(1) الزاوية
المركزية :- هى الزاوية التى رأسها مركز الدائرة ويحمل كل ضلع من ضلعيها
نصف قطر فى
الدائرة .
(2) الزاوية
المحيطية :- هى الزاوية التى رأسها يقع على محيط الدائرة ويحمل كل ضلع
من ضلعيها
وتراً فى الدائرة .
(3) قياس القوس :-
هو قياس الزاوية المركزية المقابلة له
(4) طول القوس :- هو
جزء من محيط الدائرة
(5) قياس القوس الذى
يمثل نصف دائرة = 180 ْ
(6) قياس القوس الذى
يمثل ربع دائرة = 90 ْ
(7) قياس القوس الذى
يمثل ثلث دائرة = 120 ْ
(8) قياس القوس الذى
يمثل سدس دائرة = 60 ْ
(9) طول القوس الذى
يمثل نصف دائرة = ط نق
(10) طول القوس الذى
يمثل ربع دائرة = ط نق
(11) طول القوس الذى
يمثل ثلث دائرة = ط نق
(12) طول القوس الذى
يمثل سدس دائرة = ط نق
(13) محيط ربع
الدائرة = ط نق + 2نق
(14) محيط نصف
الدائرة = ط نق + 2نق
(15) محيط ثلاث
أرباع الدائرة = ط نق + 2نق
(16) طول القوس
= × 2 ط نق
(17) فى الدائرة
الواحدة ( أو فى الدوائر المتطابقة ) الاقواس المتساوية فى القياس تكون
متساوية فى الطول والعكس صحيح
(18) فى الدائرة
الواحدة ( أو فى الدوائر المتطابقة ) الاقواس المتساوية فى القياس تكون
أوتارها متساوية فى الطول والعكس صحيح
(19) الوتران
المتوازيان يحصران قوسان متساويان فى القياس
(20) القوسان
المحصوران بين وتر ومماس يوازيه متساويان فى القياس
@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@
(21) نظرية ( 1 – 1
)
قياس الزاوية
المحيطية يساوى نصف قياس الزاوية المركزية المشتركة معها فى القوس
المعطيات : أ زاوية
محيطية ، ب م جـ زاوية مركزية
مشتركتان فى القوس ب جـ
المطلوب :- إثبات أن
ق ( أ ) = ق ( ب م جـ )
البرهان :- فى
أ ب م أ م = ب م ( أنصاف
أقطار )
\ ق ( أ ) = ق ( ب ) (1)
ق ( ب م جـ ) = ق ( أ ) + ق ( ب
) (2)
من 1 ، 2 ينتج أن
ق ( ب م جـ ) = 2 ق ( أ )
\ ق ( أ ) =
ق ( ب م جـ )
@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@
(22) قياس الزاوية
المركزية ضعف قياس الزاوية المحيطية المشتركة معها فى القوس
(23) قياس الزاوية
المحيطية يساوى نصف قياس القوس المقابل لها
(24) الزاوية
المحيطية المقامة فى نصف دائرة قائمة ( قياسها
= 90 ْ )
(25) النسبة بين
قياس المحيطية وقياس المركزية المشتركة معها فى القوس = 1 : 2
(26) النسبة بين قياس
المركزية وقياس المحيطية المشتركة معها فى القوس = 2 : 1
@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@
(27) تمرين مشهور
(1)
ق ( أ هـ جـ )
= [ ق ( أ جـ ) + ق ( ب ء ) ]
المعطيات أ ب ، جـ ء وتران متقاطعان من الداخل فى هـ
