الرياضيات و الموسيقى

 الرياضيات الحساب الاعداد الارقام والموسيقى

العدد الذهبي في الموسيقى

يقول ليبنيتز : "الموسيقى ممارسة للحسا بيات الخفية و كل من يتعاطاها يجهل أنه يستعمل الأعداد  ".

و يقول ادوارد هيريوت : " الموسيقى هي رياضيات رنانة و الرياضيات هي موسيقى صامتة".

إن العلاقة بين الموسيقى و الرياضيات خاصة نظرية الأعداد هي علاقة قديمة جدا إذ يعتبر ارسطوكسين ـ القرن الرابع قبل الميلادـ و الفيتاغوريون ـ القرن الخامس قبل الميلاد ـ أول من أسس هذه العلاقة , فالعلامات الموسيقية المتداولة حاليا هي من ابتكارهم . و جاء من بعدهم كثير من العلماء ,مؤلفون موسيقيون أم غير مؤلفين , أعطوا كثيرا من التنظير و التطبيق أمثال بويسيوس , كيبلير ,جون  دو جار لاند ,فرانكو دو كولون .و يبقى القرن الثامن عشر القرن الذي عرف ٲكبر حركة موسيقية سمحت ببروز مبدعين كبار أمثال باخ  1685 ـ 1759 و هايندل 1685 ـ 1759 و روامو 1683 ـ 1764 و هايدن 1732 ـ 1809 و موزارت 1765 ـ 1791 . إن هذا الازدهار الموسيقي لابد أن يدفع بكثير من الرياضيين إلى الاهتمام بهذا المجال و تطبيق أو ابتكار النظريات الرياضية . و من بين رياضيي تلك الحقبة نجد اولر 1707 ـ1783 الذي عرف الموسيقى بكونها علم تناسق الأصوات. و لايبنيز  1646 ـ 1716 الذي قال عنها  "الموسيقي رياضيات تجهل نفسها" و دالانبير 1717 ـ 1783 الذي يعتبر بحق منظر الموسيقى بكتابه "عناصر الموسيقى" .و قد شكل مجال الموسيقى مجالا خصبا لتطبيق نظريات الأعداد ففيتاغورس كان على اقتناع كبير بٲن الأعداد الطبيعية يمكنها شرح تناغم الأصوات. و يعتبر فيتاغورس أول من أتبت أن اﻷذن تكون حساسة أكثر للنسب البسيطة بين ترددات الأصوات كالنسب              ...فأذن الإنسان العادي لا يمكنها أن تسمع إلا الأصوات المرتبطة بالأعداد 5,2,1. أما المتمرس فقد يصل إلى العدد 7 و الأكيد أنه لا يمكن أن يصل إلى 11 أو 13 . إلا أن الكل اصطدم بمشكل كبير٬ ما يسمى بمشكل التناغم  .فبعض الأصوات عندما نسمعها معا تعطي إحساسا بالتناسق و التناغم و أخرى تولد خشونة صوتية و تنافرا. و لتجاوز هذا المشكل التجأ بعض المؤلفين إلى توظيف متتالية فيبوناتشي و العدد الذهبي. و لمعرفة و فهم علاقة متتالية فيبوناتشي و العدد الذهبي بالموسيقى لابد من تقديم بعض المفاهيم الموسيقية.

 يتكون السلم الموسيقي من سبع علامات موسيقية هي دو ـ ري ـ مي ـ فا ـ صول ـ لا ـ سي. و يمكن تأليف أي قطعة موسيقية و ذلك بابتكار أصوات العلامات صعودا فتزداد حدتها أو هبوطا فتزداد غلظا ...

البعد الطنى:  تختلف المسافة بين صوتين متعاقبين في التسلسل الطبيعي . تكون هذه المسافة كبيرة و تسمى بعدا طنيا أو صغيرة و تسمى نصف البعد الطني . البعد الطني يكون بين دو و ري ـ ري و مي ـ فا و صول ـ صول و لا ـ لا و سي أما نصف البعد الطني فيكون بين مي و فا ـ سي و دو.

البعد الموسيقى: البعد الموسيقي هو المسافة الصوتية التي تفصل بين  صوتين متفاوتين في الايقاع و يمكن أن يكون صاعدا أو نازلا .عندما يتعاقب صوتان واقعان على نفس المستوى من الارتفاع فإنهما لا يكوّنان بعدا و إنما صوتا مكررا أو أحاديا. يقاس البعد بعدد الأصوات التي يتألف منها حسب التسلسل الطبيعي مع احتساب صوتي البداية و النهاية . ٳذا كان البعد يتكون من صوتين يسمى ثانية  ، من ثلاثة أصوات يسمى ثالثة ، من أربعة أصوات يسمى رابعة ، من خمسة أصوات يسمى خامسة، من ستة أصوات يسمى سادسة، من سبعة أصوات يسمى سابعة و من ثمانية أصوات يسمى ثامنة.

