الهرم الهندسة

الهرم

تعريفه  : هو كثير وجوه أحد وجوهه مضلع ويقيه الوجوه مثلثات تلتقي في نقطه واحدة هي رأس الهرم

ملاحظات :

الهرم القائم هو هرم قاعدته مضلع منتظم خواصه

1 – جميع الأوجه الجانبية متطابقة .       2- ارتفاعه هو البعد بين رأسه ومركز قاعدته .

3 – ارتفاعات أوجهه الجانبية متساوية في الطول .

الهرم  الثلاثي يسمى رباعي وجوه  وإذا كانت حروفه متساوية في الطول سمى رباعي وجوه منتظم .

في رباعي الوجوه المنتظم : أوجهه الاربعه ( بما في ذلك القاعدة ) مثلثات متطابقة الأضلاع وجميعها متطابقة .

قوانين الهرم

المجسم المساحة الجانية         المساحة الكلية         الحجم

الهرم القائم

    ½ محيط القاعدة × الارتفاع الجانبي      المساحة الجانبية

+

مساحة القاعدة        1        مساحة القاعدة

×

 الارتفاع

الهرم الناقص

½ مجموع محيط القاعدتين × ارتفاع  الوجه الجانبية  المساحة الجانبية

+

مجموع مساحة القاعدتين      ح 1 عَ( ق1+ق2 + ق1 ق2 ) حيث عَ الارتفاع

ق1 ق2 مساحة القاعدتين

ملاحظات

إذا قطعت الاحرف الجانبية للهرم بمستو // قاعدته فإن الجزء المحصور يبين قاعدة الهرم والمستوي القاطع يسمى هرم ناقص متوازي القاعدتين

بحيث          ق1  = (ع – عَ )2

بحيث

 ق1  مساحة القاعدة الصغرى

ق2 مساحة القاعدة الكبرى

ع ارتفاع الهرم الكامل

عَ ارتفاع الناقص

1-    ما هي المساحة الكلية الرباعي وجوه منتظم طول حرف ل ؟

الحل :- مساحة الوجه الواحد  =  مساحة مثلث متطابق الأضلاع طول ضلعه ل

               =            ل2

المساحة الكلية = 4 × مساحة الوجه الواحد

                =  4 ×          ل2          =         ل2  سم 2

    2     

237

2 – هرم ثلاثي ارتفاعه 15سم وقاعدته مثلث أضلاعه 7سم ، 17سم ، 4      15

فما هو حجمه ؟

الحل :- 27 + ( 4    15  )2 = 49 + 140 = 289 = 217

القاعدة مثلث قائم

مساحة القاعدة  = ½ × 7 ×4   15 = 14   15 سم 2

حجم الهرم = 1 مساحة القاعدة × الارتفاع

   

= 1  × 14    15  × 15 = 70     15  سم 3

الحل :- مساحة القاعدة ( المعين ) = ½  حاصل ضرب طولي قطريه

                                     = ½ × 6 × 8 = 24سم 2

حجم الهرم = 1  مساحة القاعدة × الارتفاع

        

= 1   × 24 × 16 = 128 سم 3

   4

237   4 -   قطع هرم مساحة قاعدته 196سم2 بمستوي يوازي القاعدة ويبعد عنها مسافة10 سم إذا كانت مساحته المقطع الناتج 144سم 2 فأحسب ارتفاع الهرم وحجمه .

الحل :- ق1 : ( مساحة المقطع ) = 144    ،  ق2 : ( مساحة القاعدة ) = 196

    عَ : البعد بين المقطع والقاعدة = 10 ،     ع : ارتفاع الهرم = ؟

      ق1  =  (  ع  –  عَ  )      144   =  (  ع - 10 )2

بأخذ الجذر التربيعي للطرفين

12   =   ع – 10        14ع  - 140 = 12ع

2ع = 140     ع = 70سم

حجم الهرم = 1  مساحة القاعدة × الارتفاع

                   = 1 × 196 × 70 = 4573.3سم3

    5

237    5 – في هرم ثلاثي القاعدة مثلث متطابق الأضلاع طول ضلعه 12سم وطول كل من الأحرف الجانبية 8سم أحسب : أولاً  :  ارتفاع الهرم       ثانياً : حجمه       ثالثاً : مساحته الكلية

الحل :- في المثلث القائم ج ء ب :

