الهندسة الفراغية

الهندسة الفراغية

أولاً قوانين الهندسة المستوية         ( المساحات والمحيطات )    

                                  ½ القاعدة × الارتفاع

1 – المثلث     المساحة=     ½  حاصل ضرب أي ضلعين × جا الزاوية المحصورة بينهما

  

حيث ح = نصف المحيط أ َ طول الضلع المقابل الزاوية أ

في حالة المثلث المتطابق الأضلاع

المساحة =     3    ل2      حيث ل طول ضلعه

محيط المثلث = مجموع أطوال أضلاعه

2- المربع       المساحة  = ل2      ( حيث ل طول ضلعه ) 

المحيط  = 4 × طول الضلع

3- المستطيل   المساحة  = الطول × العرض = س × ص

المحيط = 2 ( الطول + العرض ) = 2 ( س + ص ) 

4 - المعين           المساحة  =  القاعدة  ×  الارتفاع

=  ½ حاصل ضرب طولي قطريه

المحيط = 4 × طول الضلع

5 – متوازي الأضلاع       المساحة = القاعدة  ×  الارتفاع

المحيط = 2 ( طول الضلع الأكبر + طول الضلع الأصفر )

6 – شبه المنحرف      المساحة=  ½  مجموع القاعدتين × الارتفاع

= القاعدة المتوسط × الارتفاع

محيط شبه المنحرف = مجموع أطوال أضلاعه

7 – مساحة أي شكل رباعي = ½ حاصل ضرب طولا قطرين × حا الزاوية المحصورة بينهما

8 – مساحة سطح المضلع المنتظم    =   ن   ل2 ظا هـ    ( 8هـ   = (ن – 2) × 180  )

( ن عدد أضلاع ل طول الضلع )

=   ن   ل2 ظتا  180 

=  ن   نق2 جا ( 360 )

حيث نق نصف قطر الدائرة المارة برؤوسه

9-  المكعب     المساحة الكلية = 6 ل2 حيث ل طول حرفه ( ضلعه )

حجمه   =  ل3  

10- الدائرة     المساحة = ط نق2

المحيط   =  2 ط نق

حيث نق نصف القطر   ط =   22  أو  3.14

 11 - قاعدة هامة نظرية فيثاغورس

في      القائم الزاوية مربع طول الوتر يساوي مجموع مربعى طولي الضلعين الآخرين

| أ ج |2  = | أ ب |2 + | ب ج |2

12- المثلث الثلاثي الستيني  

13- المثلث القائم المتطابق الضلعين

المنشور

تعريفه :- هو كثيروجوه له قاعدتان متوازيتان ومتطابقتان وكل منهما مضلع والأوجه الجانبية متوازيات أضلاع

ملاحظات

1 – الأحرف الجانبية للمنشور متساوية الطول ومتوازية .

2 – يسمى المنشور حسب عدد أضلاع القاعدة . 

3 – ارتفاع المنشور : هو البعد بين قاعدتيه أو المستقيم العمودي على كلاً من قاعدتيه .

4 -  المنشور القائم : تكون الأحرف الجانبية عمودية على القاعدتين الارتفاع يساوي الحرف الجانبي والأوجه الجانبية مستطيلات .

5 – المنشور المائل : هو الذي تكون الأحرف الجانبية مائلة على قاعدتيه

والارتفاع = طول الحرف × حاهـ     ( هـ زاوية ميل الأحرف على القاعدة )

تعريف المقطع القائم  : هو سطح ناتج عن تقاطع مستو يعامد أحرف المنشور

ملحوظة : إذا قطع منشور بمستوى يوازي أحد أحرفه الجانبية

           ( أو أحد أوجهه الجانبية فإن المقطع الناتج يكون متوازي أضلاع )

حالات خاصة من المنشور

1 –إذا كان المنشور رباعي قائم قاعدته مستطيل سمى متوازي مستطيلات

2- إذا كان المنشور رباعي مائل قاعدته متوازي أضلاع سمى متوازي سطوح

3- إذا كان المنشور رباعي قائم جميع أوجهه مربعات ( أو أحرفه كلها متساوية ) سمى مكعب

ملخص قوانين المنشور

المجسم  المساحة الجانبية المساحة الكلية الحجم

المنشور مجموع مساحات أوجه

 أو محيط المقطع القائم × طول الحرف الجانبي المساحة الجانية

+

مجموع مساحتي القاعدتين     مساحة المقطع القائم × طول الحرف الجانبي

المنشور القائم  محيط القاعدة × الارتفاع      المساحة الجانبية

+

مجموع مساحتي القاعدتين     مساحة القاعدة × الارتفاع