تطبـيقـات قانون المبدأ الأساسـي عـلى الحـركـات

تطبـيقـات قانون المبدأ الأساسـي عـلى الحـركـات الجـيـبـيـة المـستقيمة دراسـة الـنواس الـمـرن.

تطبيقات قانون المبدأ الأساسي علىالحركات الجيبية الدورانية

 1- دراسـة نـواس الـفـتـل

تطبـيقـات قانون المبدأ الأساسـي عـلى الحـركـات الجـيـبـيـة المـستقيمة دراسـة الـنواس الـمـرن.

أهداف الدرس : يستنتـج المعادلة التفـاضـلـيـة لـلـحـركـة بـتـطـبـيـق :

            أ -  قـانـون الـمـبـدأ الأسـاسـي لـلـتـحـريـك.

  ب - مـبـدأ انـخـفـاظ الـطـاقـة الـمـيـكـانـيـكـيـة.

يـسـتـعـمـل بـيـانـات الـطـاقـة فـي الـحـركـة الـنـوسـيـة.

الـمـدة الـزمـنـيـة الـلازمـة للـدراسـة : 3 سـاعـات.

الـدروس التي يجب الرجوع إليهـا : نظريـة مـركـز الـعـطـالـة.

الـحـركـة الـجـيـبـيـة الـمـسـتـقـيـمـة.

الـمراجــع : كتاب الفـيـزياء الـسـنـة الـثـالـثـة ثـانـوي الـمـعـهـد التربــوي الوطنـي، أو أي كتاب فـيـزيـاء يـحـتـوي عـلـى الـمـوضـوع.

تـصـمـيـم الـدرس

- تـمـهـيــد.

1 - تطبيقات قانون المبدأ الأساسي عل الحركات الجـيبيـة المستقيمة.

1 - 1 - تـعـريـف الـنـواس الـمـرن.

1 - 2 - إيجاد المعادلة التفاضلية-النواس المرن الأفقي، النواس المرن الشاقولي.

2 - الـدراسـة الـطـاقـويـة لـلـنـواس الـمـرن.

2 - 1 - اننـخـفـاظ الـطـاقـة الـمـيـكـانـيـكـيـة.

2 - 2 - حـفـرة الـكـمـون                   .2- 3 - إيـجـاد الـمـعـادلـة الـتـفـاضـلـيـة.

3 - أسـئـلـة الـتصـحـيـح الـذاتـي.

4 - أجـوبـة الـتـصـحـيـح الـذاتـي.

- تـمـهـيـد :

                   لـقـد درسـت عـزيـزي الـطـالـب، فـي الإرسـال الأول الـمـبـدأ الأسـاسـي لـلـتـحـريـك و تـطـبـيـقـاتـه عـلـى الحـركـات الـمـسـتـقـيـمـة الـمـنـتـظـمـة             والـمـسـتـقـيـمـة الـمـتـغـيـرة بـانـتـظـام و كـذا الـحـركـات الدائـريـة الـمـنـتـظـمـة      والـدائـريـة الـمـتـغـيـرة بـانـتـظـام و هـذا مـن خـلال دراسـتـك لـحـركـة مـركـز عـطـالـة جـسـم عـلـى مـسـتـو مـائـل، الـنـواس الـمـخـروطـي، اجـتـيـاز مـنـعـطـف، حـركـة خـاضـعـة لـقـوة ثـابـتـة وذلـك بـتـطـبـيـق نـظـريـة مـركـز الـعـطـالـة.

كـمـا تـطـرقـت، عـزيـزي الـطـالـب لـقـانـون الـمـبـدأ الأسـاسـي لـلـتـحـريـكـات الـدورانـيـة مـن خـلال دراسـتـك لـدوران جـسـم صـلـب حـول مـحـور ثـابـت و ذلـك بـتـطـبـيـق نـظـريـة الـتـسـارع الـزاوي.

لـنـدرس الآن تـطـبـيـقـات قـانـون الـمـبـدأ الأسـاسـي عـلـى الحركـات الـجـيـبـيـة الـمـسـتـقـيـمـة و الـجـيـبـيـة الـدورانـيـة.

1- تطبيـقـات قانون المبـدأ الأساسي على الـحركات الجيبيـة الـمستقيمة :

- الـنـواس الـمـرن -

1 - 1 - تـعـريـف :

يـتـكـون الـنـواس الـمـرن مـن جـسـم صـلـب كـتـلـتـه "ك" مـثـبـت بـنـهـايـتـه نـابـض مـرن طـولـه و هـو فـارغ "ل0" و ثـابـت مـرونـتـه "ثـا" و نـهـايــه الأخـرى مـثـبـتـة فـي نـقـطـة ثـابـتـة.

سنـدرس الـحـالـتـيـن الـتـالـيـتـيـن :

- الـنـواس الـمـرن الأفـقـي  ( الـشـكـل 1 )

- الـنـواس الـمـرن الـشـاقـولـي ( الـشـكـل 2 )

          

و سنـهـمـل قـوى الإحـتـكـاك و مـقـاومـة الـهـواء أثـنـاء الـدراسـة.

1 - 2 - إيـجـاد الـمـعـادلـة الـتـفـاضـلـيـة لـلـحـركـة بـتـطـبـيـق الـمـبـدأ الأسـاسـي لـلـتـحـريـك.

أ - الـنـواس المـرن الأفـقـي :

- الـجـمـلـة الـمـدروسـة فـي الـجـسـم الـصـلـب،

- الـمـرجـع أرضي غـالـيـلـي،

               -الـشـكـل –1- الـجـمـلـة مـتـزنـة، الـنـابـض غـيـر مـشـوه،

الـشـكـل -2-  نـزيـح الـجـسـم عـن وضـع تـوازنـه بـمسـافـة " أ " ثـم نـتـركـه بـدون سـرعـة

إبـتـدائـيـة فـنـلاحـظ أن الـجـسـم يـقـوم بـحـركـة اهـتـزازيـة حـول وضع تـوازنه، نـطبـق نـظـريـة      

مـركـز الـعـطـالـة عـلـى الـجـسـم أثـنـاء الـحـركـة عـنـد نـقـطـة كـيـفـيـة فـاصـلـتـهـا (س) فـي الـمـعـلـم م س       ( الـشـكـل 3 ) :

  .