المطلوب إثبات أن ق ( أ هـ جـ ) = [ ق ( أ جـ) + ق ( ب ء ) ]
البرهان ق ( ء ) = ق( أ جـ ) ،، ق ( أ ) = ق ( ب ء )
ق ( أ هـ جـ ) = ق ( ء ) + ق ( أ
) [لانها خارجة عن أ هـ ء ]
ق ( أ هـ جـ ) = ق( أ جـ ) + ق( ب ء )
ق( أ هـ جـ ) = [ ق( أ جـ) + ق ( ب ء)
]
(28) تمرين مشهور
(2)
ق ( هـ ) = [ ق ( أ جـ ) - ق ( ب ء ) ]
المعطيات أ ء ، أ ب وتران متقاطعان من الخارج فى أ
المطلوب إثبات أن ق ( هـ ) = [ ق ( أ جـ ) - ق ( ب ء ) ]
البرهان ق ( أ ء جـ ) = ق( أ جـ ) ،، ق ( أ ) = ق ( هـ جـ)
ق ( أ ء جـ ) = ق ( أ ) + ق ( هـ
) [لانها خارجة عن أ جـ ء ]
ق ( هـ ) = ق( أ ء جـ
) - ق( أ )
ق( هـ ) = ق( أ جـ ) - ق ( ء ب )
ق( هـ ) = [ ق ( أ جـ ) - ق ( ء ب ) ]
@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@
(29) نظرية ( 1 – 2
)
الزوايا المحيطية التى تحصر نفس القوس
متساوية فى القياس
المعطيات جـ ، ء
، هـ زوايا محيطية مشتركة فى أ ب
المطلوب أثبات أن ق( جـ) = ق( ء ) = ق (هـ)
البرهان ق( جـ ) = ق ( أ ب )
ق( ء ) = ق( أ ب )
ق( هـ ) = ق( أ ب )
\ ق( جـ ) = ق ( ء ) = ق (هـ )
@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@
(30) عكس نظرية ( 1
– 2 )
إذا تساوى قياسا زاويتين مرسومتين على قاعدة
واحدة وفى جهة واحدة منها فإنه تمر برأسيهما دائرة واحدة تكون هذه القاعدة وتراً
فيها
(31) نظرية ( 1 – 3)
إذا كان الشكل
الرباعى دائرياً فإن كل زاويتان متقابلتان متكاملتان ( مجموعهم = 180 ْ)
المعطيات : أ ب جـ ء
رباعى دائرى
المطلوب :- إثبات أن
ق( أ ) + ق ( جـ ) = 180 ْ
البرهان :- ق ( أ )
= ق ( ب جـ ء )
ق( جـ) = ق ( ب أ ء )
بالجمع
ق ( أ ) + ق ( جـ)
= ق ( ب جـ ء ) + ق ( ب أ ء )
= [ ق ( ب جـ ء ) + ق ( ب أ ء ) ]
= × 360 ْ = 180 ْ
@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@
(32) قياس الزاوية
الخارجة عن الشكل الرباعى يساوى قياس الزاوية الداخلة المقابلة
للمجاورة لها
(33) الحالات التى
يكون فيها الشكل الرباعى دائرياً
(34) المماس يكون
عمودياً على نصف القطر المرسوم من نقطة التماس
(35) المستقيم
العمودى على قطر الدائرة من أحدى نهايتيه يكون مماسا للدائرة
(36) المماسان
المرسومان من نهايتى قطر فى الدائرة متوازيان
(37) المماسان
المرسومان من نهايتى وتر فى الدائرة يتقاطعان فى نقطة واحدة
(38) القطعتان
المماستان المرسومتان من نقطة خارج دائرة متساويتان فى الطول
المعطيات أ نقطة خارج الدائرة م ،
أ ب ، أ جـ قطعتان مماستان
المطلوب إثبات أن أ ب = أ جـ
العمل نرسم م ب ، م جـ ، م أ
البرهان أ ب مماس للدائرة \ق ( أ ب م ) = 90 ْ
