الحركة الخطية المنتظمة

الحركة الخطية المنتظمة

3-1    الإزاحة

3-2    السرعة (الاتجاهية) المتوسطة الحركة الخطية بعجلة منتظمة

3-3    السرعة (الاتجاهية) اللحظية  

3-4    السرعة (القياسية) المتوسطة  

3-5    التسارع المتوسط  

3-6    التسارع اللحظي  

3-7    الحركة الخطية بعجلة منتظمة  

3-8    قوانين نيوتن للحركة

3-9    قانون بقاء كمية التحرك   

3-10  قانون بقاء الطاقة

3-11  الحركة الدائرية المنتظمة

الحركة الخطية المنتظمة

Linear Motion

تعتبر الحركة من المواضيع الهامة التي يتحتم علينا دراستها ابتداءً من حركه الجسيمات الصغيرة إلي كرة القدم و السيارة وانتهاءً بحركة النجوم والكواكب. ويسمى العلم الذي يبحث في حركة الجسيمات بعلم الميكانيكا . في هذا الفصل سندرس حركة الجسيمات في خط مستقيم ومن خلاله أيضا سنتعرف على مفاهيم الإزاحة والسرعة والتسارع وعلاقتها ببعضها البعض ومع الزمن أيضا.

3-1    الإزاحة Displacement                                                                                       

نعرف إزاحة الجسم بأنها التغير في موضعه بالنسبة إلى نقطه إسناد (مرجع) معينة وهي كمية متجهة تعتمد على نقطة البداية ونقطة النهاية بغض النظر عن المسار الذي يتبعه الجسم في تحركه.

عندما يتحرك جسم على خط مستقيم و ليكن محور x فإن اتجاه حركته يكون محدداً على هذا المحور. أي أن إزاحة الجسم هي xΔ فإذا كانت موجبة فإن ذلك يعني أنها باتجاه محور x الموجب و إذا كانت سالبة فيعني أنها باتجاه محورx السالب. يبين الشكل (3-1) جسماً ينتقل على محور x من الموضع الابتدائي A عند زمن ti إلي الموضع النهائي B عند زمن tf. إزاحة الجسم تعطى حسب الصيغة التالية:

ملاحظة/ يجب التفريق بين المسافة distance والإزاحة displacement حيث أن المسافة تمثل الطول الفعلي للمسار الذي يقطعه الجسم وهي كمية قياسية ، أما الإزاحة فتمثل أقصر مسافة بين نقطة البداية ونقطة النهاية وهي كمية متجهة.

3-2    السرعة (الاتجاهية) المتوسطة Average velocity

نعلم أن حركة جسم ما من موضع عند زمن ابتدائي ti إلى موضع آخر عند زمن نهائي tf تستغرق فترة زمنية ∆t. تعرّف السرعة المتوسطة بأنها نسبة الإزاحة إلى الزمن واتجاهها هو اتجاه الإزاحة وتعطى بالعلاقة :

3-3    السرعة (الاتجاهية) اللحظية Instantaneous velocity

تعرف على أنها معدل تغير متجه الموضع بالنسبة للزمن وهي تعبر عن سرعة الجسم عند لحظة معينة 

وتعطى حسب العلاقة :

3-4    السرعة القياسية المتوسطة  Average speed

نعرف متوسط السرعة القياسية لجسم ما بأنها نسبة المسافة الكلية التي يقطعها الجسم للزمن الكلي , وإذا رمزنا للسرعة القياسية بالرمز  sإن :

حيث d المسافة الكلية المقطوعة خلال زمن مقداره t.

3-5    التسارع المتوسط Average acceleration

عندما يتحرك جسم ما بسرعة معينة على خط مستقيم و تزداد سرعته نقول بأنه يتسارع وإذا تناقصت سرعته فنقول أن تسارعه سالب أي أنه يتباطأ وبشكل عام نعرف متوسط التسارع (العجلة المتوسطة)  aبأنه نسبة تغير السرعة اللحظية للزمن.

3-6    التسارع اللحظي Instantaneous acceleration

يعرف على أنه معدل تغير السرعة اللحظية بالنسبة للزمن وتعطى حسب العلاقة :

مثال (3-1)

يتحرك جسم من نقطة الأصل شرقاً مسافة 40m في ست ثواني ، ثم غرباً مسافة 20m في أربع ثواني , و أخيراً شرقاً مسافة 60m في عشر ثواني . أوجد

أ‌)       إزاحة الجسم

ب‌)     متوسط سرعته المتجهة

ﺝ) متوسط سرعته المتجهة خلال الفترة الزمنية الثانية .