  ، بـالإسـقـاط عـلـى مـحـور الـحـركـة م س نـجـد :

- تـو = كـ تـع ، و بـما أن تو = ثـا س    فـإن :

- ثـا س = كـ تـع  تـع = -  ، لـديـنـا : تـع =   ،

           + = 0

إذن هـذه الـمـعـادلـة هـي الـمـعـادلـة الـتـفـاضـلـيـة الـمـمـيـزة لـلـحـركـة الـجـيـبـيـة الـمـسـتـقـيـمـة    ( أنـظر الإرسـال الأول )    و مـنـه فـإن حـركـة مـركـز عـطـالـة الـجـسـم هـي حـركـة جـيـبـيـة مـسـتـقـيـمـة مـعـادلـتـهـا الـزمـنـيـة مـن الـشـكـل :

         س = أ جـب ( ي ز + ص )

حـيـث أ ، ي ، ص ، مـقـاديـر ثـابـتـة.

أ : هـي الـسـعـة الـعـظـمـى لـلـحـركـة و تـسـاوي مـقـدار الإزاحـة الـتـي أُحـدثـت لـلـجـسـم ابـتـداء مـن وضـع الـتـوازن و هـذا عـنـدمـا يُـتـرك لـيـهـتـز بـدون سـرعـة ابـتـدائـيـة ،

ي : نـبـض الـحـركـة و هـو  مـقـدار ثـابـت مـوجـب يـمـيـز كـل حـركـة جـيـبـيـة عـن أخـرى و يـعـيـن كـمـا يـلـي :

لـديـنـا    مـعـادلـة الـحـركـة : س = أ جـب ( ي ز + ص ) ،

       و مـعـادلـة الـسـرعـة : سـر = أ ي تـجـب ( ي ز + ص ) ،

       و معـادلـة الـتـسـارع : تـع = -أ ي2 جـب ( ي ز + ص ) = -ي2 س ،

            أي أن    :        تع + ي2 س = 0 ،

                                  +   س = 0

وبالمـقـارنـة مع المـعـادلـة التـفـاضـلـيـة الـسـابـقـة نجـد :

  =    

ص = الـصـفـحـة الإبـتـدائـيـة لـلـحـركـة و تُـعـيـن مـن الـشـروط الإبـتـدائـيـة لـلـحـركـة.

دور الـحـركـة و تـواتـرهـا :

لـديـنـا : ي = 2  ن =    د =   = 2    .

                                 ن =   = .

مـلاحـظـات :

إن دور حـركـة الـنـواس الـمـرن :

- لا يـتـعلـق بـسـعـة الإهـتـزاز ،

- يتنـاسـب طرديـا مع الـجذر الـتـربـيـعـي لـكـتـلـة الـجـسـم (كـ).

 - يـتـنـاسـب عـكـسـيـا مـع الـجـذر الـتـربـيـعـي لـثـابـت مـرونـة الـنـابـض (ثـا).

إن الـنـواس الـمـرن هـو هـزّاز تـوافـقـي ( الـهـزّاز الـتـوافـقـي هـو كـل نـواس فـاصـلـتـه تـابـع جـيـبـي لـلـزمـن ).

- لرسـم مخططـات الـحـركـة : س = تـا(ز) ، سـر = هـا(ز) ، تـع =  (ز)

إرجـع إلـى الإرسـال الأول.

ب - الـنـواس المـرن الـشـاقـولـي :

- نـعـتـبـر نـابـضـا مـرنـا طـولـه و هـو فـارغ   ، ثـابـت مـرونـتـه ثـا . (1) نـثـبـت الـنـابـض مـن أحـد طـرفـيـه و نـعلـق فـي طـرفـه الآخـر جـسـمـا صـلبـا كـتـلـتـه ك

 فـيسـتطـيـل النابض بمقـدار  ل ثـم يتزن (2).

نـطـبـق نـظـريـة مـركـز الـعـطـالـة عـلـى الـجـسـم الـمـعـلـق أثـنـاء الـتـوازن  

فـي مـرجـع أرضـي غـالـيـلـي :   هـ =       +   =   ، بالإسـقاط علـى الـمـحـور م س نـجـد :

ث - تـو0 = 0 ،ث - ثـا  ل = 0 . . . . . . (1)

- نـزيـح الـجـسـم الـمـعـلـق شـاقـولـيـا نـحـو الأسـفـل مـسـافـة "أ" ابـتـداء مـن وضـع تـوازنـه ثـم نـتـركـه بـدون سـرعـة ابـتـدائـيـة فـنـلاحـظ أن الـجـسـم يـقـوم بـحـركـة اهـتـزازيـة حـول وضـع تـوازنـه.

نـطـبـق نـظـريـة مـركـز الـعـطـالـة عـلـى الـجـسـم الـمـعـلـق أثـنـاء الـحـركـة عـنـد نـقـطـة كـيـفـيـة فـاصـلـتـهـا (س) فـي الـمـعـلـم م س (4) :

   هـ = ك  

     +  = ك    ، بـالإسـقـاط عـلـى الـمـحـور م س نـجـد :

ث - تـو = ك تـع   ،  تـو = ثـا (  ل + س ) ،

ث - ثـا (  ل + س ) = ك تـع ،

ث - ثـا  ل - ثـا س = ك تـع ،

و حـيـث أن : ث – ثـا  ل = 0 ، ( الـعـلاقـة 1 أعـلاه ) فـإن :

- ثـا س = ك تـع  تـع = -   س   ،             ، تع = 

و مـنـه :         +   = 0

و هـي الـمـعـادلـة الـتـفـاضـلـيـة الـمـمـيـزة لـلـحـركـة الـجـيـبـيـة الـمـستـقـيـمة  و مـنـه فـحـركـة الـجـسـم الـمـعـلـق هـي حـركـة جـيـبـيـة مـسـتـقـيـمـة لـهـا نـفـس الـمـمـيـزات الـسـابـقـة.

