الاسطوانة والمخروط
أولاً الاسطوانة الدائرية القائمة :
تعريف :- هي الجسم الذي يتولد من دوران مستطيل
دوره كاملة حول أحد أضلاعه .
ملاحظات هامة
1- إذا قطعت الاسطوانة الدائرية القائمة بمستو يوازي القاعدة فالمقطع
الناتج هو قرص دائري
مساحته تساوي مساحة القاعدة .
1- إذا
قطعت الاسطوانة الدائرية القائمة بمستو يحتوي محورها فالمقطع الناتج هو مستطيل
مساحته (2رع ) حيث ر نصف قطر الاسطوانة ،
ع ارتفاعها .
ثانياً : المخروط :-
تعريفه
: هو جسم له قاعدة عبارة عن سطح مستو دائري وسطحه الجانبي أملس غير مستو
والمخروط الدائري القائم :- يتولد من دوران
مثلث قائم الزاوية دورة كاملة حول أحد ضلعي القائمة . أو من دوران مثلث متساوى
الساقين دورة كاملة حول ارتفاعه
ملاحظات هامة :-
1-إذا قطع المخروط الدائري القائم بمقطع يوازي
القاعدة فالمقطع الناتج هو قرص دائري تتحدد مساحته من العلاقة : مساحة المقطع
= ( ع – عَ )2
حيث عَ هي البعد بين المقطع والقاعدة ( ارتفاع
المخروط الدائري القائم الناقص )
1 – إذا قطع المخروط الدائري القائم بمستو
يحتوي المحور فالمقطع الناتج هو مثلث متطابق الضلعين مساحته تساوي ½ ر ع
ملخص قوانين الاسطوانة والمخروط
المجسم المساحة
الجانبية المساحة الكلية الحجم
الاسطوانة الدائري القائمة محيط القاعدة × الارتفاع = 2 ط ر ع المساحة الجانبية + مجموع مساحتي
القاعدتين 2 ط ر ع + ط ر2 مساحة القاعدة × الارتفاع = ط ر2 × ع
المخروط الدائري القائم
½ محيط القاعدة × طول الراسم = ط ر ل المساحة الجانبية + مساحة القاعدة = ط رع + ط
ر2 1 مساحة القاعدة × الارتفاع =1 ط ر2 ع
المخروط الدائري القائم الناقص ½
مجموع محيطي القاعدتين × طول الراسم ط (ر1+ر2 )ل حيث ر1،ر2 نصف قطري
قاعدتيه ع ارتفاعه ل طول راسمه المساحة
الجانبية + مساحة القاعدتين 1 ط ع ( 2ر1 + 2ر2 +ر1ر2 )
2
249
1 –
طول أنبوبة معدنية على هيئة اسطوانة دائرية قائمة أ م . إذا كان قطرها الخارجي 40
سم و الداخلي 30 سم. فما حجم المعدن ؟
الحل :- حجم المعدن = حجم الاسطوانة الخارجية –
حجم الاسطوانة الداخلية
= ط ر2 ع – ط ر2 ع
= ط ( 20 ) × 100 – ط (
15 )2 × 100
= ط × 400 × 100 – ط ×
225 × 100
= 40000 ط – 22500
ط = 17500 ط سم3
4
249
2 – قطعت اسطوانة دائرية قائمة ارتفاعها 38سم
بمستو يمر بمحورها م ن فكانت مساحة المقطع الناتج 532سم2 . أحسب حجم الاسطوانة
ومساحة سطحها الجانبي ( ط = 22 ) ؟
الحل :- المقطع الناتج هو مستطيل مساحته 2 ر ع
⇐2 × 38ر =
532 ⇐
76ر = 532 ⇐ ر =
532 = 7سم
حجم الاسطوانة = ط ر2 ع = 22 × 49 × 38 = 5852سم3
مساحة السطح الجانبي = 2 ط ر ع = ع × 22 × 7 ×
38 = 1672 سم2
5
249
أحسب نسبه حجمي الاسطوانتين الممكن تكوينها بطي
قطعة ورق مستطيلة أبعادها 20سم ، 30سم ما
هي النسبه لو كانت الأبعاد س سم ، ص سم ؟
الحل :- 1 – إذا كان محيط القاعدة ( الطول ) =
30 سم عندئذ الارتفاع = 20 سم
محيط القاعدة 2ط ر = 30 ⇐ ر =
30 = 15
سم
حجم
الاسطوانة = ط ر ع = ط 15 2 × 20 + ط × 225 × 20 = 4500 سم3
2 -
إذا كان المحيط ( العرض ) = 20 سم عندئذ
الارتفاع = 30سم
محيط القاعدة 2 ط ر = 20 ⇐ ر =
20 = 10 سم
حجم الاسطوانة = ط ر2 ع = ط × (10 )2 × 30 = ط × 100 × 30 = 3000 سم3
النسبه = 45 = 3
= ص
6
249
4 – في مخروط دائري قائم طول نصف قطر القاعدة
8سم وطول الراسم 17سم أحسب الحجم والمساحة
الكلية .