 د) المسافة الكلية التي يقطعها

 ھ) متوسط سرعته القياسية.

الحل:

أ‌)       بما أن الجسم يتحرك من نقطه الأصل على خط مستقيم فتكون إزاحة الجسم

Δx = x1 + x2 + x3

وحيث أن الإزاحة كمية متجهة فإنه يجب الأخذ بعين الاعتبار إشارة الإزاحات الثلاثة وعليه فإن الإزاحة الكلية

Δx = 40m – 20m + 60m = 80m

وحيث أن الإزاحة موجبة فإنها تكون باتجاه الشرق.

ب) متوسط السرعة المتجهة

  

وبما أنها موجبه فهي أيضاً في اتجاه الشرق.

ج) في الفترة الزمنية الثانية كانت

       ( 20 – 40 )m = -20m                                     =  xΔ = التغير في المسافة

t = 4s                                                                         Δ = التغير في الزمن

و بما أنها سالبه تكون باتجاه الغرب.

د) المسافة الكلية التي يقطعها الجسم

 = d = 40m + 20m + 60m = 120m                                                المسافة

ه) معدل سرعته القياسية

و تختلف عن متوسط سرعة الجسم المتجهة و التي مقدارها 4 m/s.

3-7    الحركة الخطية بعجله منتظمة Linear motion with constant acceleration

عندما يتحرك جسم ما بسرعة متزايدة أو متناقصة بمعدل ثابت فإن حركته تكون بعجله منتظمة a تعرف بأنها السرعة بالنسبة للزمن.

دعنا نفترض أن جسماً ما يسير بسرعة v1 = v0 عند بداية الحركة t1=0 و بعد زمن معين t2 = t أصبحت سرعته  v2 = v فإن التسارع (عجلة الجسم)

                          

وتتلخص قوانين الحركة الخطية ذات العجلة المنتظمة فيما يأتي:

أولاً: إذا كان الجسم يتحرك بسرعة ابتدائية v0 وبعجلة منتظمة a ، فمن المعادلة (3-9) تكون سرعته v عند الزمن t هي

ثانياً: إذا كانت المسافة التي يقطعها الجسم خلال الزمن t هي x فإن:

وهذه العلاقة تربط بين المتغيرات الثلاث t و a و  x

ثالثاً : من تعريف العجلة

إذا عوضنا في العلاقة (3-11) عن قيمه t نحصل على:

مثال (3-2)

يتحرك جسم من السكون بتسارع منتظم 5 m/s2 . جد سرعته بعد مضي ثلاث ثوان على حركته.

الحل:

v0 = 0   , t = 3 s   , a = 5 m/s2

v = v0 + at

v = 0 + (5) (3) = 15 m/s

مثال (3-3)

تتسارع طائرة بدءا من السكون إلى أن تصل سرعتها إلى 360 Km/hr وهي السرعة اللازمة للإقلاع . جد التسارع اللازم لذلك إذا كان طول المدرج 1200 m .

الحل:

v0 = 0   ,   v = 360 Km/hr = 360 × 103 / 60 × 60 = 100 m/s

  x = 1200 m

v2 = v02 + 2ax

(100)2 = 0 + 2 (a) (1200)  10000 = 2400 (a)

a = 10000 / 2400 = 4.16 m/s2

مثال (3-4)

تتحرك سيارة من السكون على خط مستقيم بتسارع منتظم مقداره 2.5 m/s2 . جد

أ‌)       الزمن اللازم حتى تقطع مسافة 50 m .

ب‌)     سرعتها في نهاية هذه الفترة.

الحل:

v0 = 0   ,   a = 2.5 m/s2   ,   x = 50 m

v2 = v02 + 2ax

     أ)

x = v0t + 1/2 at2  50 = (0) (t) + 1/2 (2.5) t2

 50 = (2.5 / 2) t2 = 1.25 t2

t2 = 50 / 1.25 = 40

 t = (40)½ = 6.32 s

   ب)

v = v0 + at  v = 0 + (2.5) (6.32) = 15.8 m/s.

