الاسطوانة والمخروط

الاسطوانة والمخروط

أولاً الاسطوانة  الدائرية القائمة :

تعريف :- هي الجسم الذي يتولد من دوران مستطيل دوره كاملة حول أحد أضلاعه .

ملاحظات هامة

         1- إذا قطعت الاسطوانة الدائرية القائمة بمستو يوازي القاعدة فالمقطع الناتج هو قرص دائري      

             مساحته تساوي مساحة القاعدة .

1-    إذا قطعت الاسطوانة الدائرية القائمة بمستو يحتوي محورها فالمقطع الناتج هو مستطيل مساحته (2رع )  حيث ر نصف قطر الاسطوانة ، ع ارتفاعها .

ثانياً : المخروط :-

 تعريفه : هو جسم له قاعدة عبارة عن سطح مستو دائري وسطحه الجانبي أملس غير مستو

والمخروط الدائري القائم :- يتولد من دوران مثلث قائم الزاوية دورة كاملة حول أحد ضلعي القائمة . أو من دوران مثلث متساوى الساقين دورة كاملة حول ارتفاعه

ملاحظات هامة :-

1-إذا قطع المخروط الدائري القائم بمقطع يوازي القاعدة فالمقطع الناتج هو قرص دائري تتحدد مساحته من العلاقة :  مساحة المقطع  = ( ع – عَ )2

حيث عَ هي البعد بين المقطع والقاعدة ( ارتفاع المخروط الدائري القائم الناقص )

1 – إذا قطع المخروط الدائري القائم بمستو يحتوي المحور فالمقطع الناتج هو مثلث متطابق الضلعين مساحته تساوي  ½  ر ع

ملخص قوانين الاسطوانة والمخروط

المجسم المساحة الجانبية        المساحة الكلية        الحجم

الاسطوانة الدائري القائمة    محيط القاعدة × الارتفاع = 2 ط ر ع      المساحة الجانبية + مجموع مساحتي القاعدتين  2 ط ر ع + ط ر2      مساحة القاعدة × الارتفاع = ط ر2 × ع

المخروط الدائري القائم

          ½ محيط القاعدة × طول الراسم = ط ر ل      المساحة الجانبية + مساحة القاعدة = ط رع + ط ر2        1  مساحة القاعدة × الارتفاع =1 ط ر2 ع

المخروط الدائري القائم الناقص      ½  مجموع محيطي القاعدتين × طول الراسم ط (ر1+ر2 )ل حيث ر1،ر2 نصف قطري قاعدتيه ع ارتفاعه ل طول راسمه      المساحة الجانبية + مساحة القاعدتين 1  ط ع ( 2ر1 + 2ر2 +ر1ر2 )

2

249

 1 – طول أنبوبة معدنية على هيئة اسطوانة دائرية قائمة أ م . إذا كان قطرها الخارجي 40 سم و الداخلي 30 سم. فما حجم المعدن ؟

الحل :- حجم المعدن = حجم الاسطوانة الخارجية – حجم الاسطوانة الداخلية

                         = ط ر2 ع – ط ر2 ع

                        = ط ( 20 ) × 100 – ط ( 15 )2 × 100

                        = ط × 400 × 100 – ط × 225 × 100

                        = 40000 ط – 22500 ط   = 17500 ط سم3

    4

249

2 – قطعت اسطوانة دائرية قائمة ارتفاعها 38سم بمستو يمر بمحورها م ن فكانت مساحة المقطع الناتج 532سم2 . أحسب حجم الاسطوانة ومساحة سطحها الجانبي ( ط = 22 ) ؟

      الحل :- المقطع الناتج هو مستطيل مساحته 2 ر ع

⇐2 × 38ر = 532   ⇐  76ر  = 532  ⇐ ر   = 532  = 7سم

حجم الاسطوانة = ط ر2 ع = 22  × 49 × 38 = 5852سم3

مساحة السطح الجانبي = 2 ط ر ع = ع × 22 × 7 × 38 = 1672 سم2

    5

249

أحسب نسبه حجمي الاسطوانتين الممكن تكوينها بطي قطعة ورق مستطيلة  أبعادها 20سم ، 30سم ما هي النسبه لو كانت الأبعاد س سم ، ص سم ؟

