الوحدات الابعاد المتجهات

الوحدات و الأبعاد

 Units and Dimensions

تتحدد أي كمية طبيعية بعاملين اثنين هما العدد والوحدة . أي أنه لا يمكن ذكر أعداد أو أرقام مجردة دون تحديد الوحدة التي تقاس بها تلك الكمية.

فمثلاً لتحديد كتلة جسم نقول أن كتلته تساوي 20كيلوجرام و لكي نقول أن الكتلة تساوي 20000 جرام يجب أن يكون هناك علاقة بين الكيلوجرام و الجرام و هي 1كجم = 1000جرام.

1-1    الكميات الفيزيائية Physical quantities

هي التي تبني هيكل الفيزياء و بها نكتب المعادلات و القوانين الفيزيائية ، من هذه الكميات : القوة – الزمن – السرعة – الكثافة – درجة الحرارة – الشحنة و غير ذلك.

و تنقسم الكميات الفيزيائية إلى:

•        كميات أساسية: هي الكتلة و الطول و الزمن و يرمز لها (T , L , M) على الترتيب.

•        كميات مشتقه: هي كميات مشتقة من الكميات الأساسية مثل الحجم و السرعة و العجلة و غير ذلك من الكميات.

1-2    وحدات الكميات الفيزيائية Units of physical quantities

أي كمية فيزيائية يجب أن يكون لها وحدة قياس إلى جانب قيمتها العددية إذ أنه لا معنى لقولنا أن المسافة بين مدينة غزة ومدينة القدس هي  80 (دون ذكر وحدة القياس) لأن 80 كيلو متر تختلف عن 80 متر تختلف عن 80 ميل حيث أن الكيلو متر والمتر والميل هي وحدات قياس الطول.

أنظمة القياس  

•        النظام الدولي ISU: متر – كيلوجرام – ثانيه (M K S system) و أحياناً يسمى بالنظام الفرنسي المطلق أو سنتيمتر – جرام – ثانيه (C G S system).

•        النظام البريطاني: قدم – باوند – ثانيه (F B S).

الجدول (1-1) يبين وحدات القياس الأساسية والجدول (1-2) يبين بعض وحدات القياس المشتقة.

جدول (1-1) وحدات القياس الأساسية

الكمية  الوحدة بالنظام الدولي (ISU)          الوحدة بالنظام البريطاني (FBS)

الكتلة (Mass)         كيلوجرام (Kg)        باوند

الطول أو المسافة (Length)          متر (M)       قدم

الزمن (Time)        ثانية (S)       ثانية

     جدول (1-2) وحدات القياس المشتقة

الكمية  الوحدة بالنظام الدولي (ISU)          الوحدة بالنظام البريطاني (FBS)

المساحه         متر2 (m2)   قدم 2

الحجم  متر3 (m3)   قدم3

الكثافة = الكتلة / الحجم        Kg/m3       باوند / قدم3

قوة     نيوتن (N)     ثقل باوند (LB)

الضغط = قوة / مساحة        N/m3  (باسكال)     ثقل باوند / قدم2

1-3    أبعاد الكميات الفيزيائية   Dimensions of physical quantities

بُعد أي كمية فيزيائية يحدِد طبيعة هذه الكمية فيما إذا كانت كتلة Mass أو طول Length أو زمن Time وتكتب أبعاد أي كمية طبيعيه بدلالة الكتلة (M) والطول (L) والزمن (T) والجدول (1-3) يوضح أبعاد بعض الكميات الفيزيائية.

جدول (1-3) حساب أبعاد بعض الكميات الفيزيائية

الكمية الفيزيائية        بُعد الكمية الفيزيائية

                       

                           

        

 

        

        

نظرية الأبعاد و تطبيقاتها:

تحتم نظرية الأبعاد على أن يكون طرفا المعادلات الرياضية متجانسين من حيث الأبعاد. لذلك نجد أن من فوائد الأبعاد ما يلي:

 أ- التحقق من صحة القوانين الفيزيائية.