مثال (3-5)

كانت حافلة تسير على خط مستقيم بسرعة 45 km/hr ، عندما شاهد سائقها حائطا أمامه استعمل الفرملة لإيقاف الحافلة ، ولكنه اصطدم بالحائط بعد أربع ثوان من بداية استعمال الفرملة. فإذا كان الحائط على بعد 40 m من مقدمة الحافلة جد:

أ‌)       تسارع (تباطؤ) السيارة قبل التصادم.

ب‌)     سرعة السيارة لحظة التصادم.

الحل:

أ‌)       لدينا المعلومات التالية

t = 4 sec

v0 = 45 km/hr = 45 (1000 m / 60 × 60 sec) = 12.5 m/s

x = 40 m

x = v0t + 1/2 at2

40 = (12.5) (4) + (1/2) a (4)2

a = – 1.5 m/s2

نلاحظ ظهور إشارة سالب وهذا يعني أن تسارع السيارة كان بالاتجاه المعاكس لحركتها (تباطؤ).

ب‌)     أصبحت لدينا جميع المتغيرات معلومة ما عدا السرعة النهائية لحظة التصادم ، وبالتالي:

v = v0 + at  v = 12.5 + (–1.25) (4) = 7.5 m/s.

3-8    قوانين نيوتن للحركة Newton's law of motion

وضع نيوتن ثلاثة قوانين أساسية للحركة هي :

القانون الأول:

يظل الجسم الساكن في حالة سكون ما لم تؤثر عليه قوة تغير من حالته . و كذلك الجسم المتحرك بسرعة منتظمة في خط مستقيم يظل على حركنه ما لم تؤثر عليه قوى تغير من حالته .

و يوضح هذا القانون خاصية القصور للأجسام . فالجسم الساكن يقاوم أي تغير في حالة سكونه و كذلك الجسم المتحرك بسرعة منتظمة يقاوم أي تغير في حالة حركته. وهذا هو ما يعرف بالقصور الذاتي للأجسام.

القانون الثاني:

إذا أثرنا بقوة F على جسم ما فإنها تحدث أو تحاول أن تحدث تغيراً في حالة الجسم عن حالة سكونه أو حركته الخطية بسرعة منتظمة. وعندما تتغير حالة الجسم تحدث عجلة تسارع a يكون اتجاهها في نفس اتجاه القوة المؤثرة.

و قد وجد نيوتن أن النسبة بين القوة المؤثرة إلى العجلة الناتجة تكون دائماً ثابتة للجسم الواحد و تساوي كمية المادة بداخله أي كتلته.

إذا كان زمن تأثير القوة هو t و كان مقدار التغير في سرعة الجسم في تلك الفترة هو Δv  فمن تعريف العجلة

  معادلة القوة (3-13) تكون

F . Δt = m Δv = m (v2 – v1 ) = mv2 – mv1

حيث v2 , v1 هما سرعتا الجسم عند البدء وعند الانتهاء من تأثير القوة أو على طرفي الفترة الزمنية .Δt

الكمية mv تعرف بكمية الحركة ويرمز لها بالرمز P وتقاس بوحدة Kg.m/sec وتعطى حسب العلاقة

ولما كان حاصل ضرب القوة × الزمن يساوي دفع القوة (Impulse)

حيث I هي الدفع ، فإنه يمكن بذلك كتابة القانون التالي:

بمعنى أن التغير في كمية حركة جسم يساوي دفع القوة المؤثرة والمسببة لهدا التغير، ووحدة قياس الدفع هي نفس وحدة قياس كمية التحرك (Kg.m/sec).

مثال (3-6)

سيارة كتلتها 1500 kg تصطدم بجدار كما هو موضح بالشكل (3-2). السرعة الابتدائية للسيارة vi = 4.5 m/s باتجاه اليسار والسرعة النهائية vf = 2.6 m/s باتجاه اليمين.

أ‌)       جد الدفع الناشيء عن التصادم.

ب‌)     إذا كان متوسط القوة المبذولة على السيارة هي F = 1.76 × 105 N جد زمن التصادم Δt.

الحل:

أ‌)       نعتبر أن الاتجاه الموجب هو الاتجاه إلى اليمين والسالب إلى اليسار.