مـثـال 1 :

         لـديـنـا نـابـض مـرن حـلـقـاتـه غـيـر مـتـلاصـقـة، ثـابـت مـرونـتـه ثـا = 10 ن/م، يُـلـف

هـذا الـنـابـض حـول سـاق أفـقـيـة م س و يُـثـبـت مـن إحـدى نهـايتـه فـي م و يـحـمـل فـي نـهـايـتـه

الأخـرى جـسـمـا صـلـبـا ص كـتـلـتـه ك = 100 غ يـمـكنـه الإنزلاق بـدون احتكـاك عـلى الـسـاق.     

أ - أدرس الـقـوى الـمـؤثـرة عـلـى الـجـسـم (ص) عـنـد الـتـوازن.

ب - نـزيـح الـجـسـم (ص) أفـقـيـا مـسـافـة  أ = 5 سـم ابـتـداءً مـن وضـع الـتـوازن ثـم نـتـركـه بـدون سـرعـة ابـتـدائـيـة، بـأخـذ مـبـدأ الأزمـنـة لـحـظـة مـرور الـجـسـم بـالـنـقـطـة الـتـي فـاصـلـتـهـا س =  2.5 سـم و هـو يـتـحـرك فـي اتـجـاه الـمـطـالات الـمـوجـبـة مـن م نـحـو س، أوجـد الـمـعـادلـة الـزمـنـيـة لـحـركـة الـجـسـم ص واحـسـب دورهـا.

الـحـل :

أ - الـقـوى الـمـؤثـرة عـلـى ص هـي :

ثـقـلـه     و فـعـل الـسـاق   ،

حـيـث :   +   =   .

ب - نـطـبـق نـظـريـة مـركـز الـعـطـالـة عـلـى (ص) فـي مـرجـع أرضـي مـزوّد بـالـمـعـلـم مـ0 س و فـي وضـع كـيـفـي ( الـشكل 3 ).

  = ك 

  +   +   =   ، بـالإسـقـاط       

عـلـى الـمحـور مـ0 س نـجـد :- تـو = ك تـع ،

- ثـا س = ك تـع  ك تـع + ثـا س = 0 ،

 تـع +   س = 0 ،

و هـي مـعـادلـة تـفـاضـلـيـة مـن الـدرجـة الـثـانـيـة حـلـهـا مـن الـشـكـل

س = أ جب ( ي ز + ص ) ،

و مـنـه فـحـركـة (ص) جـيـبـيـة مـسـتـقـيـمـة مـعـادلـتـهـا :

         س = أ جـب ( ي ز + ص )  ،

حـيـث أ : سـعـة الـحـركـة و تـسـاوي 5 سـم ،

ي : نـبـض الـحـركـة : ي =   =   = 10 راد / ثـا ،

 ص : الـصـفـحـة الإبـتـدائـيـة لـلـحـركـة و تُـعـيـن مـن الـشـروط الإبـتـدائـيـة كـالـتـالـي :

فـي الـلـحـظـة ز = 0 لـديـنـا : س = 2.5 سـم . و سـر  0 ،

بـالـتـعـويـض في الـمـعـادلـة الـزمـنـيـة نـجـد :

 2.5 = 5 جـب ص  جـب ص =  ،

و مـنـه ص =   راد  أو  ص =   راد .

بالـتـعويـض في مـعـادلـة الـسـرعـة الـتي هي :

 سـر = أ ي تجب (ي ز+ص) نـجـد :

         سـر = أ ي تـجـب ص  0 ،

أ ي  0  تجـب ص  0 ، و حتى يـتـحـقـق ذلـك نـأخـذ ص =   راد ،

و مـنـه نـكـتـب الـمـعـادلـة الـزمـنـيـة لـلـحـركـة :

         س = 5 . 10-2 جـب ( 10 ز +   )    ( م ).

دور الـحـركـة : د =   ثـا ،

                 د = 0.628 ثـا.

مـثـال 2 :

         نـثـبت نابـضـا شاقـولـيـا و نعـلق فـي طـرفـه الآخـر جـسـمـا صـلـبـا كـتـلـتـه ك = 250 غ فـيـسـتطـيـل النـابض بمقـدار 2.5 سـم.

أ - أحـسـب ثـابـت مـرونـة الـنـابـض.

ب - نـشـد الـجـسـم الـمــعـلـق شـاقـولـيـا نـحـو الأسـفـل مـسـافـة أ = 4 سـم ثـم نـتـركـه بـدون سـرعـة ابـتـدائـيـة، نـعـتـبـر مـبـدأ الأزمـنـة لـحـظـة مـرور الـجـسـم بـالـنـقـطـة الـتـي فـاصـلـتـهـا س = -2 سـم و هـو يـتـحـرك فـي اتـجـاه الـمـطـالات الـسـالـبـة.

- أوجـد الـمـعـادلـة الـزمـنـيـة لـلـحـركـة و أحـسـب دورهـا ،

- أحـسـب تـوتـر الـنـابـض فـي الـلـحـظـة ز =   ثـا . نـعـتـبـر ج = 10  

الـحـل : 

أ - ثـابـت مـرونـة الـنـابـض :

عـنـد الـتـوازن ( شـكـل 2 ) :

   

 بـالإسقاط عـلى م س نجد : ث -  = 0 ،

ث - ثـا  ل = 0 . . . . . . . (1)

          

و منـه نـجد : ث = ثا  ل  ثـا =   ،

إذن :  ثـا =   = 100 ن / م .

ب – نـطـبـق نـظـريـة مـركـز الـعـطـالـة عـلـى الـجـسـم الـمـعـلّـق فـي مـعـلـم أرضـي غـالـيـلـي فـي وضـع كـيـفـي        ( الـشـكـل 3 ) :

   ، بـالإسـقـاط عـلـى مـحـور الـحـركـة نـجـد :

ث - تـو = ك تـع ،

ث - ثـا (  ل + س ) = ك تـع ،

ث - ثـا  ل – ثـا س = ك تـع .

بـاسـتخدام الـمعـادلـة (1) نـجـد : ثـا س = ك تـع  ثـع +   س = 0 .

و هـي مـعـادلـة تـفـاضـلـيـة مـن الـدرجـة الـثـانـيـة حـلـهـا جـيـبـي و مـنـه فـحـركـة الـجـسـم الـمـعـلـق هـي حـركـة جـيـبـيـة مـسـتـقـيـمـة مـعـادلـتـهـا :

         س = أ جـب ( ي ز + ص ) ،

حـيـث أ : سـعـة الـحـركـة ، أ = 4 سـم ،

ي : نـبـض الـحـركـة ، ي =   = 20 راد / ثـا.

