Mes présupposés sur les
mathématiques, leur apprentissage et leur enseignement
Ma référence première est empruntée à
l’épistémologie des sciences et dicte ma vision des mathématiques, de leur
apprentissage et de leur enseignement. Pour des raisons liées à mon parcours
personnel, l’épistémologie socio-constructiviste m’a servi initialement de
bagage théorique minimal pour amorcer une réflexion sur les phénomènes
d’apprentissage et d’enseignement. Il convient de préciser que je prends ce
terme au sens des épistémologues des sciences, en particulier Popper (1973), et
non au sens des psychologues, les premiers ne se préoccupant pas a priori ni
d’enseignement, ni même d’apprentissage. On peut décrire brièvement le
socio-constructivisme en ces termes : « Mouvement contemporain de
l’épistémologie selon lequel les scientifiques inventent et/ou utilisent des
théories pour donner du sens à ce qui les entoure et pour agir » (Fourez
et al., 1997). Je vais à présent spécifier les emprunts que je fais à ce
courant et les conséquences que j’en tire, d’abord en matière de développement
et, plus loin dans mon exposé, sur la recherche en didactique.
Des concepts qui
répondent à une recherche d’efficacité
A propos des concepts mathématiques
ou scientifiques en général, il peut être éclairant de contraster positivisme
empirique et constructivisme. Je m’explique en repartant du domaine
philosophique où l’empirisme est une théorie selon laquelle l’expérience serait
l’origine de nos connaissances, a contrario du rationalisme qui les situe dans
la raison humaine. En épistémologie des sciences, on parlera de positivisme
empirique pour désigner une perception des phénomènes imprégnée de l'illusion
qu'un bon observateur n'interprète en rien ce qu'il voit, qu'il existe des
« faits » objectifs et une « vraie vision scientifique » de ces
faits. Il en découlerait que les concepts et lois scientifiques sont un reflet
exact du monde, des « émanations de la nature », voire des
« révélations divines », et il en résulterait une absence de
distanciation entre les phénomènes « observés » et les concepts qui
les modélisent. Au contraire, selon l’épistémologie socio-constructiviste, les
concepts sont des créations de l’esprit humain, adoptées provisoirement pour
leur efficacité à réaliser un projet donné ou à interpréter des phénomènes.
Mais les mêmes concepts sont rejetés ou modifiés lorsque cette efficacité est
mise à mal. Il ne s’agit donc pas d’y croire mais d’en tester les limites.
Une économie de pensée à envisager à deux niveaux
De
cette référence première, je déduis une certaine vision des mathématiques
d’abord, de leur apprentissage et enseignement ensuite. Pour ce qui des
mathématiques, je situe leur fonction première dans une « économie de
pensée » et d’action pour reprendre et étendre une expression de E. Mach
(1925). Il y a là une dynamique dont rend compte la modélisation de l’activité
mathématique en termes de praxéologies, pourvu que les tâches aient « un
caractère fondamental » au sens de la TSD : les mathématiques ont
pour fonction de « tuer » les problèmes en les catégorisant et en
créant des techniques pour les résoudre d’une manière
« performante », le prix à payer étant le discours technologique ou
théorique qui justifie ces dernières.
Mais sans doute faut-il envisager cette économie de
pensée à plusieurs niveaux. Je vais l’illustrer à propos du concept de
fonction, exemple sur lequel je pourrai m’appuyer ultérieurement pour définir
ce que j’appelle niveau praxéologique.
Le concept de fonction fait partie
des concepts dont plusieurs chercheurs (Robert et Robinet, 1996, Dorier, 1997)
soulignent le caractère unificateur et
généralisateur et porteur d’un
nouveau formalisme, caractère qui semble d’ailleurs justifier, à leurs
yeux, la difficulté à construire des situations fondamentales associées. Mais
le caractère unificateur du concept de fonction tel qu’évoqué dans la plupart
des recherches renvoie plutôt à la perspective d’une recherche de fondements
des mathématiques engagée au milieu du XXème siècle, à partir des
ensembles et des relations, et qui a conduit à la définition générale d’une relation
fonctionnelle en termes de triplets englobant aussi bien des transformations
géométriques que les fonctions de l’analyse mathématique ou des opérateurs qui
agissent sur ces fonctions. C’est souvent ce point de vue conceptuel qui est
implicitement en ligne de mire dans l’enseignement secondaire et qui conduit à
des insistances fort peu motivées à l’adresse des élèves, en particulier sur
l’unicité de l’image d’un élément.
