مستقيم يمر برأس زاوية ما في مثلث وينصفها يسمى

مستقيم يمر برأس زاوية ما في مثلث وينصفها يسمى منصف الزاوية

منصف الزاوية هو مستقيم يمرّ من راس من رؤوس المثلث و يقسم الزاوية إلى نصفين و تتقاطع المنصفات

 

 

.           الهندسة

 

 

         خطوط خاصة في المثلث:

 

    الارتفاع:  هو الخط العمودي النازل من أحد رؤوس المثلث على الضلع المقابل له.

    المستقيم المتوسط:  هو الخط الذي يصل بين رأس المثلث ومنتصف الضلع المقابل لهذا الرأس.

    منصف الزاوية: هو المستقيم الذي يمر برأس الزاوية ويقسمها إلى زاويتين متساويتين.

المثلث هو أحد الاشكال الاساسية في الهندسة.و هو شكل ثنائي الأبعاد مكون من ثلاثة رؤوس تصل بينها ثلاثة اضلاع، التي هي عبارة عن قطع مستقيمة.

 

<--xx-- type=text/--xx--> //

 

  أنواع المثلثات

 

من الممكن تصنيف المثلثات تبعا لاطوال اضلاعها كما يلي:

 

مثلث متساوي الأضلاع: هو مثلث أضلاعه متساوية. جميع زوايا المثلث متساوي الاضلاع متساوية أيضا، وقيمتها 60 درجة.

مثلث متساوي الضلعي: هو مثلث فيه ضلعان متساويان. الزاويتان المقابلتان لهذين الضلعين تكونان متساويتان أيضا.

مثلث مختلف الأضلاع: هو مثلث أطوال أضلاعه مختلفة. زوايا هذا المثلث تكون مختلفة القيم أيضا.

 

 

مثلث متساوي الاضلاع                    مثلث متساوي الساقين                مثلث مختلف الاضلاع

متساوي الاضلاع            متساوي الساقين        مختلف الاضلاع

كما يمكن تصنيف المثلثات تبعا لقياس أكبر زاوية في المثلث:

 

مثلث قائم: له زاوية قياسها 90 درجة (زاوية قائمة)، يدعى الضلع المقابل للزاوية القائمة بالوتر، وهو أطول أضلاع هذا المثلث.

مثلث منفرج الزاوية: له زاوية قياسها أكبر من 90 درجة واصغر من 180 درجة(زاوية منفرجه)

مثلث حاد الزوايا: كل زواياه قياسها أصغر من 90 درجة (زاوية حادة).

nbsp;

 

  مثلث منفرج                  مثلث حاد

قائم             منفرج          حاد

 

حقائق عن المثلثات

 

 

  تشابه مثلثين

 

يقال عن مثلثين انهما متشابهين اذا كانت الزوايا المتقابلة من كل منهما متساوية، اي عندما ينتج احدهما عن الاخر بتكبيره او تصغيره. ان اطوال اضلاع المثلثين المتشابهين متناسبة، اي انه اذا كان طول أقصر اضلاع المثلث الاول هو ضعفا طول أقصر اضلاع المثلث الثاني، فان طول كل من الضلعين الاطول و المتوسط من المثلث الاول هو ضعفا طولي لضلعين الاطول و المتوسط من المثلث الثاني ايضا، و بالتالي فان النسبة بين طولي الضلعين الاقصر و الاطول في المثلث الاول مساوية للنسبة بين طولي الضلعين الاقصر و الاطول في المثلث الثاني.وهناك عدة حالات للتشابه منها زاوتين ويرمز للتشابه بالرمز (~) يتشابه مثلثان اذا تطابقتزواياهما المتناظرة ___ اذا تطابقت زاويتان في مثلث مع زاويتان في مثلث اخر كان المثلثان متشابهين.

