Caractéristiques
de tendance centrale et de position
Les caractéristiques de tendance
centrale essayent de donner la valeur la plus représentative d'un ensemble de
valeurs numériques.
A- Mode :
C'est la valeur observée
d'effectif maximum.
Variable discrète:
classer
les données par ordre croissant. Celle d'effectif maximum donne le mode.
Il est fortement conseillé
d'utiliser le diagramme en bâtons pour déterminer le mode. En effet, deux
valeurs consécutives xi , xi+1 peuvent avoir le même effectif maximum; on
parlera
d'intervalle modal [xi , xi+1].
Il peut aussi y avoir un mélange de deux populations qui conduit à un diagramme
en bâtons où apparaissent deux bosses; on considérera deux modes.
Il est déconseillé, sauf raison
explicite, d'envisager plus de deux modes.
Variable
classée: la
classe modale correspond à la classe ayant l'effectif maximum.
Il est fortement conseillé
d'utiliser l'histogramme pour déterminer le mode. Comme pour le cas discret, on
peut avoir deux classes modales. Toutes les valeurs de la classe pouvant à
priori se
réaliser, on ne se contentera pas
de déterminer la classe modale. Une des valeurs de cette classe sera le mode.
Certains auteurs préconisent par
simplicité de prendre le centre de la classe modale. Il est préférable
cependant de tenir compte des classes adjacentes
B- Médiane :
Les valeurs étant rangées par
ordre croissant, c'est la valeur de la variable qui sépare les observations en
deux groupes d'effectifs égaux.
Variable
discrète: la
détermination peut s'obtenir à partir du tableau statistique en recherchant la
valeur de la variable correspondant à une fonction cumulée égale à n/2
(effectif
cumulé) ou ½ (fréquence cumulée).
Il est encore plus facile de lire sur les graphiques cumulatifs les abscisses
des points d'ordonnée n/2 (effectif cumulé) ou ½ (fréquence
cumulée). Si tout un intervalle a
pour image n/2 ( ½ pour la fréquence), on parlera d'intervalle médian (on peut
prendre le milieu de l'intervalle comme médiane)
Variable
classée: l'abscisse
du point d'ordonnée n/2 ( ½ pour la fréquence)se situe en général
à l'intérieur d'une classe.
Pour obtenir une valeur plus
précise de la médiane, on procède à une interpolation linéaire. La valeur de la
médiane peut être lue sur le graphique ou calculée analytiquement.
C- Moyenne arithmétique
:
Si xi sont les observations d'une
variable discrète ou les centres de classe d'une variable classée,
La moyenne arithmétique est un
paramètre de tendance centrale plus utilisé que les autres de par ses
propriétés algébriques:
a) Pour plusieurs populations
d'effectifs n1, n2, ....., nk, de moyennes respectives
moyenne globale = moyenne des
moyennes
b) La moyenne arithmétique
conserve les changements d'échelle et d'origine
D- Moyenne
géométrique :
Si xi sont les observations d'une
variable quantitative, la moyenne géométrique est égale à
Ce type de moyenne est surtout
utilisé pour calculer des pourcentages moyens.
r étant un taux d'accroissement,
1+r est appelé coefficient multiplicateur; et le coefficient
multiplicateur moyen est alors
égal à la moyenne
géométrique des coefficients
multiplicateurs.
E- Moyenne
harmonique :
Si xi sont les observations d'une
variable quantitative, la moyenne harmonique est égale à Il n'est pas évident
d'utiliser ce type de moyenne.
Elle intervient lorsqu'on demande
une moyenne de valeurs se présentant sous forme de quotient de deux variables
x/y (km/h, km/litre,...). Attention, il faut cependant bien décortiquer le
problème car il peut aussi s'agir d'une moyenne arithmétique.
F- Moyenne
quadratique :
Si xi sont les observations d'une
variable quantitative, la moyenne harmonique est égale à Résumé de Théorie et
Guide des travaux pratiques
Statistiques
G- Quantiles :
Ce sont des caractéristiques de
position.
Il y a 1 médiane Me qui sépare
les observations en 2 groupes d'effectifs égaux 3 quartiles Q1, Q2, Q3 qui
séparent les observations en 4
groupes d'effectifs égaux 9 déciles D1, D2, ...,
D9 qui séparent les observations en 10 groupes d'effectifs égaux
99 centiles C1, C2, ..., C99 qui
séparent les observations en 100 groupes d'effectifs égaux
La détermination de ces
caractéristiques est identique à celle de la médiane.
Les quartiles sont obtenus
lorsqu'on a cumulé 25, 50, 75% de la population
Les déciles sont obtenus
lorsqu'on a cumulé 10, 20,...., 90% de la population
Les centiles sont obtenus
lorsqu'on a cumulé 1, 2,...., 99% de la population
Remarque: la notion de déciles et
de centiles n'a de sens que s'il y a beaucoup d'observations
et donc essentiellement pour une
variable classée.
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