ب- اشتقاق وحدات الثوابت التي تعتمد عليها العلاقات الرياضية المختلفة.

 ج- التحويل من وحدات النظام الدولي ( النظام الفرنسي) إلى النظام البريطاني ( النظام الإنجليزي).

اختبار صحة القوانين

لإثبات صحة أي معادلة يجب أن تكون أبعاد الطرف الأيسر تساوي أبعاد الطرف الأيمن ، فمثلاً قانون البندول البسيط هو:            

(1-1)

فإذا كتبنا معادلة الأبعاد لهذا القانون فإننا نعتبر   2π عدد لا يعتمد على أي من الوحدات الأساسية و على ذلك فليس له وجود في معادلة الأبعاد.

أبعاد الطرف الأيمن هي:

(1-2)                                                  

أي أن أبعاد الطرف الأيمن تساوي أبعاد الطرف الأيسر وعلى ذلك يكون القانون صحيحاً.

مسائل على الفصل الأول

1-      جد أبعاد كل من السرعة (v) و العجلة (a) و القوة (F) و الشغل (W) و الكثافة (ρ) و الضغط (P).

2-      أثبت صحة العلاقة التالية من حيث الأبعاد.

                                                     

     حيث v ،a  ، t تمثل السرعة الخطية  والعجلة  والزمن على الترتيب.

3-      حدد ما إذا كانت العلاقة التالية صحيحة من حيث الأبعاد أم لا.

*************************

المتجهات

2-1    الكميات القياسية والكميات المتجهة   

2-2    متجهات الوحدة

2-3    تحليل المتجهات

2-4    محصلة المتجهات

المتجهات

Vectors

2-1    الكميات القياسية والكميات المتجهة    Scalars and vectors

الكميات الفيزيائية نوعان:

أ‌-       الكميات القياسية: هي كميات فيزيائية غير متجهة يتم تعيينها تماماً إذا عرف مقدارها فقط .

ومن أمثلة الكميات الغير متجهه الكتلة , الزمن , الطول , درجة الحرارة والطاقة وجميعها كميات قياسية.

ب‌-     الكميات المتجهة: هي كميات فيزيائية متجهة يتم تعيينها تماماً إذا عرف مقدارها واتجاهها.

يمكن تمييز الكمية المتجهة عن الكمية القياسية وذلك بكتابة المتجه بخط عريض A كما هو مستخدم في الكتب أو بوضع إشارة سهم أعلى الرمز A كما هو الحال في الكتابة اليدوية      . أما الكمية القياسية أو ما يُعرف بقيمة المتجه A مثلا فيعبر عنه بالرمز A أو lAl أو 

ومن الأمثلة على الكميات المتجهة الإزاحة والسرعة والعجلة والقوة وكمية الحركة . ويلزم تحديد اتجاه الإزاحة والسرعة والقوة بالإضافة لعدد الوحدات في كل مقدار لكي تتعرف تماماً . وتستخدم عادةً الطرق الهندسية في تمثيل الكمية المتجهة حيث يمثَل المتجه بيانياً بسهم يتناسب طوله طردياً مع مقدار المتجه واتجاهه يمثل اتجاه المتجه شكل  (2-1) .

خواص المتجهات:

•        تساوي المتجهات:

إن المتجهين A ،  Bمتساويان إذا كان لهما نفس المقدار ونفس الاتجاه (ونفس الوحدة إن وجدت) ، أي أن A = B إذا كان مقدار A يساوي مقدار B وكان السهم الممثل للمتجه A يوازي السهم الممثل للمتجه B شكل  (2-2) .

•        سالب المتجه:

إذا أعطينا المتجه A فإن –A هو متجه مساوٍ له في  المقدار ويعاكسه في الاتجاه  شكل  (2-3) .

•        جمع المتجهات:

عند جمع المتجهات يجب أن تكون هذه المتجهات من نفس النوع فلا يمكن مثلا أن نجمع متجه قوة إلى متجه سرعة لاختلافهما في الأبعاد. وذلك ينطبق أيضا عند جمع الكميات القياسية.

