الحدوديات و معادلة من الدرجة الثانية

1/ أمثلة:

مثال ( 1 )

جد جذري المعادلة:

   م س²  + (2 م - 3 ) س - 6 = صفر.

الحل:

 بالتحليل

-2 م

   ( م س + 2 ) ( س - 3 ) = صفر

أما :  م س +2 = صفر      >   س =  ـــ

أو س - 3 = صفر          >   س = 3

مثال ( 2 )

2 1 + س

2 س

بدون حل المعادلة  التالية حدد طبيعة جذريها :

  ـــ  + 1  =    ــــــــ   -  1       

الحل:

بضرب طرفي المعادلة × س ( 1 +  س) نجد:

2(1 + س) + س (1+ س) = 2 س - س(1 + س)

بفك الأقواس:

2 + 2 س + س + س² = 2 س - س - س²

و بنقل الحدود تصبح المعادلة:

2 س² + 2 س + 2 = صفر

أ = 2  ،  ب = 2 ،  جـ = 2

المميز = ب² - 4 أ جـ = (2) ² - 4 × 2  × 2

   المميز = 4  - 16  = -12 < صفر

> الجذران تخيليان..

مثال ( 3 )

جد قيم ك التي تجعل جذري المعادلة التالية حقيقيين متساويين:

س² - 2 س + 1 = ك( س - 3 )

الحل:

بفك القوس في الطرف الأيسر تصبح المعادلة:

س² - 2 س + 1 = ك س - 3 ك

و بجعل المعادلة صفرية تصبح:

س² - 2 س + 1 - ك س + 3 ك = صفر

و بتجميع الحدود المتشابهة:

س² - (2 + ك ) س + (3 ك + 1 ) = صفر

أ = 1  ، ب = - (2 + ك )  ، جـ = (3ك + 1 )

ليكون جذرا   المعادلة حقيقيين متساويين :

المميز = ب² - 4 أ جـ = صفر

[ - (2 + ك)]² - 4 × 1  × (3ك + 1) = 0

4 + 4 ك + ك² - 12ك - 4 = صفر

ك² - 8 ك = صفر.

ك ( ك - 8 ) = صفر

أما ك = صفر

أو ك - 8 = صفر         >       ك = 8

عند ك = صفر تصبح المعادلة:

 س² - 2 س + 1 = صفر [ ما هما الجذران؟]

و عند ك = 8 تصبح المعادلة :

س² - 10 س + 25 = صفر [ ما هما  الجذران؟]

              

2 / أكتب ما ياتي:

1)    دالة حدية من الدرجة الرابعة.

2)    حدودية من الدرجة الثالثة بها :أ₃  =  3 ،    أ₂ = 0 ، أ₁ = -5 ، أ₀ = 3

3)    حدودية من الدرجة الصفرية.

4)    الصورة العامة للحدودية من الدرجة (ن).

5)    الصورة العامة للحدودية من الدرجة الثانية.

6)    الصورة العامة لمعادلة الدرجة الثانية.

7)    القانون العام لحل المعادلة:                       أ س² + ب س + جـ = صفر.

8)    مميز المعادلة: م س² + ن س + ل = صفر.

3  / أي العبارات التالية تمثل حدودية؟

1)     س⁴  -  2 س² + 1

2)    ق(س) = 3 س

3)    ق (س ) =    س⁴

	3 س- 2

 

4)    ق ( س ) = ــــ  + 2 س + 1

4 / حلل الحدوديات التالية تحليلاً كاملاً:

1)     م س + م

2)     م س² -  م

3)    س² -  ص - 2   

4)     م س² + ( 3 م + 2 ) س + 6

5)    6 س² -  س - 1 

6)    س⁴ – 2 س² -  8

7)    س² + 5 س + 6

8)    ص² + ص – 6

9)     

1 4

 م² + 4 ( 2 م + 3 )  [تلميح: فك القوس أولاً]

10-  هـ² -  ــ

5 / حل المعادلات التالية بطريقة التحليل:

1)    (س - 2 ) ( س + 3 ) = صفر.

5)    س² - 1 = صفر

2)    س² + 3 س = صفر

1)    س² - 2 س = صفر

3)    ص² - ص - 12 = صفر

4)    م² - 7 م + 6 = صفر

5)      15  +  ك - 2ك = صفر

6)    2 س - س - 10 = صفر

7)    2 ( س + 4 ) = س²

10 ) ل² - 3 = 6

6/ حل المعادلات التالية باكمال المربع:

1)    س² + 2 س - 1 = صفر

2)    2 س² - 3 س + 1 = صفر

3)    ص² + 2 ص - 3 = صفر

4)    3 س² + 2 س - 1 = صفر

5)    س² + ك س = صفر

6)    أ ص² + ب ص + جـ = صفر.

7 / حل المعادلات التالية بالقانون العام:

    1) س² + س - 3 = صفر

    2 ) س² - 2 س = صفر.

   3 )  2 س² -  5 = صفر

  4 ) 3 س² + 2 س = 1

  5 ) ع² + 4 - 1 = صفر

  6 ) س²  = 2 س + 5

  7 ) ( س + 1 ) ²  = 3 - س

8 / حدد طبيعة جذري كل من المعادلات التالية دون حلها:

1)    س² + س - 12 = صفر

2)    س² + 3 س + 2 = صفر

3)    س² - 3 = صفر

4)    س² + 4 = صفر.

5)    (2 س - 1 )²  = صفر.

6)    س²    - 5 س = صفر.

7)    س² + 2 ل س +   ل² ( ل ثابت)

8)    س²  - 10 س + 25 = صفر

9)   

1 س - 1

1 س

4 س² - 20 س + 25 =    صفر

10) ـــ    +   ـــــ  =  2

11) 2 س² = ل س  + ل²

12 ) أ س² - س = أ  ( أ > صفر )

9/ في المعادلات التالية جد قيمة ك التي تجعل جذري المعادلة حقيقيين متساويين:

1)    س² + ك س + 36 = صفر

2)    س² + ك س + 1 = صفر

3)    ص² - 6 ص + ك²  = صفر

4)    س² + ( ك + 1 ) س + 25 = صفر

5)    س² + ك س + (ك + 3 ) = صفر

6)    س²+ (ك + 1) س+ ( 3ك - 5 ) =0

7)    س² + ( ك - 2 ) س + 10 - ك = 0

8)    س² - 2 ك س + ( ك + 2 ) = 0

10 / وضح أن :

1 ) المعادلة التالية لا يمكن أن يكون جذراها حقيقيان:

            أ² س² + أ س + 1 = صفر.

2 ) المعادلة :

             2 س² + ك س - 1   = صفر

جذراها حقيقيان دائماً.

11 / كوِّن :

1 ) المعادلة التي جذراها:

              2  ،  - 3

2 ) المعادلة التي جذراها:

            صفر  ،  2

3) المعادلة التي جذراها حقيقيان و كل منهما يساوي

    - 3