3. مقدمة رياضيات
كما اسلفنا, فان علم الفيزياء يعتمد في وصفه لحركة الاجسام على علم الرياضيات لذلك علينا التعرف على بعض المهارات الياضياتية لنتمكن من التعامل مع المعادلات والقوانين الفيزيائية, يوضح  الفصل التالي من هذا الكراس بعض مفاهيم الرياضيات لتساعدك على التعامل مع معادلات وقوانين الفيزياء.
3.1     الدالة – تعريف
الدالة الرياضية أو التابع الرياضي كائن رياضي يمثل علاقة تربط بكل عنصر من مجموعة تدعى المنطلق X \!عنصر واحد وواحد فقط من مجموعة تدعى المستقر Y \!. أو، باستعمال الصياغة الرياضية الرسمية f\colon X \rightarrow Y,x \rightarrow f(x) \!
ينتج من هذا التعريف عدة أمور أساسية :
  • لكل تابع مجموعة منطلق (أو نطاق Domain )غالباً ما تدعى X \!.
  • لكل تابع مجموعة مستقر (أو نطاق مرافق Codomain )غالباً ما تدعى Y\!.
  • لا يمكن لعنصر من مجموعة المنطلق X \!ان يرتبط إلا بعنصر وحيد من مجموعة المستقر Y \!.
  • يمكن لعنصر من مجموعة المستقر Y \!أن يرتبط بعنصر وحيد أو أكثر من مجموعة المنطلق X \!.
فاذا كان المنطلق (المجال) هو مجموعة القيم التي يمكن أن يأخذها المتغير المستقل x ، فإن المستقر أو النطاق المرافق (المجال المقابل) هو مجموعة القيم الممكنة لقيم الدالة f(x)\!.
المجال المقابل ( أو المدى ) Range : هو مجموعة القيم الفعلية للدالة f .
و يجب عدم الخلط بين المجال و المستقر حيث يمكن للدالة ألا تغطي جميع قيم المستقر فيكون المجال مجرد مجموعة جزئية من المستقر .
غالبا ما نخصص لفظ دالة للتطبيقات التي يكون مستقرها R (الدوال العددية) , أو C (الدوال العقدية). في حين نسمي تطبيقا كل ما يحقق التعريف أعلاه.

أمثلة

لنأخذ الدالة : f\colon X \rightarrow Y,x \rightarrow x^2 \!
أي أن f(x)=x^2 \!
نأخد x=2 نكتب f(2)=(2)2=4، هنا بالتعرف أعلاه اختصرنا الدالة التربيعية بالحرف f \!. عندئذ نجد أن العنصر2 = x من المنطلق يرتبط بالعنصر 4 = y من المستقر فقط. العنصر -2 = x من المنطلق (أو المجال)X \! يرتبط بالعنصر 4 = y فقط من المستقر، فإذا من الممكن للعنصر 4 = y من المستقر أن يرتبط بعنصرين 2 = x و-2 = x من المنطلق في حين أن أي عنصر من المنطلق يرتبط بعنصر واحد فقط من المستقر. هذا أمر جوهري في تحديد كون أي علاقة بين مجموعتين تشكل دالة رياضية .
بالمقابل
\mathrm{Root}(x) = \pm\sqrt{x}
ليست دالة، لأنها تربط أي x بقيمتين ل y. مثل، الجذر التربيعي للعدد 9 قد يحتمل قيمتين هما 3 و -3. لهذا، إذا اردنا ان نجعل الجذر التربيعي دالةً فيجب أن نحدد أي جذر نختار، السالب ام الموجب. التعريف
\mathrm{Posroot}(x) = \sqrt{x}, \quad \forall x\ge 0،
يعطي لأي x غير سالب قيمة واحدة ل y هو الجذر التربيعي الموجب.





3.2     المشتقة  – تعريف
لتكن دالة وكانتx_o عنصر من الفترة J. نقول أن الدالة قابلة للتفاضل differentiable(تفاضلية) عند x_o إذا وجدت النهاية.

f(x_o ) = \mathop {\lim }\limits_{x \to x_o } \frac{{f(x) - f(x_o )}}{{x - x_o }} = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f(x_o + h) - f(x_o )}}{h}

في هذه الحالة نرمز لهذه النهاية بالرمز f'(x_o )وتسمى مشتقة الدالة f عند x_o . نقول أن الدالة f قابلة للتفاضل على S \subset Jإذا كانت قابلة للتفاضل عند كل نقطة من S.
الدالة التي تخصص لكل نقطة x \in [a,b]مشتقتها (إن وجدت هذه المشتقة) تسمى الدالة المشتقة ونرمز لها برمز نيوتن f'أو رمز ليبنز \frac{{df}}{{dx}}وأحيانا رمز أويلر D_x f.

إذا كانت J = [a,b]فعند نقطتي النهاية, نعرف ما يسمى مشتقة الجهة الواحدة كالتالي :
f(a^ +) = \mathop {\lim }\limits_{x \to a^ +} \frac{{f(x) - f(a)}}{{x - a}} = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0^ +} \frac{{f(a + h) - f(a)}}{h}

f(b^ -) = \mathop {\lim }\limits_{x \to b^ -} \frac{{f(x) - f(b)}}{{x - b}} = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0^ -} \frac{{f(b + h) - f(b)}}{h}

بشرط وجود هذه النهايات ويطلق عليها بالمشتقة اليمنى واليسرى على الترتيب.

قوانين المشتقة

4. 
مثال:

5. 






 
        

مثال:   




6.            


        مثال:   


7.    مشتقة الدوال من الصورة        هي 
مثال:  
جد مشتقة الدالة ؟
اذا اعتبرنا إن :  ومشتقتها حسب القانون الاول هي
               وايضاً  ومشتقتها      بذلك ينتج إن
8.    cبراميتر يمثل أي عدد
مثال:    مشتقة الدالة: هو

لايجاد قيمة مشتقة في نقطة ما علينا اولاً ايجاد المشتقة ثم تعويض النقطة فيها
مثال
معطاة الدالة  g(x) = x4  احسب قيمة

Post a Comment

إرسال تعليق

أحدث أقدم