تمارين الرياضيات الهندسة الفراغية

تمــارين

 3 – ب

  208

 1 – أو جد مساحة الخماسي المنتظم الذي طول ضلعه ل سم ؟

الحل:-

مساحة المضلع المنتظم =   ن   × ل2  ×  ظتا   180 

مساحة الخماسي المنتظم =  5  ل2  ظتا    180

           

                          =  5  ل2 ظتا 36ه

             

                          =  5  ل2 ظا 54ه

                             

                         = 1.72 ل2 سم2

   4

208

2  –  أحسب  المساحة  الجانبية  والكلية لمنشور خماسي  منتظم طول  ضلع  قاعدته 10سم  وارتفاعه 25سم ؟

الحل :-

مساحة القاعدة ( خماسي منتظم ) =   ن  ل2 ظتا 180  =  5  × 100 × ظتا 180

=  125 ظتا 36ه  = 125 ظا 54ه

= 172 سم2

المساحة الجانبية   =   محيط القاعدة  ×   طول الارتفاع

                    =   ( 5 × 10 ) × 25  =  1250سم2

المساحة الكلية   =  المساحة الجانبية  +  2  ×  مساحة القاعدة 

= 1250 + 2 × 172            =   1250  +  344

                       =    1594 سم2 

    5

208

     3- منشور ثلاثي مائل طول حرفه الجانبي 6سم وقاعدته مثلث اضلاعه 13سم ، 12سم ، 5سم إذا كانت مساحته الكلية 240 سم2 فكم محيط مقطعه القائم ؟

الحل :-

(  12  )2  +  (   5 )2  =  144  +  25    = 169    = ( 13 )2

المثلث قائم الزاوية

مساحة القاعدة ( المثلث )  = ½   طول القاعدة × الارتفاع

                                =½ × 5 × 12 = 30 سم2

المساحة الكلية  =  المساحة الجانبية + 2 × مساحة القاعدة

                           240 =  المساحة الجانبية + 60

المساحة الجانبية  =   240  – 60   = 180سم2

المساحة الجانبية لمنشور مائل =  محيط المقطع القائم × طول الحرف

           180= محيط المقطع القائم  ×  6      محيط المقطع القائم  = 180  = 30 سم    

   6 

208

 4 – منشور قائم ارتفاعه 4سم وقاعدته على شكل  معين قطراه  12سم ،  16 سم  .  كم مساحته الكلية ؟

الحل

مساحة القاعدة ( المعين ) = ½  حاصل ضرب طولي قطرية

                              =½ × 12 × 16 + 96 سم2

من فثياغورت : ل2 = 26 + 28 = 36 + 64 = 100     ل (طول ضلع القاعدة) = 10سم

المساحة الجانبية = محيط القاعدة × الارتفاع

                   = ( 4 × 10 )  ×  4  = 160 سم2

المساحة الكلية = المساحة الجانبية + 2 × مساحة القاعدة

                 = 160 + 2 × 69      = 160 + 192

              = 352 سم2

   7 

208

5 – أحسب المساحة الجانبية والكلية لمنشور ثماني منتظم طول ضلع قاعدته 12سم وطول  حرفه  الجانبي 30 سم  ؟

الحل :-

مساحة القاعدة (( ثماني منتظم )) =   ن   ل2  ظتا  180 =

       × 144 × ظتا         =  288 ظتا 22.5 =

288 × ظا 67.5 = 695.3 سم2

المساحة الجانبية = محيط القاعدة × الارتفاع ( طول الحرف الجانبي )

        ( 8 × 12 ) × 30    = 2880سم2

المساحة الكلية = المساحة الجانبية  + 2 × مساحة القاعدة

=  2880 + (  2  ×  695.3  )

                =   4270.587 سم2

     8

208

6 – أ ب ج أَ بَ جَ منشور  ثلاثي  مائل  فيه  الوجه  أج  جَ أَ مربع طول ظلعه 6سم إذا أخذنا النقطة  ء  على [ ب بَ ] بحيث أ ء    ب بَ فاثبت أن أ ء ج مقطع قائم إذا كان | أ ب | = 5سم  |ب ء | = 4سم ، | ب ج | =      23   سم  أحسب مساحة المنشور الجانبية ؟

الحل :-

ب بَ       أ ء   ،   أ أَ // ب بَ

أ أَ       أ ء   ولكن  أ أَ       أج ( أ ج جَ أَ مربع )

أ أَ يعامد المستوى أ ء ج

الأحرف متوازية       المستوي أ ء ج يعامد الأحرف كلها

    أ ء ج تقطع قائم .

