البرهان باستعمال بطاقات طرائق

البرهان باستعمال بطاقات طرائق

كما كان الأمر في السنة الثالثة، يبقى الهدف في هذا المجال هو تدريب التلميذ تدريجيا على تحرير نصّ برهان بشكل سليم وبوضوح. يتمّ التحرير في التعبير الطبيعي للتلميذ ونتجنّب الإفراط في استعمال الرموز، وبالخصوص، الروابط المنطقية بما فيها تلك المستعملة عند حلّ المعادلات والمتراجحات وجمل معادلتين أو متراجحتين. ونستعمل بدلا منها في هذه المرحلة كلمات أبسط مثل: منه، وبالتالي، إذن، يعني، ...

كما في السنة الثالثة، تشكلّ الأنشطة الهندسية مجالا ثريا لإعادة استثمار ودعم تعلّمات التلاميذ المرتبطة بالاستدلال الاستنتاجي والبرهان. يمكن أن يكون ذلك سواء من خلال البرهان على الخواص المقررة في البرنامج أو بمناسبة حلّ مشكلات التطبيق والتقويم.

وإضافة إلى العمل المقترح في جزء "أركان أخرى خاصة بالمادة" حول الاستدلال الاستنتاجي والبرهان، يمكن أن نقترح على التلاميذ أنشطة (تمارين ومشكلات) تسمح لهم ببناء بطاقات لطرائق البرهان تكون مرتكزا لهم في حلّ مشكلات أكثر تركيبا. وفي هذا الصدد، يمكن استهداف المواضيع التي تتكرر أكثر في برامج التعليم المتوسط،  مثال: للبرهان على أنّ مستقيمين متوازيان، يمكن أن نجعل التلميذ يكتشف مختلف الطرائق الآتية: 

-       طريقة 1: نستعمل مستقيما ثالثا يوازي المستقيمين المفروضين.

-       طريقة 2: نستعمل مستقيما ثالثا يعامد المستقيمين المفروضين.

-       طريقة 3: نستعمل تساوي زاويتين متبادلتين داخليا أو متماثلتين.

-       طريقة 4: نستعمل خاصية الضلعين المتقابلين لمتوازي أضلاع أو لمتوازي أضلاع خاصّ.

-       طريقة 5: نستعمل صورة مستقيمين متوازيين بتناظر مركزي أو محوري أو انسحاب. 

-       طريقة 6: نستعمل صورة مستقيم بتناظر مركزي.

-       طريقة 7: نستعمل خاصية مستقيم المنتصفين لضلعين في مثلث.

-       طريقة 8: نستعمل الخاصية العكسية لطالس.

مثال:ABCمثلث. (AM) هو المتوسط المتعلق بالضلع [BC] والنقطة E هي نظيرة النقطة A بالنسابة إلى M

بين أن المستقيمين (AB)و(CE)  متوازيان.

للبرهان على أن المستقيمين (AB) و(CE) متوازيان يمكن استعمال:

-       الطريقة 5 ()(AB و(CE)متناظران بالنسبة إلى M).

-       الطريقة 4 (ABEF  متوازي الأضلاع لأن قطريه متناصفان).

-       الطريقة 3 ( الزاويتان المتبادلتان داخليا BAM  و  MEC (أو ABM و MCE ) متساويتان لأن المثلثين BAM  و  MECمتقايسان حسب الحالة الثانية لتقايس المثلثات).

-       الطريقة 8: ( )

الاستدلال والأنشطة العددية

يتعلق الأمر هنا بأنشطةمستمد من المجال العددي. وتتمثل في تمارين لا ترتبط مباشرة بمفهوم معين من البرنامج لكنهاتخدم جوانب عديدة للاستدلال والغرض منها، كما جاء في فقرة تقديم التدريب على الاستدلال، هو منح التلميذ فرصة لممارسة هذا النشاط في مجال آخر غير الهندسة.

نشاط(1):

1) إليك أعدادا طبيعية مكتوبة برقميين. وراء كل لطخة (■)، يوجد رقم مخفي.

أكمل كل خانة في الجدول بنعم أو لا مبررا إجابتك في كل مرة.

2) عين الإجابة الصحيحة.

اشرح كتابيا إجاباتك المتعلقة بالأسطر 3، 5، 7، 8.

توجيهات بيداغوجية

المطلوب في هذا النشاط (1) هو الإرفاق بكل متباينة مخفية جزئيا الكيفية أو الكيفيات المناسبة لها: مؤكد، ممكن، مستحيل. وهي كيفيات تتطلب التفكير في آن واحد في عدة قضايا متعلقة بالتأكيد والنفي والتكميم:

§     مؤكد: هذا صحيح مهما كانت قيمة المتغير (الرقم المخفي).

§     ممكن: هذا صحيح من أجل قيمة واحدة على الأقل للمتغير.

§     مستحيل: هذا غير صحيح مهما كانت قيمة المتغير.

في الجزء الثاني من النشاط، تقتصر الكيفيات إلى اثنتين: مؤكد، مستحيل.

نشاط (2):

الهدف: استعمال الآلة الحاسبة لوضع تخمينات.