Mais, il existe un autre caractère
unificateur que j’illustrerai à partir de l’histoire du calcul intégral. Pour
Archimède, la quadrature du segment de parabole et la cubature de la pyramide
sont des problèmes a priori différents bien que leurs validations respectives
relèvent d’une méthode commune : celle dite d’exhaustion caractérisée par
un double raisonnement par l’absurde. L’idée est d’épuiser (d’où le mot
« exhaustion ») le segment de parabole, d’une part, et la pyramide,
d’autre part, en lui enlevant à chaque étape plus de la moitié de ce qui
reste : des triangles sont ôtés du premier et des prismes le sont de la
seconde. Ainsi que l’illustrent les Fig. 1 et 2, cela conduit à des découpages
qui semblent n’avoir rien à voir l’un avec l’autre et qui supposent que tout le
travail est à refaire pour un des deux problèmes, une fois l’autre résolu.
Fig. 1 Fig.2
Cependant, au sens moderne du calcul intégral, il
s’agit du même problème car ces situations se modélisent toutes deux par
l’intégrale définie d’une fonction du second degré et se résolvent par la
primitivation d’une telle fonction ou la limite d’une « même » somme
de Rieman. Mais ce regard n’est pas celui d’Archimède pour qui le concept de
fonction est inconnu (il est à remarquer d’ailleurs que la Fig. 1
constitue un anachronisme par la présence du systèmes d’axes qui ne peut être
le fait de cet auteur à son époque). Aux dires des Bourbakistes, cela empêche
de considérer Archimède comme l’inventeur du Calcul intégral :
« Mais
pour qu’on ait le droit de voir là un “ calcul intégral ”, il
faudrait y mettre en évidence, à travers la multiplicité des apparences
géométriques, quelque ébauche de classification des problèmes suivant la nature
de “ l’intégrand ” sous-jacent. Au XVIIe siècle, nous
allons le voir, la recherche d’une telle classification devient peu à peu l’un
des principaux soucis des géomètres ».
Cet exemple montre l’intérêt d’une classification algébrique
où des problèmes a priori différents sont fédérés en catégories selon le type
de fonction qu’ils mobilisent. Sans aller jusqu’au calcul intégral, pensons que
le problème de la chute libre d’un corps dans le champ de la pesanteur et celui
des aires de rectangles isopérimétriques mobilisent tous deux une fonction du
second degré. Ce classement « fonctionnel » relève du 3ème
degré d’algébrisation tel que défini par Bolea et al. (2001) : il s’agit
d’unifier et de réduire à quelques catégories les problèmes, les techniques qui
permettent de les résoudre et les discours technologiques associés. Dans le cas
des problèmes du calcul intégral, les techniques sont celles de primitivation,
de calculs de limites ou d’intégration numérique mais,
en plus, on les unifie
par le biais du type de fonction mobilisée : trigonométrique,
exponentielle, polynomiale de degré 2… Comme je le montre ailleurs (Schneider, 1988),
c’est une telle unification algébrique qui permet de voir le problème de l’aire
« sous une courbe » comme « standardisation » de tous les
problèmes se ramenant à l’intégration d’une fonction d’une variable dont cette
courbe est le graphique, qu’ils concernent le travail d’une force variable, le
volume d’un solide ou le calcul de l’espace parcouru par un mobile à partir de
sa vitesse ou n’importe quel autre contexte.
Cette
catégorisation est tributaire d’une double algébrisation : d’abord la
standardisation des variables indépendante et dépendante sous la forme x et y,
indépendamment de la nature des grandeurs concernées, ensuite la généralisation
de données numériques sous forme de paramètres laquelle permet d’adapter
ultérieurement un modèle fonctionnel donné aux contraintes particulières de
tout problème traité. Elle peut être travaillée dès le début du collège où les
élèves sont capables de classer des suites de nombres figurés selon qu’elles
mobilisent des progressions artihmétiques, géométriques ou « autres »
(Krysinska, 2007). C’était là l’objet d’un TD associé à ce cours.