من فيثاغورت | ج د | =     212 - 26

                          =      144 – 36  =    108    = 6      سم

مَ هي مركز القاعدة ( نقطة تلاقى متوسطات المثلث أ ب ج )

| ج مَ | =      | ج د | =    × 6       = 4      سم

في المثلث م مَ ج القائم : | م مَ | ( ارتفاع الهرم ) =     28 – ( 4    )2  =    64 - 48

حجم الهرم = 1 مساحة القاعد × الارتفاع           =    16    = 4سم    أولاً

      =     ×      × 144 × 4 = 48        سم3     ثانياً

| م ء | ( ارتفاع الوجه الجانبي ) =     28 – 26 =    64 – 36 =     28    = 2   7   سم

المساحة الجانبية =½  محيط القاعدة × الارتفاع الجانبي = ½ ×( 3 × 12 )× 2 7 = 36   7 سم2

المساحة الكلية = المساحة الجانبية + مساحة القاعدة

= 36     7   +        × 144      = 36     7    + 48        =  178.39 سم2  ثالثاً

    7

237

6 – م أ ب ج هرم ثلاثي قائم طول ضلع قاعدته 12سم إذا كان قياس الزاوية بين الوجهين أ ب ج ، م ب ج 60ه فاحسب حجم الهرم ؟

الحل :- الزاوية بين الوجهين أ ب ج ، م ب ج

هي أ ء م = 60ه

حيث أ ء        ب ج  ، م ء       ب ج

كذلك [ م مَ ] هو ارتفاع الهرم

حيث مَ مركز القاعدة ( نقطة تلاقي متوسطات المثلث أ ب ج )

في     أ ب ء القائم في ء |أ ء | =      212 – 26 =    144 – 36  =     108  = 6    سم

| مَ ء | = 1  | أ ء |  = 1 × 6      =   2     سم

في المثلث م مَ ء  قائم ( ثلاثيني ستيني ) : | م مَ | ( ارتفاع الهرم ) = |مَ ء | ظا 60ه

| م مَ | = 2      ×         = 6سم    ( ارتفاع الهرم )

حجم الهرم  =  1  مساحة القاعدة × الارتفاع

             = 1  ×  (        × 144 ) × 6  = 72      سم 3

     8

237

ما حجم هرم سداسي قائم ارتفاعه 8     سم وطول ضلع قاعدته 4 سم ؟

الحل :-    تذكر دائماً ( هرم قائم يعني قاعدته مضلع منتظم )

مساحة القاعدة ( سداسي منتظم )  = ن  ل2 ظتا  180

     

                                        = 6 × 16 ظتا 180  

                      

                                24 ظتا 30ه       = 24 ظا 60ه = 24     سم 2

حجم الهرم =   1  مساحة القاعدة × الارتفاع

             

           = 1  × 24        ×  8       =  192 سم 3

    9

127

أ ب ج أَ بَ جَ منشور ثلاثي قائم قسمنا كلا من [ أ ب ] ، [ ب ج ] ، [ ج أ ] إلى ثلاث قطع متطابقة بواسطة النقاط د  ،  هـ  ، م  ،  ن  ،  ز  ،  ط  على التوالي إذا فصلنا من المنشور الأهرامات أَ – أ د ط ، بَ – ب هـ م ، جَ – ج ن ز فأحسب نسبه الحجم الجزء الباقي من المنشور الى حجم المنشور .

الحل :-

نفرض إن ارتفاع المنشور ع

ومساحة قاعدته ق

حجم المنشور = ق ع   1

|أ د | = | أ ط |   المثلثان أ د ط ، أ ب ج متشابهان ونسبه التشابه   1

                      مساحة     أ د ط     =  ( 1  )2 = 1

وكذلك   مساحة    ب هـ م   = 1

وبالمثل   مساحة     ج ن ز    = 1

حجم الهرم أَ – أ د ط = 1 مساحة    أ د ط × ع

                         = 1 ( 1 ق ) × ع  = 1 ق ع

وبالمثل حجم الهرم ت – هـ ب م = 1 ق ع

     وبالمثل حجم الهرم حَ - ز ن ج = 1 ق ع

حجم الجزء المتبقي = حجم المنشور – مجموع حجوم الأهرامات

= ق ع - 3 ( 1 ق ع ) 

