمة:

وجد أنه من الأفضل عند صياغة قوانين الميكانيكا أن يعبر عن دوران الأجسام بالزاوية النصف القطرية بدلاً من الدرجات أو عدد الدورات.

والزاوية النصف قطرية: هي عبارة عن وجدة لقياس الزوايا وتسمى الراديان.

تعريف الزاوية النصف قطرية (الراديان):

هي الزاوية المركزية التي تقابل قوساً طوله 1 سم في دائرة نصف قطرها 1سم. (شكل 4-1أ* ,

\ محيط الدائرة = 2 p ر

\ يوجد في الدائرة الكاملة عدد من الزوايا النصف قطرية

= 2 p ر/ر = 2p ويناظر ذلك 360°

\ p=3.14

\ وحدة الزاوية النصف قطرية = 360/2p = 360/2×3.14=57.3°

\ مقدار الزاوية (ي) بالوحدات نصف القطرية = طول القوس المقابل (ف)/نصف قطر الدائرة(ر)

وسبب قياس الزوايا بالتقدير الدائري هو تبسيط قوانين الميكانيكا.

تعريف السرعة الزاوية: ع_ز

هي الزاوية المركزية المقطوعة في وحدة الزمن.

* العلاقة بين السرعة الخطية على المحيط والسرعة الزاوية:

خذي جسماً يتحرك في مدار دائري على سطح مستو ثابت (الشكل 4-1ب)، تكون حركة الجسم على الدائرة حركة دائرية منتظمة إذا كان مقدار سرعة الجسم ع على خط الدائرة ثابتاً لا يتغير ومعادلة الحركة في هذه الحالة:

ف = ع 0 ز              (4-1)

حيث ترمز ز للزمن وف للمسافة القوسية التي يقطعها الجسم في الفترة الزمنية ز، ترمز ع للسرعة الخطية على المحيط ونعرف السرعة الزاوية (ع_ز) بالعلاقة:

ع_ز=ي/ز=الزاوية المقطوعة/الزمن              (4-2)

حيث ي هي الزاوية المركزية التي تقابل القوس ف، مقيسة بالراديان⁽[1]⁾.

ونستطيع الحصول على علاقة بين ع وع_ز وذلك لعلمنا أن القوس ف والزاوية ي، ونصف القطر (ترتبط بالعلاقة : ف ر ي). وبالتعويض عنها في العلاقة (2) نحصل على:

إذن: سرعة الجسم على الدائرة تساوي حاصل ضرب السرعة الزاوية بنصف قطر الدائرة.

مثال:

حجر مربوط في طرف خيط طوله 50 سم وجد أنه عندما يدور يعمل 8 دورات كاملة في زمن قدره 2 ثانية احسبي:

1- السرعة الزاوية التي يتحرك بها الحجر مقدرة بالراديان/ث

2- السرعة الخطية له.

3- المسافة التي يقطعها الحجر.

الحل:

\ الحجر في الدورة الواحدة يقطع زاوية:

2 p راديان

\ي = 8×2p=8×2×3.14=50.24 راديان

\ع_ز = ي/ز

 (4-2) السرعة المتجهة في الحركة الدائرية المنتظمة:

دعينا نتتبع حركة جسم يتبع مساراً دائرياً، وذلك أثناء انتقاله من النقطة ج نحو النقطة ث. فإذا اعتبرنا أن الجسم يمر في النقطة ج في اللحظةالزمنية ز0، وأنه يصل ث في اللحظة الزمنية ز1، يمكنننا عندئذ أن نحسب معدل سرعة الجسم بقسمة طول القوس ج ث على الفترة الزمنية ز1-ز0.

وإذا كانت النقطة ج قريبة من النقطة ث، يمكن اعتبار طول القوس ج ث مساوياً لطول الوتر ج ث. وإذا نظرنا إلى ج ث كمتجه يمثل الإزاحة التي يولدها الجسم أثناء انتقاله من ج إلى ث.

نستطيع عندها أن نكتب العلاقة التالية:

م ج+ج ث=م ث

أي ج ث= م ث - م ج

فيكون معدل سرعة الجسم:

وإذا أخذت D ز بالتناقص، نلاحظ أن معدل السرعة يتغير في الاتجاه، وعندما يصل الجسم إلى النقطة ث يتطابق المتجه ج ث مع المماس د ث. (الشكل 4-2).

وإذن فإن سرعة الجسم في الموضع ث هي متجهة على خط المماس عند ث وفي اتجاه حركة الجسم على الدائرة ومقدارها السرعة القياسية للجسم، وهو مقدار ثابت في حالة الحركة الدائرية المتظمة.