في المثلث أ ء ب  | أ ء | =                =                 =             = 3سم

في المثلث القائم   ء ب ج في ء :- | ء ج| =                                                  = 4سم

محيط المقطع القائم أ ء ج  =  3  +  4  +  6  +   13سم 

المساحة الجانبية = محيط المقطع القائم × طول حرفه

                  = 13 × 6 = 78 سم 2

    1

219

1 – الشكل المقابل يبين حوض سباحه على هيئه منشور رباعي قائم قاعدته أ ب ج ء علىشكل شبه منحرف فيه د أ     أ ب إذا كان |أ ب | = 3م ، | د ج |= 9م ، | أ د |= 6م ، | أ أً | = 4م فأحسب حجم الحوض ؟

الحل

مساحة القاعدة ( شبه المنحرف أ ب ج د )

 =  مجموع القاعدتين   ×  الارتفاع

= 9 + 3    ×  6  =  6  × 6  =  36سم2

حجم الحوض  =   مساحة القاعدة × الارتفاع

                 =   36       ×    4        =  144 م3

    2

912

2 – أ ب ج أَ بَ جَ منشور ثلاثي قائم قاعدته المثلث أ ب ج إذا كان | ب ج | = 24 سم ، |أب| = |أج| = 13سم ، |أ أَ |= 10سم فأحسب حجم المنشور ومساحته الكلية ؟

الحل :-

من فيثاغورت   | أ د| =                         

                        =                                = 5سم

مساحة القاعدة ( مساحة      أ ب ج )  = ½ القاعدة × الارتفاع

                                            = ½ × 24 × 5 = 60سم2

حجم المنشور = مساحة القاعدة × الارتفاع  = 60 × 10 = 600سم3

المساحة الجانبية = محيط القاعدة × الارتفاع + ( 24 + 13 +13 ) × 10 = 500سم2

المساحة الكلية = الجانبية + 2 × مساحة القاعدة

                = 500 + 2 × 60

                = 620سم2

     3    

219

3 – في منشور خماسي منتظم طول الحرف الجانبي 20سم وطول ضلع القاعدة 16سم . ما حجم المنشور  وما مساحته الكلية ؟

الحل :-

المنشور منتظم     ∴    طول الحرف = طول الارتفاع = 20سم

حجم المنشور   =  مساحة القاعدة × الارتفاع

                 = ( 5 × 256 × ظتا 180 )  × 20

                   =    320  ظتا  36ه         × 20

                = 320 ظا 45     × 20      = 8808.8سم3

المساحة الجانبية  = محيط القاعدة × الارتفاع

                    = ( 5 × 16 )    × 20    = 1600سم2 

المساحة الكلية = المساحة الجانبية + 2 × مساحة القاعدة

              =  1600 + 2 × 440.4    = 2480.88 سم 2    

     4

219

4 – أ ب ج أَ بَ جَ  منثور ثلاثي مائل طول حرفه الجانبي | أ أَ | = 20سم وتميل أحرفه على مستوى القاعدة أ ب ج بزاوية 30ه إذا كان | أ ب | = 6سم ، |أ ج | = 8سم| ب ج | = 10سم فأحسب حجم المنشور ومساحة المقطع القائم ؟