ق ع – 1 ق ع  = 8 ق ع

نسبة حجم الجزء الباقي من المنشور إلى حجم المنشور  =  8/9  ق ع = 8 

10

238

 9 – في هرم ناقص الارتفاع 12سم والقاعدتان مربعان ضلهاهما  6سم ، 16سم أحسب حجم الهرم الناقص  وما حجم الهرم الكامل ؟

الحل :- ق1  = 36 مساحة القاعدة الصغيرة

          ق2 = 256 مساحة القاعدة الكبرى

 (مساحة المربع  = ل حيث طول ضلعه)

     عَ = 12 ارتفاع الهرم الناقص

حجم الهرم الناقص = 1 عَ ( ق1 + ق2 +    ق1 ق2  )

1 × 12 ( 36 + 256 + 96 )  = 4 × 388  = 1552 سم3

ق1 = ( ع – عَ )     36  = ( ع – 12 )2       بجذر الطرفين

6 = ع – 12       3   =  ع – 12

8ع – 96 = 3ع ⇐   5ع = 96 ⇐  ع = 96   19.2سم

حجم الهرم = 1  مساحة القاعدة × الارتفاع

الكامل  = 1 × 256 × 19.2 = 163.4 سم3

   11    

238

10 – المساحة الكلية لهرم سداسي ناقص وقائم 276    سم 2 إذا كان طولا ضلعي قاعدته 6سم ، 8سم  ، أحسب ارتفاع الوجه الجانبي

الحل :- مساحة السداسي المنتظم = ن   ل2 ظتا 180             ن = 6

مساحة القاعد الصغرى  ق1 = 6 × 36 × ظتا 180          ( ل = 6سم )

                                   = 54 ظتا 30ه = 54ظا 60ه

                                 = 54      سم 2

مساحة القاعدة الكبرى ق2 = 6 × 64 × ظتا 180                  ( ل = 8سم )

                             = 96 ظتا 30   = 96 ظا 60 = 96     سم2

المساحة الكلية للهرم السداسي القائم الناقص  =  مساحة الجانبية  +  مجموع مساحتي قاعدتيه  

276   3   = المساحة الجانبية +   54  3    + 96  3 

المساحة الجانبية = 267  3    -   150  3              

 = 126   3   سم2

المساحة الجانبية = ½    مجموع محيطي القاعدتين × ارتفاع الوجه الجانبي

126  3   = ½  ( 6 × 6  =  6  ×  8  )  ×  ارتفاع الوجه الجانبي

126  3    =   42  ×  ارتفاع الوجه الجانبي

ارتفاع الوجه الجانبي  =   126  3     =  3   3  سم

   12

238

11 – في هرم رباعي ناقص وقائم القاعدتان مربعان ظلعاهما 6سم  ، 18سم إذا كان ارتفاع الوجه الجانبي 10سم فأحسب المساحة الكلية للهرم الناقص وحجمه . ما هو ارتفاع الهرم الكامل ؟

الحل :- طول ضلع القاعدة الصغرى = 6سم

| مَ نَ | = 3سم 

وبالتالي | م ن |= | مَ نَ | = 3سم

طول ضلع القاعدة الكبرى = 18 سم

|م و | = 9سم

| ن و | =  9 - 3  =  6سم

في المثلث القائم نَ ن و :

|نَ ن | =   210 – 26  =  100 – 36 = 64  = 8سم ( ارتفاع الهرم الناقص عَ )

المساحة الجانبية للهرم الناقص =½ مجموع محيطي قاعدتيه × الارتفاع الجانبي

                                   = ½ ( 4 × 6 + 4 × 18 ) × 10 = 480 سم2

المساحة الكلية = المساحة الجانبية = مساحة القاعدتين

                  = 480 + ( 36 + 324 ) = 480 سم2

حجم الهرم الناقص = 1 عَ ( ق1 + ق2 +    ق1ق2) =1× 8(36 +324 +108)=1248سم3

ق1  = ع-عَ   36   =  (ع -8)2 6 =  ع -8   3ع- 24 =  ع     2ع  = 24    ع = 12سم

1416 / 1

1 – م – أ ب ج د هرم رباعي قائم طول ضلع قاعدته أ ب ج د يساوي 10سم وارتفاعه 15سم أحسب .   1 – حجم الهرم    2 -  مساحته الجانبية

