الكــره
تعريف الكره :- هي جسم
محدود بسطح منحني مقفل جميع نقطة على
أبعاد متساوية من نقطة ثابتة ( م ) تسمى المركز .
(( ويسمى البعد
الثابت نصف قطر الكره ورمزه ر ))
المنطقة الكروية :-
هو الجزء المحصور بين مستويين متوازيين قطعا الكره
وارتفاعها ( ع ) هو
البعد بين القاعدتين
القبة الكروية : إذا
قطعت الكرة بمستو فإن كلاً من الجزأين الناتجين يسمى قبة كروية .
القطاع الكروي
هو جزء من كره مكون من قبة كروية ومخروط دائري قائم رأسه
مركز الكره وقاعدته هو قاعدة القبة
المجسم المساحة الحجم ملاحظات
الكره
4 ط ر2 4
ط ر3
في جميع القواسين هـ نصف قطر الكره
القبة الكروية
2 ط ر ع 1 ط ع2 ( 3ر – ع )
المنطقة الكروية 2 ط ر ع هو
الفرق بين حجم قين
القطاع الكروي
2 ط ر ع + ط ر
ر ر2 – ( ر – ع )2 2 ط ر2 ع
1
262
1 – اسطوانة دائرية
وكره لها نفس الحجم قطر الكره يساوي قطر قاعدة الاسطوانة أحسب ارتفاع الاسطوانة
بدلالة قطر الكرة ؟
الحل :- حجم
الاسطوانة = حجم الكره
ط 2ر1 ع = 4 ط 3ر2
∵
ر1 = ر2 معطى
ع = 4 ر2
= 2 ( 2 ر2 )
ارتفاع الاسطوانة =
2 قطر الكره
2
262
لدينا كرتان قطر الأولى يساوي نصف قطر الثانية
أحسب
1 – نسبه مساحتيهما 2 – نسبه حجميهما ؟
الحل نفرض ر1 نصف
قطر الأولى ، ر2 نصف قط الثانية
2ر1 = ر2 معطى
مساحة الأولى = ع ط ر1
= ر1 = ر1 = 1
حجم الأولى = ط ر3
= ر3 = ر3 = 1
3
262
3– إذا علمت أن
المياه تعطى سطح الأرض وأن قطر الأرض
يبلغ 128000كليومتر فأحسب مساحة اليابسة على الأرض ؟
الحل :- مساحة سطح
الكره الأرضية = 4 ط ر2
المياه تغطي 3 سطح
الكره الأرض إذاً الباقي = اليابسة
= الكرة الأرضية
مساحة اليابسة = 4 ط
ر2 = ط ر2
= ط × ( 6400 )2 = 4096000000ط كيلومتر مربع
4
62
3– الشكل المقابل يمثل كأس على هيئه مخروط
دائري قائم نصف قطر قاعدته 3سم وارتفاعه 15سم إذا كان الكأس مملؤاً بالماء حتى عمق
10سم فما حجم الماء ؟
لدينا قطع من الثلج
على هيئة كرات نصف قطر الواحدة منها 1سم . ما أكبر عدد يمكن وضعه منها في الكأس من
دون أن يتدفق الماء عندما يذوب الثلج ؟
الحل :-
حجم الكأس = 1 ط ر2
ع
= 1 ط 9 × 15
= 45 ط سم3
من تشابه
المثلثين س = 10
س
= 3 × 10 = 2سم
حجم الماء = 1 ط ر2 ع
= 1 ط × 4 × 10
=
40 ط سم3
حجم الفراغ = 45 ط –
40 ط =
135 ط – 40 ط = 95 ط سم3
حجم الكره الثلجية
الواحدة = 4 ط ر3 ر = 1
عدد الكرات = =
95 = 23.57 كره
اكبر عدد يمكن وضعه
من الكرات = 23 كرة
5
262
5– أحسب مساحة وحجم قبه كروية ارتفاعها 1سم