I = ΔP = P2 – P1 = mv2 – mv1

I = m (v2 –v1) = 1500 {2.6 – (– 4.5)}

I = 1500 {2.6 + 4.5} = 1.07 × 104 kg . m/s

ب‌)    

I = F . Δt

Δt = I / F = 1.07 × 104 / 1.76 × 105

Δt = 60.5 × 10-3 sec

الكتلة والوزن   Mass & Weight

الكتلة: هي مقدار ما يحتويه الجسم من مادة.

الوزن: هو قوة جذب الأرض للجسم.

فإذا كانت كتلة الجسم هي m وعجلة الجاذبية الأرضية هي g فإن وزن الجسم W يُعطى حسب العلاقة التالية:

ويلاحظ هنا أن وزن الجسم كمية متجهة أما كتلة الجسم فهي كمية غير متجهة.

القانون الثالث:

إذا أثر جسم بقوة ما على جسم آخر فإن هذا الجسم الثاني يؤثر بقوة مساوية في المقدار و مضادة في الاتجاه للقوة الأولى . أي أن لكل فعل رد فعل مساوٍ له في المقدار و مضاد له في الاتجاه.

3-9    قانون بقاء كمية الحركة Law of conservation of momentum

إذا تصادم جسمان تتغير كمية حركة كلٍ منهما و لذلك يؤثر كلٍ منهما بقوة على الآخر. إذا لم يؤثر على أيٍ منهما أثناء التصادم قوى خارجية ، أي أنهما يكونان مجموعه معزولة فإن كمية الحركة الكلية للجسمين قبل التصادم تساوي تماماً كمية الحركة للجسمين بعد التصادم و يسمى هذا القانون بقانون بقاء كمية الحركة.

و يمكن إثباته رياضياً باعتبار تصادم كرتين كتلتيهما  m1، m2 تتحركان بسرعتين ابتدائيتين v1 ، v2 على الترتيب.  عندما تتصادم الكرتان تؤثر الكرة الأولى على الثانية بقوة F2 وتؤثر الثانية على الأولى بقوة F1 بحيث F1 = -F2 . وذلك حسب قانون نيوتن الثالث. وإذا كان زمن التصادم هو Δt وتغيرت سرعتي الكرتين بعد التصادم إلى v1' ، v2' فبتطبيق قانون نيوتن الثاني على كل من الكرتين نجد أن:

F1 = m1 (v1' – v1) / Δt

F2 = m2 (v2' – v2) / Δt

وحيث أن

F1 = -F2

m1 (v1' – v1) / Δt = – m2 (v2' – v2) / Δt

        

وهذا يثبت عدم تعير كمية الحركة الكلية قبل وبعد التصادم وهذا ما يُعرف بقانون بقاء كمية الحركة.

أما إذا التحم الجسمين المتصادمين ليُكونا جسما واحدا بعد التصادم سرعته v' فإن

v1' = v2' = v'

 وعليه فإن قانون بقاء كمية الحركة يكتب على الصورة التالية:

 

مثال (3-7)

أطلقت رصاصه كتلتها 2gm على كتله خشبية كتلتها 600gm معلقه بخيط خفيف فإذا كانت سرعة الرصاصة 28000 cm/s أوجد السرعة التي تكتسبها كتلة الخشب علماً بأن الرصاصة استقرت في الخشب.

الحل: 

يلاحظ أن السرعة الابتدائية لكتلة الخشب v2 = 0 

والسرعة النهائية للرصاصة v1'  هي نفس السرعة النهائية لكتلة الخشب v2' حيث أنهما أصبحتا جسماً واحداً وعليه يمكن كتابة

m1 v1 + m2 v2 = (m1+ m2) v'

2 (28000) + 0 = (2 + 600) v'

v' = 56000 / 602 = 93.3 cm/sec 

3-10  الشغل والطاقة Work and energy

تُحدث القوة شغلاً على جسم ما إذا غيرت من موضع هذا الجسم . و تعريف الشغل هو حاصل ضرب الإزاحة التي يتحركها الجسم في مركبة القوة باتجاه الإزاحة. فمثلاً إذا أثرت قوة F في الاتجاه من الموضع A إلى الموضع B  ، ثم تحرك الجسم مسافة d في هذا الاتجاه كما بالشكل (3-3) يكون الشغل المبذول هو

أما إذا كان اتجاه القوة F بالاتجاه من A إلى C فإن الشغل المبذول يكون

W = (F cos θ) d

حيث مقدار الإزاحة التي تحركتها الكتلة هي d و(F cos θ) هي مركبة القوة F في اتجاه الإزاحة d. يتضح من القانون السابق أن الشغل يكون موجبا إذا كانت القوة باتجاه الإزاحة لأن (cos 0 = 1)، ويكون سالبا إذا كانت القوة معاكسة لاتجاه الإزاحة لأن (cos 1800 = -1).