 نقيس البعد الموسيقي بين علامتين موسيقيتين بحساب خارج ترددات العلامة الحادة و العلامة الغليظة. فكما أتبت فيتاغورس و من بعده قانون ويبر النفسي ــ الفسيولوجي الذي أكد أن الأذن تكون أكتر حساسية لخارج الترددات و ليس لفرقها. فالمسافات بين العلامات الموسيقية تقاس إذن بنسب تردداتها. أنظر الجدول كمثال لاحظ في الجدول أن نسبة صول 3 و لا3 هما خارج أعداد فيبوناتشي . خارج دو 4 هو 2 .يمكن تعميم ذلك على جميع العلامات الموسيقية. البعد بين أي علامة و ثامنتها هو 2 . البعد بينها و بين ثامنتها الثانية هو 4 و عموما البعد بينها و بين ثامنتها الرقم n هوn2 . السؤال الأساسي إذن هو ماذا يمكن أن نقول عن علامتين خارج تردديهما هو 3 أو 5 . مثلا لتكن ادن x   علامة موسيقية ترددها t و y علامة ترددها t3 . إذا ربطناx ب 1 و ثامنتها ب 2 فالعدد المرتبط بy  سيكون     .ا إذا كانt5 تردد العلامة z فالعدد المرتبط بها هو  .. و في سلم زرلين نجد عدة أنواع من الأبعاد مثلا الثانية نسبتها    ــ الثالثة الصغرى نسبتها   ــ الثالثة الكبرى نسبتها    ــ الرابعة نسبتها   

 ــ الخامسة نسبتها    ــ السادسة الصغرى نسبتها    ــ السادسة الكبرى نسبتها     ــ الثامنة نسبتها     . فمثلا البعد بين دو و لا هو  . إذن البعد يمثل سادسة صغرى . البعد بين مي و دو هو      إذن  لدينا بعد السادسة الكبرى. البعد بين صول و ري هو       إذن  البعد يمثل الخامسة .

العلامة الموسيقية                                   دو

2                                                    ري2        مي

2                                                    فا

2                                                    صول2      لا

2                                                    سي2 دو

3                                                    ري3 مي

3

                                                      فا

3                                                    صول3      لا

3                                                    سي

3                                                    دو

4                                                    ري

4                                                    مي

4                                                    فا

4

                                                      صول4      لا

4

                                                      سي

4

التردد                                               132 149 165 176 198 220 148 264                                                      297 330 352 396 440 495 528 594                                                      660 704 792 880        990

نسبة ترددات العلامات بالنسبة ل دو3                                                            1                                                      9/8  5/4  4/3  3/2  5/3  8/15       2                                                                                      

متتالية فيبوناتشي لا يمكنها إعطاء كل الأبعاد في سلم زرلين إذ نلاحظ غياب الثانية الكبرى والسابعة الصغرى فكان الحلهو الرفع من مقدار الصوت بنصف بعد من أجل الحصول دائما على 12 نصف طنة بين علامة و ثامنتها .

إذن  نحصل على سلم يتكون من 12 صوتا و هذا يشكل صعوبة كبيرة خاصة مشكل تغيير السلم .أي عزف قطعة موسيقية مغيرة السلم. و لتجاوز هذا العائق تمت محاولات عدة لابتكار سلالم أخرى كالسلم ذي 10 أصوات .و الذي يلعب فيه العدد الذهبي دورا مهما جدا . لقد قام الباحثون بقياس وزن بعد النصف طنة في سلم زرلين فوجدوه يساوي      (لدينا 12 صوتا في سلم زرلين) . إذا كان سلم يتكون من 10 أصوات سيكون قياس وزن النصف طنة هو  . لدينا    و    العددان متقاربان جدا ، ٳذا يمكن التفكير في ابتكار سلم من 7 أصوات و المسافة بين علامة و ثامنتها (بمفهوم سلم زرلين)هو φ . فكل قطعة موسيقية تتألف من جزأين متجاورين و مختلفين زمانيا. و قد نصادف أحيانا أن يكون خارج زمنيهما هو φ. كما هو الشأن في أعمال

بلا بارتوك. و بما أن ما يهم في المسافات الموسيقية هو خارج الترددات يمكن أن نعرف على مجموعة

الأعداد الحقيقية الموجبة قطعا العلاقة     ب   وهي علاقة تكافئ وكل صنف يكون له ممثل على شكل   ٲي      ٳذن الأزواج التي تكون في علاقة مع   تكتب على شكل    حيث   .

 و  و  و 

و  و  .

نضع      في سلم فيتاغورس  وفي سلم زرلينو  و في سلم فكمايستر  أو السلم المعتدل . في سلم كورديي  . إن هذه المسافات بقيت ثابتة ٬  فقط  الترددات التي تميزها هي التي تغيرت عبر التاريخ تبعا لتطور نظرية التناغم كما تغيرت طرق استعمال العدد الذهبي . فالبعض وظفه كنسبة بين الأزمنة الموسيقية و البعض وظفه كما في المثال جانبه فهو عبارة عن تسلسل.  فموضوع المقطع الأول تتم إعادته في المقطع الموالي مع اختلاف بسيط في المرور من مقطع إلى آخر. عند الانتقال إلى المقطع الموالي يتم خلق موضوع مشابه و أسهل من سابقه . الخط الأخير يعيد نفس الموضوع في الأخير بينما الخط الأول ينقرض تدريجيا. و مختلف الجمل الموسيقية هي أعداد من متتالية فيبوناتشي . هذا النوع من التأليف المعتمد على نسج جمل موسيقية حسب أعداد فيبوناتشي يستعمل بطريقة أكثر تركيبة في الموسيقى الأندونيسية . و من المبدعين الذين استعملوه نجد دوفاي (القرن 15) رولاند دو لاسوس و موزارت و هايند و بتهوفن .  اما في القرن 20 نجد دو بيسي بارتوك , رافيل , ويبرن . كما

يجب التأكيد كذلك على أن كثيرا من المبدعين يستعملون آلات موسيقية مصنوعة وفق العدد الذهبي . و يعتبر الايطالي ستراديفاري(1644ـ1737) أول من طبقه في صنع الكمانات إذ  نجد كمانات لازالت تحمل اسمه.