ص : الـصـفـحـة الإبـتـدائـيـة لـلـحـركـة و نـعـيـنـهـا مـن الـشـروط الإبـتـدائـيـة :

فـي الـلـحـظـة ز = 0    س = -2 سـم   ، سـر  0 ،

بـالـتـعـويـض في مـعـادلـة الحـركـة نـجد : - 2 = 4 جب ص

    جب ص = -  ،

         و مـنـه ص =   راد  أو    راد .

بـالـتعـويض فـي معادلـة الـسرعـة : سر = أ ي تجب ( ي ز + ص ) نـجد :

سـر = أ ي تـجـب ص  0  ،

أ ي  0  تـجـب ص  0 ، و حتى يتحـقـق ذلـك نـأخـذ ص =   راد ،

و تـكـون المعـادلـة الزمنيـة للحركـة : س = 4 جـب ( 20 ز +   ) ( سم )

دور الـحـركـة : د =   0.314 ثـا .

تـوتـر الـنـابـض فـي الـلـحـظـة ز =   ثـا :

تـو = ثـا س = ثـا أ جـب ( ي ز + ص ) = ثـا أ جـب (   ز + ص ) ،

         تـو = 100 . 4 . 10-2 جـب (   .   +   ) ،

              = 4 جـب (  +   )

             = 4 جـب ( 2  +   ) = 4 جـب    ،

                                    تـو = 4 x   = 2 ن .

2 - الـدراسـة الـطـاقـويـة لـلـنـواس الـمـرن :

         تـعـلـم عـزيـزي الـطـالـب ، مـن دراسـتـك لـبـرنـامـج الـسـنـة الـثـانـيـة ثـانـوي أن الـطـاقـة الـمـيـكـانـيـكية هـي مجموع الطاقـتـيـن الـكـامـنـة و الـحـركـيـة، أي : طـم = طـك + طـح.

و تـعـلـم أيـضـا أن الـطـاقـة الـكـامـنـة الـثـقـالـيـة لـجـسـم كـتـلـتـه "ك" يـوجـد عـلـى ارتـفـاع مـن سـطـح الأرض تـعـطـى بـالـعـلاقـة : طـك ث = ك ج ع . ( بـاعـتـبـار سـطـح الأرض هو الـمـسـتـوي الـمـرجـعـي لـقـيـاس الـطـاقـة الـكـامـنـة الـثـقـالـيـة ) و أن الـطـاقـة الـكـامـنـة الـمـرونـيـة لـنـابـض ثـابـت مـرونـتـه "ثـا" مـقـدار تـشـوهـه "س" تـعـطـى بـالـعـلاقـة : طـكم =   ثـا س2   ، و الـطـاقة الـحركيـة لـجسـم كـتـلـتـه "ك" يـنـسـحـب بسـرعـة سـر تـعـى بـالـعلاقـة طـح =   ك سـر2.

2 - 1 - انـخفـاظ الـطـاقـة الـميـكـانـيـكيـة فـي الـنـواس الـمـرن :

      بـاخـتـيـار مـسـتـو مـرجـعـي مـعـيـن يـكـون مـن أجـلـه

 ع = 0  طـك ث = 0

( لـتـسـهـيـل الـدراسـة ) و بـاعـتـبـار الـنـواس فـي حـالـة حـركـة، تـكـون الـطـاقـة الـمـيـكـانـيـكـيـة لـلـجـسـم :

         طـم = طـك م + طـح ،

         طـم =   ثـا س2  +   ك سـر2.

و حـيـث أن حـركـة الـنـواس الـمـرن جـيـبـيـة مـسـتـقـيـمـة مـعـادلـتـهـا الـزمـنـيـة :     

                س = أ جـب ( ي ز + ص ) ،

و سـرعـتـهـا    سـر = أ ي تـجـب ( ي ز + ص ) ،

إذن : طـم =   ثـا أ 2 جب2 ( ي ز + ص ) +  ك أ2 ي2 تـجب2 ( ي ز+ص) ،

و بـمـا أن : ي2 =    فـإن : ك ي2 = ثـا  ، و مـنـه فـإن :

      طـم =   ثـا أ 2 جـب2 ( ي ز + ص ) +   ثـا أ2 تـجب2 ( ي ز+ص) ،

      طـم =   ثـا أ 2 [ جـب2 ( ي ز + ص ) + تـجـب2 ( ي ز+ص) ] ،

لـكـن : جـب2 ( ي ز + ص ) + تـجـب2 ( ي ز+ص) = 1 ،

  إذن : طـم =   ثـا أ2

و مـنـه نـسـتـنـتـج أن الـطـاقـة الـمـيـكـانـيـكـيـة مـحـفـوظـة فـي الـنـواس الـمـرن مـن أجـل سـعـة اهـتـزاز مـعـيـنـة.و يـمـكـن أن نوضـح ذلك من خلال رسـمـنا لـمـنـحـنـيـات الـطـاقـة

طـك = تـا(ز) ، طـح = هـا(ز)  و اسـتـنـتـاج الـطـاقـة الـمـيـكـانـيـكـيـة بـدلالـة الـزمـن :

حـيـث : طـكم =   ثـا س2  = ثـا   أ2 جـب2 ( ي ز + ص ) ،

          طـح =   ك سر2  =   ك أ2 ي2 تجب2(ي ز+ص)

                =   ثـا    ( ي ز + ص )

و بـاعـتـبـار ص = 0  ( لـتـسـهـيـل الـرسـم )

فـإن : طـكم =   ثـا أ2جـب2ي ز =   ثـا أ2 جـب2   ز ،

       طـح =   ثـا أ2تـجـب2ي ز =   ثـا أ2 تـجـب2   ز .

ز        0      

د

طـكم    0         ثـا أ2

0         ثـا أ2

0

طـح      ثـا أ2

0         ثـا أ2

0         ثـا أ2

طـم       ثـا أ2

  ثـا أ2

  ثـا أ2

  ثـا أ2

  ثـا أ2

حصلنـا علـى " طـم " بيانـيـا بجـمـع طـح ، طـك نـقـطـة بـنـقـطـة .