الحل :- 26 + 28 = 36 + 64 = 100 = 210

القاعدة أ ب ج مثلث قائم

مساحة القاعدة  = ½  × 8 × 6 = 24سم2

حجم المنشور  =  مساحة القاعدة × طول الحرف × جاهـ

                =   24 × 20  × جا 30ه  = 24 × 20 × ½ = 240 سم3

حجم المنشور =    مساحة المقطع القائم × طول الحرف الجانبي

  240        =    مساحة المقطع القائم × 20

مساحة المقطع القائم  = 240 = 12سم2

    5

219

5 – أ ب ج ء أَ بَ جَ ءَ  منشور رباعي مائل حجمه 1800سم3 إذا كان طول حرفه الجانبي  | أ أَ | = 30سم . وقاعدته أ ب ج د  على هيئه معين طولا قطريه 10سم ، 24سم فأحسب الزاوية بين الحرف الجانبي وقاعدة المنشور ؟

الحل :- مساحة القاعدة ( المعين ) = حاصل ضرب طول قطريه = 10 × 24 = 120سم2

حجم المنشور المائل = مساحة القاعدة × طول الحرف الجانبي × جاهـ

         1800       =   120  ×  30  ×  جاهـ

            جاهـ    = 1800  = ½     ⇐    هـ  = 30ه

حيث هـ هي الزاوية بين الحرف الجانبي وقاعدة المنشور

     6

219

6 – في منشور ثلاثي مائل طول الحرف الجانبي 12سم ومساحات أو جهة الجانبية 60سم2 ، 60سم2  96سم2 فما حجمه  ؟

الحل :-

             مساحة متوازي الأضلاع = طول القاعدة × الارتفاع

                                        الارتفاع   =  المسـاحـة

الوجه الأول :- | م ن | = 60  =  5سم

الوجه الثاني :-  | م هـ |  =  60    = 5سم

الوجه  الثالث  :-  |  ن  هـ |=   96   =   8سم

مساحة المقطع القائم م  ن  هـ =  ½  ×  8  ×  3  =  12 سم2

حجم المنشور المائل = مساحة المقطع القائم × طول الحرف

                      = 12   × 12  = 144سم 3

| م و |=                                                    = 3سم

    7

219

7 – أ ب ج ء أَ بَ جَ ءَ منشور رباعي مائل طولا قطري قاعدته 14سم ، 20سم والزاوية بينهما 30ه إذا كان الوجه ب ج جَ بَ مستطيل يميل على القاعدة بزاوية جيبها 3 وكان | ب بَ | = 16سم فأحسب حجم المنشور؟

     مساحة القاعدة (مساحة الرباعي) = ½ ×حاصل ضرب طولي قطريه × جا (الزاوية بينهما )

                     = ½ × 14 ×20 × جا 30

                     =½    × 14 × 20  × ½  = 70سم 2

حجم المنشور المائل = مساحة القاعدة  × طول الحرف × حاهـ

                   = 70  × 16 × 3 = 420سم 3

   8 

219

8  –  أ ب ج أَ بَ جَ منشور ثلاثي قائم حجمه 375سم3 . إذا كانت القاعدة أ ب ج على شكل مثلث متطابق الأضلاع طول ضلعه 10سم فأحسب أولاً : طول حرف المنشور ثانياً : المساحة الجانبية للمنشور ثالثاً : قياس الزاوية الزوجية بين المستويين أ ب ج ، أ بَ ج  ؟

الحل :- مساحة القاعدة ( مثلث متطابق الأضلاع )

  =    3    ل2   =    3   × 100 = 25    3سم2

حجم المنشور القائم = مساحة القاعدة × الارتفاع

375  =   25   3      ×  الارتفاع

الارتفاع =   375  = 15  ×    3 = 15  3     = 5    3 سم  

المنشور قائم   الارتفاع = طول الحرف   = 5   3سم    # 1

المساحة الجانبية= محيط القاعدة  ×  الارتفاع = ( 3 × 10 )× 5  3  = 150   3سم2  

قياس الزاوية الزوجية بين المستوبين أ ب ج ، أ بَ ج = قياس الزاوية بَ د ب  = هـ # 2

حيث بَ د     أ ج ، ب د     أ ج

في      ب دج القائم في د : | ب د =

ظاهـ = المقابل = |ب بَ |    =   5    3  = 1