 

 

  نظرية فيثاغورث

 

واحدة من النظريات الاساسية في المثلثات هي نظرية فيثاغورث و التي تنص على انه في المثلث القائم، مربع طول الوتر (ا َ) يساوي إلى مجموع مربعي طولي الضلعين القائمين (ب َ، ج َ)، اي:

 

د َ² = ب َ² + ج َ²

 

مما يعني ان معرفة طولي ضلعين من المثلث القائم، كاف لمعرفة طول الضلع الثالث:

 

من الممكن تعميم نظرية فيثاغورث لتشمل اي مثلث عبر قانون التجيب:

 

د َ² = ب َ² + ج َ² - 2 ب َ ج َ تجب د

 

و هو صحيح من اجل كل المثلثات حتى و لو لم تكن د قائمة.

 

سؤال:هل تبقى النظرية صحيحة في حالة ان تكون الاشكال المقامة مضلعات منتظمة اخرى مثل مضلع ثلاثي:أو خماسي أو سداسي،...الخ ماهو تعريف علم المثلثات

 

 

مساحة المثلث

 

تعطى مساحة المثلث بالقوتلةنتالتالابانون:

 

سط = ق × ع / 2

 

حيث ان ق هي طول احدى اضلاع المثلث (القاعدة)، و ع هو طول العمود النازل على هذا الضلع من الرأس المقابل له (الارتفاع).

 

من الممكن البرهان على ذلك من خلال الشكل التالي:

 

حساب مساحة المثلث هندسيا

يحول المثلث اولا لمتوازي اضلاع

مساحته ضعف مساحة المثلث، ثم إلى مستطيل.

مثلث أحد الأشكالِ الأساسيةِ في هندسة: شكل ثنائي الأبعاد بثلاثة قِمَم وثلاثة جوانبِ بشكل خطوط مستقيمة . عرف المثلثات

 

 

  أنواع المثلثاتِ

 

المثلثات يُمْكِنُ أَنْ تُصنّفَ طبقاً للأطوالِ النسبيةِ مِنْ جوانبِها:

 

في مثلث متساوي الأضلاع كُلّ الجوانب ذات طولِ متساو. مثلث متساوي الأضلاع أيضاً متساوي الزوايا ، أي أن كل زاوية هي 60 درجة؛ * في مثلث متطابق الضلعين جانبان متساويان في الطول. مثلث متساوي الساقين لَهُ زاويتان داخليتانُ متساويتانُ أيضاً.

في مثلث مختلف الأضلاع كُلّ الجوانب لَها أطوالُ مختلفةُ. إنّ الزوايا الداخليةَ في مثلث مختلف الزوايا هي مختلفة أيضا.

المثلثات يُمْكِنُ أيضاً أَنْ تُصنّفَ طبقاً لحجمِ زاويتِهم الداخليةِ الأكبرِ، وَصفَ تحت استعمال درجة مِنْ القوسِ.

 

أي مثلث قائم (أَو مثلث قائم الزاوية ) عِنْدَهُ 90 واحد °؛ الزاوية الداخلية (a زاوية قائمة). الجانب قبالة الزاوية القائمة وتر زاوية قائمة ؛ هو الجانبُ الأطولُ في المثلث القائمِ. إنّ الجانبانَ الآخرَ سيقان المثلثِ.

مثلث منفرج عِنْدَهُ زاويةُ داخليةُ واحدة أكبرُ مِنْ 90 °؛ ( زاوية منفرجة).

مثلث حادّ عِنْدَهُ زوايا داخليةُ التي جميعاً أصغر مِنْ 90 °؛ (ثلاثة زاوية حادة ).

 

  نقاط و مستقيمات و دوائر متصلة بالمثلث

 

الموسط العمودي لمثلث هو مستقيم يمر من أحد اضلاع المثلث في منتصفه و يكون عموديّا عليه و تتلاقى الوسطات العمودية لمثلث في نقطة تسمى مركز الدائرة المحيطة بمثلث و يكون لهذه النقطة نفس البعد عن رؤوس المثلث الثلاث و يكون تقاطع موسطين عموديين فقط كافيا لمعرفة مركز هذه الدائرة.