(4-3) التسارع في الحركة الدائرية المنتظمة: التسارع المركزي:

تبين لنا أن السرعة تغير اتجاهها مع الزمن. ويوجب قانون نيوتن الأول وجود قوة لتغيير اتجاه السرعة، ويربط قانون نيوتن الثاني هذه القوة بتسارع الجسم. خذي خيطاً طوله متر واحد، واربطي جسماً صغيراً بأحد طرفيه. أمسكي الطرف الآخر للخيط بيدك، وأعطي الجسم حركة دائرية بطريقة يبقى الخيط معها مشدوداً، تلاحظين أنه يلزمك بذل مجهود لكي لا يفلت الخيط من يدك، فتشدين بقوة معينة. وإذا أفلت الخيط، فإن الجسم يسير باتجاه خطي مستقيم. وإذا استخدمت جسماً أكبر لإجراء التجربة تجدين أن القوة التي تلزمك لشد الحبل تصبح أكبر. وهذا يعني أنه يلزم شد الجسم بقوة معينة لكي يبقى على مسار دائري. وبما أن القوة تتجه إلى مركز الدائرة، فإن الجسم يتعرض لتسارع باتجاه المركز، يدعى التسارع المركزي، وهذا كاف لإبقاء الجسم على خط محيط الدائرة.

وللحصول على صورة أوضح عن القوة الجاذبة المركزية وعن التسارع نحو المركز يمكننا أن نقارن بين حركة الجسم في مسار دائري وحركة قذيفة تؤثر فيها قوة التثاقل فتتسارع إلى أسفل مبتعدة عن الخط المستقيم الذي يمثل اتجاه قذفها الأصلي (الشكل 4-3أ). أما في الحركة الدائرية فيكون التسارع باستمرار في اتجاه المركز أي في اتجاه عمودي على سرعته في أي لحظة مبتعداً عن اتجاه أي مماس مستقيم يمكن أن يتحرك فيه الجسم لو ترك الخيط فجأة.

يوضح الشكل (4-3ب) السرعة اللحظية لجسم كتلته ك عند نقطتين مثل أ، ب في مسار دائري ويلاحظ أن السرعة الممثلة في الشكل بالمتجهات ع تتغير في الاتجاه بينما تحتفظ بمقدارها

ثابتاً ويبين الرسم أن عَ يمثل التغير في اتجاه السرعة في هذه الحالة.

ويتبين أن مثلث السرعة يشابه D أ ب م وعلى ذلك فالأضلاع المتناظرة في المثلثين متناسبة.

\ ف/ر = عَ/ع

وحيث أن السرعة عَ متغيرة وذلك نتيجة للتسارع

\ عَ = ت ز

وفي أثناء الزمن ز ينتقل الجسم من النقطة أ إلى النقطة ب فيقطع مسافة قدرها ع ز وبالنسبة للزاوية الصغيرة (ى) تكون المسافة المقاسة على طول القوس أ ب مساوية تقريباً للوتر ف حتى أنه يمكن بتقريب كاف التعويض عن ف بالقيمة ع ز:

ومن قانون نيوتن الثاني للحركة فإنه:

وبدلالة السرعة الزاوية: ع - ع_ز ر

تعريف القوة الجاذبة المركزية:

هي القوة الثابتة التي تؤثر باستمرار في اتجاه عمودي على حركة جسيم مسببه تحركه في مسار دائري بسرعة ثابتة.

(4-4) امثلة محلولة حول التسارع المركزي وقانون الجاذبية العام:

مثال (1):

(أ) يدور جسم بسرعة مقدارها ع في مسار دائري، حول الأرض، نصف قطره ر. ما هي العلاقة بين مقدار السرعة ونصف قطر المسار وكتلة الأرض؟

(ب) احسبي مقدار السرعة إذا كان ارتفاعه فوق سطح الأرض 1000 كم.

الحل:

(أ) نصف قطر المسار هو مسافته من مركز الأرض:

\ قوة الجاذبية على الجسم تساوي:

ج ك ك_أ/ر2

بافتراض أن كتلة الجسم ك.

هذه القوة تعطي تسارعاً نحو مركز الأرض مقداره:

ج ك_أ/ر2

وما دام الجسم في مسار دائري فإن هذا التسارع لا بد أن يكون: ع2/ر

  

(ب) في هذه الحالة: ر = 1000+6400=7400كم

مثال (2):

إذا علمت أن القمر يدور حول الأرض مرة كل 27.3يوماً. احسبي مسافته من مركز الأرض.

الحل:

27.3يوماً =27.3×86400=2.36×⁶10 ث إذا كانت مسافة القمر من مركز الأرض ر متراً فإن طول مسارة الدائري هو محيط دائرة نصف قطرها ر ويساوي 2p ر متر.

\ مقدار سرعة القمر:

مثال (3):

احسبي الارتفاع فوق سطح الأرض لقمر صناعي يكون في مسار يسمح له بالبقاء فوق نقطة واحدة على الأرض. [مثل هذا القمر يستعمل ليعكس موجات البث الإذاعي].

الحل:

لابد أن يدور مثل هذا القمر الصناعي حول الأرض بمقدار سرعة دورانها حول نفسها، أي أنه يكمل دورته في يوم واحد، أي في 86400 ثانية.