عدد الحصص:1

اختر 3 أعداد طبيعية متتالية.  باستعمال الآلة الحاسبة، أحسب جداء هذه الأعداد ثم قسّم على 6.

أعد ذلك عدة مرات.

هل النتيجة عدد طبيعي: دائما؟ أبدا؟ بشرط...( أذكره)؟علل إجابتك.

توجيهات بيداغوجية

تكون البداية بالتأكد من فهم العبارات الواردة في النص من قبل كل التلاميذ (بالخصوص، أعداد متتالية). يقترحهذا النشاط في أفواج (4 تلاميذ في كل فوج).

يعطى الوقت الكافي للبحث.

العرض والمناقشة.

تعرض الأجوبة المختلفة على السبورة وخلال التبادل بين التلاميذ ترفض النتائج الخاطئة بإعطاء أمثلة مضادة ونصل بالتلاميذ إلى المصادقة على النتيجة الصحيحة بمراعاة صياغة التخمين السليم للحالة العامة و تقديم البرهان المناسب.

تطبيقات

في كل من النصوص التالية، أبحث باستعمال الآلة الحاسبة، عن "مثال مضاد"، وإذا لم تجده، حاول أن تبرر صحة النص في الحالة العامة.

1)   مربع عدد طبيعي لا ينتهي أبدا بأحد الأرقام: 2، 3، 7، 8.

2)   رقم عشرات مربع عدد طبيعي هو زوجي.

3)   مربع عدد زوجي هو زوجي.

نشاط (3):

الهدف: التدريب على البرهان في الجبر

عدد الحصص:1

        تزن قارورة وغطائها110g.

وزن القارورةأكبر ﺒ100g من وزن الغطاء. ما هو وزن القارورة ؟

توجيهات بيداغوجية

الغرض من هذا النشاط هو تدريب التلاميذ على ممارسة البرهان في مجال آخر غير الهندسة، من خلال وضعهم لطريقة حل مشكلة بواسطة الجبر.

تبدأ هذه الطريقة حتما، بمرحلة ترجمة في تعبير رمزي، تسمح ببناء نموذج جبري، سيؤدي استعماله إلىحل الإشكالية. وهذا يعني تغيير المجال المفهوماتي (الانتقال من شيء إلى رمز) وتحوّل المعنى المرتبط بهذا التغيير.

على الأستاذ أن يعمل مع التلاميذ على تجسيد هذه الطريقة، التي يمكن تصورها في أربع خطوات:

·       تعيين المقادير وتسميتها: قبل الشروع في ترجمة المعطيات، ينبغي" تهيئة الأرضية" بتعيين المقادير التي يمكن أن تتدخل في الحل ثم الترميز إليها بحروف مثلا.

في النشاط السابق، نسمي وزن الغطاء (المطلوب) ووزن القارورة كذلك، إذ يتدخل في النص مرتين. وليكن وزن القارورة و  وزن الغطاء.

·       ترجمة النص: لا تطرح الجملة الأولى أية إشكالية، فتترجم بالشكل: . لكن، يمكن أن يجد بعض التلاميذ صعوبة في ترجمة الثانية بالمساواة:  ( وجود العبارة " أكبر" في النص يمكن أن يؤثر عند بعض التلاميذ ويحاولون ترجمة الجملة في متباينة).

·       حل المشكلة: إن التحكم في طريقة التعويض بمساواة شرط ضروري لحل " جملة المعادلتين" المحصل عليها: بما أن  فيمكن تعويض "  " بـ "  ". وهكذا تصبح المساواة  في الشكل: .

يبقى أن نستعمل التحليل ، ثم المبادلة بين الجمع والطرح ، وفي الأخير المبادلة بين الضرب والقسمة .

·       الاستخلاص: وزن الغطاء هو5 g.

نشاط (4):

هل يقبل مجموع ثلاثة أعداد طبيعية القسمة على 3 دائما؟

توجيهات بيداغوجية

قبل إعطاء نص النشاط، يبدأ الأستاذ باستدراج التلاميذ لوضع هذا التخمين، من خلا ل بعض الحالات الخاصة. ويكتب بعد ذلك النص على السبورة، ويطلب منهم البرهان على الحالة العامة: أي صدق التخمين مهما كانت الأعداد المعتبرة.

يوزع التلاميذ إلى أفواج، ويترك لهم الوقت الكافي للبحث والتبادل، داخل الفوج الواحد، حول الإجراءات والصياغة الممكنة لها.

في مرحلة العرض والمناقشة، يعرض ممثل عن كل فوج النتائج ويشرح الإجراء المعتمد من قبل الفوج. وتكون المصادقة من بقية القسم، بمراقبة صحة التبريرات المقدمة.

دور الأستاذ، في مثل هذه الحالة، هو حث التلاميذ على إبراز الخطوات الأربعة الموصوفة في النشاط السابق، عند عرض طرق حل الإشكالية والحرص على صرامة البراهين المقترحة وكذا سلامة التعبير المستعمل.

تطبيقات وإعادة استثمار

          تقترح وضعيات مماثلة للنشاط الثاني مع مجموع عدديين فرديين مثلا.