الكره الهندسة

الكــره

تعريف الكره :-  هي  جسم محدود  بسطح منحني مقفل جميع نقطة على أبعاد متساوية من نقطة ثابتة ( م ) تسمى المركز .

(( ويسمى البعد الثابت نصف قطر الكره ورمزه ر ))

المنطقة الكروية :- هو الجزء المحصور بين مستويين متوازيين قطعا الكره

وارتفاعها ( ع ) هو البعد بين القاعدتين

القبة الكروية : إذا قطعت الكرة بمستو فإن كلاً من الجزأين الناتجين يسمى قبة كروية .

القطاع الكروي

هو جزء من  كره مكون من قبة كروية ومخروط دائري قائم رأسه مركز الكره وقاعدته هو قاعدة القبة

المجسم  المساحة        الحجم  ملاحظات

الكره

4 ط ر2        4 ط ر3

        في جميع القواسين هـ نصف قطر الكره

القبة الكروية

2 ط ر ع     1 ط ع2 ( 3ر – ع )

       

المنطقة الكروية 2 ط ر ع     هو الفرق بين حجم قين      

القطاع الكروي

2 ط ر ع + ط ر 

ر   ر2 – ( ر – ع )2      2 ط ر2 ع  

1  

262

1 – اسطوانة دائرية وكره لها نفس الحجم قطر الكره يساوي قطر قاعدة الاسطوانة أحسب ارتفاع الاسطوانة بدلالة قطر الكرة ؟

الحل :- حجم الاسطوانة = حجم الكره

            ط 2ر1 ع  = 4 ط 3ر2      ∵ ر1 = ر2 معطى

ع = 4  ر2

  = 2 ( 2 ر2 )

ارتفاع الاسطوانة = 2 قطر الكره

     2

262

 لدينا كرتان قطر الأولى يساوي نصف قطر الثانية أحسب

            1 – نسبه  مساحتيهما           2 – نسبه حجميهما ؟

الحل نفرض ر1 نصف قطر الأولى ، ر2 نصف قط الثانية

2ر1 = ر2 معطى

             مساحة الأولى   = ع ط ر1  = ر1    = ر1   = 1

              حجم الأولى =     ط ر3   =   ر3 = ر3  = 1

    3

262

3– إذا علمت أن المياه تعطى      سطح الأرض وأن قطر الأرض يبلغ 128000كليومتر فأحسب مساحة اليابسة على الأرض ؟

الحل :- مساحة سطح الكره الأرضية  = 4 ط ر2

المياه تغطي 3 سطح الكره الأرض      إذاً الباقي = اليابسة =     الكرة الأرضية

مساحة اليابسة = 4 ط ر2  = ط ر2

                 = ط × ( 6400 )2   = 4096000000ط كيلومتر مربع

   4

62

     3– الشكل المقابل يمثل كأس على هيئه مخروط دائري قائم نصف قطر قاعدته 3سم وارتفاعه 15سم إذا كان الكأس مملؤاً بالماء حتى عمق 10سم فما حجم الماء ؟

لدينا قطع من الثلج على هيئة كرات نصف قطر الواحدة منها 1سم . ما أكبر عدد يمكن وضعه منها في الكأس من دون أن يتدفق الماء عندما يذوب الثلج  ؟

الحل :-  

حجم الكأس = 1 ط ر2 ع

               = 1 ط 9 × 15  

               = 45 ط سم3

من تشابه المثلثين   س  = 10

     س   = 3 × 10    = 2سم

حجم الماء = 1  ط ر2 ع

            = 1 ط × 4 × 10

           =     40  ط سم3

حجم الفراغ = 45 ط – 40 ط   =  135 ط – 40 ط   = 95 ط سم3

حجم الكره الثلجية الواحدة  = 4 ط ر3                     ر = 1

          

عدد الكرات =            =  95    = 23.57 كره

اكبر عدد يمكن وضعه من الكرات = 23 كرة

    5

262

   5– أحسب مساحة وحجم قبه كروية ارتفاعها 1سم ونصف قصر قاعدتها 5سم ؟

الحل :-

في المثلث القائم م ن هـ :