الحل : - من فيثاغورث
ع2 = 217 – 28
= 289 – 64
=
255 ⇐
ع
= 225 = 15
سم
حجم
المخروط الدائري القائم = 1 ط ر2 ع
= 1 ط × 64 × 15 = 320 ط سم3
المساحة الكلية = المساحة الجانبية + مساحة
القاعدة
= ط ر ل
+ ط ر2
= ط × 8 × 17 + ط × 64 = 136ط
+ 64ط = 200 ط سم2
7
249
5 – طوى قطاع دائري نصف قطر دائرته 15سم وقياس
زاويته المركزية 120ه ليصبح مخروطاً دائريا قائماً أحسب أولاً محيط قاعدة المخروط ثانياً : ارتفاع المخروط ثالثاً : حجم المخروط ؟
الحل :- طول القوس ل = هـ × نق نصف القطر
= 120 × ط × 15
= 10ط سم
طول القوس ل = 10 ط = محيط قاعدة المخروط اولاً
محيط قاعدة المخروط = 2 ط ر = 10 ط ر = 5سم
( نصف قطر قاعدة المخروط )
ع2 = 215 – 25
= 225 – 25 = 200
ع =
200 =10 سم
( ارتفاع المخروط ) ثانياً
حجم المخروط = 1 ط ر2 ع =1 ط × 25 ×10 =250 ط سم3
ثالثاً
8
250
6
- مخروط دائري مائل حجمه 770سم3
وقطر قاعدته 7سم إذا كان لبعده بين رأس المخروط ومركز القاعدة 120سم فأحسب قياس
الزاوية بين المحور والقاعدة ( ط = 22 )
الحل :- ع | م مَ | جاهـ
ع = 120 جاهـ
حجم المخروط = 1 ط ر2 ع
770 = 1
× 22 ( 7 )2 × 120 جاهـ
= 1 × 22 × 49 × 120 جاهـ = 1540 جاهـ
جاهـ = 770
= ½
هـ = 30ه وهي الزاوية بين المحور والقاعدة
10
250
7 –
الشكل المقابل يبين خيمة على هيئة اسطوانة دائرية قائمة يسقفها مخروط دائري قائم
إذا كان قطر الاسطوانة 7 أمتار وارتفاع الخيمة 5 أمتار وارتفاع المخروط 3 أمتار
فأحسب حجم الخيمة ومساحتها الجانبية ( ط = 22
) ؟
الحل :- حجم الخيمة = حجم المخروط+ حجمه
الاسطوانة
= 1 ط ر2 ع + ط ر2 ع
=
1 × 22 × 49 × 3 + 22 × 49 ×
م = 38.5
+ 77 =
115.5 م3
المساحة الجانبية للخيمة = المساحة الجانبية
للمخروط + المساحة الجانبية للاسطوانة
= ط ر ل + 2 ط ر ع
= 22 × 7 × 85 + 2
× 22 × 7 × 2 = 94.71 سم2
ل=2 23 + ( 7 )2= 9 + 49 = 36 + 49 = 85
ل =
85 سم
1416 / 1
1 – طوي قطاع دائري نصف قطر دائرته 15سم وقياس
زاويته المركزية 120ه ليصبح مخروطاً دائرياً قائما . أحسب : 1- محيط قاعدة المخروط 2 – حجم المخروط ؟
الحل :-
أنظر صــــ رقم 5
1416 / 2
2 – إذا كان طول قطر اسطوانة دائرية قائمة
يساوي 14سم وطول ارتفاعها يساوي ثلاثة أمثال طول
قطرها فما مساحتها الكلية ؟
الحل :-
2 ر = 14 ر = 7 سم
ع =
3 ( 2 ر ) = 6ر =
6 × 7 = 42
سم
المساحة الكلية = المساحة الجانبية + 2 × مساحة القاعدة
= 2 ط ر ع + 2 × ط ر2
= 2 × 22 × 7 × 42 +
2 × 22 × 49
= 1848 + 308
= 2156 سم2
1417 / 1
3 – أوجد حجم الجسم الناشئ من دوران المثلث أ ب
ج القائم الزاوية في ب حول [ ب ج ] دورة كاملة حيث | أ ب | = 8سم ، | ب ج | = 15سم
الحل
الجسم الناشئ من الدوران هو مخروط دائرى
قائم ارتفاعه
= | ب ج | = 15سم ونصف قطر قاعدته
= | أ
ب | = 8سم وبالتالي
حجمه = 1 ط ر2 ع
= 1 ط × 28 ×15
=
320 ط سم3
1418 / 1
4
– مخروط دائري قائم طول قطر قاعدته 32سم
وارتفاعه 30سم أوجد مساحته الكلية وحجمه ؟
الحل : ر = 16 سم ، ع = 30سم
ل2 = 230 + 216
= 900 + 256
= 1156 ل
= 1156 = 34سم
المساحة الكلية = المساحة الجانبية + مساحة
القاعدة
= ط ر ل + ط
ر2
= ط × 16 × 34 + ط × 216
= 544 ط + 256 ط = 800 ط سم2
#
حجم المخروط = 1 ط ر2 ع
= 1 ط × 216 × 30
=1 ط × 256 × 30
= 2560ط سم3 #
1419 / 1
3–
اسطوانة دائرية قائمة إذا
كانت النسبه بين مساحتها الجانبية وحجمها تساوي 1 : 10
فأوجد
1 – طول نصف قطر قاعدتها 2 – المساحة الكلية للاسطوانة عندما يكون
ارتفاعها 40سم
الحل :-
المساحة الجانبية = 2 ط ر ع = 2 =
1
ر =
20سم ( طول نصف قطر قاعدة الاسطوانة )
# 1
المساحة الكلية = المساحة الجانبية + 2 × مساحة
القاعدة
= 2 ط ر ع + 2
ط ر2
= 2 ط × 20 × 40 + 2 ط × 220
= 1600 ط + 800 ط
= 2400 ط سم2 #
2
1419 / 2
6 – أحسب حجم المخروط الدائري القائم الذي محيط
قاعدته 440 سم وارتفاعه 10 سم حيث (
ط = 22 )
الحل :-
محيط قاعدة المخروط = 2 ط ر = 440
ر = 440
= 440 = 7 × 440
= 70سم
حجم المخروط = 1 ط ر2 ع
= 1 × 22 × ( 70 )2 × 10
= 1 × 22 × 4900 × 10
= 51333.3 سم3
thank you
ReplyDeletePost a Comment