نظرية الاحتمالات

 

       نظرية الاحتمالات

مسلمات نظرية الاحتمالات

إذا كان ع فضاء العينة لتجربة عشوائية ، وكان ق(ع) مجموعة جميع الحوادث المعرفة على ع فإنه يرافق كل حادثة أ  ق(ع)  عدد معين ح ( أ )   [ 0 ، 1] ويسمى إحتمال الحادثة أ ويتمتع بالخواص التالية : والتي تسمى مسلمات نظرية الاحتمالات :

(1)            إذا كانت أ  ع فإن ح ( أ )  0

(2)            ح ( ع ) = 1

(3)            إذا كان أ ، ب حادثتين متنافيتين (أي : أ  ب =  ) فإن :

    ح ( أ  ب ) = ح ( أ ) + ح ( ب )

تستخدم هذه المسلمات لاثبات نظريات الاحتمالات .

نظرية : (1)

إذا كان أ ^/ هي الحادثة المتممة للحادثة أ فإن :

ح ( أ ^/ ) = 1 – ح ( أ )

البرهان :

من الشكل أأ ^/  = ع

أ  أ ^/ =

ح ( أ  أ ^/ ) = ح ( أ ) + ح ( أ ^/ )   مسلمة ( 3)

    ح ( ع ) = ح ( أ ) + ح ( أ ^/ )

1 = ح ( أ ) + ح ( أ ^/ )   مسلمة ( 2 )

ح ( أ^/ ) = 1 – ح ( أ ) 

       نتيجة :

                         ح ( ) = صفر

  البرهان :

ع^/  =

 ح ( ع ^/ ) = ح (  )

         لكن ح ( ع ^/ ) = 1 – ح ( ع )

         ح ( ع ^/ ) = 1 – 1 = صفر

     ح(  ) =صفر

نظرية : ( 2)

      إذا كان أ  ب فإن :   

       ح ( أ )  ح ( ب )

البرهان :

أ  ب

ب = أ  ( ب – أ )

أ  ( ب – أ ) =

ح ( أ  ( ب – أ )) = ح ( أ ) + ح ( ب – أ ) مسلمة (3)

ح ( ب ) = ح ( أ ) + ح ( ب – أ )

لكن ح ( ب – أ )  ح ( أ )

أي ح ( ب – أ ) 0

اذن ح ( ب )  ح ( أ )      ح ( أ )  ح ( ب )

         نتيجة :

                               ح ( أ )  1 حيث أ أي حادثة في ع

البرهان :

أ  ع

ح ( أ )  ح ( ع )

ح ( أ )  1

من المسلمة (1) ح ( أ )  0،  والنتيجة نستنتج أنه لأي حادثة أ فإن : 0  ح ( أ )  1

نظرية : ( 3 )

                        إذا كان أ ، ب حادثتين ، يكون :

                    ح ( أ  ب ) = ح ( أ ) + ح ( ب ) – ح ( أ  ب )

البرهان :                                

أ   ب = أ  ( ب – أ )

أي أن : أ  ( ب – أ ) =

اذن ح ( أ  ( ب – أ )) = ح ( أ ) + ح ( ب –أ ) مسلمة (3)

ح ( أ  ب ) = ح ( أ ) + ح ( ب – أ )        (1 )

لكن ب = ( ب – أ )  ( أ  ب )

و ( ب – أ )  ( أ  ب ) =

اذن ح ( (ب – أ ) ( أ  ب ) = ح ( ب – أ ) + ح ( أ  ب )

 ح ( ب ) = ح ( ب – أ ) + ح ( أ  ب )

ح ( ب – أ ) = ح ( ب ) – ح ( أ  ب )        ( 2 )

من 1 & 2 نستنتج

ح ( أ  ب ) = ح ( أ ) + ح ( ب ) – ح ( أ  ب )

نتيجة :

ح ( أ – ب ) = ح ( أ ) – ح ( أ  ب )

مسائل منوعة :

(1) أ ، ب حدثان منفصلان وكان : ح(أ) = 0.4 ، ح(ب) = 0.1 . جد ح(أب)                         

 

(2) إذا كانت أ ، ب حدثين في تجربة عشوائية حيث : ح(أ) =    ، ح(ب) =     ، ح( أ ب) =   .

    فجد ح(أب)

 

(3)إذا كان أ ، ب حدثين في تجربة عشوائية وكان : ح(أ) =     ، ح(ب) =      ، ح( أ ب) =

جد ح(أب)

 

 (4) إذا كان أ ، ب حادثتين في تجربة عشوائية حيث :ح (أ) = 0.4 ، ح(ب) = 0.3 ، ح( أب) =0.2        

  جد :  ح ( أ  ب )

        ح ( ب  أ ^/)

 

1 3

1 5

(5) أفرض أن أ ب =    في تجربة عشوائية بحيث ان : ح ( أ ) =     ، ح ( ب ) =    . جد :

احتمال كل من الاحداث التالية :

(i) أ أو ب                    (ii) أ و ب

(iii) أ – ب                  (iv) ب – أ

(v) أ ^/                       (vi) ( أ  ب ) ^/

(vii) ( أ  ب ) ^/

 

1 5

1 4

1 3

(6) إذا كان: ح ( أ ) =     ، ح ( ب ) =    ، ح ( أ ب ) =     جد :

(i) ح ( أ – ب )            (ii) ح ( أ ^/ )

(iii) ح ( أ ^/  ب )

 

(7) إذا كان أ ، ب حادثتين في فضاء العينة لتجربة عشوائية حيث :

        ح ( أ ) = 0.5 ، ح ( ب ) = 0.4 ، ح ( أ ب) = 0.2 . جد

(i) عبّر رمزياً بلغة المجموعات عن حادثة ( وقوع الحادثة أ فقط ) .

(ii) عبّر لفظياً بلغة الاحتمالات عن الحادثة ( أ ب ) ^/ .

(iii) جد ( أ ^/  ب ^/ )

 

4 5

3 5

1 4

(8) أ ، ب حدثان في تجربة عشوائية ، فإذا كان :

ح ( أ ب ) =     ، ح ( أ ^/ ) =     ، ح ( ب ) =       . جد احتمال كل من الاحداث التالية

(أ‌)               احتمال وقوع أ ، ب

(ب‌)          احتمال وقوع أ فقط .

(ت‌)          احتمال وقوع أحد الحدثين على الأكثر .

 

2 9

1 9

2 9

(9) في تجربة إالقاء حجر نرد مرة واحدة إذا كان احتمالات ظهور الأعداد الفردية متساوية وكل منها يساوي       ، واحتمالات ظهور الأعداد الزوجية متساويةة وكل منها يساوي      ، أي :

2 9

ح ( 1 ) = ح ( 3 ) = ح ( 5 ) =

ح ( 2 ) = ح ( 4 ) = ح ( 6 ) =

جد احتمالات كل من الأحداث التالية :

(أ‌)               احتمال ظهور عدد زوجي .                     (ب) احتمال ظهور عدد فردي .

(ث‌)          احتمال ظهور عدد أولي فردي          (د) احتمال ظهور عدد يقبل القسمة على 3

(ج‌)           احتمال ظهور عدد زوجي أو أولي              احتمال ظهور عدد  4

 

(10) إذا كان أ = ب/  ، وكان [ح(ب)]² =( ح(أ) + ح(ب) ) . جد ح(أ) ، ح(ب)