الحل :- 1 – إذا كان محيط القاعدة ( الطول ) = 30 سم  عندئذ الارتفاع = 20 سم

محيط القاعدة 2ط ر = 30  ⇐ ر   = 30   = 15  سم

حجم  الاسطوانة = ط ر ع = ط   15  2 × 20 + ط × 225 × 20 = 4500 سم3

2      - إذا كان المحيط  ( العرض ) = 20 سم عندئذ الارتفاع = 30سم

محيط القاعدة 2 ط ر = 20  ⇐  ر = 20   = 10 سم

حجم الاسطوانة = ط ر2 ع = ط × (10 )2 × 30    = ط × 100 × 30 = 3000 سم3

                   النسبه =                  45    = 3    = ص 

    6

249

4 – في مخروط دائري قائم طول نصف قطر القاعدة 8سم وطول الراسم 17سم أحسب الحجم والمساحة  الكلية .

الحل : - من فيثاغورث

ع2 = 217 – 28  = 289 – 64

     = 255     ⇐ 

ع   =    225    =  15 سم

  حجم المخروط الدائري القائم = 1   ط ر2 ع

                                   =  1 ط × 64 × 15 = 320 ط سم3

المساحة الكلية = المساحة الجانبية + مساحة القاعدة

                   =  ط ر ل   + ط ر2

                   = ط × 8 × 17 + ط × 64 = 136ط + 64ط = 200 ط سم2

   7

249

5 – طوى قطاع دائري نصف قطر دائرته 15سم وقياس زاويته المركزية 120ه ليصبح مخروطاً دائريا قائماً   أحسب أولاً محيط قاعدة المخروط    ثانياً : ارتفاع المخروط      ثالثاً : حجم المخروط  ؟

الحل :- طول القوس ل = هـ × نق       نصف القطر

                            = 120 × ط   × 15  = 10ط سم

طول القوس ل = 10 ط = محيط قاعدة المخروط       اولاً

محيط قاعدة المخروط = 2 ط ر = 10 ط     ر = 5سم   ( نصف قطر قاعدة المخروط )

ع2 = 215 – 25  = 225 – 25 = 200

ع =    200   =10       سم  ( ارتفاع المخروط )    ثانياً

حجم المخروط = 1 ط ر2 ع =1 ط × 25 ×10       =250       ط سم3     ثالثاً

    8

250

6  -  مخروط دائري مائل حجمه 770سم3 وقطر قاعدته 7سم إذا كان لبعده بين رأس المخروط ومركز القاعدة 120سم فأحسب قياس الزاوية بين المحور والقاعدة ( ط = 22  )

    الحل :-  ع | م مَ | جاهـ

ع = 120 جاهـ

حجم المخروط = 1 ط ر2 ع

770  = 1 × 22  ( 7 )2 × 120 جاهـ

                  = 1  × 22 × 49 × 120 جاهـ     = 1540 جاهـ

      جاهـ  =    770    = ½

هـ = 30ه وهي الزاوية بين المحور والقاعدة

   10

250

 7 – الشكل المقابل يبين خيمة على هيئة اسطوانة دائرية قائمة يسقفها مخروط دائري قائم إذا كان قطر الاسطوانة 7 أمتار وارتفاع الخيمة 5 أمتار وارتفاع المخروط 3 أمتار فأحسب حجم الخيمة ومساحتها الجانبية ( ط = 22  ) ؟