وحدة قياس الشغل هي داين.سم (إرج erg) أو نيوتن.متر (جول joule) وهو وحدة كبيرة حيث

1 جول = 710 ( داين.سم ) = 710 إرج.     

ومن الملاحظ دائماً أنه كلما بذل شغل في مجموعه معزولة من الأجسام التي تؤثر عليها قوى يحدث تغيرات في الطاقة الداخلية لها . فمثلاً الشغل المبذول لرفع جسم ما يزيد من الطاقة الكامنة فيه بفضل موضعه وتسمى هذه الطاقة بطاقة الوضع ويرمز لها بالرمز U كما بالشكل (3-4).  أيضاً الشغل المبذول في التغلب على قوى الاحتكاك يرفع من الطاقة الحرارية للجسم . وهكذا... نستخلص القانون الآتي:

قانون الشغل والطاقة

" التغير في طاقة وضع جسم أو مجموعة أجسام معزولة يساوي تماماً مقدار الشغل المبذول عليها "

الشغل المبذول = التغير في طاقة الجسم

W = – ΔU

الإشارة السالبة للشغل تعني أنه حصل فقد لطاقة حركة الجسم، فمثلا إذا قذف جسم لأعلى فإن طاقة حركته ستقل وتتحول إلى طاقة وضع ( انظر الشكل 3-4).

مثال (3-8)

جسم كتلته 2Kg يتحرك تحت تأثير قوة (F=20N) تصنع زاوية مقدارها 370 كما بالشكل (3-5). فإذا تحرك الجسم مسافة مقدارها (d=4m) على سطح أملس، احسب الشغل المبذول بواسطة القوة F.

الحل: 

حيث أن القوة تصنع مع الإزاحة زاوية  θفسنستخدم العلاقة

W = F d cos θ

بالتعويض نجد أن

W = (20) (4) (cos 370) = 63.9 J

مثال (3-9)

قذفت كرة كتلتها 2Kg إلى أعلى مسافة مقدارها (d=4m). احسب الشغل المبذول بواسطة قوة الجاذبية الأرضية.

الحل: 

حيث أن الجسم قذف إلى أعلى فإن الإزاحة تكون إلى أعلى في حين أن القوة المؤثرة على الجسم وهي قوة الجاذبية الأرضية إلى أسفل، أي أن القوة تصنع مع الإزاحة زاوية مقدارها 1800.

W = F d cos θ

بالتعويض نجد أن

W = (20) (4) (cos 1800) = – 80 J

الإشارة السالبة تعني أنه قد حصل فقد لطاقة حركة الكرة.

ملاحظة/ لو أن الجسم سقط من أعلى إلى أسفل بنفس المسافة d فإن الشغل المبذول بواسطة الجاذبية سيكون موجبا وقيمته 80J والإشارة الموجبة تعني أن هناك زيادة في طاقة الحركة.

3-11  طاقة الوضع وطاقة الحركة Potential and kinetic energy

عند قذف جسم كتلته m إلى أعلى فإن القوة المؤثرة عليه تساوي وزن الجسم أي أن:

F = mg

حيث g عجلة الجاذبية الأرضية، وحسب قانون الشغل والطاقة تكون الزيادة في طاقة الجسم – عند رفعه مسافة رأسية y – مساوية للشغل الذي تبذله القوة، أي أن:

ΔU = – W = – (– Fy) = mgy

حيث (ΔU = Uf – Ui) هي التغير في طاقة الوضع. وإذا اعتبرنا أن الجسم بدأ بطاقة وضع ابتدائية (Ui = 0) وانتهى عند طاقة وضع نهائية (Uf = U) فإن

هذه الزيادة في طاقة الوضع للجسم هي التي اكتسبها برفعه المسافة العمودية y، ومن الجدير بالذكر هنا أن الزيادة في طاقة الوضع هذه لا تتوقف على المسار الذي يتحرك فيه الجسم عند رفعه.