إيجاد محصلة مجموعة من المتجهات:

1-      إذا كانت جميعها تعمل على خط واحد فإنها تجمع جبرياً بإشاراتها وذلك بعد اختيار اتجاهاً معيناً يكون موجباً . وإذا تساوى مقدار متجهين وتضادا اتجاهاً كان محصلتهما تساوي صفر.

2-      إذا لم يكن خط تأثير المتجهات واحداً فإننا نوجد محصلتها بإحدى طريقتين:

أ‌-       طريقة متوازي الأضلاع:

حاصل جمع المتجهين A و B هو متجه C , ويسمى عادة ً بالمحصلة (Resultant) . ولإجراء عملية الجمع نقوم برسم أحد المتجهين أولاً وليكن A بمقياس رسم مناسب ، ثم من بداية المتجه A نرسم المتجه B بنفس مقياس الرسم ثم نكمل رسم متوازي الأضلاع فتكون المحصلة هي قطر متوازي الأضلاع الذي ضلعاه المتجاوران هما المتجهان  AوB. كما هو موضح في الشكل (2-4).

ب‌-     طريقة المثلث:

لإجراء عملية الجمع بطريقة المثلث نقوم برسم أحد المتجهين أولاً وليكن A بمقياس رسم مناسب ، ثم من رأس المتجه A نرسم المتجه B فتكون المحصلة C هي المتجه الذي يبدأ من بداية المتجه A وينتهي عند رأس المتجه B كما في الشكل (2-5) .

ويمكن التعبير رياضياً عن عملية الجمع في كلتي الطريقتين بالمعادلة (2-1).

(2-1)                                                                     

لنفرض أننا بدأنا عملية الجمع بأخذ المتجه B أولاً ثم جمعنا إليه المتجه   A أي قمنا بعملية الجمع B+A يتضح من الشكل (2-6) أننا نحصل على نفس المتجه C وبذلك نستطيع أن نكتب :

(2-2)                                           

وتسمي هذه النتيجة بقانون التبادل للجمع .

يمكن تطبيق طريقة المثلث لجمع أكثر من متجهين , فمثلاً المتجهات الثلاث A و B و  C يمكن جمعها كما هو مبين في الشكل (2-7).

ويمكن التعبير عن هذه النتيجة رياضياً بالمعادلة

(2-3)                                  

وتسمى هذه المعادلة بقانون الترافق للجمع .

كذلك يمكن تعميم طريقة المثلث للجمع لتشمل أكثر من ثلاث متجهات فإذا فرضنا أن هناك أربع متجهات A و B و C وD فإننا نرسم الواحد تلو الآخر كما في الشكل (2-8)، وبتطبيق قاعدة المثلث للجمع ثلاث مرات متتالية نجد أن المحصلة هي:

(2-4)                                          

                                                               

و تبدأ من بداية المتجه A وتنتهي عند رأس المتجه D  أي أن المحصلة هي الضلع الذي يقفل المضلع ولكن  بالاتجاه المعاكس لدورة المتجهات الأربعة.                                             

•        طرح المتجهات:

إن عملية طرح المتجهات شبيهة بعملية جمع المتجهات , فمثلاً A – B هو متجه جديد C ولتحديد المتجه C نقوم برسم المتجه A أولاً ومن رأس هذا المتجه نرسم سهماً موازياً  ومعاكساً في الاتجاه للمتجه B. إن هذا السهم يمثل المتجه – B ، وبذلك تكون المحصلة C هي المتجه الذي يبدأ من بداية المتجه A وينتهي عند رأس المتجه – B شكل (2-9). تمثل هذه العملية رياضياً بالمعادلة (2-5) .

(2-5)                                                                                 

•        ضرب المتجهات:

يمكن ضرب المتجه بكمية قياسية فمثلاً 2A تعني متجه جديد مقداره 2A واتجاهه هو نفس اتجاه A. وبصورة عامة فإن ضرب المتجه A بالكمية القياسية c يعطي المتجه cA و اتجاهه هو نفس اتجاه A إذا كانت الكمية القياسية c موجبة. وعكس اتجاه A إذا كانت الكمية القياسية c  سالبة.