On voit là l’économie de pensée
apportée par les ostensifs algébriques, même si le concept de fonction dans sa
généralité dépasse ces aspects. Par ailleurs, ce point de vue s’étend à des
expressions qui ne sont pas fonctionnelles. Ainsi, l’ostensif ax2 + 2bxy + cy2 + 2dx
+ 2ey + f = 0 représente l’ensemble des coniques dont il permet des
classifications projective, affine et métrique, ainsi que des techniques
générales de détermination de tangentes par exemple. L’aspect unificateur
auquel je m’intéresse ici ne m’amène donc pas à privilégier le fait qu’une
relation est fonctionnelle lorsqu’il n’existe pas deux couples de même origine.
Il se situe aussi en amont d’un projet de fondement des mathématiques.
Mais ce projet lui-même est, à son
tour et à un autre niveau, source d’une économie de pensée. Je me contenterai,
pour le décrire, d’un propos plus qu’éclairant des Bourbakistes sur le
caractère « outil » des structures mathématiques « Une structure est un outil pour le mathématicien. Une fois qu’il
a discerné, entre les éléments qu’il étudie, des relations satisfaisant aux
axiomes d’une structure de type connu, il dispose aussitôt de tout l’arsenal
des théorèmes généraux relatifs aux structures de ce type, là où, auparavant,
il devait péniblement se forger lui-même des moyens d’attache dont la puissance
dépendait de son talent personnel, et qui s’encombraient souvent d’hypothèses
inutilement restrictives, provenant des particularités du problème
étudié ».
Ma
vision corollaire de l’apprentissage et de l’enseignement des mathématiques
De cette vision socio-constructiviste
des mathématiques je déduis quelques aspects fondamentaux de leur apprentissage
et de leur enseignement.
Un premier but de l’enseignement est
de favoriser, chez les élèves, la mise à distance par rapport aux « faux
objets empiriques » nés de l’illusion que les faits et les observations
sont des donnés et non des construits. Il s’agirait, si l’on se réfère à la modélisation
que fait Popper (1973) de la rationalité humaine, de faire passer les élèves du
monde 1 des réalités physiques au monde 2 des états de conscience. N’est-ce pas
la visée d’une telle distanciation intellectuelle dans l’apprentissage que met
en avant Bachelard (1949) lorsqu’il dit qu’un « éducateur devra donc
toujours penser à détacher l’observateur de son objet, à défendre l’élève
contre la masse d’affectivité qui se concentre sur certains phénomènes trop
rapidement symbolisés […] ». De même Piaget (1974) insiste-t-il sur la
décentration psychologique que suppose, chez les enfants, la lecture d’une
expérience : il ne « tombe pas sous le sens » que du sucre
dissous dans l’eau a disparu sous prétexte qu’on ne le voit plus !
Au delà de ce premier objectif, il s’agit
aussi de faire comprendre aux élèves que les théories et concepts créés nous
échappent en acquérant une existence autonome qui soulève de nouveaux
problèmes : c’est l’accès au monde 3 des concepts de Popper qui contient
« plus que ce que nous y avons mis ». En ce sens, je rejoindrais
Firode (2009) dans sa lecture de la notion de problème chez Popper et les
implications pédagogiques qu’il en tire : « Faire apparaître une
situation comme un problème, par conséquent, ce n’est pas seulement proposer à
l’élève une difficulté censée produire un effet psychologique, comme on le
pense ordinairement, c’est avant tout le faire passer du plan subjectif au plan
objectif, du mental au linguistique, du psychologique au logique. Ce qui ne
peut arriver sans que l’attention de l’élève se détourne en quelque façon de la
considération des états mentaux pour se tourner vers celle des objets
théoriques envisagés dans leur réalité logique autonome ».