عندما يتحرك جسم ما فإنه يكتسب طاقة بفضل تلك الحركة ويمكن إيجاد مقدار هذه الطاقة باستخدام قانون الحركة الخطية تحت تأثير عجلة الجاذبية الأرضية g:

v2 = v02 – 2ax

فعندما تؤثر قوةعلى جسم متحرك بحيث تغير سرعته من v0 إلى v فإنها تبذل شغلا يمكن حسابه من المعادلة السابقة كما يلي:

حيث تم استبدال التسارع a بعجلة الجاذبية g والمسافة x بالمسافة الرأسية y، وبضرب طرفي المعادلة (3-21) في الكتلة m نحصل على:

الكمية   تعرف بطاقة حركة الجسم ويرمز لها بالرمز K، أي أن:

وعليه فإن

الكمية W هي الشغل الذي بذلته القوة ويساوي طاقة حركة الجسم النهائية مطروحا منها طاقة حركته الابتدائية وتعرف طاقة حركة الجسم بنصف حاصل ضرب كتلة الجسم في مربع سرعته.

مثال (3-10)

سقطت كرة كتلنها 1Kg من السكون من ارتفاع 1m عند النقطة A فوصلت النقطة B - والتي تقع على ارتفاع 0.5m من سطح الأرض - بسرعة مقدارها 3.13m/s كما بالشكل (3-6). احسب كل من

أ‌)       طاقة الوضع وطاقة الحركة عند النقطة A.

ب‌)     طاقة الوضع وطاقة الحركة عند النقطة B.

ت‌)     طاقة الوضع وطاقة الحركة عند وصول الكرة إلى سطح الأرض.

الحل: 

أ‌)       عند النقطة A تكون الكرة على ارتفاع y=1m لذلك فإن طاقة وضعها تساوي

UA = mgy = (1) (9.8) (1) = 9.8 J

أما طاقة حركتها عند A فتساوي صفرا (KA=0) لأنها بدأت حركتها من السكون (vA=0).

ب‌)     طاقة الوضع عند النقطة B

 UB = mgy = (1) (9.8) (0.5) = 4.9 J

      طاقة الحركة عند النقطة B تساوي

KB = (1/2) m v2

KB = (1/2) (1) (3.13)2 = 4.9 J

ت‌)     طاقة الوضع عند سطح الأرض تساوي صفرا (U=0) لأن y=0.

لحساب طاقة حركتها عند سطح الأرض يجب حساب سرعتها أولا لحظة وصولها للأرض وذلك باستخدام معادلات الحركة في خط مستقيم.

v2 = v02 + 2ay

v2 = (0)2 + 2 (9.8) (1) = 19.6 m2/s2

K = (1/2) m v2 = (1/2) (1) (19.6) = 9.8 J

3-12  قانون بقاء الطاقة Law of conservation of energy

يعتبر قانون بقاء الطاقة من القوانين الهامة جدا في الفيزياء وينص على أن الطاقة لا تفنى ولا تستحدث من عدم ويمكن أن تأخذ صورة أخرى، أي تتحول من نوع إلى آخر. فمثلا إذا سقط جسم من حالة السكون في مجال الجاذبية الأرضية فإنه يكتسب طاقة حركة تساوي تماما ما يفقده من طاقة وضع.

يمكن استنتاج قانون بقاء الطاقة من العلاقة السابقة حيث أن

Kf – Ki = W = – ΔU = – (Uf – Ui) = – Uf + Ui

أو أن

وبصورة أخرى

حيث أن الكمية

تسمى بالطاقة الميكانيكة وهي عبارة عن حاصل جمع طاقة الحركة وطاقة الوضع.

وأنواع الطاقة كثيرة، فبالإضافة إلى الطاقة الميكانيكية التي تشتمل طاقة الحركة وطاقة الوضع يوجد الطاقة الحرارية والكهربائية والمغناطيسية والطاقة الضوئية.

مثال (3-11)

جسم صغير كتلته m=2Kg أسقط من ارتفاع h=10m فوق سطح الأرض كما بالشكل (3-7). مستخدما مبدأ حفظ الطاقة احسب ما يلي:

أ‌)       سرعة الجسم على ارتفاع y=4m من سطح الأرض.

ب‌)     سرعة الجسم لحظة وصوله لسطح الأرض. 

