التغير ومتوسط معدل التغير

مطبوعـــــــات الابداع في الرياضيــــات

التغير ومتوسط معدل التغير

اذا كان س متغيراً حقيقياً وتغيرت قيمته من س₁ الى س₂ فإن :

التغير في س = س₂ – س₁ ويرمز له بالرمز س ( ويقرأ دلتا س) . أي  أن :

س = س₂-س₁

خذ الدالة ص = د(س) علماً بان س هي المتغير المستقل ، ص المتغير التابع لذلك اذا تغيرت س من القيمة س₁ الى القيمة س₂  فان ص تتغير من القيمة د(س₂) الى القيمة د(س₁) أي ان :

س = س₂ – س₁  ص = د(س₂ ) – د(س₁)

ويمكن كتابة س₂ = س₁ + س

اذن التغير في ص هو :

ص = د( س₁ + س) – د(س₁)

وبايجاد نسبة التغير في ص الى التغير في س نحصل على متوسط معدل تغير الدالة :

اذن متوسط معدل التغير (م.م.ت) هو :

=

 ص      د(س+س) – د(س)

 س              س                  (س  0)

 المعنى الهندسي لمتوسط معدل التغير هو

  ص   تعني ميل الوتر لمنحنى الدالة ص = د(س)

  س            

(أ) 1- احسب متوسط معدل التغير للدالة ص = 4س عندما تتغير س من 1 الى 1.3

 

2- اذا كانت ص = 3س+5 فاحسب متوسط التغير في الدالة عندما تتغير س من 3 الى 3.2

 

3-  جد متوسط معدل التغير للدالة د(س) = 3س + 2 عندما تتغير س من 1 الى 1.2

 

4- إذا كان ص = د(س) = 5 + س  فاحسب متوسط معدل التغير عندما  تتغير س من -1 الى 4 .

 

5- إذا كان ص = د(س) = س+3  وتغيرت س من 1 الى -2 فاحسب متوسط معدل التغير .

 

(ب) 1-  يتحرك جسم في خط مستقيم بحيث يكون بعده ف قدم عن نقطة بداية الحركة بعد ن ثانية

   يعطى بالعلاقة : ف = 16ن² . احسب سرعته المتوسطة في الفترة من ن = 2 الى ن =2.5ثانية .

 

2- يتحرك جسم في خط مستقيم بحيث يكون بعده عن نقطة ثابته بعد زمن ن ثانية معطى بالعلاقة

   ف = ن² – 2ن +5 .   احسب سرعته المتوسطة خلال الفترة من ن=1 الى ن= 3ث

 

3-  اذا كانت المسافة التي يقطعها جسم متحرك ابتداءاً من نقطة ثابتة معرفة بالعلاقة ف = ن³ + 9ن    

   حيث ن بالثواني ، ف بالسم . اوجد السرعة المتوسطة للجسم من ن=1 الى ن=3 ثانية

 

4-  يتحرك جسم في خط مستقيم بحيث يكون بعده ف من نقطة ثابته ن معطى بالعلاقة :

    ف = ن² – 5ن +9 . جد متوسط معدل التغير عندما تتغير ن من ن = 1ثانية الى ن =3ثواني.

 

(ج) 1- تتمدد صفيحة دائرية بالتسخين احسب متوسط معدل التغير في مساحتها عندما يتغير طول      

   نصف قطرها من 6سم الى 6.1سم .

 

2- تنكمش صفيحة دائرية بالتبريد احسب متوسط معدل التغير في مساحتها عندما يتغير طول نصف     

     قطرها من 3.2سم الى 3سم .

 

3-  فقاعة من الصابون كروية الشكل تتمدد بالمحافظة على شكلها الكروي . احسب متوسط معدل     

  التغير في مساحتها السطحية عندما يتغير طول نصف قطرها من 6ملم الى 6.2ملم

  ( مساحة سطح الكرة = 4نق² )

 

4-  بالون كروي يُملأ بالهواء بحيث يحتفظ بشكله الكروي . احسب متوسط معدل التغير في مساحة     

    سطح البالون عندما يتغير طول نصف قطره من 2سم الى 2.1سم .

 

كلما اقتربت س من الصفر تلاحظ حركة

الخط المستقيم الى ان تنطبق النقطة (ب) مع النقطة (أ)

ولذلك الوتر الواصل بين النقطتين أ،ب

مماساً للمنحنى وفي هذه الحالة يكون  

=

نهـــــــا ص                

س    0 س                             

 

اذن   = نهـــــــا د(س+س ) – د(س)

               س      0          س

وتعرف بالمشتقة الأولى ( أي تعريف المشتقة الأولى )

تسمى أيضاً بمعدل التغير ، المعامل التفاضلي الأولي ، المشتقة الأولى من المبادئ الأولية

4 تذكر O :    " سِروُر الناسِ في لبس اللباسِ             وجمعُ العِلمِ في ترك النُعاسِ"