Caractéristiques de tendance centrale et de position

Caractéristiques de tendance centrale et de position

Les caractéristiques de tendance centrale essayent de donner la valeur la plus représentative d'un ensemble de valeurs numériques.

A- Mode :

C'est la valeur observée d'effectif maximum.

Variable discrète: classer les données par ordre croissant. Celle d'effectif maximum donne le mode.

Il est fortement conseillé d'utiliser le diagramme en bâtons pour déterminer le mode. En effet, deux valeurs consécutives xi , xi+1 peuvent avoir le même effectif maximum; on parlera

d'intervalle modal [xi , xi+1]. Il peut aussi y avoir un mélange de deux populations qui conduit à un diagramme en bâtons où apparaissent deux bosses; on considérera deux modes.

Il est déconseillé, sauf raison explicite, d'envisager plus de deux modes.

Variable classée: la classe modale correspond à la classe ayant l'effectif maximum.

Il est fortement conseillé d'utiliser l'histogramme pour déterminer le mode. Comme pour le cas discret, on peut avoir deux classes modales. Toutes les valeurs de la classe pouvant à priori se

réaliser, on ne se contentera pas de déterminer la classe modale. Une des valeurs de cette classe sera le mode.

Certains auteurs préconisent par simplicité de prendre le centre de la classe modale. Il est préférable cependant de tenir compte des classes adjacentes

B- Médiane :

Les valeurs étant rangées par ordre croissant, c'est la valeur de la variable qui sépare les observations en deux groupes d'effectifs égaux.

Variable discrète: la détermination peut s'obtenir à partir du tableau statistique en recherchant la valeur de la variable correspondant à une fonction cumulée égale à n/2 (effectif

cumulé) ou ½ (fréquence cumulée). Il est encore plus facile de lire sur les graphiques cumulatifs les abscisses des points d'ordonnée n/2 (effectif cumulé) ou ½ (fréquence

cumulée). Si tout un intervalle a pour image n/2 ( ½ pour la fréquence), on parlera d'intervalle médian (on peut prendre le milieu de l'intervalle comme médiane)

Variable classée: l'abscisse du point d'ordonnée n/2 ( ½ pour la fréquence)se situe en général

à l'intérieur d'une classe.

Pour obtenir une valeur plus précise de la médiane, on procède à une interpolation linéaire. La valeur de la médiane peut être lue sur le graphique ou calculée analytiquement.

C- Moyenne arithmétique :

Si xi sont les observations d'une variable discrète ou les centres de classe d'une variable classée,

La moyenne arithmétique est un paramètre de tendance centrale plus utilisé que les autres de par ses propriétés algébriques:

a) Pour plusieurs populations d'effectifs n1, n2, ....., nk, de moyennes respectives

moyenne globale = moyenne des moyennes

b) La moyenne arithmétique conserve les changements d'échelle et d'origine

D- Moyenne géométrique :

Si xi sont les observations d'une variable quantitative, la moyenne géométrique est égale à

Ce type de moyenne est surtout utilisé pour calculer des pourcentages moyens.

r étant un taux d'accroissement, 1+r est appelé coefficient multiplicateur; et le coefficient

multiplicateur moyen est alors égal à la moyenne géométrique des coefficients

multiplicateurs.

E- Moyenne harmonique :

Si xi sont les observations d'une variable quantitative, la moyenne harmonique est égale à Il n'est pas évident d'utiliser ce type de moyenne.

Elle intervient lorsqu'on demande une moyenne de valeurs se présentant sous forme de quotient de deux variables x/y (km/h, km/litre,...). Attention, il faut cependant bien décortiquer le problème car il peut aussi s'agir d'une moyenne arithmétique.

F- Moyenne quadratique :

Si xi sont les observations d'une variable quantitative, la moyenne harmonique est égale à Résumé de Théorie et

Guide des travaux pratiques

Statistiques

G- Quantiles :

Ce sont des caractéristiques de position.

Il y a 1 médiane Me qui sépare les observations en 2 groupes d'effectifs égaux 3 quartiles Q1, Q2, Q3 qui séparent les observations en 4 groupes d'effectifs égaux 9 déciles D1, D2, ..., D9 qui séparent les observations en 10 groupes d'effectifs égaux

99 centiles C1, C2, ..., C99 qui séparent les observations en 100 groupes d'effectifs égaux

La détermination de ces caractéristiques est identique à celle de la médiane.

Les quartiles sont obtenus lorsqu'on a cumulé 25, 50, 75% de la population

Les déciles sont obtenus lorsqu'on a cumulé 10, 20,...., 90% de la population

Les centiles sont obtenus lorsqu'on a cumulé 1, 2,...., 99% de la population

Remarque: la notion de déciles et de centiles n'a de sens que s'il y a beaucoup d'observations

et donc essentiellement pour une variable classée.