 

 

الدائرة المحيطة بمثلث يمرّ من رؤوس المثلث الثلاث.

الدائرة المحيطة بمثلث يمرّ من رؤوس المثلث الثلاث.

 

 

تقول مبرهنة طالس انّه اذا مركز الدائرة المحيطة بالمثلث توجد على ضلع من أضلاع المثلث فانّ الزاوية المقابلة لهذا الضلع تكون قائمة.

 

 

نقطة تقاطع الارتفاعات في مثلث تسمى المركز القائم

نقطة تقاطع الارتفاعات في مثلث تسمى المركز القائم

.

 

 

 

الارتفاع هو قطعة مستقيم تكون صادرة من راّس من رؤوس المثلث و تكون عمودية غلى الضلع المقابل و يمثل الارتفاع البعد بين الراس و الضلغ المقابل كما تتقاطع الارتفاعات في نقطة تسمى المركز القائم.

 

 

تقاطع منصفات الزوايا في مركز الدائرة المحيطة بالمثلث

تقاطع منصفات الزوايا في مركز الدائرة المحيطة بالمثلث

.

 

 

 

منصف الزاوية هو مستقيم يمرّ من راس من رؤوس المثلث و يقسم الزاوية إلى نصفين و تتقاطع المنصفات الثلاثة في مركز الدائرة المحاطة بالمثلث وهي الدائرة التي تمسّ اضلاع المثلث الثلاث.

الموسّط هو قطعة مستقيم تنطلق من رأس من رؤوس المثلث و تمر من منتصف الضلع المقابل و تتقاطع الموسطات الثلاث في نقطة تسمى مركز ثقل المثلث و يكون تقاطع موسطين فقط كافيا لمعرفة مركز الثقل. كما يكون البعد بين راس المثلث و مركز الثقل مساويا ل 2/3 الموسط الصادر من ذلك الراس.

 

 

الوسطات و مركز الثقل.

الوسطات و مركز الثقل.

 

 

منتصفات الاضلاع الثلاث و نقطة تقاطع الارتفاع و الضلع المقابل له موجودة كلها على نفس المثلث دائرة النقاط التسع للمثلث و النقاط الثلاثة المتبقية هي منتصف البعد بين راس المثلث والمركز القائم و شعاع دائرة النقاط التسع هي نصف شعاع الدائرة المحيطة بالمثلث .

تسع نقاط من هذه الدائرة موجودة على المثلث.

تسع نقاط من هذه الدائرة موجودة على المثلث.

 

حساب مساحة المثلث

 

أبسط طريقة لحسا مساحة المثلث و أكثرها شهرة هي

 

S=\frac{1}{2}bh

حيث S هي المساحة و bهي طول قاعدة المثلث و hهو ارتفاع المثلث . قاعدة المثلث تمثل ايّ ضلع من أضلاع المثلث و الارتفاع هو المستقيم الصادر من الراس المقابل للضلع و العموديّ عليه.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

מדינת ישראל

מ ש ר ד  ה ח י נ ו ך

מינהל תיאום ובקרה

האגף לחינוך מבוגרים

 

            دولـــة إسرائيل

وزارة التربية والتعليم

إدارة التنسيق والرقابة

قسم تعليم الكبار

 

 

 

                       

 

 

 

 

 

דפי נוסחאות במתמטיקה לנבחנים בשאלונים הבאים :

أوراق قوانين في الرياضيات للممتَحَنين في الامتحانات التالية:

779121 (השלמה ל-2 יח"ל- تكملة إلى وحدتين تعليميّتَين)

779132 (השלמה ל-3 יח"ל- تكملة إلى ثلاث وحدات تعليمية)

     

 

 

 

 

 

           

لائحة قوانين في الرياضيات  ("رياضيات 2000")

مسار 2 وحدات إنهاء  + مسار 3 وحدات إنهاء

 

I.          الجبر

 

   أ-   المعادلة التربيعية:

 

                                   

                                                   الجذور:

  

   ب- الرسم البياني:

   

     1.    معادلة الخط المستقيم:                        y = mx+n    ( m هي ميلان المستقيم)

 

     2.   معادلة القطع المكافئ:

 

    3.  رأس القطع المكافئ:

 

   4.  معادلة مستقيم يمرّ عبر النقطة y1)  ,  (x1وميله m   :

 

  ج-  متوالية حسابية:  

 

    1.  الحد   الـn  ي:  

 

    2.  مجموع  n  الحدود الأولى: 

 

II.        حساب المثلثات

 

           في المثلث قائم الزاوية:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

III.      