الحل :- حجم الخيمة = حجم المخروط+ حجمه الاسطوانة

= 1 ط ر2 ع + ط ر2 ع

 = 1  × 22 × 49 × 3 + 22 × 49  ×  م  =  38.5  +  77  =  115.5 م3

المساحة الجانبية للخيمة = المساحة الجانبية للمخروط + المساحة الجانبية للاسطوانة

                           = ط ر ل   + 2 ط ر ع 

                      = 22 × 7  ×   85  + 2 × 22 × 7 × 2   = 94.71 سم2

ل=2 23 + ( 7 )2= 9 + 49 = 36 + 49 =  85   

ل =    85 سم

1416 / 1

1 – طوي قطاع دائري نصف قطر دائرته 15سم وقياس زاويته المركزية 120ه ليصبح مخروطاً دائرياً قائما . أحسب :  1- محيط قاعدة المخروط        2 – حجم المخروط  ؟   

الحل :-      أنظر صــــ رقم   5

1416 / 2

2 – إذا كان طول قطر اسطوانة دائرية قائمة يساوي 14سم وطول ارتفاعها يساوي ثلاثة أمثال طول  قطرها فما مساحتها الكلية ؟

الحل :-    2 ر = 14    ر = 7 سم

 ع  =  3  ( 2 ر )  =  6ر  =  6  × 7  =  42 سم

المساحة الكلية  = المساحة الجانبية + 2 × مساحة القاعدة

                   = 2 ط ر ع + 2 × ط ر2

                   = 2 × 22 × 7 × 42    +    2 × 22 × 49

                                   = 1848  +  308

                                     = 2156 سم2

1417 / 1

3 – أوجد حجم الجسم الناشئ من دوران المثلث أ ب ج القائم الزاوية في ب حول [ ب ج ] دورة كاملة حيث | أ ب | = 8سم ، | ب ج | = 15سم

الحل

الجسم الناشئ من الدوران هو مخروط دائرى قائم  ارتفاعه

= | ب ج | = 15سم ونصف قطر قاعدته

= | أ  ب | = 8سم وبالتالي

حجمه = 1  ط ر2 ع    

        = 1 ط × 28 ×15

     = 320 ط سم3

1418 / 1

 4 –  مخروط دائري قائم طول قطر قاعدته 32سم وارتفاعه 30سم أوجد مساحته الكلية وحجمه ؟

الحل : ر = 16 سم ، ع = 30سم

ل2 = 230 + 216

     =  900 + 256

    =  1156      ل   =    1156     = 34سم

المساحة الكلية = المساحة الجانبية + مساحة القاعدة

                  = ط ر ل   +  ط ر2

                  = ط × 16 × 34 + ط × 216

                 = 544 ط + 256 ط  = 800 ط سم2    #

حجم المخروط = 1  ط ر2 ع

                  = 1 ط × 216 × 30

                   =1 ط × 256 × 30

                  = 2560ط سم3             #

1419 / 1

 3– اسطوانة دائرية قائمة إذا كانت النسبه بين مساحتها الجانبية وحجمها تساوي 1 : 10 فأوجد

1 – طول نصف قطر قاعدتها   2 – المساحة الكلية للاسطوانة عندما يكون ارتفاعها 40سم

الحل :-  المساحة الجانبية  = 2 ط ر ع = 2 = 1

ر   = 20سم ( طول نصف قطر قاعدة الاسطوانة )      #   1

المساحة الكلية = المساحة الجانبية + 2 × مساحة القاعدة

                 = 2 ط ر ع     + 2  ط ر2

                 = 2 ط × 20 × 40  + 2 ط × 220

                 = 1600 ط    + 800 ط      =  2400 ط سم2    #   2  

1419 / 2

6 – أحسب حجم المخروط الدائري القائم الذي محيط قاعدته 440 سم وارتفاعه 10 سم حيث (  ط  =  22  )

الحل :-

محيط قاعدة المخروط = 2 ط ر = 440

ر = 440  = 440    =    7 × 440    = 70سم

حجم المخروط = 1 ط ر2 ع

                  = 1 × 22 × ( 70 )2 × 10

                  = 1  × 22 × 4900 × 10

                  = 51333.3 سم3