ر2 = ( ر – 1 )2 + 25

    = ر2 _ 2ر + 1 + 25

2ر = 26 ⇐   ر = 13سم  ( نصف قطر الكره )

مساحة القبه الكروية =  2 ط ر ع

                        =  2 × 13 × 1  = 26 ط سم2         #

حجم القبه الكروية =  ط ع2 ( 3ر – ع )

                       =  ط × 21 ( 3 × 13 – 1 )

                      = ط (  39 – 1 )  = 38 ط سم3        #

    6

262

     6– أحسب مساحة منطقة كروية البعد بين قاعدتيها 2سم وقطراها 16سم ، 12سم ؟

الحل :- في الثلث القائم م م2 ب :

ر2 = 28 + س2                      1

في المثلث القائم م م أ : ر2 = 26 + ( 2 + س )2              2

من1 ،  2  : 36 + 4 + 4سم + س2 = 64 + س2

4س = 64 – 40 = 24       س = 24 = 6سم

من  1 ر2 = 64 + 36 = 100     ر =   100     = 10سم    ( نصف قطر الكره )

مساحة المنطقة الكروية   = 2 ط ر ع

= 2ط × 10 × 2

= 40 ط سم2

    7

262

    7– الشكل المقابل يبين نصف كره قطرها 20سم صفر فيها مخروط ناقص وقائم ارتفاعه 8سم . أحسب حجم المادة المتبقية ؟

الحل :-

من فيثاغورت   في المثلث القائم أ ب ج  :

2ر1 = 210 – 28

= 100 – 64 = 36

ر1 = 6 سم

حجم المخروط الناقص القائم = 1 ط ع ( 2ر1 + ر1 ر2 + 2ر2 )

                                = 1 ط × 8 ( 36 + 60 +100 )

                               =  8 ط × 196

                               = 1568 ط سم3

حجم نصف الكره = 2 ط 3ر          ر = 10سم

                       = 2 ط × ( 10 )3  = 2000 ط سم3

حجم المادة المتبقية = حجم نصف الكره – حجمه المخروط الناقص

          = 2000 ط – 1568 ط

                      = 432 ط

                     = 144ط سم3

    8

262

    8– علبة على هيئة اسطوانة دائري قائمة نصف قطر قاعدتها  12سم وارتفاعها 20سم ملئت بالماء . إذا ادخلنا فيها كره قطرها 18سم وأخرجناها فأحسب حجم الماء المتبقي في العلبة ؟

الحل :- حجم الماء المتبقي = حجم الاسطوانة  _ حجم الكره

= ط ر1ع – 4 ط  ر2

= ط × 144 × 20 _ 4 ط × 729

= 2880 ط – 972 ط = 1908 ط سم3

    9

262

   9– متوازي مستطيلات أبعاد قاعدته 12سم ،  20سم في كره قطرها 28سم بحيث وقعت جميع الرؤوس على الكره . أحسب حجم الجزء من الكره خارج متوازي المستطيلات ؟

الحل :-

| أ ء | = 20سم   ⇐ | أ هـ | = 10سم

| أ ب | = 12سم ⇐  | ن هـ | = 6سم

من فيثاغورث : في      أ ن هـ القائم في هـ

| أ ن |2 = | أ هـ |2 + | ن هـ |2

             = 100 + 36  = 136 

وفي      أ ن م القائم مي ن

| م ن |2 = | أ م |2 - | أ ن |2 =  (14 )2 – 136 = 196 – 136 = 60

| م ن | =   60   = 2    15       | أ أَ |  = 2 | م ن | = 4   15   سم

حجم متوازي المستطيلات = ضرب أبعاده الثلاثة = 4    15 × 12 ×20= 960   15سم3

حجم الكره =    ط 3ر =    × ط (14 )3                         = 11494.04 سم3

الحجم المطلوب = حجم الكره -حجم متوازي المستطيلات = 1149.04–960  15 = 7775.98سم3