الحل :-        الهرم قائم يعني قاعدته مضلع منتظم وحيث انه رباعي  قاعدته مربع

مساحة القاعدة = 210 = 100سم2

حجم الهرم = 1 مساحة القاعدة × الارتفاع

              1 × 100 × 15 = 500سم3

في المثلث م ن والقائم من ن : | م و |=  215 + 25  =    225+25 = 250 = 5   10 سم

المساحة الجانبية =  ½   محيط القاعدة × الارتفاع الجانبي

                 =½  ( 4 × 10 ) × 5    10    = 100    10   سم2

 1417 / 1

2 –  هرم رباعي قائم ارتفاعه 8سم وطول ضلع قاعدته 12سم أحسب مساحته الكلية وحجمه . وإذا قطع مستو يوازي القاعدة ويبعد عنها مسافة 6سم فأحسب حجمه الهرم الناقص ؟

الحل :- في المثلث القائم م ن هـ : | ن هـ | = 6سم ، | م ن | = 8سم

| م هـ| ( الارتفاع الجانبي ) =   26 + 28  =   36 +64  = 100   = 10سم

المساحة الجانبية للهرم   =  ½  محيط القاعدة × الارتفاع الجانبي

                           =   ( 4 × 12 ) × 10 = 240 سم2

المساحة الكلية    =  المساحة الجانبية + مساحة القاعدة

                    = 240 + 144 = 384سم2

ق1  = ( ع – عَ )2   ق1   = 4   ق1   = 144  = 9سم2

ع – عَ = 8 – 6 = 2  

حيث = 8      عَ  =  6

حجم الهرم الناقص = 1 عَ ( ق1 + ق2 +    ق1 ق2  )

                   

                   = 1  × 6 ( 9 + 144 + 36 ) = 378 سم3 

1417 / 2

         3- هرم رباعي وجوه منتظم طول حرفه 27سم أوجد المساحة الكلية للهرم ؟

الحل :- رباعي الوجوه المنتظم له أربعه أوجه ( بما فيهم القاعدة ) كل وجه هو مثلث متطابق الأضلاع

مساحة الوجه الواحد = ____   ل2       ل = 27

                       

                        =        × 729 =  729     سم2

المساحة الكلية للهرم = 4 × 729        =  729        سم2

1418 / 2

4 – هرم رباعي قائم ناقص القاعدتان مربعان طولا ضلعي قاعدتيه المتوازيين 16سم ، 6سم وإرتفاعه 12سم أحسب   1 – حجم الهرم الناقص         2 – المساحة الكلية للهرم الناقص

الحل :-  | نَ هـَ | = ½  طول ضلع  القاعدة  الصغرى =  3سم

            | ن هـ | = ½ طول ضلع القاعدة الكبرى = 8سم

| و هـ | = 8 – 3 = 5سم

| هـ هـَ | ( الارتفاع الجانبي ) =     212  + 25

من فيثاغورت                       =    144 + 25

في المثلث القائم هـَ هـ و     =   169     = 13سم

حجم الهرم الناقص = 1  عَ ( ق1 +ق2 +    ق1 ق2 )

                         

                       = 1  ×12 ( 36 + 206 + 96 )   = 1552 سم3   #  1

المساحة الجانبية للهرم الناقص =   ½  مجموع محيطي القاعدتين × الارتفاع الجانبي

                                   =½ ( 4 × 6 + 4 × 16 ) × 13 

                                    = 572سم2

المساحة الكلية للهرم الناقص = المساحة الجانبية + مساحة القاعدتين

                                 = 572 + ( 36 + 256 )

                                = 864 سم2        # 2

1419 / 2

5  –  هرم ناقص مساحة قاعدتيه ق1 = 36 سم2 ، ق2 = 81 سم2 وحجمه 513 سم3 احسب ما يلي :-   

1 – طول إرتفاع الهرم الناقص                      2- حجم الهرم الكامل

الحل :-

حجم الهرم الناقص  =  1  عَ ( ق1 + ق2 +    ق1 ق2 )

 

   513              = 1   عَ ( 36 + 81 + 54 )

                       =  1   عَ ×171

عَ = 513  = 19 سم ( ارتفاع الهرم الناقص )    # 1

ق1    = ( ع – عَ )2

36  =  ( ع – 19 )2             بأخذ الجذر التربيعي للطرفين

26   = ع – 19

3ع – 57 = 2ع

ع = 57 سم         (ارتفاع الهرم الكامل )

حجم الهرم الكامل    = 1   مساحة القاعدة × الارتفاع

               

                        = 1 × 81 × 57   = 1539 سم3         # 2