أ جـ مماس للدائرة \ ق ( أ جـ م )
= 90 ْ
أ ب م ، أ جـ م
م ب = م جـ (
أنصاف أقطار
فيهما أ م
ضلع مشترك
ق( أ ب م ) = ق
( أ جـ م ) = 90 ْ
\ أ ب م º أ جـ م
\ أ ب = أ جـ
@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@
نتائج :-
(1) المستقيم المار
بمركز الدائرة ونقطة تقاطع
مماسين لها محور
تماثل لوتر التماس الواصل
بين نقطتى التماس
(2) المستقيم المار
بمركز الدائرة ونقطة تقاطع
مماسين لها ينصف
الزاوية بين هذين المماسين
كما ينصف الزاوية
بين نصفى القطر المرسومين من نقطتى التماس
(39) الدائرة
الداخلة للمثلث :- هى الدائرة التى تمس أضلاعه من الداخل
(40) مركز الدائرة
الداخلة للمثلث هو نقطة تقاطع منصفات زواياه الداخلة
المعطيات الدائرة م داخلة للمثلث أ ب جـ
المطلوب إثبات أن م هى نقطة تقاطع منصفات
زواياه
البرهان أ ء ، أ و قطعتان مماستان
\ أ م ينصف ب أ جـ (1)
ب ء ، ب هـ قطعتان مماستان
\ ب م ينصف أ ب جـ (2)
جـ هـ ، جـ و قطعتان مماستان
\ جـ م ينصف أ ب جـ (3)
من 1 ، 2 ، 3 ينتج أن
م هى نقطة تقاطع منصفات زوايا
المثلث أ ب جـ الداخلة
(41) الدائرة الخارجة للمثلث :- هى الدائرة التى
تمر برؤوسه
(42) مركز الدائرة
الخارجة للمثلث هو نقطة تقاطع الاعمدة المقامة على أضلاعه من
منتصفاتها ( محاور اضلاعه )
(43) نظرية ( 2 – 2
)
قياس الزاوية المماسية يساوى قياس الزاوية
المحيطية المشتركة معها فى القوس
المعطيات : ب أ جـ
زاوية محيطية ، أ ء جـ محيطية مشتركتان فى القوس
المطلوب : أثبات أن
ق ( ب أ جـ ) = ق ( أ ء جـ )
البرهان : ق ( ب أ
جـ ) = ق ( أ جـ ) (1)
ق ( أ ء جـ ) = ق ( أ جـ ) (2)
من 1 ، 2 ينتج أن
ق ( ب أ جـ ) = ق ( أ ء جـ )
@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@
(44) قياس المماسية
= قياس المركزية المشتركة معها فى
القوس
= قياس
القوس المحصور بين ضلعيها
(45) قياس الزاوية
المحيطية المرسومة فى ربع دائرة = 135 ْ
(46) قياس الزاوية
المحيطية المرسومة فى سدس دائرة = 150 ْ
@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@تتمرين
مشهور(3)
إذا تقاطع وتران فى
نقطة داخل دائرة فإن حاصل ضرب
جزئى الوتر الأول يساوى حاصل ضرب جزئى الوتر
الثانى
هـ أ × هـ ب = هـ جـ
× هـ ء
@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@
تمرين مشهور (4)
هـ أ × هـ ب = هـ جـ
× هـ ء
تمرين مشهور (5)
القاطع والمماس
لدائرة ( أو المماسان لدائرة ) المتقاطعان فى نقطة خارجها ، يكون قياس زاوية
تقاطعهما مساوياً نصف الفرق الموجب بين قياسى القوسين اللذين يحصرهما ضلعا هذه
الزاوية .