2 - 2 - حـفـرة ( بـئـر ) الـكـمـون :

إن الـطـاقـة الـكـامـنـة الـمـرونـيـة تـعـطـى بـالـعـلاقـة : طـكم =   ثـا س2

و تـمـثـل بـقـطـع مـكـافـئ ذي مـحـور تـنـاظـر شـاقـولـي           ( الـشـكـل ) و بـمـا أن الـطـاقـة الـمـيـكـانـيـكـيـة مـحـفـوظـة :

        طـم =   ثـا أ2،

فـإنـهـا تُـمـثـل بـخـط مـسـتـقـيـم يـوازي مـحـور الـفـواصـل     و يـقـطـع الـقـطـع الـمـكـافـئ فـي الـنـقـطـتـيـن هـ ، و الـلـتـيـن فـاصـلـتـاهـمـا عـلـى الـتـوالـي +أ ، -أ .

يـمـثـل الـشـكـل الـمـحـصـور بـيـن مـنـحـنـيـي طـكم ، طـم مـا يـسـمـى بـحـفـرة ( بـئـر ) الـكـمـون، و نـقـول عـن الـجـسـم أنـه يـتـحـرك فـي حـفـرة كمـون.

أثـنـاء حـركـة الـنـواس يـتـم تحـول الـطـاقـة مـن كـامـنـة مـرونـيـة إلـى حـركيـة و الـعـكـس، مـثـلا فـي الـمـطـال الأعـظـمـي ( س =  أ ) تـكـون الـطـاقـة المـيـكـانـيـكـيـة عـبـارة عن طـاقـة كـامـنـة مـرونيـة فقط : طـم = طـكم =   ثـا أ2، (طـح = 0)

وعـنـد وضع الـتوازن (س = 0) تـكون الـطـاقـة الـمـيكـانـيكـيـة عـبـارة عـن طـاقـة حـركـيـة فـقـط :

طـم = طـح =   ك  =   ثـا أ2    (طـكم =0)،

أمـا عـنـد وضـع كـيـفـي فـإن طـم = طـكم + طـح  ،

و يـمكـن حـسـاب طـح مـن الـشكل كمـا يـلـي : طـح = طـم - طـكم ،

                                                ن جـ = د جـ - د ن .

مـلاحـظـة :

         كل جسـم يـتـحـرك فـي حـفـرة كـمـون هـو نـواس تـوافـقـي.

2 - 3 - إيجاد المعادلة التفاضلية للحركـة بتطبـيق مبدأ انخفاظ الطاقة الميكانيكية :

يـمـكـن إيـجـاد الـمـعـادلـة الـتـفـاضلـيـة الـمـمـيـزة لـلـحـركـة الـجـيـبـيـة الـمـسـتـقـيـمـة لـلـنـواس الـمـرن بـتـطـبـيـق مـبـدأ انـحـفـاظ الـطـاقـة الـمـيـكـانـيـكـيـة :

         طـم = طـك + طـح = طـكم + طـكث + طـح .

فـّإذا اخـتـرنـا مـسـتـويـا مـرجـعـيـا لـلـطـاقـة الـكـامـنـة بـحـيـث طـكث = 0 فـإنـنـا نـكـتـب :          طـم = طـكم + طـح  ،

طـم =    ثـا س2 +   ك سـر2  =    ثـا أ2 = ثـابـت ،

بـاشـتـقـاق هـذه الـمـعـادلـة بـالـنـسـبـة لـلـزمـن نـجـد :

  =    (   ثـا س2 +   ك سـر2  )  ،

     0   =   ثـا   +   ك    ،

     0   =   ثـا ( 2 س   ) +   ك ( 2 سـر   ) ،

     0  =  ثـا س   + ك سـر.   ،

      0  =  ثـا س سـر + ك سـر تـع  ،

      0  =  ( ثـا س + ك تـع ) سـر  ،

أثـنـاء الـحـركـة سـر  0   و مـنـه فـإن : ك تـع  + ثـا س = 0  ،

    أي :          تـع +  س = 0  +   س = 0

مـثـال 1 :

         يـتـكـون نـواس مـرن شـاقـولـي مـن نـابـض ثـابـث مـرونـتـه ثـا = 20 ن/م و جـسـم صـلـب كـتـلـتـه ك = 150 غ ، نـهـمـل كـافـة الإحـتـكـاكـات و نـعـتـبـر     ج = 9.8 م / ثـا2.

نـزيـح الـجـسـم (ص) ابـتـداءا مـن وضـع تـوازنـه شـاقـولـيـا نـحـو الأسـفـل مـسـافـة أ = 6 سـم ثـم نـتـركـه بـدون سـرعـة ابـتـدائـيـة فـي الـلـحـظـة ز = 0 .

أ - بـأخـذ وضـع الـتـوازن مـ0 مـبـدءا الـقـيـاس الـطـاقـة الـكـامـنـة الـثـقـالـيـة، احـسب الـطـاقـة الـمـيـكـانـيـكـيـة لـلـجـمـلـة ( الـنـابـض + الـجـسـم ص + الأرض ).

ب - ا سـتـنـتـج سـرعـة ص عـنـد مروره بـوضـع تـوازنـه مـ0 ،        مـاذا يـمـكـنـك قـولـه عـن هـذه الـسـرعـة ؟

جـ - أوجـد الـمـعـادلـة الـتـفـاضـلـيـة لـحـركـة الـنـواس             و أكـتـب الـمـعـادلـة الـزمـنـيـة لـلـحـركـة.

الـحـل :

أ - الـجـمـلـة ( نـابـض + ص + أرض ) مـعـزولـة مـيـكـانـيـكـيـا، و مـنـه فـالـطـاقـة الـمـيـكانـيـكـيـة مـحـفـوظـة و يـمـكـن حـسـابـهـا فـي أي وضـع و لـيـكـن هـذا الـوضـع هـو الـوضع الإبتدائي ( الـجـسم ص فـي أ ) ، لـدينا :

طـم = طـح + طـك ،

لـكـن طـح = 0    و   طـك = طكث + طـكم  ،

فـتـكـون     طـم = طـكث + طـكم  ،  

          طـم = - ك ج أ +   ثـا (  ل +أ ) 2

طـم = -ك ج أ +    ثـا [ +  2 أ  ل + أ2 ] . . . . . . . (1)

عـنـدمـا تـكـون الـجـمـلـة مـتـزنـة ( الـشـكـل 2 ) تـكـون :

    =       +   =   ، بـالإسقـاط نـجد : ث -  = 0 ،

ث - ثـا  ل = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (2)

و مـنـه نـجـد : ث = ثـا  ل   أي    ك ج = ثـا  ل   ،  ل =   .