من الأمثلة الفيزيائية على ضرب المتجه بكمية قياسية الزخم الخطي (كمية التحرك الخطية) P وهو حاصل ضرب الكتلة m في متجه السرعة v ويعطي بالعلاقة (2-6).

(2-6)                                            

2-2    متجهات الوحدة Unit vectors

متجه الوحدة هو متجه له اتجاه معين وقيمته هي الوحدة (Unity) ، وليس له وحدة قياس أو بُعد.

 يوجد ثلاث متجهات وحدة في نظام الإحداثيات الكارتيزية (الديكارتية) هي i و j و k  (يدويا تكتب  ) حيث أن هذه المتجهات تشير إلى الاتجاه الموجب للمحاور x و y و z على الترتيب كما هو موضح في  الشكل   (2-10) ، فمثلا إذا كان المتجه A يتجه باتجاه x الموجب وقيمته A و B يتجه باتجاه y الموجب وقيمته B و C باتجاه z الموجب وقيمته C فإن هذا المتجهات تكتب على الترتيب بالصورة الاتجاهية التالية :

(2-7)                                             

        

ملاحظة : وجود الإشارة السالبة أمام أي متجه وحدة يدل على الاتجاه المعاكس فمثلا  i – تشير إلى الاتجاه السالب لمحور  x.

2-3    تحليل المتجهات Analysis of vectors

          يمكن تحليل أي متجه A واقع في المستوى xy  إلى متجهين متعامدين ، الأول موازي لمحور x (Ax)    والآخر موازي لمحور y (Ay) وتكون محصلتهما هي نفس المتجه A :

(2-7)

فإذا كان المتجه A يصنع زاوية مقدارها θ مع الاتجاه الموجب لمحور x كما هو بالشكل (2-11) وأسقطنا من رأس المتجه A عمودين على المحورين x و y فإن الكميتين  Ax و Ay هما مركبتا المتجه A ومن الشكل نجد أن :

                         

(2-8)                                                                                                                         

•        إن المركبتين Ax  و Ay أرقام يمكن أن تكون موجبه أو سالبه ( أو صفر) و تسمى عملية إيجادهما بتحليل المتجه إلى مركباته .

•        إن المركبتين Ax  و Ay  تشكلان ضلعين من مثلث قائم الزاوية بينما يشكل A وتر هذا المثلث و بتطبيق نظرية فيثاغورث نجد أن قيمة المتجه A تعطى كما في المعادلة (2-9) :

                            

ومن الشكل (2-11) نجد أن

وعند حلها لإيجاد قيمة θ فإننا نكتب

المعادلة (2-11) تقرأ θ تساوي الزاوية التي ظلها   , وتعتبر قيمه θ المسئولة عن تحديد إشارات المركبات Ay  و Ax لأن الزاوية θ تحدد الربع الذي يقع فيه المتجه  A. الشكل (2-12) يلخص إشارات المركبات في كل ربع.

مثال (1)

احسب المركبتين السينية والصادية للمتجهات التالية :

أ‌-       متجه A قيمته 6 وحدات ويصنع زاوية مقدارها 240o مع الاتجاه الموجب لمحور x

الحل:

Ax = A cos 240 = 6 × (-1/2) = -3

) = -5.2      = 6 × (- Ay =  A sin 240

حل آخر:

Ax = -A cos 60 = -6 × (1/2) = -3

) = -5.2 = -6 × (      Ay = -A sin 60

   

ب‌-     متجه B قيمته 5 وحدات و يصنع زاوية مقدارها1100   مع الاتجاه الموجب لمحور x

الحل:

Bx = B cos 110 = - 1.7

By = B sin 110 = 4.7

حل آخر:

Bx = -B sin 20 = - 1.7 

By = B cos 20 = 4.7

2-4    محصلة المتجهات Resultant of vectors

تستخدم طريقه تحليل المتجهات لإيجاد محصلة مجموعة منها فإذا فرضنا مثلاً ثلاثة متجهات A و B و C  في مستوى واحد و تصنع الزوايا 1θ , 2θ , 3θ مع الاتجاه السيني على الترتيب فإن مركبات هذه المتجهات في الاتجاه السيني هي:

3                             θ  Cx = C cos     ,      2θ  Bx = B cos    ,     1θ  Ax = A cos

وتكون محصله هذه المركبات في الاتجاه السيني هي:

3                             θ   C cos+  2θ  B cos + 1θ Rx = Ax + Bx + Cx = A cos

بالمثل بالنسبة للمركبات العمودية في الاتجاه الصادي تكون محصلتها

3                             θ   C sin+  2θ B sin + 1θ Ry = Ay + By + Cy = A sin

قيمة محصلة مجموعة المتجهات تكون هي نفسها محصله المركبات السينية و الصادية و تعطي بالمعادلة

ويمكن إيجاد اتجاه المحصلة أي الزاوية θ التي تصنعها مع المحور السيني من المعادلة 

ويمكن كتابة محصلة مجموعة من المتجهات بصورتها الاتجاهية كما يلي:

  

مثال (2)

يخرج سائح من مدينة غزة فيقطع مسافة 10 km باتجاه الجنوب , ثم يسير مسافة 15 km باتجاه يصنع °30 شمال شرق ثم يقطع مسافة 20 km باتجاه الشمال الشرقي. ما هو موضع السائح بالنسبة لمدينة غزة ؟

الحل:

إن المسافات التي يقطعها السائح هي متجهات إزاحة لكل منها مقدار و اتجاه، فالمسألة هي جمع متجهات.

الرسم يوضح الحالات المتعاقبة لسير السائح و يوضح موقعه الحالي من مدينة غزة والتي تمثل نقطة الأصل، ولإيجاد قيمة واتجاه المحصلة (الموضع بالنسبة لمدينة غزة) نعمل على تحليل الإزاحات الثلاثة في الاتجاهين السيني والصادي ثم نحسب المحصلة مقدارا واتجاها.

Rx = 0 + 15 cos 30 + 20 cos 45 = 15 × 0.866 + 20 × 0.707 = 27.13 Km

Ry = -10 + 15 sin 30 + 20 sin 45 = -10 + 15 × 0.5 + 20 × 0.707 = 11.64 Km

ملاحظة/ يمكن كتابة المحصلة بصورتها الاتجاهية كما يلي:

مسائل على الفصل الثاني

1-      سيارة تتحرك 5km باتجاه الجنوب بعد ذلك 2km باتجاه الغرب. أوجد محصله الإزاحة ( مقداراً و اتجاها).

2-      سيارة تقطع مسافة 20km شمالاً و بعد ذلك تقطع مسافة 35km باتجاه 60° غرب الشمال . أوجد مقدار و اتجاه محصله الإزاحة .

3-      إذا كان A يمثل إزاحة مقدارها 3m باتجاه يصنع 30° مع الاتجاه الموجب للمحور السيني و كانت B تمثل إزاحة مقدارها 3m بالاتجاه الموجب للمحور الصادي. أوجد بيانياً ما يلي

       ا) A + B                    ب) A - B                     ج) B - A                     د) 3A - B

4-      المتجه A يصنع زاوية مقدارها  θ مع الاتجاه الموجب لمحور السينات . أوجد مركبات  A قي الحالات التالية :

       ا) A = 8m     ,      θ = 60°

       ب) A = 6m     ,    θ = 120°

            ج) A = 12m   ,    θ = 225° 

5-      أوجد محصلة القوى الآتية التي تؤثر في نقطه على جسم علماً بأنها مقدره بالنيوتن :

        150 بزاوية 20° ، 100 بزاوية 120° ، 80 بزاوية 170° ، 120 بزاوية 240° و جميع الزوايا مقاسه

        بالنسبة  للاتجاه  الموجب لمحور السينات .

*************************