Ces deux moments-clés de
l’apprentissage mathématique, que je rapprocherai plus loin de deux processus
praxéologiques majeurs, concernent plutôt des aspects conceptuels et ne rendent
pas entièrement compte de ma vision sur ce qu’est apprendre les mathématiques.
Un autre aspect, plus praxéologique, est lié à une visée de l’enseignement des
mathématiques qui revient sur le devant de la scène, d’une manière pressante,
dans le cadre de la mouvance des compétences : il s’agit de la résolution
de problèmes. Voici comment je formulerais les choses. D’un point de vue plus
praxéologique, apprendre les mathématiques c’est savoir utiliser les techniques
pour tuer les problèmes, ce qui suppose, d’une part, d’avoir une
intelligibilité des problèmes étudiés, des techniques qui permettent de les
catégoriser et de les traiter, de leur champ d’opérationnalité et donc de leurs
limites et, d’autre part, de savoir justifier le choix d’une technique et de
son usage par rapport à une tâche donnée. La compétence à résoudre des
problèmes s’exerce alors en brassant des classes de problèmes sans cesse plus nombreuses,
sans indice sur le choix de la technique, et non en s’attaquant à des
« problèmes inédits et complexes ». Je n’ai pas la place ici pour
justifier ma position mais j’ai montré, dans Schneider (2006a), les risques
inhérents aux organisations didactiques dont je prends ici le contrepied et au
principe desquelles se situe la « résolution de problèmes » comme
compétence-phare à entraîner et à évaluer : principalement, on se retient
d’enseigner pour pouvoir vraiment évaluer cette compétence. Et par ailleurs,
dans Schneider (2006b), j’ai montré en quoi les travaux de psycholologie
cognitive et ceux de didactique pouvaient justifier un tel schéma dans le but
de favoriser le transfert des connaissances d’une situation à l’autre et ce,
même si le concept de transfert semble un interdit de parole dans certains
milieux didactiques.
1.3.
Articuler discours
heuristique axé sur des situations fondamentales et moments adidactiques
Les dispositifs d’enseignement sont
nombreux et il ne peut être question ici de les envisager tous. Il me semble
cependant primordial de rapprocher deux dispositifs extrêmes : les
situations adidactiques, d’une part, et le discours ex cathedra, d’autre part. Non seulement en fonction de ce j’ai dit
plus haut de ma vision des mathématiques et de leur apprentissage, mais aussi
par rapport à mes observations des pratiques enseignantes, en particulier
l’existence de « situations-problèmes » qui n’ont aucun caractère
fondamental par rapport au savoir visé ou qui ne s’insèrent dans aucun projet
d’étude mathématique plus globale.
Commençons par le discours ex
cathedra qui me semble pâtir d’un sérieux discrédit en raison de malentendus
que je vais tenter d’éclaircir. Chevallard (1999) distingue deux formes de
première rencontre des élèves avec un savoir nouveau : les
situations adidactiques en constituent une, la rencontre culturelle-mimétique
en est une autre dont je considérerais ici la forme la plus exigeante qui
« conduit à rechercher et à expliciter - sur le mode discursif - les raisons d’être de l’objet ainsi
rencontré, c’est-à-dire les motifs pour lesquels cet objet a été construit, ou
pour lesquels, du moins, il persiste dans la culture. C’est dans cette optique
que je situe ce que j’entends par discours ex
cathedra, le but étant de rendre intelligible pour les élèves le projet
global à l’étude. Evidemment, si étymologiquement le professeur parle bien du
haut de sa chaire, son discours se doit, à mes yeux, d’avoir une teneur et une
forme particulières que je vais expliquer. Il s’agit en bref d’un exposé, non
pas déductif mais heuritisque au sens de Lakatos (1984).
L’exposé déductiviste commence par
une liste d’axiomes, de définitions et gomme les raisons de leur choix et de
leur formulation. Il laisse peu de place au travail d’analyse inhérent à toute
élaboration de preuve. Au contraire, le style heuristique met l’accent, d’après
Lakatos, sur une dialectique entre preuves et réfutations, montrant comment se
forgent les définitions pour donner prise au raisonnement déductif. Vu plus
globalement, le discours heuristique met en évidence le projet initial à
l’origine des mathématiques enseignées, quel que soit le niveau d’étude
mathématique envisagé, les tentatives a priori, les succès et les échecs et les
raisons pour lesquelles on optera, en définitive, pour telle ou telle issue.