بـتـعـويـض ك ج فـي (1) نـجـد :

         طـم = -ثـا  ل أ +   ثـا  + ثـا  ل أ +   ثـا أ2  ،

         طـم =   ثـا [ + أ2 ] . . . . . . . . . (3)

         طـم =   . 20 [ (   ) 2 + ( 6 .10 –2 ) 2 ] ،

         طـم = 10 [ ( 10.7.35-2 ) 2 + ( 6 .10-2 ) 2 ]  9.0 .10 -2 جـول.

ب - عـنـد الـمـرور بـوضـع الـتـوازن لـديـنـا :

طـح =   ك سـر2 ، طـك = طـكم  ( لأن طـكث = 0 ) ،

و مـنـه نـكـتـب : طـم = طـح + طـكم  ،

طـم =    ك سـر2 +   ثـا (  ل ) 2   . . . . . . . . . . . . . . . . (4)

بـمـسـاواة (3) و (4) نـجـد :

  ثـا [ (  ل ) 2  + أ2 ] =    ك سـر2  +   ثـا (  ل ) 2    ،

  ثـا (  ل ) 2  +   ثـا أ2 =   ك سـر2  +    ثـا (  ل ) 2   ،

ومـنـه :   ثـا أ2 =  ك سـر2   سـر2 = أ2  ،

                              سر = أ =   ثـا

و تـكـون هـذه الـسـرعـة عـظـمـى .

جـ - الـمـعـادلـة الـتـفـاضـلـيـة لـلـحـركـة : نـأخـذ (ص) فـي وضـع كـيـفـي فـاصـلـتـه س بـالـنـسـبـة إلـى مـ0 ( الـشـكـل 3 ) فـتـكـون :

طـم = طح+طكث+طـكم = =   ك سـر2 - ك ج س +   ثـا  ،

طـم =   ك سـر2 - ك ج س +   ثـا (  ل) 2 + ثـا(  ل) س +  ثا س2    ،

بـاشـتـقـاق طـرفـي الـمـعـادلـة بـالـنـسـبـة لـلـزمـن               و بـاعـتـبـار طـم ثـابـتـة نـجـد :

0 = ك سـر .  - ك ج   + ثـا  ل .   + ثـا س   ،

      0  =  ك سـر تـع - ك ج سـر + ثـا  ل سـر + ثـا س سـر ،

      0  =  ( ك تـع + ثـا س - ك ج + ثـا  ل ) سـر  ،

أثنـاء الحركـة سر  0   و مـنـه : ك تع + ثـا س - ك ج + ثـا  ل  = 0  ،

و حـيـث أن : ك ج = ثـا  ل   مـن الـعـلاقـة  (2)   ،

فـإن : ك تـع + ثـا س = 0  تـع +   س = 0 ،

و هـي الـمـعـادلـة الـتـفـاضـلـيـة الـمـمـيـزة لـلـحـركـة، و هـي تـقـبـل حـلاّ جـيـبـيـا مـن الـشـكـل :

         س = أ جـب ( ي ز + ص ) ،

 مـن الـمـعـطـيـات : أ = 6 سـم = 6 . 10 -2 م ،

و من الـمعـادلـة التفاضـلـيـة : ي =  =     =  راد / ثـا.

و نـعـيـن ص مـن الـشـروط الإبـتـدائـيـة لـلـحـركـة :

         ز = 0      س = أ  ،

مـن مـعـادلـة الـحـركـة :    أ = أ جـب ص  جـب ص =   = 1   ،

                                و مـنـه    ص =   راديـان .

ونكتب المعادلـة الزمنـيـة للحـركـة : س : =  جـب(11.6ز+ )  (م)

مـثـال 2 :

نـحـقـق الـتـركـيـبـة الـمـبـيـنـة بـالـشـكـل حـيـث ن نـابـض مـهـمـل الـكـتـلـة حـلـقـاتــه غـيـر مـتـلاصـقـة مـثـبـت من أحـد طـرفـيـه فـي نـقـطـة ثـابـتـة (هـ) و يــحـمــل فـي طـرفـه الآخـر جـسـمـا صـلـبا (ص) كـتلته ك = 570 غ       

يـمـكنـه الإنزلاق بدون احتـكـاك عـلـى مـسـتـو يـمـيـل عـلـى الأفـق بـزاويـة  = 30° ، طـول الـنـابـض و هـو فـارغ ل0 = 16 سـم            و طـولـه و هـو محمّـل بـالجـسـم ص عـنـد الـتـوازن ل =  29.6 سـم .

أ - أحـسـب ثـابـت مـرونـة الـنـابـض    بـاعـتـبـار ج = 9.8 و . د  ،

ب - نـزيـح الـجـسـم ص عـن وضـع تـوازنـه نـحـو الأسـفـل وفـق خـط الـمـيـل الأعـظـم لـلـمـسـتـوي الـمـائـل مـسـافـة أ = 7 سـم ثـم نـتـركـه بـدون سـرعـة ابـتـدائـيـة فـي الـلـحـظـة ز = 0 ، نـأخـذ كـمـبـدأ لـلـمـسـافـات الـوضـع مـ0 لـمـركـز عـطـالـة ص عـنـد الـتـوازن.

- أوجـد الـمـعـادلـة الـتـفـاضـلـيـة لـحـركـة (ص) بـاسـتـعـمـال نـظـريـة مـركـز الـعـطـالـة ثـم بـاسـتـعـمـال مـبـدأ انـحـفـاظ الـطـاقـة الـمـيـكـانـيـكـيـة.

- أكـتـب الـمـعـادلـة الـزمـنـيـة لـلـحـركـة.

جـ - أحـسـب الـطـاقـة الـمـيـكـانـيـكـيـة لـهـذا الـنـواس الـمـرن بـاعـتـبـار الـطـاقـة الـكـامـنـة الـثـقـالـيـة لـلـجـسـم ص مـعـدومـة فـي وضـع تـوازنـه  .