الحل: 

أ‌)       باستخدام مبدأ حفظ الطاقة بين النقطتين A و B نحصل على

KA+ UA = KB + UB

0 + mgh = (1/2) m vB2 + mgy

2g (h – y) = vB2

vB2 = (2) (9.8) (10 – 4) = 117.6

vB = 10.8 m/s

ب‌)     باستخدام مبدأ حفظ الطاقة بين النقطتين A و C نحصل على

KA+ UA = KC + UC

0 + mgh = (1/2) m vC2 + 0

2g h = vC2

vC2 = (2) (9.8) (10 ) = 196

vC = 14 m/s.

3-13  الحركة الدائرية المنتظمة Uniform circular motion

إذا تحرك جسم على مسار دائري نقول بأن حركته دائرية. مثال ذلك حركة جسم مربوط في خيط ويدور حول حامله، وحركة سيارة على منعطف دائري، كذلك يمكن اعتبار حركة الأرض حول الشمس دائرية تقريبا.

إذا اعتبرنا حركة نقطة مادية بسرعة منتظمة v على محيط دائرة نصف قطرها r كما بالشكل (3-8) فإن اتجاه سرعتها يكون دائما باتجاه المماس للدائرة. إذا انتقلت النقطة المادية من الموضع A إلى الموضع B في زمن قدره Δt فإن قوس الدائرة يصنع زاوية Δ عند المركز O.

السرعة الزاوية للحركة: تعرّف السرعة الزاوية  بالمعادلة التالية

 = Δ / Δt

وعندما تكون Δt صغيرة جدا فإن قيمة  تصبح السرعة الزاوية اللحظية للنقطة المتحركة حول المركز O ووحدتها زاوية نصف قطرية لكل ثانية (rad/sec).

السرعة المماسية للحركة: هي السرعة الخطية لنقطة متحركة على مسار دائري عند أي موضع ويكون اتجاهها باتجاه المماس ويرمز لها بالرمز v (انظر الشكل 3-8) ووحدتها هي m/s.

العلاقة التي تربط بين السرعتين الزاوية والمماسية هي:

حيث r هو نصف قطر الدوران.

إذا كان T هو الزمن الدوري (أي زمن الدورة الكاملة) فإن:

حيث n هو التردد (أي عدد الدورات خلال الثانية الواحدة) ويعطى حسب العلاقة

من المعادلتين (3-25) و (3-26) نجد أن: 

أي أن السرعة = محيط الدائرة / الزمن الدوري.

وحيث أن السرعة v في الحركة الدائرية تكون متغيرة الاتجاه باستمرار، فإن هذا التغير في الاتجاه يتسبب في تسارع الجسم باتجاه المركز ويسمى التسارع هنا بالتسارع المركزي ويرمز له بالرمز ar ويعطى حسب العلاقة التالية:

مثال (3-11)

يدور القمر حول الأرض بمسار دائري نصف قطره 3.85×105Km ويكمل دورة كاملة خلال 27.3 يوم. احسب

أ‌)       التسارع المركزي للقمر باتجاه الأرض.

ب‌)     سرعته الزاوية.

الحل: 

أ) زمن الدورة الواحد (الزمن الدوري) يساوي

T = 27.3 × 24 × 60 × 60 = 2.36 × 106 sec

يمكن حساب سرعة القمر كالتالي

v = 2  r / T

v = 2  (3.85 × 105 × 103) / 2.36 × 106 =1026 m/s

من هنا نجد أن التسارع المركزي يساوي

ar = v2 / r = (1026)2 / 3.85 × 108 = 2073 × 10–3

ب) السرعة الزاوية تعطى حسب العلاقة

 = 2  / T = 2  / 2.36 × 106

 = 2.6 × 10–6 rad/sec

ويمكن استخدام العلاقة

 = v / r = 1026 / 3.85 × 108 = 2.6 × 10–6 rad/sec

مسائل على الفصل الثالث

1- إذا كنت تقود سيارة بسرعة 100km/hr ونظرت جانبا لمدة ثانيتين، ما هي المسافة التي تقطعها السيارة خلال هذه الفترة.

2-  يتحرك جسم على خط مستقيم بسرعة 10m/s مسافة 200m ثم بسرعة 20m/s مسافة 140m في نفس الاتجاه.

أ) جد متوسط سرعة الجسم المتجهة خلال هذه الرحلة.