الحالة الاولى :
تقاطع القاطع والمماس لدائرة الحالة
الثانية:- تقاطع مماسين لدائرة
ق( أ ) = [ق( ء ب ) – ق( ب جـ ) ] ق( أ ) = [ق( ب س جـ) – ق ( ب جـ)]
@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@
تمرين مشهور
(6)
( أ ب)2 = أ جـ × أ
ء
فى الشكل المقابل
إذا كانت أ ب ، جـ ء ، هـ و
أقطار فى الدائرة م
أوجد
ق ( أ جـ ) ، ق ( أ
جـ هـ ) ،
ق( أ جـ ء ) ، ق ( أ
و هـ )
الحــــــــــــــــــــــــــل
ق ( ء م ب ) = ق ( أ
م جـ ) = 75 ْْ ق ( أ جـ ) = ق ( ء ب )
= 75 ْ
ق( أ م و ) = ق ( هـ
م ب ) = 40 ْ ق ( أ و ) = ق ( هـ ب ) = 40 ْ
ق( جـ م هـ ) = ق (
و م ء ) = 180 – [ 75 ْ + 40 ْ ] = 180 ْ – 115 ْ = 65 ْ
ق ( جـ هـ ) = ق ( و ء ) = 65
ْ
ق( أ جـ هـ ) = ق( أ
جـ ) + ق( جـ هـ ) = 75 ْ + 65 ْ = 140 ْ
ق( أ جـ ء ) = ق ( أ
جـ ) + ق ( جـ ء ) = 75 ْ + 180 ْ = 255 ْ
ق( أ و هـ ) = ق ( أ
ب ) + ق ( ب هـ ) = 180 ْ + 40 ْ = 220 ْ
@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@
فى الشكل المقابل
إذا كان جـ ء مماس
للدائرة م عند ء أكمل
العمل نصل م ء
جـ ء مماس ق( م ء جـ) = 90 ْ العمل ، نصل م ء ، م أ
ق( ء م جـ ) = 180 ْ
– 130 ْ = 50 ْ جـ ء مماس ق( م ء جـ ) = 90 ْ
ق( ب ء ) = ق ( ء م
جـ ) = 50 ْ ق( م ء أ ) = 120 ْ – 90 ْ = 30 ْ
ق( أ ء ) = 180 ْ –
50 ْ = 130 ْ م ء = م
أ ق( م أ ء ) = 30 ْ
ق ( ء م أ ) = 180 ْ – 60 ْ
=120 ْ
ق( أ م ء ) المنعكسة = 360 ْ –
120 ْ
= 240 ْ
ق( أ ب ء ) = 240 ْ
فى الشكل المقابل
أ ب قطر فى الدائرة
م ، ق ( أ هـ جـ ) = 30 ْ
ق ( أ جـ ) = 80 ْ 0
أوجد ق ( جـ ء )
الحـــــــــــــــــــــل
ق( هـ ) = 30 ْ ق ( جـ ء ) = 180 – [ 80 + 20 ]
ق ( أ جـ ) – ق ( ب ء ) = 60
ْ = 180 – 100 = 80 ْ
80 ْ – ق ( ب ء ) =
60 ْ
ق ( ب ء ) = 20 ْ
@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@
فى الشكل المقابل
أ ب جـ ء مستطيل
مرسوم داخل دائرة
رسم الوتر جـ هـ
بحيث جـ هـ = جـ ء
أثبت أن أ هـ = ب جـ
الحــــــــــــــــــــــــــــــــل
أ ب جـ ء
مستطيل أ ب = ء جـ (1)
جـ هـ = جـ ء (2)
من 1 ، 2 ينتج
أن أ ب = جـ هـ ق ( أ هـ ) = ق ( ب جـ )
ق ( أ ب ) = ق ( جـ هـ ) أ هـ = ب جـ
بأضافة ق ( ب هـ )
للطرفين
ق ( أ ب )+ ق ( ب هـ ) = ق (
جـ هـ ) + ق ( ب هـ )
@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@
فى الشكل المقابل
هـ جـ × هـ ء = هـ أ
× هـ ب
هـ جـ × 8 = 4 ×
6 هـ جـ = = 3 سم
8 هـ جـ = 24
أ ب جـ مثلث مرسوم
داخل الدائرة م ، ق(أ ب) : ق( ب جـ) : ق(
أ جـ) = 4 : 5 : 3
أوجد ق ( أ جـ ب )
الحــــــــــــــــل
ق( أ جـ ) = 3 س ،
ق( ب جـ) = 5س ، ق ( أ ب ) = 4س
قياس الدائرة = 360
ْ
ق( أ جـ ) + ق ( أ ب
) + ق ( جـ ب) = 360 ْ
3س + 4 س + 5 س =
360 ْ
12 س = 360 ْ
س = = 30 ْ ق( أ جـ ب ) = ق( أ ب ) = × 120
ق ( أ ب ) = 4 × 30
= 120 ْ
= 60 ْ
إرسال تعليق