Régression et corrélation

Régression et corrélation

Lorsqu'on observe deux variables quantitatives sur les mêmes individus, on peut s'intéresser à une liaison éventuelle entre ces deux variables.

La régression fournit une expression de cette liaison sous la forme d'une fonction mathématique.

La corrélation renseigne sur l'intensité de cette liaison.

A- Ajustement d’un nuage de points à une fonction mathématique :

a) Ajustement linéaire par la méthode des moindres carrés

Lorsque le nuage de points (xi , yi) est à peu près rectiligne, on peut envisager d'exprimer la

liaison entre x et y sous forme de fonction affine y = ax + b

b) Ajustement à une fonction exponentielle

Pour ajuster un nuage de points à une courbe exponentielle , il suffit de faire le changement de variable Y = ln y , X = x , A = ln a , B = ln b , pour obtenir l'équation Y = AX

+ B, et d'utiliser ensuite l'ajustement linéaire par la méthode des moindres carrés sur les points

(Xi , Yi).

c) Ajustement à une fonction puissance

Pour ajuster un nuage de points à une courbe puissance , il suffit de faire le changement de variable Y = ln y , X = ln x , A = a , B = ln b , pour obtenir l'équation Y = AX

+ B , et d'utiliser ensuite l'ajustement linéaire par la méthode des moindres carrés sur les

points (Xi , Yi).

B-Mesure de l􀂶intensité de la relation linéaire entre deux variables :

1) Covariance

x et y varient dans le même sens

x et y varient en sens contraire

2) Coefficient de corrélation linéaire

relation fonctionnelle linéaire

indépendance linéaire dépendance linéaire d'autant plus forte que est grand

Attention:

Une forte causalité entre x et y implique une forte relation entre x et y qui n'est pas forcément linéaire; on n'a donc pas obligatoirement une forte corrélation linéaire.

Une forte corrélation linéaire n'implique pas forcément une forte causalité.

3) Droites de régression

Dy/x : y = ax + b avec

Dx/y : x = a'y + b' avec

La position des deux droites de régression l'une par rapport à l'autre donne un renseignement

sur l'intensité de la relation linéaire:

* droites de régression confondues relation fonctionnelle linéaire

* droites de régression perpendiculaires dont une de pente nulle

indépendance linéaire

* Plus les droites sont proches, plus la relation linéaire est importante

Relations intéressantes:

r² = aa'