 

أ‌-             المثلث العام:

     

   مساحة المثلث:

 

 

 

 

 

 

 

 

ب‌-           المثلث قائم الزاوية:

             

       نظرية فيثاغورَس:                                                                

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ج‌-            المثلث متساوي الساقين                                  

         1.   الساقان متساويان.

        2.   زاويتا القاعدة متساويتان.

         3.   الارتفاع على القاعدة والمستقيم المنصف للقاعدة

               ومنصف زاوية الرأس تلقي كلها في خط واحد.

 

 

 

 

د-   مثلث متساوي الأضلاع:

   

1.           جميع الأضلاع  متساوية.

2.           كل زاوية من زواياه تساوي   600

3.         الارتفاع  والمستقيم المتوسط   ومنصف الزاوية التي تخرج من نفس الرأس تلقي كلها في خط واحد.

 

 

هـ.  المستطيل:

 

1.           كل ضلعين متقابلين متساويان ومتوازيان.

2.           كل زاوية من زواياه تساوي 900 .

  القطران متساويان وينصّف كلٌ منهما الآخر

                    مساحة المستطيل:      الطول × العرض         

و-  المربع:

  

1.           كل ضلعين متقابلين متوازيان.

2.           جميع الأضلاع متساوية

3.           كل زاوية من زواياه تساوي 900.

4.           القطران متساويان

                                وينصف كل منهما الآخر

                             وهما متعامدان: كل منهما عمود على الآخر

                             وينصفان زوايا المربع . 

                                              مساحة المربع:

 

ز‌-            متوازي الأضلاع:

       1.  كل ضلعين متقابلين متوازيان ومتساويان.

       2.  كل زاويتين متقابلتين متساويتان. 

       3.  مجموع كل زاويتين متجاورتين   1800 .

       4.  القطران ينصف الواحد منهما الآخر

                                   مساحة متوازي الأضلاع:

 

ح‌-            المعيّن:

 

       1.  كل ضلعين متقابلين متوازيان.

       2.  جميع الأضلاع متساوية

       3.  كل زاويتين متقابلتين متساويتان. 

       4.  مجموع كل زاويتين متجاورتين هو  1800 .

       5.  القطران ينصف الواحد منهما الآخر

                              وهما متعامدان (كل منهما عمود على الآخر)

                              وينصفان زوايا المعيّن.

 

   مساحة المعين (الصيغة الأولى):

 

   مساحة المعين (الصيغة الثانية):

 

 

 

      

ط‌-              شبه منحرف عام:

 

1.         ضلعان فقط متقابلان ومتوازيان وهما يسميان قاعدتي شبه المنحرف .

2.         مجموع كل زاويتين موجودتين على نفس الساق هو 1800 .                    

              

       مساحة شبه المنحرف:

 

                                

 

 

ي‌-            شبه منحرف متساوي الساقين: فيه

 

1.         الساقان متساويان .

2.         زاويتا كل قاعدة متساويتان.

3.         مجموع كل زاويتين موجودتين على نفس الساق هو 1800 .                    

4.         القطران متساويان

      

 ي أ. الدائرة:

 

        مساحة الدائرة:

       محيط الدائرة:

IV.       الإحصاء

أ‌-             جدول تكراريات:

المتغير X                  التكرار f

 

 

 

 

 

           

 

 

 

 

 

 

المجموع

N

    

أ‌-             المعدل:

   

 

     ب- المتكرر:   المتغير (X) الذي تكراره هو الأكبر.