Calculs de Terrassements et Cubatures Simples

Calculs de Terrassements et Cubatures Simples

Exemple 1

On souhaite calculer le déblai à prévoir pour aménager une cave. L’altitude du fond de fouille étant de 295.00 m, on calcule en premier lieu l’intersection du sol actuel avec le sol après excavation. Cette opération divise la surface de la cave en deux parties. Chacune de ces parties est divisée en autant de prismes que nécessaires, c’est-à-dire que la vue en plan de la cave est découpée en triangles. Connaissant l’altitude de chaque sommet de prisme obtenu, par interpolation ou grâce aux données, on peut alors calculer des volumes de terre par la formule suivante :

où     S est la surface de la base du prisme

         hi une des trois hauteurs

        h1                S            h2

Schéma de la décomposition

Le prisme 1 est le seul à se trouver sous le sol de la cave après travaux. En effet on considère le plan horizontal d’altitude 295.00 m comme le plan de référence pour calculer les hauteurs de prismes.

Les résultats sont consignés dans le tableau ci-dessous.

Le résultat obtenu (162.13 # 162 m^3) indique la quantité de terre approximative qui sera retirée de la cave. Pour avoir la quantité totale de terre manipulée, il faut sommer toutes les valeurs absolues des volumes partiels mis en jeu (soit 162.85 # 163 m^3).

Exemple 2

On opère de la même manière mais ici on remarque que le fond de fouille se situe dans sa totalité en dessous du terrain naturel. De plus on souhaite réaliser deux parties distinctes : un fond de fouille à 347.60 m et un autre à 347.00 m.

C’est pourquoi on calcule en deux temps. En premier lieu on calcule le volume de déblai par rapport à un fond de fouille unique situé à 348 m (altitude la plus basse du terrain naturel qui a l’avantage d’être supérieure à celle des fonds de fouille effectifs) ; il n’y a pas d’intersection avec le terrain naturel à calculer. En second lieu on calcule les volumes de terre mis en jeu entre le plan à 348.00 m et les deux fonds de fouille désirés.

Les résultats sont consignés page suivante avec un schéma de la décomposition employée.

Schéma de la décomposition

Le volume total de déblai vaudra donc approximativement 170 m^3.

Note :  il va de soi que la précision des résultats donnés dans le tableau est illusoire. Même si le calcul est précis, la décomposition en prismes entraîne des approximations dues au non respect des lignes de plus grande pente et à l’insuffisance relative des données.

Exemple 3

On veut démontrer la formule de calcul du volume délimité par un parallélépipède. Soit donc le parallélépipède suivant, défini par sa largeur a, sa longueur b, ses hauteurs hi et ses sommets 1, 2, 3 et 4.

On découpe ce parallélépipède en deux prismes des deux manières suivantes :

•        prisme 123 et 134 (trace verte)

•        prisme 124 et 234 (trace bleue)

On est donc en mesure de calculer de deux manières différentes le volume de l’objet en sommant les volumes de deux prismes.

Or V1 = V2 d’où V1 + V2 = 2V, c’est-à-dire que    :      

Exemple 4

On va dans cet exemple utiliser la formule précédente. En effet le terrain ayant été levé par quadrillage, on dispose de parallélépipèdes dont les dimensions sont connues.

On souhaite égaliser le terrain et lui donner une pente de +2% dans la direction du Nord. On procède en trois temps :

•        calcul du plan défini par la surface naturelle après travaux

•        calcul de l’intersection de ce plan avec le terrain naturel avant travaux

•        calcul des volumes de déblai et remblai par décomposition en prismes ou parallélépipèdes

Plan incliné

On détermine tout d’abord l’altitude du plan moyen passant par le terrain naturel. Ce plan moyen est une surface qui équilibre les volumes de déblai et remblai. On calcule son altitude en prenant la moyenne pondérée de toutes les altitudes relevées sur le terrain, le poids d’une altitude donnée étant le nombre d’occurrence de cette altitude.

Altitude      Occurrence           Altitude               Occurrence

122.8          10                        122.5                   2

123.0          11                        122.9                   14

123.4          2                          123.3                   3

122.7          6                          122.6                   8

123.1          12                        122.2                   4

123.5          6                          123.2                   2

D’où une altitude moyenne pondérée de 122.92 m.

Intersection

On donne une pente de 2% au plan moyen en le faisant tourner autour d’un axe fictif situé à mi-parcours du terrain naturel, perpendiculaire au Nord.

On peut déjà calculer les altitudes des points du quadrillage après travaux  connaissant la pente et sa direction. L’intersection avec le terrain naturel est calculée par interpolation.

         a                 b

                                      D                CD appartient au plan incliné

A                                                      AB appartient au terrain naturel

                                                        Sachant que :                a + b = 20

a/b = (hA-hC)/(hD-hB)

   M                                                           hM = hC + 0.4*a/20

C                                   B                On en tire : a = 20(hA – hC)/(hD – hB + hA – hC)

                                                                           et hM

D’où l’intersection suivante, avec les altitudes :

Les altitudes en bleu sont les altitudes des points du quadrillage après travaux.

         Calcul des volumes mis en jeu

Ce calcul passe par l’utilisation de prismes définis sur le dessin suivant. Les numéros utilisés ont un sens différent selon qu’ils sont suivis ou non d’une apostrophe : sans apostrophe, le numéro désigne une partie de déblai, avec, il s’agit de remblai.

Le calcul a été mené en deux phases : calcul des volumes entre terrain naturel et surface de niveau zéro, calcul des volumes entre plan incliné et surface de niveau zéro (volume de référence). La différence des deux volumes donne le volume compris entre le plan incliné et le terrain naturel, le signe indiquant s’il s’agit de remblai (-) ou de déblai (+).

Les calculs ont été menés complémentairement : en effet on connaît les volumes des parallélépipèdes, eux-mêmes constitués de plusieurs prismes. Connaissant le volume de quelques prismes on peut déduire le volume des autres en soustrayant au volume du parallélépipède la somme des volumes connus des prismes. C’est pourquoi le volume total (i+i’) des parallélépipèdes est indiqué.

Schéma des subdivisions

Les résultats sont consignés dans le tableau page suivante.

On obtient donc une valeur de remblai de 1476 m^3 et une valeur de déblai de 1486 m^3. L’écart de 10 m^3 n’est pas étonnant en soi puisque la méthode des prismes est approximative, mais la valeur de 10 m^3 me semble curieusement ronde…

2.      Cubature d’après Profil en travers

Il n’y a pas de remarque particulière à faire dans cet exemple si ce n’est qu’il a été nécessaire d’interpoler souvent les altitudes pour obtenir les profils 7 à 13 et les hauteurs exactes dans les triangles 1 à 12.

Les surfaces des profils ont été calculées sous AUTO CAD.

Les échelles des représentations des pages suivantes n’ont pas été respectées.