ب) احسب متوسط سرعته القياسية أيضا.

3-  يتحرك جسم على خط مستقيم بسرعة 10m/s مسافة 200m ثم بسرعة 20m/s مسافة 140m في الاتجاه المعاكس. جد متوسط سرعة الجسم المتجهة خلال هذه الرحلة ثم احسب متوسط سرعته القياسية أيضا.

4- تسير عربة على منحدر بسرعة 10m/s وتعود إلى حيث بدأت بسرعة 2m/s . جد متوسط السرعة المتجهة خلال الرحلة بأكملها.

5- سيارة تبدأ حركتها من السكون بتسارع منتظم، وبعد مضي 12 ثانية أصبحت سرعتها 120m/s . احسب:

أ) تسارع السيارة.

ب) المسافة المقطوعة خلال هذه الفترة.

6- جسم كان يتحرك بسرعة ثابتة قيمتها 6.4m/s . إذا تسارع الجسم بعجلة منتظمة مقدارها 3.5m/s2  لمدة 2.8sec فما هي سرعته النهائية بعد هذه الفترة.

7- قطار يتحرك بتسارع منتظم فقطع مسافة 60m خلال 6 ثواني، إذا كانت سرعته النهائية بانتهاء هذه الفترة هي 15m/s فاحسب ما يلي:

أ) تسارع القطار.

ب) سرعته الابتدائية.

8- احسب قيمة القوة المؤثرة على سيارة كتلتها 1800kg وتسارعها 8m/s2 .

9- أثرت قوة قيمتها 50N على جسم كتلته 5kg . ما هي العجلة التي ستحرك بها الجسم؟

10- احسب كمية تحرك جسم كتلته 3kg وسرعته 5m/s .

11- كرة كتلتها 1kg اصطدمت رأسيا بسطح الأرض بسرعة 20m/s . إذا ارتدت الكرة لأعلى بسرعة 8m/s ، احسب :

أ) كمية تحرك الكرة قبل اصطدامها بالأرض.

ب) التغير في كمية تحرك الكرة.

ج) الدفع الناشئ على الكرة خلال تلامسها بالأرض.

د ) إذا كان زمن التلامس بالأرض هو 0.02sec فما هي متوسط القوة المبذولة على الكرة؟

12- سيارة كتلتها 1500kg تسير بسرعة 30m/s اصطدمت بشاحنة كتلتها 800kg تسير بسرعة 20m/s في نفس الاتجاه. إذا تحركت السيارة والشاحنة معا كجسم واحد

أ)  احسب السرعة النهائية لهما.

ب) هل كمية التحرك محفوظة قبل التصادم وبعده؟ وضح ذلك بالحساب.

13- أثرت قوة أفقية قيمتها 3N على كتلة خشبية فأزاحتها مسافة 10m أفقيا. احسب مقدار الشغل المبذول على الكتلة.

14-   جسم كتلته 2Kg يتحرك تحت تأثير قوة (F=20N) تصنع زاوية مقدارها 370 كما بالشكل (3-5). فإذا تحرك الجسم مسافة مقدارها (d=4m) على سطح أملس، احسب الشغل المبذول بواسطة القوة F.

15- جسم كتلته 2kg يسقط من ارتفاع 5m تحت تأثير قوة الجاذبية الأرضية، احسب الشغل الناتج عن تأثير وزنه.

16- قذفت كرة إلى أعلى بسرعة ابتدائية 10m/s ، فإذا تباطأت الكرة بعجلة تقصيرية a= -10m/s2 احسب

أ) أقصى ارتفاع تصل إليه الكرة.

ب) إذا كانت كتلتة الكرة 0.5kg فاحسب الطاقة الميكانيكية للكرة لحظة انطلاقها وكذلك عند وصولها أقصى ارتفاع. فسر النتائج التي حصلت عليها تفسيرا فيزيائيا.

17- يتحرك جسيم في مسار دائري بسرعة ثابتة مقدارها 6m/s ، إذا كان قطر المسار الدائري يساوي 3m ، احسب تسارع الجسيم.

18- يتحرك جسيم بسرعة ثابتة في مسار دائري نصف قطره 0.6m ، إذا كان الجسيم يعمل 6 دورات في الثانية الواحدة احسب

أ) السرعة الزاوية للجسيم.

ب) سرعته الخطية.

ج) تسارع الجسيم.