الـحـل :

أ – الـجـمـلـة مـتـزنـة : ،    =  

    +  +  =

  +  + +  = ، بـالإسـقـاط عـلـى سَ س نـجـد : = 0 

ك ج جـب  - ثـا  ل = 0 . . . . . . . . . . . . (1)   ،

ك ج جب  = ثا  ل    ثا =   =   =  ،

                               ثـا  20 ن / م .

ب - إيـجـاد الـمـعـادلـة الـتـفـاضـلـيـة لـلـحـركـة :

* بـتـطـبـيـق نـظـريـة مـركـز الـعـطـالـة :

نـأخـذ (ص) فـي وضـع كـيـفـي ( مـ ) فـاصـلـتـه (س) و نـطـبـق نـظـريـة مـركـز الـعـطـالـة أثـنـاء الـحـركـة :

،    =  ك

    +  +  =ك    بـالاسـقـاط علـى الـمـحـور سَ س نـجـد :

  - تو = ك تع

ث جـب  - ثـا ( ل +س) = ك تـع ،

ث جـب  - ثـا  ل - ثـا س = ك تـع ،   و بـاسـتـعـمـال الـعـلاقـة (1) نـجـد :

- ثـا س = ك تـع  تـع +   س = 0  و هـو الـمـطـلـوب .

*بـاسـتـعـمـال مـبـدأ انـحـفـاظ الـطـاقـة الـمـيـكـانـيـكـيـة      و بـأخـذ وضـع كـيـفـي ( مـ )

لـديـنـا :  طـم = طـح + طـكث + طـكم ، بـاعـتـبـار الـمـسـتـوي الـمـرجـعـي لـلـطـاقـة

الكـامـنـة الـثـقـالـيـة الـمـسـتـوي الأفـقـي الـمـار مـن مـ0 نكتب :طم =   ك سر2 - ك ج ع +   ثا ( ل+س) 2   ،

طـم =    ك سـر2 - ك ج ع +  ثـا(  ل)2 + ثـا س  ل +   ثا س2،

ع = س جـب  ، و مـنـه :

طم =   ك سـر2 – ك ج س جـب  +   ثـا(  ل)2 + ثا س  ل +   ثا س2،

بـاشـتـقـاق طـرفـي الـمـعـادلـة بـالـنـسـبـة لـلـزمـن                و بـاعـتـبـار  طـم ثـابـتـة نـجـد :

0 = ك سـر  - ك ج جـب    + ثـا  ل   + ثا س   ،

      0  =  ك سـر تـع - ك ج جـب  سـر + ثـا  ل سـر + ثـا س سـر ،

      0  =  سـر( ك تـع - ك ج جـب   + ثـا  ل + ثـا س )    ،

أثـنـاء الـحـركـة سـر  0   و مـنـه :

ك تـع - ك ج جـب  + ثـا  ل + ثـا س = 0 ، و بـاسـتـعـمـال الـعـلاقـة (1) ، نـجـد :

ك تـع + ثـا س = 0  تـع +   س = 0    و هـو الـمـطـلـوب .

- إيـجـاد الـمعـادلـة الـزمـنـيـة لـلحـركـة : الـحـركـة جيـبـيـة مـسـتـقـيـمـة مـعـادلـتـهـا مـن الـشـكـل :

 س = أ جـب ( ي ز + ص )   ،

حـيـث : أ = 7 سـم  ( مـن الـمـعـطـيـات ) ،

ي =   = 5.9 راد ثـا ،

نـعـيـن ص مـن الـشـروط الإبـتـدائـيـة نـجـد : ص =   راد ،

و منـه تـكون معادلـة الحركـة : س =    جـب( 5.9 ز +   )   ( م ).

جـ - حـسـاب الـطـاقـة الـمـيـكـانـيـكـيـة لـلـنـواس : بـمـا أن الـطـاقـة الـمـيـكـانـيـكـيـة ثـابـتـة فـيـمـكـن حـسـابـهـا فـي أي وضـع ، نـختـار وضـع الـتـوازن مـثـلا ( مـ0 ) :

طـم = طـح + طـكث + طـكم  ،

لكن طكث = 0 عنـد الـوضـع ، طـح = طـحع =   ك سـر  -   ك ( أ ي )2

طـك م =   ثـا (  ل ) 2     ،

إذن : طـم =   ك سـر  +   ثـا (  ل ) 2     ،

           =   ك أ2 ي2 +   ثـا (  ل ) 2     ،

           =   ك أ2   +   ثـا (  ل ) 2     ،

           =   ثـا أ2  +   ثـا (  ل ) 2 =   [ أ2 + (  ل ) 2  ] ،

      طـم =   . 20 [ ( 7 .10-2 ) 2 + ( 13.6 .10-2 ) 2  ] ،

      طـم = 0.23 جـول .

3 - أسـئـلـة الـتـصـحـيـح الـذاتـي :

1 - نـحـقـق الـتـركـيـبـات الـثـلاث الـتـالـيـة حـيـث ( ص ) جـسـم صـلـب كـتـلـتـه ك = 120 غ و الـنـوابـض مـرنـة و مـهـمـلـة الـكـتـلـة  ومـتـمـاثـلـة ثـابـت مـرونـة كـل مـنـهـا : ثـا = 13.2 ن/م .

- أوجـد الـمـعـادلـة الـتـفـاضـلـيـة لـحـركـة الإهتزازت الـشاقـولـية لـكل نواس من هذه الـنواسـات الـثـلاثـة ثـم قـارن بــينـهـا ، ماذا تــسـتنتـج ؟

          

2 - بـيـنـت الـدراسـات الـنـظـريـة الـتـجـريـبـيـة أن دور نـواس مـرن يـتـكـون مـن نـابـض مـرن كـتـلـتـه ك0 يـحـمـل فـي نـهـايـتـه جـسـمـا صـلـبـا (ص) كـتلتـه ك يُـعـطـى بـالـعـلاقـة : د و = 2 

   حـيـث   و ثـا : ثـابـت الـمـرونـة .

- عـنـدمـا تـكـون كـتـلـة ص = ك1 100 غ يـكـون زمـن 10 اهـتـزازات   ز1 = 9.791 ثـا.