Ce discours magistral se doit de
relever du discours « socio-épistémologique » qui essaie de décrire
comment les humains raisonnent, au lieu de prétendre dire comment ils devraient
raisonner comme dans une conception normative de l’épistémologie. Au contraire,
il convient d’examiner « comment les scientifiques travaillent sans
présupposer que leurs pratiques sont nécessairement plus valables que d’autres
pratiques cognitives » (Fourez, 1988).
C’est là pour le professeur une manière
de favoriser le face à face direct de l’élève avec le savoir et de lui faire
éprouver la nécessité de ce dernier sans recourir à un argument d’autorité
venant de quiconque. Ce discours s’accommode d’ailleurs très bien de media tels
que des documents historiques grâce auxquels peuvent être favorisés une sorte
d’effacement du professeur et une mise à distance du savoir.
C’est d’ailleurs ce face-à-face
direct de l’élève avec le savoir que visent les situations adidactiques. Je
reviendrai plus loin sur l’intérêt de ces dernières mais je voudrais dire ici
que, si le discours peut laisser place, par moments, à de telles situations, ce
ne peut être au prix de l’intelligibilité du projet aux yeux des élèves. Il
convient dès lors de leur expliquer en quoi certaines tâches qui leur sont
proposées relèvent d’un artifice didactique (je pense, par exemple, à des
situations de communication par téléphone dont l’enjeu est la découverte des
cas d’isométrie des triangles mais qui ne rendent pas compte de leurs conditions
d’emploi …).
Cette insertion des moments
adidactiques dans un discours qui en situe la portée dans un projet plus global
me pousse à distinguer le caractère fondamental d’une question et le caractère
adidactique d’une situation organisée autour de la dévolution de cette question
aux élèves, dévolution qui suppose, non seulement le caractère fondamental de
cette question, mais aussi l’existence d’un milieu adidactique et celle d’un
contrat. Je rejoins là Perrin-Glorian (1999) pour laquelle il pourrait ne pas
exister, dans une institution donnée, une situation adidactique d’introduction
à ce savoir. Comme Bosch et Chevallard également (1999), je regarde donc les
situations fondamentales avant tout comme des modélisations des savoirs
mathématiques par les questions auxquelles ils apportent une réponse efficace
ou par les projets humains qu’ils permettent de réaliser. Et c’est la
visibilité de ces questions ou de ces projets que je privilégierais avant tout
que ce soit dans la définition des OM visées par l’enseignement ou d’OD conçues
à cette fin.
Je pourrais rapprocher ma volonté de revaloriser le discours ex
cathedra, pourvu qu’il soit heuristique, des travaux de Robert et Robinet
(1996) sur le discours « méta », de la dialectique media-milieux de
Chevallard, ou encore de la théorie de la médiation sémiotique se fondant sur
les travaux de Vygotsky relatifs au développement social de l’intelligence.
Cependant, il s’agit là, pour moi, essentiellement d’un savoir d’expérience. En
effet, en raison de choix didactiques, mais aussi de contraintes ergonomiques,
j’ai souvent, dans ma carrière de professeur de Lycée, combiné des dispositifs
de situations adidactiques à un discours du type décrit plus haut. Et j’en ai
retiré une impression d’efficacité. Bien sûr, il s’agit là d’une hypothèse
d’action dont il conviendrait d’analyser, dans une perspective poppérienne, les
conditions minimales de fonctionnement sans lesquelles le modèle se casse la
gueule. Par exemple, il doit exister des signes langagiers typiques d’un discours
socio-constructiviste par lesquels se crée une certaine mise à distance :
il ne revient pas au même de dire « tel concept, c’est … » que de
dire « Pour telle ou telle raison, un
groupe de personnes a décidé de
définir tel concept comme … ». De même, je pense à des contraintes
relatives à l’évaluation qui devraient permettre d’impliquer les élèves dans
l’écoute et
la
rétention du discours sur les raisons d’être d’un savoir mathématique.
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