ونصف قصر قاعدتها 5سم ؟
الحل :-
في المثلث القائم م
ن هـ :
ر2 = ( ر – 1 )2 +
25
= ر2 _ 2ر + 1 + 25
2ر = 26 ⇐ ر = 13سم
( نصف قطر الكره )
مساحة القبه الكروية
= 2 ط ر ع
= 2 × 13 × 1
= 26 ط سم2 #
حجم القبه الكروية
= ط ع2 ( 3ر – ع )
= ط × 21 ( 3 × 13 – 1 )
= ط ( 39 – 1 )
= 38 ط سم3 #
6
262
6– أحسب مساحة منطقة كروية البعد بين
قاعدتيها 2سم وقطراها 16سم ، 12سم ؟
الحل :- في الثلث
القائم م م2 ب :
ر2 = 28 + س2 1
في المثلث القائم م
م أ : ر2 = 26 + ( 2 + س )2 2
من1 ، 2 : 36
+ 4 + 4سم + س2 = 64 + س2
4س = 64 – 40 =
24 س = 24 = 6سم
من 1 ر2 = 64 + 36 = 100 ر =
100 = 10سم ( نصف قطر الكره )
مساحة المنطقة
الكروية = 2 ط ر ع
= 2ط × 10 × 2
= 40 ط سم2
7
262
7– الشكل المقابل يبين نصف كره قطرها 20سم
صفر فيها مخروط ناقص وقائم ارتفاعه 8سم . أحسب حجم المادة المتبقية ؟
الحل :-
من فيثاغورت في المثلث القائم أ ب ج :
2ر1 = 210 – 28
= 100 – 64 = 36
ر1 = 6 سم
حجم المخروط الناقص
القائم = 1 ط ع ( 2ر1 + ر1 ر2 + 2ر2 )
= 1 ط × 8 ( 36
+ 60 +100 )
= 8 ط × 196
= 1568 ط سم3
حجم نصف الكره = 2 ط
3ر ر = 10سم
= 2 ط × ( 10 )3 = 2000 ط سم3
حجم المادة المتبقية
= حجم نصف الكره – حجمه المخروط الناقص
= 2000 ط – 1568 ط
= 432 ط
= 144ط سم3
8
262
8– علبة على هيئة اسطوانة دائري قائمة نصف
قطر قاعدتها 12سم وارتفاعها 20سم ملئت
بالماء . إذا ادخلنا فيها كره قطرها 18سم وأخرجناها فأحسب حجم الماء المتبقي في
العلبة ؟
الحل :- حجم الماء
المتبقي = حجم الاسطوانة _ حجم الكره
= ط ر1ع – 4 ط ر2
= ط × 144 × 20 _ 4
ط × 729
= 2880 ط – 972 ط =
1908 ط سم3
9
262
9– متوازي مستطيلات أبعاد قاعدته 12سم ، 20سم في كره قطرها 28سم بحيث وقعت جميع الرؤوس
على الكره . أحسب حجم الجزء من الكره خارج متوازي المستطيلات ؟
الحل :-
| أ ء | = 20سم ⇐
| أ هـ | = 10سم
| أ ب | = 12سم ⇐ | ن هـ | = 6سم
من فيثاغورث :
في أ ن هـ القائم في هـ
| أ ن |2 = | أ هـ
|2 + | ن هـ |2
= 100 + 36 = 136
وفي أ ن م القائم مي ن
| م ن |2 = | أ م |2
- | أ ن |2 = (14 )2 – 136 = 196 – 136 =
60
| م ن | = 60 =
2 15 | أ أَ |
= 2 | م ن | = 4 15 سم
حجم متوازي
المستطيلات = ضرب أبعاده الثلاثة = 4 15
× 12 ×20= 960 15سم3
حجم الكره = ط 3ر =
× ط (14 )3 = 11494.04 سم3
الحجم
المطلوب = حجم الكره -حجم متوازي المستطيلات = 1149.04–960 15 = 7775.98سم3
إرسال تعليق