و عـنـدمـا تـكـون كـتـلـة ص : ك2 = 50 غ يـكـون زمـن 10 اهـتـزازات ز2 = 7.030 ثـا .

أ - أوجـد الـعـبـارة الـحـرفـيـة د  - د  و اسـتـنـتـج الـقـيـمـة  الـعـدديـة لـثـابـت الـمـرونـة ثـا بـثـلاثـة أرقـام دالـة.

ب - اسـتـنـتـج قـيـمـة الـمـعـامـل (  ) عـلـمـا بـأن كـتـلـة الـنـابـض هـي :  ك0 = 9.6 غ .

3 - نـعـلـق فـي نـابـض مـرن، مـهـمـل الـكـتـلـة ذي حـلـقـات غـيـر مـتـلاصـقـة كـتـلا مـخـتـلـفـة ك1 ، ك2  ، ك3  . . . . . .       و نـقـيـس فـي كـل مـرة زمـن 10 اهـتـزازات ز1 ، ز2  ، ز3  . . . . . فـنـحـصـل عـلـى الـنـتـائـج الـمودونـة فـي الـجـدول الـتـالـي :

ك ( غ )         140   160   180   200   220   240

ز ( ثـا )         7.4    7.9    8.4    8.9    9.3    9.7

د2 

                                              

أ - أكـمـل الـجـدول.

ب - ارسم الـمـنـحـنـى الـبـيـانـي الـمـمـثـل لـلـدالـة د2 = تـا(ك) ،

جـ - اسـتنـتـج مـن الـمنـحـنـى الـبـيـانـي ثـابـت مـرونـة الـنـابـض (ثـا) ،

د - احـسـب الإرتـيـاب الـمـطـلـق عـلـى ثـابـت الـمـرونـة اعـتـمـادا عـلـى الـتـجـربـة الـرابـعـة ( ك = 200 غ ) عـلـمـا أن

  ك = 1 غ ،  ز = 1.0 ثـا.

4 - أجـوبـة الـتـصـحـيـح الـذاتـي :

1 - بـالـنـسـبـة لـلـشـكـل الأول نـجـد : تـع +   س = 0 .

بـالـنـسـبـة لـلـشـكـل الـثـانـي :

عـنـد الإتـزان يـكـون     +  + + = 

بـالاسقـاط نـجـد : ث -   -   = 0  

                   ث - 2   = 0 ،

ك ج - 2 ثـا  ل = 0  . . . . . . . . (1)

أثـنـاء الـحـركـة و عـنـد نـقـطـة فـاصـلـتـهـا (س) ، نـجـد :

             + + = ك   ، بـالإسـقـاط نـجـد :

         ث +  +  = ك تـع ،

          =  ك تـع ،

         ث - 2 ثـا (  ل + س ) = ك تـع ،

         ث – 2 ثـا ل - 2 ثـا س = ك تـع ، بـاسـتـخـدام الـمـعـادلـة

 (1) نـجـد :

         - 2 ثـا س = ك تـع ،

و مـنـه   تـع +  س = 0 ، و هـي المعادلـة التفـاضلية المـطـلـوبـة بـالـنـسـبـة لـلـشـكـل الـثـالـث :

نـفـرض أن الـنـابـضـيـن غـيـر مـتـمـاثـلـيـن ثـابـتـا مـرونـتـهـمـا ثـا1 و ثـا2 عـلـى الـتـرتـيـب ،

- عـنـد الـتـوازن ( الـشـكـل أ ) :

نـطـبـق نـظـريـة مـركـز الـعـطـالـة عـلـى الـجـسـم (ص) :

ث +  =  ، بـالإسـقـاط نـجـد :

ث -   = 0   ث - ثـا1  ل1  = 0 . .. (1)

نـطـبـق نـظـريـة مـركـز العـطـالـة على الـنـقـطـة (هـ) نـقـطـة ارتـبـاط الـنـابـضـيـن :

 ، بـالإسـقـاط نـجـد :

     ثـا1  ل1  - ثـا2  ل2  = 0   ،

                            ثـا1  ل1  = ثـا2  ل2   . . . . . . . . (2)

- أثـنـاء الحركـة و عنـد نـقـطـة فـاصـلـتـهـا (س) ( الـشـكـل ب ) :

نـطـبـق نـظـريـة مـركـز الـعـطـالـة عـلـى الـجـسـم ص :

     = ك   بـالاسـقـاط نجـد :

       ث -   = ك تـع ،

       ث - ثـا1 (  ل1+ س1 )= ك تـع ،

       ث -  ثـا1  ل1 – ثـا1 س1 = ك تـع . . .  . . . . . . . . . (3)

نـطـبـق نـظـريـة مركـز الـعـطـالـة عـنـد الـنـقـطـة (هـ) بـاعـتـبـار كـتـلـتـهـا مهـمـلـة :

  = 

بـالإسـقـاط نـجـد :   -  = 0

ثـا1 (  ل1+ س1 ) – ثـا2 (  ل2+ س2 ) = 0  ،

        ثـا1  ل1 + ثـا1 س1 - ثـا2  ل2 - ثـا2 س2 = 0 ، بـاسـتـعـمـال الـعـلاقـة (2) نـجـد :

ثـا1 س1-ثـا2 س2 = 0   ثـا1 س1 = ثـا2 س2  س2 =  س1 . . . . (4)

بـاسـتـخـدام الـمـعـادلـة (1) فـي (3) نـجـد :

         - ثـا1 س1 = ك تـع . . . . . . . . . . . . . (5)

لـديـنـا : س = س1 + س2  ،

بـاسـتـعـمـال (4) نـجـد : س = س1 +   س1 = س1 ( 1 +  )   ،

                                 س = س1 (   )   ،

و مـنـه :     س1  = س      ،

بالـتـعـويـض فـي (5)   نـجـد : -   س = ك تـع  ،

و منـه نجد الـمـعـادلـة الـتـفـاضـلـيـة : تـع +   س = 0  ،

                                        تـع +   س = 0.

و عـنـدمـا يـكـون الـنـابـضـان مـتـمـاثـلان يـكـون ثـا1 = ثا2 = ثا   و تـصـبـح الـمـعـادلـة الـتـفـاضـلـيـة السـابـقـة :

 تـع +   س = 0 .